Pochodna i ró»niczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku bª¦dów pomiarowych

Krzysztof R¦bilas

DEFINICJA POCHODNEJ

Pochodna funkcji f(x) w punkcie x okre±lona jest jako

granica:

lim

∆x→0

f (x + ∆x) − f (x)

∆x

.

(1)

Oznaczamy j¡ symbolami:

f

0

(x)

lub

df

dx

.

(2)

Dla przykªadu obliczmy pochodn¡ funkcji f(x) = x

2

. Na

podstawie denicji (1) mamy:

df

dx

= lim

∆x→0

(x + ∆x)

2

− x

2

∆x

=

= lim

∆x→0

¡

x

2

+ 2x∆x + (∆x)

2

¢

− x

2

∆x

=

= lim

∆x→0

2x∆x + (∆x)

2

∆x

=

= lim

∆x→0

(2x + ∆x) = 2x.

(3)

Otrzymany wynik na pochodn¡ funkcji f(x) = x

2

zapi-

sujemy w postaci:

(x

2

)

0

= 2x

(4)

W podobny sposób mo»na na podstawie denicji (1)

znale¹¢ wzory na pochodne podstawowych fukcji mate-

matycznych. Poni»ej przedstawiamy gotowe rezultaty ob-

licze« dla wybranych funkcji (a oraz n oznaczaj¡ staªe):

(a)

0

=0

(x

n

)

0

=n · x

n−1

(sin x)

0

= cos x

(cos x)

0

= − sin x

(ln x)

0

=

1

x

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Šatwo sprawdzi¢, »e znaleziony przez nas wynik na po-

chodn¡ funkcji f(x) = x

2

(wzór (4)) jest szczególnym

przypadkiem ogólnego wzoru (6), w którym nale»y pod-

stawi¢ n = 2. Dla przykªadu obliczmy jeszcze pochod-

n¡ funkcji f(x) = x

4

. Korzystaj¡c z wzoru (6), mamy:

(x

4

)

0

= 4x

3

.

U»yteczne s¡ równie» wzory pozwalaj¡ce oblicza¢ po-

chodne wyra»e« zªo»onych b¦d¡cych iloczynem staªej a

i funkcji f, sum¡ lub ró»nic¡ dwóch funkcji f i g oraz

iloczynem lub ilorazem funkcji f i g:

(a · f )

0

=a · (f )

0

(f ± g)

0

=f

0

± g

0

(f · g)

0

=f

0

· g + f · g

0

µ

f

g

¶

0

=

f

0

· g − f · g

0

g

2

(10)

(11)

(12)

(13)

Wzór (10) wykorzytujemy na przykªad dla oblicznia

pochodnej funkcji f(x) = 4x

3

:

(4x

3

)

0

= 4(x

3

)

0

= 4 · 3x

2

= 12x

2

.

(14)

Wzór (11) jest u»yteczny na przykªad w nast¦puj¡cym

przypadku:

(2x

3

+ 6x

5

)

0

= (2x

3

)

0

+ (6x

5

)

0

= 2 · 3x

2

+ 6 · 5x

4

.

(15)

Wzór (11) zastosowali±my identykuj¡c odpowiednie

funkcje jako: f = 2x

3

oraz g = 6x

5

. Ostatnia równo±¢

w powy»szym równaniu wynika z wzorów (6) i (10).

Poni»ej mamy przykªad zastosowania wzoru (12):

(x

3

· sin x)

0

= (x

3

)

0

· sin x + x

3

· (sin x)

0

=

= 3x

2

· sin x + x

3

· cos x,

(16)

gdzie odpowiednie funkcje maj¡ posta¢: f = x

3

oraz g =

sin x

.

2

Wzór (13) nale»y zastosowa¢ w przypadku:

µ

2x

4

− 7x

3x

2

+ x

3

¶

0

=

=

(2x

4

− 7x)

0

· (3x

2

+ x

3

) − (2x

4

− 7x) · (3x

2

+ x

3

)

0

(3x

2

+ x

3

)

2

=

=

(2 · 4x

3

− 7) · (3x

2

+ x

3

) − (2x

4

− 7x) · (3 · 2x + 3x

2

)

(3x

2

+ x

3

)

2

= ...,

gdzie przyj¦li±my f = 2x

4

− 7x

oraz g = 3x

2

+ x

3

.

GEOMETRYCZNA INTERPRETACJA

POCHODNEJ

W denicji pochodnej (1) wyst¦puje stosunek zmiany

warto±ci funkcji ∆f = f(x+∆x)−f(x) do zmiany warto-

±ci argumentu ∆x. Na Rys. (1) pokazano wykres funkcji

P

R

x

x+ x

D

f(x)

f(x+ x)

D

f

x

y= x+b

a

Rysunek 1: Sieczna przechodz¡ca przez punkty P i R w gra-

nicy ∆x → 0 staje si¦ styczn¡ do wykresu w punkcie x.

f (x)

, na którym zaznaczono sieczn¡ przecinaj¡c¡ funkcj¦

w punktach P =

£

x, f (x)

¤

i R =

£

x + ∆x, f (x + ∆x)

¤

.

Sieczna jako prosta opisana jest równaniem postaci y =

ax + b

, gdzie a to tzw. wspóªczynnik kierunkowy prostej,

którego warto±¢ dana jest przez stosunek a = ∆y/∆x. Na

podstawie Rys. (1) widzimy, »e iloraz ∆f/∆x to wªa±nie

wspóªczynnik kierunkowy siecznej przecinaj¡cej wykres

funkcji w punktach P i R.

W granicy ∆x → 0 punkty P i R zlewaj¡ si¦ i siecz-

na staje si¦ styczn¡ do wykresu w punkcie P . Oznacza

to, »e w granicy ∆x → 0 stosunek ∆f/∆x (czyli po-

chodna funkcji) staje si¦ wspóªczynnikiem kierunkowym

stycznej. A zatem:

Pochodna funkcji df/dx w punkcie x ma warto±¢

wspóªczynnika kierunkowego stycznej do wykresu

funkcji f poprowadzonej w punkcie P =

£

x, f (x)

¤

.

RӛNICZKA FUNKCJI

Ró»niczka funkcji df przy zmianie jej argumentu o ∆x

okre±lona jest jako iloczyn pochodnej df/dx i zmiany ∆x,

czyli:

df =

df

dx

∆x.

(17)

Zauwa»my, »e ró»niczka funkcji df jest równa zmianie

warto±ci stycznej w punckie x nast¦puj¡cej na odcinku od

x

do x + ∆x (patrz Rys. (2)). Wynika to st¡d, »e zmiana

warto±ci stycznej o równaniu y = ax + b wynosi ∆y =
a∆x

, a wspóªczynnik kierunkowy stycznej, jak pokazano

powy»ej, ma warto±¢ pochodnej: a = df/dx liczonej w

miejscu x.

Na podstawie Rys. (2) mo»na si¦ przekona¢, »e dla ma-

P

x

x+ x

D

f(x)

f(x+ x)

D

f

x

Df

df

y= x+b

a

Rysunek 2: Graczne przedstawienie ró»niczki funkcji df.

ªych warto±ci ∆x ró»niczka funkcji df jest bardzo dobrym

przybli»eniem zmiany warto±ci funkcji ∆f:

∆f ∼

= df.

(18)

A zatem, stosuj¡c powy»sze przybli»enie, zmian¦ warto-

±ci funkcji ∆f przy zmianie argumentu o ∆x mo»emy

oblicza¢ z wzoru:

∆f ∼

=

df

dx

∆x.

(19)

PRZYKŠAD

Przybli»enie (19) wykorzystujemy przy obliczaniu bª¦-

dów pomiarowych wielko±ci mierzonych po±rednio. Na

przykªad chc¡c wyznaczy¢ obj¦to±¢ kuli mierzymy jej

promie« r i wstawiamy do wzoru:

V =

4
3

πr

3

.

(20)

3

W ten sposób pomiar obj¦to±ci kuli jest pomiarem po-

±rednim, a wielko±ci¡ mierzon¡ bezpo±rednio jest promie«

r

. Zaªó»my, »e znamy maksymalny bª¡d pomiaru bezpo-

±redniego, czyli znamy ∆r. Pami¦tamy, »e oznacza to, i»

prawdziwa warto±¢ promienia r mie±ci si¦ gdzie± w prze-

dziale

¡

r −∆r, r +∆r

¢

. Stawiamy pytanie: w jakim prze-

dziale dopuszczalnych warto±ci znajduje si¦ prawdziwa

warto±¢ obj¦to±ci kuli?

Jak pokazuje Rys. 3, przedziaªowi mo»liwych warto-

r

V

V

r

Dr

Dr

Dr

V=4/3

r

p

3

dV

dr

DV

DV

Rysunek 3: Przedziaªowi mo»liwych warto±ci promienia ku-

li

¡

r − ∆r, r + ∆r

¢

, odpowiada pewien przedziaª mo»liwych

warto±ci obj¦to±ci (V − ∆V, V + ∆V ). Wielko±¢ ∆V mo»-

na z bardzo dobrym przybli»eniem uzna¢ za równ¡ ró»niczce

funkcji V (r), czyli ∆V = dV/dr · ∆r.

±ci r odpowiada pewien przedziaª (V − ∆V, V + ∆V ), w

którym mo»e si¦ znajdowa¢ prawdziwa warto±¢ obj¦to±ci.

Podczas dobrze zaplanowanych pomiarów, bª¦dy pomia-

rowe s¡ zwykle niewielkie. Zakªadamy wi¦c, »e bª¡d ∆r

jest niedu»y i stosuj¡c wzór (19) wielko±¢ ∆V przybli»a-

my przez ró»niczk¦ funkcji V (r), czyli:

∆V =

dV

dr

∆r.

(21)

Tak okre±lona warto±¢ ∆V wyznacza nam tzw. bª¡d mak-

symalny pomiaru obj¦to±ci.

Wykonajmy obliczenia dla przykªadowych warto±ci

liczbowych. Niech w wyniku pomiaru uzyskana warto±¢

promienia i bª¡d pomiaru wynosz¡:

r = 2, 64

cm, ∆r = 0, 01 cm.

(22)

Ze wzoru (20) otrzymujemy wtedy:

V = 24, 53299

cm

3

.

(23)

Aby oszacowa¢ bª¡d ∆V najpierw znajdujemy wzór na

pochodn¡ dV/dr. W tym celu korzystamy z tabeli wy»ej

podanych wzorów (wzór (6)) i otrzymujemy:

dV

dr

=

µ

4
3

πr

3

¶

0

=

4
3

π · 3 · r

2

= 4πr

2

.

(24)

Wstawiaj¡c ten wynik do wzoru (21), mamy::

∆V = 4πr

2

· ∆r,

(25)

co po podstawieniu warto±ci liczbowych daje ∆V = 0, 88

cm

3

. Ostatecznie zatem po zaokr¡gleniu wyniku (23):

V = (24, 53 ± 0, 88)

cm

3

.

(26)

POCHODNA CZSTKOWA

Dla funkcji wielu zmiennych f(x, y, z), jako uogólnienie

poj¦cia pochodnej, okre±lona jest tzw. pochodna cz¡st-

kowa. Pochodna cz¡stkowa po zmiennej x (ozn. ∂f/∂x)

zdeniowana jest jako granica:

∂f
∂x

= lim

∆x→0

f (x + ∆x, y, z) − f (x, y, z)

∆x

.

(27)

Analogicznie okre±lona jest pochodna cz¡stkowa po

zmniennej y i po zmniennej z:

∂f

∂y

= lim

∆y→0

f (x, y + ∆y, z) − f (x, y, z)

∆y

,

(28)

∂f

∂z

= lim

∆z→0

f (x, y, z + ∆z) − f (x, y, z)

∆z

.

(29)

Z denicji pochodnej cz¡stkowej wynika, »e obliczanie

pochodnej cz¡stkowej po jakiej± zmiennej nie ró»ni si¦

od obliczania zwykªej pochodnej, przy czym pozostaªe

zmienne nale»y w trakcie obliczania pochodnej trakto-

wa¢ jako wielko±ci staªe.

Na przykªad, je±li wykonujemy pochodn¡ po zmien-

nej x, wówczas y i z uznajemy za staªe, czyli funkcja
f (x, y, z)

na czas liczenia pochodnej staje si¦ jakby funk-

cj¡ tylko jednej zmennej x. Wszystkie podane wcze±niej

wzory (5)-(13) na pochodne funkcji jednej zmiennej maj¡

zatem zastosowanie równie» przy obliczaniu pochodnych

cz¡stkowych.

Podajmy kilka przykªadów obliczania pochodnej

cz¡stkowej.

4

Przykªad 1:

f = x

2

+ y

3

+ z

4

∂f
∂x

=

∂

∂x

(x

2

) +

∂

∂x

(y

3

) +

∂

∂x

(z

4

) =

= 2x + 0 + 0 = 2x,

∂f

∂y

=

∂

∂y

(x

2

) +

∂

∂y

(y

3

) +

∂

∂y

(z

4

) =

= 0 + 3y

2

+ 0 = 3y

2

,

∂f

∂z

=

∂

∂z

(x

2

) +

∂

∂z

(y

3

) +

∂

∂z

(z

4

) =

= 0 + 0 + 4z

3

= 4z

3

.

Wykorzystali±my tu wªasno±¢ (11), »e pochodna sumy

jest sum¡ pochodnych, oraz fakt, »e pochodna ze staªej

wynosi zero.

Przykªad 2:

f =

x

2

+ y

3

y

4

+ z

5

∂f
∂x

=

∂

∂x

µ

x

2

y

4

+ z

5

¶

+

∂

∂x

µ

y

3

y

4

+ z

5

¶

=

=

1

y

4

+ z

5

∂

∂x

(x

2

) + 0 =

2x

y

4

+ z

5

,

∂f

∂y

=

∂

∂y

(x

2

+ y

3

) · (y

4

+ z

5

) − (x

2

+ y

3

) ·

∂

∂y

(y

4

+ z

5

)

(y

4

+ z

5

)

2

=

=

(3y

2

) · (y

4

+ z

5

) − (x

2

+ y

3

) · (4y

3

)

(y

4

+ z

5

)

2

,

∂f

∂z

=

∂

∂z

(x

2

+ y

3

) · (y

4

+ z

5

) − (x

2

+ y

3

) ·

∂

∂z

(y

4

+ z

5

)

(y

4

+ z

5

)

2

=

=

0 · (y

4

+ z

5

) − (x

2

+ y

3

) · (5z

4

)

(y

4

+ z

5

)

2

=

−(x

2

+ y

3

) · (5z

4

)

(y

4

+ z

5

)

2

.

Przy liczeniu pochodnej cz¡stkowej po y i z zastosowali-

±my wzór na pochodn¡ ilorazu (13).

Przykªad 3:

f =

xy

x + y

∂f
∂x

=

∂

∂x

(xy) · (x + y) − (xy) ·

∂

∂x

(x + y)

(x + y)

2

=

=

(y) · (x + y) − (xy) · (1 + 0)

(x + y)

2

=

y

2

(x + y)

2

,

∂f

∂y

=

∂

∂y

(xy) · (x + y) − (xy) ·

∂

∂y

(x + y)

(x + y)

2

=

=

(x) · (x + y) − (xy) · (0 + 1)

(x + y)

2

=

x

2

(x + y)

2

.

Przy liczeniu pochodnej

∂

∂x

(xy)

skorzystali±my z wzoru

(6). Dzi¦ki temu, pami¦taj¡c »e y jest traktowane teraz

jak staªa, mamy:

∂

∂x

(xy) = y ·

∂

∂x

(x) = y · 1 = y

. Analo-

gicznie post¡pili±my licz¡c pochodn¡ cz¡stkow¡

∂

∂y

(xy)

,

co daªo nam w wyniku:

∂

∂y

(xy) = x ·

∂

∂y

(y) = x · 1 = x

.

RӛNICZKA ZUPEŠNA FUNKCJI

Ró»niczk¡ zupeªn¡ df funkcji f(x, y, z) nazywamy wy-

ra»enie:

df =

∂f
∂x

∆x +

∂f

∂y

∆y +

∂f

∂z

∆z.

(30)

Jak wida¢ jest to uogólniennie poj¦cia ró»niczki funkcji

dla funkcji wielu zmiennych.

Je»eli zmiana argumentów funkcji ∆x, ∆y, ∆z jest nie-

wielka, wówczas ró»niczka zupeªna funkcji df jest bardzo

dobrym przybli»eniem zmiany warto±ci funkcji ∆f wy-

woªanej zmian¡ warto±ci jej argumentów, czyli:

∆f ∼

=

∂f
∂x

∆x +

∂f

∂y

∆y +

∂f

∂z

∆z.

(31)

ZASTOSOWANIE RӛNICZKI ZUPEŠNEJ W

RACHUNKU BŠ†DÓW POMIAROWYCH

Przybli»enie (31) wykorzystywane jest w rachunku bª¦-

dów pomiarowych. Niech jaka± wielko±¢ zyczna dana

jest poprzez wyra»enie funkcyjne od wielko±ci mierzo-

nych bezpo±rednio. Na przykªad, u»ywaj¡c wahadªa ma-

tematycznego mo»na wyznaczy¢ przyspieszenie ziemskie

g

, mierz¡c bezpo±rednio jego dªugo±¢ l oraz okres T i

wstawiaj¡c do wzoru:

g =

4π

2

l

T

2

(32)

5

Powiedzmy, »e znamy maksymalne bª¦dy pomiarowe dªu-

go±ci ∆l oraz okresu ∆T . Jak obliczy¢ maksymalny bª¡d

wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego ∆g? Odwoªuj¡c

si¦ do przykªadu z wyznaczaniem obj¦to±ci poprzez po-

miar promienia, wydawa¢ by si¦ mogªo, »e nale»y, na

zasadzie uogólnienia wzoru (21), zastosowa¢ teraz wzór

(31), czyli:

∆g =

∂g

∂l

∆l +

∂g

∂T

∆T

wzór bª¦dny!

(33)

Z pewnych wzgledów powy»szy wzór nie jest jednak po-

prawnym wzorem na bª¡d maksymalny ∆g.

Otó» bª¦dy ∆l i ∆T s¡ z zaªo»enia wielko±ciami do-

datnimi. Wzór (33) jest poprawnym wzorem na zmian¦

funkcji g(l, T ) wªa±nie przy zmianie argumentów o +∆l

i +∆T . Tymczasem zmierzone warto±ci l i T mog¡ si¦

ró»ni¢ od rzeczywistych warto±ci dªugo±ci nici i okresu

o ±∆l i ±∆T . W zale»no±ci od wyboru znaku przy ∆l

i ∆T , uzyskujemy ró»ne wyniki na zmian¦ funkcji ∆g.

Niestety nie wiemy jaka jest warto±¢ rzeczywista mierzo-

nych wielko±ci zycznych l i T , wi¦c nie wiemy jaki znak

wybra¢. Jednak»e przy pewnym wyborze znaków przy ∆l

i ∆T , odchyªka ∆g przybierze warto±¢ maksymaln¡. Ta

wªa±nie maksymalna warto±¢ ∆g okre±la nam bª¡d mak-

symalny pomiaru przyspieszenia ziemskiego g.

Oczywi±cie ∆g b¦dzie maksymalne, gdy oba wyrazy

po prawej stronie równania (33) b¦d¡ dodatnie. W na-
szym przykªadzie, poniewa»

∂g

∂l

=

4π

2

T

2

> 0

oraz

∂g

∂T

=

−8π

2

l

T

3

< 0

, ∆g b¦dzie maksymalne, gdy do wzoru (33)

wstawimy +∆l i −∆T . Jednak by unikn¡¢ dwukrotne-

go pisania znaku minus (przy pochodnej i przy ∆T ),

wzór (33) zapisujemy dla przypadku maksymalnego ∆g

w nast¦puj¡cy sposób:

∆g =

¯

¯

¯

¯

∂g

∂l

¯

¯

¯

¯ ∆l +

¯

¯

¯

¯

∂g

∂T

¯

¯

¯

¯ ∆T.

(34)

Okre±lona wzorem (34) maksymalna mo»liwa odchyªka

∆g

zmierzonej warto±ci g od warto±ci rzeczywistej spo-

wodowana bª¦dami ±∆l i ±∆T jest poprawnym osza-

cowaniem bª¦du maksymalnego pomiaru przyspieszenia

ziemskiego g.

Wstawiaj¡c do wzoru (34) znalezione wyra»enia na po-

chodne cz¡stkowe, otrzymujemy jawny wzór na bª¡d ∆g:

∆g =

¯

¯

¯

¯

4π

2

T

2

¯

¯

¯

¯ ∆l +

¯

¯

¯

¯

−8π

2

l

T

3

¯

¯

¯

¯ ∆T,

(35)

do którego nale»y podstawi¢ zmierzone warto±ci l i T oraz

warto±ci bª¦dów ∆l i ∆T .

Ogólnie, je±li jaka± wielko±¢ zyczna wyra»a si¦ w for-

mie zale»no±ci funkcyjnej f(x, y, z) od mierzonych bez-

po±rednio wielko±ci x, y, z, które znamy z bª¦dem mak-

symalnym, odpowiednio ∆x, ∆y, ∆z, wówczas bª¡d mak-

symalny ∆f okre±lamy wzorem:

∆f =

¯

¯

¯

¯

∂f
∂x

¯

¯

¯

¯ ∆x +

¯

¯

¯

¯

∂f

∂y

¯

¯

¯

¯ ∆y +

¯

¯

¯

¯

∂f

∂z

¯

¯

¯

¯ ∆z.

(36)

W stosunku do wzoru na ró»niczk¦ zupeªn¡ mamy tu-

taj warto±ci bezwzgl¦dne pochodnych cz¡stkowych, bo-

wiem przy szacowaniu bª¦du maksymalnego ∆f zakªa-

damy sytuacj¦ najmniej korzystn¡, kiedy to przyczynki

pochodz¡ce od bª¦dów ±∆x, ±∆y, ±∆z si¦ kumuluj¡.

Obliczanie bª¦du maksymalnego za pomoca wzoru

(36) nazywa sie metod¡ ró»niczki zupeªnej.

Uwaga:

Je±li zale»no±¢ funkcyjna jest postaci:

f (x, y, z) = kx

a

y

b

z

c

,

(37)

gdzie a, b, c, k to staªe, wówczas po wyliczeniu pochod-

nych, wstawieniu do wzoru (36) i podzieleniu obustron-

nym równania przez f otrzymamy:

∆f

f

= |a|

¯

¯

¯

¯

∆x

x

¯

¯

¯

¯ + |b|

¯

¯

¯

¯

∆y

y

¯

¯

¯

¯ + |c|

¯

¯

¯

¯

∆z

z

¯

¯

¯

¯ .

(38)

Jest to wygodny wzór do wyliczana bª¦du wzgl¦dnego
∆f /f

dla wielko±ci danych wzorem (37).

Poniewa» wzór (38) mo»na uzyska¢ przez zlogarytmo-

wanie wzoru (37) i obustronne zró»niczkowanie, oblicza-

nie bª¦du maksymalnego przy u»yciu wyra»enia (38) na-

zywane jest metod¡ pochodnej logarytmicznej.