Pochodna i ró»niczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku bª¦dów pomiarowych
Krzysztof R¦bilas
DEFINICJA POCHODNEJ
Pochodna funkcji f(x) w punkcie x okre±lona jest jako
granica:
lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
.
(1)
Oznaczamy j¡ symbolami:
f
0
(x)
lub
df
dx
.
(2)
Dla przykªadu obliczmy pochodn¡ funkcji f(x) = x
2
. Na
podstawie de nicji (1) mamy:
df
dx
= lim
∆x→0
(x + ∆x)
2
− x
2
∆x
=
= lim
∆x→0
¡
x
2
+ 2x∆x + (∆x)
2
¢
− x
2
∆x
=
= lim
∆x→0
2x∆x + (∆x)
2
∆x
=
= lim
∆x→0
(2x + ∆x) = 2x.
(3)
Otrzymany wynik na pochodn¡ funkcji f(x) = x
2
zapi-
sujemy w postaci:
(x
2
)
0
= 2x
(4)
W podobny sposób mo»na na podstawie de nicji (1)
znale¹¢ wzory na pochodne podstawowych fukcji mate-
matycznych. Poni»ej przedstawiamy gotowe rezultaty ob-
licze« dla wybranych funkcji (a oraz n oznaczaj¡ staªe):
(a)
0
=0
(x
n
)
0
=n · x
n−1
(sin x)
0
= cos x
(cos x)
0
= − sin x
(ln x)
0
=
1
x
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
atwo sprawdzi¢, »e znaleziony przez nas wynik na po-
chodn¡ funkcji f(x) = x
2
(wzór (4)) jest szczególnym
przypadkiem ogólnego wzoru (6), w którym nale»y pod-
stawi¢ n = 2. Dla przykªadu obliczmy jeszcze pochod-
n¡ funkcji f(x) = x
4
. Korzystaj¡c z wzoru (6), mamy:
(x
4
)
0
= 4x
3
.
U»yteczne s¡ równie» wzory pozwalaj¡ce oblicza¢ po-
chodne wyra»e« zªo»onych b¦d¡cych iloczynem staªej a
i funkcji f, sum¡ lub ró»nic¡ dwóch funkcji f i g oraz
iloczynem lub ilorazem funkcji f i g:
(a · f )
0
=a · (f )
0
(f ± g)
0
=f
0
± g
0
(f · g)
0
=f
0
· g + f · g
0
µ
f
g
¶
0
=
f
0
· g − f · g
0
g
2
(10)
(11)
(12)
(13)
Wzór (10) wykorzytujemy na przykªad dla oblicznia
pochodnej funkcji f(x) = 4x
3
:
(4x
3
)
0
= 4(x
3
)
0
= 4 · 3x
2
= 12x
2
.
(14)
Wzór (11) jest u»yteczny na przykªad w nast¦puj¡cym
przypadku:
(2x
3
+ 6x
5
)
0
= (2x
3
)
0
+ (6x
5
)
0
= 2 · 3x
2
+ 6 · 5x
4
.
(15)
Wzór (11) zastosowali±my identy kuj¡c odpowiednie
funkcje jako: f = 2x
3
oraz g = 6x
5
. Ostatnia równo±¢
w powy»szym równaniu wynika z wzorów (6) i (10).
Poni»ej mamy przykªad zastosowania wzoru (12):
(x
3
· sin x)
0
= (x
3
)
0
· sin x + x
3
· (sin x)
0
=
= 3x
2
· sin x + x
3
· cos x,
(16)
gdzie odpowiednie funkcje maj¡ posta¢: f = x
3
oraz g =
sin x
.
2
Wzór (13) nale»y zastosowa¢ w przypadku:
µ
2x
4
− 7x
3x
2
+ x
3
¶
0
=
=
(2x
4
− 7x)
0
· (3x
2
+ x
3
) − (2x
4
− 7x) · (3x
2
+ x
3
)
0
(3x
2
+ x
3
)
2
=
=
(2 · 4x
3
− 7) · (3x
2
+ x
3
) − (2x
4
− 7x) · (3 · 2x + 3x
2
)
(3x
2
+ x
3
)
2
= ...,
gdzie przyj¦li±my f = 2x
4
− 7x
oraz g = 3x
2
+ x
3
.
GEOMETRYCZNA INTERPRETACJA
POCHODNEJ
W de nicji pochodnej (1) wyst¦puje stosunek zmiany
warto±ci funkcji ∆f = f(x+∆x)−f(x) do zmiany warto-
±ci argumentu ∆x. Na Rys. (1) pokazano wykres funkcji
P
R
x
x+ x
D
f(x)
f(x+ x)
D
f
x
y= x+b
a
Rysunek 1: Sieczna przechodz¡ca przez punkty P i R w gra-
nicy ∆x → 0 staje si¦ styczn¡ do wykresu w punkcie x.
f (x)
, na którym zaznaczono sieczn¡ przecinaj¡c¡ funkcj¦
w punktach P =
£
x, f (x)
¤
i R =
£
x + ∆x, f (x + ∆x)
¤
.
Sieczna jako prosta opisana jest równaniem postaci y =
ax + b
, gdzie a to tzw. wspóªczynnik kierunkowy prostej,
którego warto±¢ dana jest przez stosunek a = ∆y/∆x. Na
podstawie Rys. (1) widzimy, »e iloraz ∆f/∆x to wªa±nie
wspóªczynnik kierunkowy siecznej przecinaj¡cej wykres
funkcji w punktach P i R.
W granicy ∆x → 0 punkty P i R zlewaj¡ si¦ i siecz-
na staje si¦ styczn¡ do wykresu w punkcie P . Oznacza
to, »e w granicy ∆x → 0 stosunek ∆f/∆x (czyli po-
chodna funkcji) staje si¦ wspóªczynnikiem kierunkowym
stycznej. A zatem:
Pochodna funkcji df/dx w punkcie x ma warto±¢
wspóªczynnika kierunkowego stycznej do wykresu
funkcji f poprowadzonej w punkcie P =
£
x, f (x)
¤
.
RÓNICZKA FUNKCJI
Ró»niczka funkcji df przy zmianie jej argumentu o ∆x
okre±lona jest jako iloczyn pochodnej df/dx i zmiany ∆x,
czyli:
df =
df
dx
∆x.
(17)
Zauwa»my, »e ró»niczka funkcji df jest równa zmianie
warto±ci stycznej w punckie x nast¦puj¡cej na odcinku od
x
do x + ∆x (patrz Rys. (2)). Wynika to st¡d, »e zmiana
warto±ci stycznej o równaniu y = ax + b wynosi ∆y =
a∆x
, a wspóªczynnik kierunkowy stycznej, jak pokazano
powy»ej, ma warto±¢ pochodnej: a = df/dx liczonej w
miejscu x.
Na podstawie Rys. (2) mo»na si¦ przekona¢, »e dla ma-
P
x
x+ x
D
f(x)
f(x+ x)
D
f
x
Df
df
y= x+b
a
Rysunek 2: Gra czne przedstawienie ró»niczki funkcji df.
ªych warto±ci ∆x ró»niczka funkcji df jest bardzo dobrym
przybli»eniem zmiany warto±ci funkcji ∆f:
∆f ∼
= df.
(18)
A zatem, stosuj¡c powy»sze przybli»enie, zmian¦ warto-
±ci funkcji ∆f przy zmianie argumentu o ∆x mo»emy
oblicza¢ z wzoru:
∆f ∼
=
df
dx
∆x.
(19)
PRZYKAD
Przybli»enie (19) wykorzystujemy przy obliczaniu bª¦-
dów pomiarowych wielko±ci mierzonych po±rednio. Na
przykªad chc¡c wyznaczy¢ obj¦to±¢ kuli mierzymy jej
promie« r i wstawiamy do wzoru:
V =
4
3
πr
3
.
(20)
3
W ten sposób pomiar obj¦to±ci kuli jest pomiarem po-
±rednim, a wielko±ci¡ mierzon¡ bezpo±rednio jest promie«
r
. Zaªó»my, »e znamy maksymalny bª¡d pomiaru bezpo-
±redniego, czyli znamy ∆r. Pami¦tamy, »e oznacza to, i»
prawdziwa warto±¢ promienia r mie±ci si¦ gdzie± w prze-
dziale
¡
r −∆r, r +∆r
¢
. Stawiamy pytanie: w jakim prze-
dziale dopuszczalnych warto±ci znajduje si¦ prawdziwa
warto±¢ obj¦to±ci kuli?
Jak pokazuje Rys. 3, przedziaªowi mo»liwych warto-
r
V
V
r
Dr
Dr
Dr
V=4/3
r
p
3
dV
dr
DV
DV
Rysunek 3: Przedziaªowi mo»liwych warto±ci promienia ku-
li
¡
r − ∆r, r + ∆r
¢
, odpowiada pewien przedziaª mo»liwych
warto±ci obj¦to±ci (V − ∆V, V + ∆V ). Wielko±¢ ∆V mo»-
na z bardzo dobrym przybli»eniem uzna¢ za równ¡ ró»niczce
funkcji V (r), czyli ∆V = dV/dr · ∆r.
±ci r odpowiada pewien przedziaª (V − ∆V, V + ∆V ), w
którym mo»e si¦ znajdowa¢ prawdziwa warto±¢ obj¦to±ci.
Podczas dobrze zaplanowanych pomiarów, bª¦dy pomia-
rowe s¡ zwykle niewielkie. Zakªadamy wi¦c, »e bª¡d ∆r
jest niedu»y i stosuj¡c wzór (19) wielko±¢ ∆V przybli»a-
my przez ró»niczk¦ funkcji V (r), czyli:
∆V =
dV
dr
∆r.
(21)
Tak okre±lona warto±¢ ∆V wyznacza nam tzw. bª¡d mak-
symalny pomiaru obj¦to±ci.
Wykonajmy obliczenia dla przykªadowych warto±ci
liczbowych. Niech w wyniku pomiaru uzyskana warto±¢
promienia i bª¡d pomiaru wynosz¡:
r = 2, 64
cm, ∆r = 0, 01 cm.
(22)
Ze wzoru (20) otrzymujemy wtedy:
V = 24, 53299
cm
3
.
(23)
Aby oszacowa¢ bª¡d ∆V najpierw znajdujemy wzór na
pochodn¡ dV/dr. W tym celu korzystamy z tabeli wy»ej
podanych wzorów (wzór (6)) i otrzymujemy:
dV
dr
=
µ
4
3
πr
3
¶
0
=
4
3
π · 3 · r
2
= 4πr
2
.
(24)
Wstawiaj¡c ten wynik do wzoru (21), mamy::
∆V = 4πr
2
· ∆r,
(25)
co po podstawieniu warto±ci liczbowych daje ∆V = 0, 88
cm
3
. Ostatecznie zatem po zaokr¡gleniu wyniku (23):
V = (24, 53 ± 0, 88)
cm
3
.
(26)
POCHODNA CZSTKOWA
Dla funkcji wielu zmiennych f(x, y, z), jako uogólnienie
poj¦cia pochodnej, okre±lona jest tzw. pochodna cz¡st-
kowa. Pochodna cz¡stkowa po zmiennej x (ozn. ∂f/∂x)
zde niowana jest jako granica:
∂f
∂x
= lim
∆x→0
f (x + ∆x, y, z) − f (x, y, z)
∆x
.
(27)
Analogicznie okre±lona jest pochodna cz¡stkowa po
zmniennej y i po zmniennej z:
∂f
∂y
= lim
∆y→0
f (x, y + ∆y, z) − f (x, y, z)
∆y
,
(28)
∂f
∂z
= lim
∆z→0
f (x, y, z + ∆z) − f (x, y, z)
∆z
.
(29)
Z de nicji pochodnej cz¡stkowej wynika, »e obliczanie
pochodnej cz¡stkowej po jakiej± zmiennej nie ró»ni si¦
od obliczania zwykªej pochodnej, przy czym pozostaªe
zmienne nale»y w trakcie obliczania pochodnej trakto-
wa¢ jako wielko±ci staªe.
Na przykªad, je±li wykonujemy pochodn¡ po zmien-
nej x, wówczas y i z uznajemy za staªe, czyli funkcja
f (x, y, z)
na czas liczenia pochodnej staje si¦ jakby funk-
cj¡ tylko jednej zmennej x. Wszystkie podane wcze±niej
wzory (5)-(13) na pochodne funkcji jednej zmiennej maj¡
zatem zastosowanie równie» przy obliczaniu pochodnych
cz¡stkowych.
Podajmy kilka przykªadów obliczania pochodnej
cz¡stkowej.
4
Przykªad 1:
f = x
2
+ y
3
+ z
4
∂f
∂x
=
∂
∂x
(x
2
) +
∂
∂x
(y
3
) +
∂
∂x
(z
4
) =
= 2x + 0 + 0 = 2x,
∂f
∂y
=
∂
∂y
(x
2
) +
∂
∂y
(y
3
) +
∂
∂y
(z
4
) =
= 0 + 3y
2
+ 0 = 3y
2
,
∂f
∂z
=
∂
∂z
(x
2
) +
∂
∂z
(y
3
) +
∂
∂z
(z
4
) =
= 0 + 0 + 4z
3
= 4z
3
.
Wykorzystali±my tu wªasno±¢ (11), »e pochodna sumy
jest sum¡ pochodnych, oraz fakt, »e pochodna ze staªej
wynosi zero.
Przykªad 2:
f =
x
2
+ y
3
y
4
+ z
5
∂f
∂x
=
∂
∂x
µ
x
2
y
4
+ z
5
¶
+
∂
∂x
µ
y
3
y
4
+ z
5
¶
=
=
1
y
4
+ z
5
∂
∂x
(x
2
) + 0 =
2x
y
4
+ z
5
,
∂f
∂y
=
∂
∂y
(x
2
+ y
3
) · (y
4
+ z
5
) − (x
2
+ y
3
) ·
∂
∂y
(y
4
+ z
5
)
(y
4
+ z
5
)
2
=
=
(3y
2
) · (y
4
+ z
5
) − (x
2
+ y
3
) · (4y
3
)
(y
4
+ z
5
)
2
,
∂f
∂z
=
∂
∂z
(x
2
+ y
3
) · (y
4
+ z
5
) − (x
2
+ y
3
) ·
∂
∂z
(y
4
+ z
5
)
(y
4
+ z
5
)
2
=
=
0 · (y
4
+ z
5
) − (x
2
+ y
3
) · (5z
4
)
(y
4
+ z
5
)
2
=
−(x
2
+ y
3
) · (5z
4
)
(y
4
+ z
5
)
2
.
Przy liczeniu pochodnej cz¡stkowej po y i z zastosowali-
±my wzór na pochodn¡ ilorazu (13).
Przykªad 3:
f =
xy
x + y
∂f
∂x
=
∂
∂x
(xy) · (x + y) − (xy) ·
∂
∂x
(x + y)
(x + y)
2
=
=
(y) · (x + y) − (xy) · (1 + 0)
(x + y)
2
=
y
2
(x + y)
2
,
∂f
∂y
=
∂
∂y
(xy) · (x + y) − (xy) ·
∂
∂y
(x + y)
(x + y)
2
=
=
(x) · (x + y) − (xy) · (0 + 1)
(x + y)
2
=
x
2
(x + y)
2
.
Przy liczeniu pochodnej
∂
∂x
(xy)
skorzystali±my z wzoru
(6). Dzi¦ki temu, pami¦taj¡c »e y jest traktowane teraz
jak staªa, mamy:
∂
∂x
(xy) = y ·
∂
∂x
(x) = y · 1 = y
. Analo-
gicznie post¡pili±my licz¡c pochodn¡ cz¡stkow¡
∂
∂y
(xy)
,
co daªo nam w wyniku:
∂
∂y
(xy) = x ·
∂
∂y
(y) = x · 1 = x
.
RÓNICZKA ZUPENA FUNKCJI
Ró»niczk¡ zupeªn¡ df funkcji f(x, y, z) nazywamy wy-
ra»enie:
df =
∂f
∂x
∆x +
∂f
∂y
∆y +
∂f
∂z
∆z.
(30)
Jak wida¢ jest to uogólniennie poj¦cia ró»niczki funkcji
dla funkcji wielu zmiennych.
Je»eli zmiana argumentów funkcji ∆x, ∆y, ∆z jest nie-
wielka, wówczas ró»niczka zupeªna funkcji df jest bardzo
dobrym przybli»eniem zmiany warto±ci funkcji ∆f wy-
woªanej zmian¡ warto±ci jej argumentów, czyli:
∆f ∼
=
∂f
∂x
∆x +
∂f
∂y
∆y +
∂f
∂z
∆z.
(31)
ZASTOSOWANIE RÓNICZKI ZUPENEJ W
RACHUNKU BDÓW POMIAROWYCH
Przybli»enie (31) wykorzystywane jest w rachunku bª¦-
dów pomiarowych. Niech jaka± wielko±¢ zyczna dana
jest poprzez wyra»enie funkcyjne od wielko±ci mierzo-
nych bezpo±rednio. Na przykªad, u»ywaj¡c wahadªa ma-
tematycznego mo»na wyznaczy¢ przyspieszenie ziemskie
g
, mierz¡c bezpo±rednio jego dªugo±¢ l oraz okres T i
wstawiaj¡c do wzoru:
g =
4π
2
l
T
2
(32)
5
Powiedzmy, »e znamy maksymalne bª¦dy pomiarowe dªu-
go±ci ∆l oraz okresu ∆T . Jak obliczy¢ maksymalny bª¡d
wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego ∆g? Odwoªuj¡c
si¦ do przykªadu z wyznaczaniem obj¦to±ci poprzez po-
miar promienia, wydawa¢ by si¦ mogªo, »e nale»y, na
zasadzie uogólnienia wzoru (21), zastosowa¢ teraz wzór
(31), czyli:
∆g =
∂g
∂l
∆l +
∂g
∂T
∆T
wzór bª¦dny!
(33)
Z pewnych wzgledów powy»szy wzór nie jest jednak po-
prawnym wzorem na bª¡d maksymalny ∆g.
Otó» bª¦dy ∆l i ∆T s¡ z zaªo»enia wielko±ciami do-
datnimi. Wzór (33) jest poprawnym wzorem na zmian¦
funkcji g(l, T ) wªa±nie przy zmianie argumentów o +∆l
i +∆T . Tymczasem zmierzone warto±ci l i T mog¡ si¦
ró»ni¢ od rzeczywistych warto±ci dªugo±ci nici i okresu
o ±∆l i ±∆T . W zale»no±ci od wyboru znaku przy ∆l
i ∆T , uzyskujemy ró»ne wyniki na zmian¦ funkcji ∆g.
Niestety nie wiemy jaka jest warto±¢ rzeczywista mierzo-
nych wielko±ci zycznych l i T , wi¦c nie wiemy jaki znak
wybra¢. Jednak»e przy pewnym wyborze znaków przy ∆l
i ∆T , odchyªka ∆g przybierze warto±¢ maksymaln¡. Ta
wªa±nie maksymalna warto±¢ ∆g okre±la nam bª¡d mak-
symalny pomiaru przyspieszenia ziemskiego g.
Oczywi±cie ∆g b¦dzie maksymalne, gdy oba wyrazy
po prawej stronie równania (33) b¦d¡ dodatnie. W na-
szym przykªadzie, poniewa»
∂g
∂l
=
4π
2
T
2
> 0
oraz
∂g
∂T
=
−8π
2
l
T
3
< 0
, ∆g b¦dzie maksymalne, gdy do wzoru (33)
wstawimy +∆l i −∆T . Jednak by unikn¡¢ dwukrotne-
go pisania znaku minus (przy pochodnej i przy ∆T ),
wzór (33) zapisujemy dla przypadku maksymalnego ∆g
w nast¦puj¡cy sposób:
∆g =
¯
¯
¯
¯
∂g
∂l
¯
¯
¯
¯ ∆l +
¯
¯
¯
¯
∂g
∂T
¯
¯
¯
¯ ∆T.
(34)
Okre±lona wzorem (34) maksymalna mo»liwa odchyªka
∆g
zmierzonej warto±ci g od warto±ci rzeczywistej spo-
wodowana bª¦dami ±∆l i ±∆T jest poprawnym osza-
cowaniem bª¦du maksymalnego pomiaru przyspieszenia
ziemskiego g.
Wstawiaj¡c do wzoru (34) znalezione wyra»enia na po-
chodne cz¡stkowe, otrzymujemy jawny wzór na bª¡d ∆g:
∆g =
¯
¯
¯
¯
4π
2
T
2
¯
¯
¯
¯ ∆l +
¯
¯
¯
¯
−8π
2
l
T
3
¯
¯
¯
¯ ∆T,
(35)
do którego nale»y podstawi¢ zmierzone warto±ci l i T oraz
warto±ci bª¦dów ∆l i ∆T .
Ogólnie, je±li jaka± wielko±¢ zyczna wyra»a si¦ w for-
mie zale»no±ci funkcyjnej f(x, y, z) od mierzonych bez-
po±rednio wielko±ci x, y, z, które znamy z bª¦dem mak-
symalnym, odpowiednio ∆x, ∆y, ∆z, wówczas bª¡d mak-
symalny ∆f okre±lamy wzorem:
∆f =
¯
¯
¯
¯
∂f
∂x
¯
¯
¯
¯ ∆x +
¯
¯
¯
¯
∂f
∂y
¯
¯
¯
¯ ∆y +
¯
¯
¯
¯
∂f
∂z
¯
¯
¯
¯ ∆z.
(36)
W stosunku do wzoru na ró»niczk¦ zupeªn¡ mamy tu-
taj warto±ci bezwzgl¦dne pochodnych cz¡stkowych, bo-
wiem przy szacowaniu bª¦du maksymalnego ∆f zakªa-
damy sytuacj¦ najmniej korzystn¡, kiedy to przyczynki
pochodz¡ce od bª¦dów ±∆x, ±∆y, ±∆z si¦ kumuluj¡.
Obliczanie bª¦du maksymalnego za pomoca wzoru
(36) nazywa sie metod¡ ró»niczki zupeªnej.
Uwaga:
Je±li zale»no±¢ funkcyjna jest postaci:
f (x, y, z) = kx
a
y
b
z
c
,
(37)
gdzie a, b, c, k to staªe, wówczas po wyliczeniu pochod-
nych, wstawieniu do wzoru (36) i podzieleniu obustron-
nym równania przez f otrzymamy:
∆f
f
= |a|
¯
¯
¯
¯
∆x
x
¯
¯
¯
¯ + |b|
¯
¯
¯
¯
∆y
y
¯
¯
¯
¯ + |c|
¯
¯
¯
¯
∆z
z
¯
¯
¯
¯ .
(38)
Jest to wygodny wzór do wyliczana bª¦du wzgl¦dnego
∆f /f
dla wielko±ci danych wzorem (37).
Poniewa» wzór (38) mo»na uzyska¢ przez zlogarytmo-
wanie wzoru (37) i obustronne zró»niczkowanie, oblicza-
nie bª¦du maksymalnego przy u»yciu wyra»enia (38) na-
zywane jest metod¡ pochodnej logarytmicznej.