podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 2c

background image

AiR II rok czwartek nieparzysty

Podstawy automatyki - ćwiczenia

Lista nr 2

1)

Wyznaczyć opis w przestrzeni stanu dla równań

a)

u

y

dt

dy

dt

y

d

3

2

2

2

b)

u

dt

du

dt

u

d

dt

u

d

y

dt

dy

dt

y

d

dt

y

d

3

3

5

4

2

3

2

2

3

3

2

2

3

3

2)

Dla przykładu z zadania 1a wyznaczyć macierz tranzycyjną:
a) metodą odwrotnego przekształcenia Laplace’a
b) metodą diagonalizacji macierzy


3)

Rozwiązać równania stanu z zadania 1a przy następujących założeniach:
a) u(t)=0, y’(0)=0, y(0)=1
b) u(t)=2*1(t), y’(0)=y(0)=0

4)

Wyznaczyć transmitancję operatorową dla równań stanu wyznaczonych w
zadaniu 1


OPIS UKŁADÓW DYNAMICZNYCH W PRZESTRZENI STANÓW

D

B

A

sI

C

s

G

1

]

[

)

(

background image

Wyznaczanie równań stanu na podstawie równania różniczkowego

Metoda ogólna
W przypadku równania różniczkowego rzędu n-tego

d

n

y

dt

n

+ a

n-1

d

n-1

y

dt

n-1

+...+ a

1

dy

dt

+a

0

y= b

0

u


z prostym skladnikiem wymuszającym, jako zmienne stanu przyjmuje się

)

1

(

2

1

,

,

,

n

n

y

x

y

x

y

x

Wówczas otrzymujemy równania stanu

1

0

0

1

1

3

2

2

1

n

i

i

i

n

n

n

u

b

x

a

x

x

x

x

x

x

x

i równanie wyjścia

1

x

y

W przypadku równania różniczkowego rzędu n-tego z wymuszeniem zawierającym
pochodne

d

n

y

dt

n

+ a

n-1

d

n-1

y

dt

n-1

+...+ a

1

dy

dt

+a

0

y= b

m

d

m

u

dt

m

+ b

m-1

d

m-1

u

dt

m-1

+...+ b

1

du

dt

+b

0

u


wyznacza się opis metodą ogólną w postaci

u

c

c

c

x

x

x

x

a

a

a

a

x

x

x

x

n

n

n

n

n

n

2

1

1

2

1

1

2

1

0

1

2

1

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

u

c

x

x

x

y

n

0

2

1

0

0

1

Następnie stosujemy podstawienie :

u

c

x

y

o

1

,

u

c

u

c

x

u

c

x

y

o

o

1

2

1

'

'

'

, .........

Powyższe wyrażenia należy podstawić do równania różniczkowego, porównać stronami i
wyliczyć współczynniki

,....

,

,

2

1

c

c

c

o

Rozwiązywanie równań stanu


Rozwiązanie równania

Bu

Ax

x

spełniające warunek początkowy

0

0

)

(

x

t

x

ma postać:

t

t

t

A

t

t

A

d

Bu

e

x

e

t

x

0

0

)

(

)

(

)

(

0

)

(

At

e

t

)

(

- macierz tranzycyjna


W przypadku gdy

0

)

(

t

u

rozwiązanie ma postać:

0

0

)

(

)

(

x

t

x

e

t

x

At

background image



Wyznaczanie macierzy tranzycyjnej -metoda odwrotnego przekształcenia Laplaca

e

At

=L

-1

[(sI-A)

-1

]

Wyznaczanie macierzy tranzycyjnej -metoda diagonalizacji macierzy
Metoda ta oparta jest na następującej zależności

Minorem M

ij

nazywamy wyznacznik (n-1) - szego stopnia otrzymanego przez opuszczenie i-

tego wiersza i j-tej kolumny z wyznacznika n-tego stopnia
Dopełnienie algebraiczne D

ij

określa się z zależności D

ij

=(-1)

i+ j

M

ij

Macierz dołączoną macierzy kwadratowej A

d

otrzymuje się przez transpozycję macierzy,

w której każdy element A zastąpiono przez jego dopełnienie algebraiczne

A A

d

=A

d

A=|A| I

Macierz odwrotna A

-1

jest macierzą dołączoną podzieloną przez wyznacznik macierzy

|

A

|

A

A

d

1

A

-1

A=A A

-1

=I

Jeśli A jest macierzą o wymiarach n x n, to wyznacznik |A-

I| nazywa się wielomianem

charakterystycznym macierzy A
I - macierz jednostkowa, w której wszystkie elementy na przekątnej są równe 1
Równanie |A-

I|=0 nazywa się równaniem charakterystycznym

Pierwiastki równania charakterystycznego

1,

2,...,

n

stanowią wartości własne macierzy A

Wektor niezerowy V

i

który spełnia równanie AV

i

=

i

V

i

nazywa się wektorem własnym

macierzy A związanym z wartością własną

i

Wektory własne wyznacza się z następującego równania [A-

i

I ] V

i

=0

Jeśli

1,

2,...,

n

są pojedynczymi wartościami własnymi macierzy A, a wektory V

1

, V

2

,..., V

n

są wektorami własnymi macierzy A, to kolumny macierzy przekształcenia
diagonalizującego P
stanowią wektory własne macierzy A

P=[V

1

, V

2

,..., V

n

]

Jeśli macierz A ma postac

i wartości własne macierzy A są pojedyncze

1,

2,...,

n,

to macierz diagonalizująca P ma

postac


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 4b
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 4c
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 5b
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 3c
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 4d
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 4d
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 5a
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 1b
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 5a
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 4c
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 5b
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 2a
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 5a
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 4a
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 5b
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 1c
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 2b
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 1a
podstawy automatyki ćwiczenia lista nr 3a

więcej podobnych podstron