Wyższa Szkoła Gospodarki w Bydgoszczy

PRACOWNIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW

ĆWICZENIE 6:

Stany nieustalone – obwody drugiego rzędu

Wykorzystywany sprzęt:

S.C. 2075, płytka testowa nr 6.

Wprowadzenie

Stanem nieustalonym w obwodzie elektrycznym nazywamy proces zachodzący przy

przejściu obwodu elektrycznego z jednego do drugiego stanu ustalonego. Przejście z jednego

stanu ustalonego jest spowodowane włączaniem lub wyłączaniem źródeł energii, zmianą

konfiguracji obwodu lub jego parametrów. Na rysunku a przedstawiono przykład zmiany

parametrów obwodu (zmiana rezystancji obwodu), zaś na rysunku b

−

przykład zmiany

konfiguracji obwodu (odłączenie cewki indukcyjnej).

a) b)

W

R

1

R

2

R

1

W R

2

U C U C L

a) zmiana parametrów obwodu; b) zmiana konfiguracji obwodu

Stany nieustalone mogą wynikać z przyczyn zewnętrznych (procesy łączeniowe zwane też

komutacją wykonywane za pomocą łączników) lub przyczyn wewnętrznych (przebicia

izolacji uzwojeń maszyn i transformatorów, zwarcia elementów urządzeń włączonych do sieci

Przygotował Grzegorz Śmigielski

1

elektrycznej). Należy podkreślić, że wszystkie przyczyny wewnętrzne stanów nieustalonych

można przedstawić w postaci modelu komutacyjnego złożonego z łączników.

Znajomość procesów przebiegających w stanie nieustalonym jest w praktyce bardzo ważna,

gdyż umożliwia określenie powstających często wzrostów napięcia i natężenia w obwodzie,

co pozwala na odpowiedni dobór i konstrukcję aparatury łączeniowej i zabezpieczającej.

Zjawiska zachodzące w stanach nieustalonych wynikają ze zmian energii w pojemnościach i

indukcyjnościach obwodu. Indukcyjność gromadzi energię w polu magnetycznym równą:

2

2

i

L

W

L

=

zaś pojemność gromadzi energię w polu elektrycznym równą:

2

2

u

C

W

C

=

Zazwyczaj przy analizie stanu nieustalonego przyjmuje się, że komutacja zachodzi w chwili t

= 0. Czas stanu przejściowego jest zawsze większy od zera - wynika to z zasady, że energia

zgromadzona w obwodzie nie może zmienić się skokowo lecz w sposób ciągły. Z zasady tej

wywodzą się dwa podstawowe prawa komutacji z których korzystamy w obliczeniach stanów

nieustalonych:

1. Prąd płynący przez indukcyjność nie może zmieniać się skokowo, dlatego prąd

płynący w indukcyjności przed komutacją jest równy prądowi po komutacji tzn.

prąd ten nie zmienia się w momencie komutacji; w zapisie matematycznym to

prawo ma postać

i

L

(0

−

) = i

L

(0+)

2. Napięcie na kondensatorze nie może się zmienić skokowo, dlatego napięcie na

kondensatorze przed komutacją jest równe napięciu po komutacji; zapis

matematyczny tego prawa ma postać

u

C

(0

−

) = u

C

(0+)

Prąd w indukcyjności i napięcie na pojemności, będące miarą zapasu energii nazywamy

zmiennymi stanu obwodu elektrycznego.

Przykłady obliczeń stanów nieustalonych:

Przygotował Grzegorz Śmigielski

2

Obwód RC

a) b)

W t = 0 R

U

C

U

U C 0,63U

0

τ

t

1

t

Włączenie napięcia stałego do szeregowego układu RC

a) schemat układu; b) zależność napięcia na kondensatorze od czasu

Do układu RC przedstawionym na rysunku załączono wyłącznikiem W napięcie stałe U.

Napięcie na kondensatorze do chwili komutacji było równe 0 i zgodnie z II prawem

komutacji nie zmieni się ono w chwili włączenia zasilania [u

C

(0

−

) = u

C

(0+)], zaś po czasie t

1

kondensator naładuje się do napięcia U. Zadanie polega na znalezieniu zależności napięcia na

kondensatorze od czasu w okresie od 0 do t

1

.

1. Równanie napięć dla obwodu w chwili po komutacji wynosi:

U

u

i

R

C

=

+

ponieważ

dt

du

C

i

C

=

to

U

u

dt

du

RC

C

C

=

+

2. Określamy początkową wartość (t = 0) zmiennej stanu

0

)

0

(

=

C

u

3. Rozwiązanie niejednorodnego (z prawą stroną) równania różniczkowego znajdujemy w

postaci sumy dwóch składowych – swobodnej u

Cs

i wymuszonej u

Cw

. Składowa swobodna

jest rozwiązaniem równania różniczkowego jednorodnego (bez prawej strony)

RC

t

Сs

Ae

u

−

=

Składowa wymuszona jest obliczana za pomocą podstawienia

0

=

dt

du

C

Przygotował Grzegorz Śmigielski

3

stad

U

u

w

C

=

Rozwiązanie równania zapiszemy w postaci

U

Ae

u

RC

t

С

+

=

−

4. Stałą A w równaniu powyżej oblicza się przy podstawieniu t = 0

U

A

u

C

+

=

)

0

(

ponieważ

0

)

0

(

=

C

u

to

U

A

−

=

5. Ostateczne rozwiązanie równania wynosi

)

1

(

RC

t

C

e

U

u

−

−

=

Zatem napięcie na kondensatorze zwiększa się wykładniczo od 0 do U.

Po wprowadzeniu pojęcia stałej czasowej

τ

przebiegu wykładniczego:

τ

= RC

ostateczna postać rozwiązania równania wynosi:

)

1

(

τ

t

C

e

U

u

−

−

=

Przyjmuje się, że stan ustalony następuje przy osiągnięciu przez napięcie na kondensatorze

wartości 0,98 U, a zachodzi to czasie t

1

≈

(3

÷

5)

τ

. Stałą czasową można określić mierząc

napięcie na kondensatorze po czasie t =

τ

)

1

(

)

(

1

−

−

=

e

U

u

C

τ

=

U

63

,

0

Obwód RL

Obliczenie stanu nieustalonego dla przykładu przedstawionego na rys poniżej (włączenie

zasilania gałęzi szeregowej LR) przebiega podobnie jak w poprzednim przykładzie. Algorytm

obliczeń pozostaje bez zmian:

a) b)

W t = 0 R

i

U L 0,63

0

τ

t

U

R

U

R

Rys. 10.3. Włączenie napięcia stałego do szeregowego układu RL

a) schemat układu; b) przebieg czasowy prądu w obwodzie

Przygotował Grzegorz Śmigielski

4

1.

;

U

Ri

dt

di

L

L

=

+

2.

0

)

0

(

=

L

i

;

3.

R

U

Ae

i

R

U

i

Ae

i

L

tR

L

вын

L

L

tR

св

L

+

=

=

=

−

−

;

;

.

.

;

4.

R

U

A

R

U

A

i

L

−

=

+

=

;

)

0

(

;

5.

)

1

(

τ

t

L

e

R

U

i

−

−

=

,

gdzie

τ

- stała czasowa przebiegu

Przygotował Grzegorz Śmigielski

5

Obwód RLC

Analiza stanów nieustalonych obwodów z jednym elementem reaktancyjnym nie przedstawia

jak przytoczono powyżej większych trudności. W obwodach z dwoma elementami

reaktancyjnymi (indukcyjnością i pojemnością) –algorytm obliczeń pozostaje ten sam, ale

pewne komplikacje wynikają w 2, 3 i 4 punktach algorytmu.

Jako przykład obliczeń przedstawiono analizę załączenia napięcia stałego do szeregowego

układu RLC

1. Równanie różniczkowe dla obwodu po komutacji:

U

u

dt

di

L

Ri

C

=

+

+

(1)

a)

W t = 0 R

L

U C

b) c)

i

i

∆

=

i

1

i

2

0 t 0 t

T

=

i

1

i

2

π

ω

Włączenie napięcia stałego do szeregowego układu RLC

a) schemat układu; b, c) przebiegi czasowe prądu w układzie

Przez wszystkie elementy obwodu płynie ten sam prąd:

dt

du

C

i

i

C

L

=

=

.

2. Ustalenie warunków początkowych dla t = 0:

U

dt

di

L

i

u

C

=

=

=

)

0

(

0

)

0

(

0

)

0

(

(2)

Przygotował Grzegorz Śmigielski

6

3. Po zróżniczkowaniu równania (1) i po przemnożeniu przez C otrzymamy:

.

0

2

2

=

+

+

i

dt

i

d

CL

dt

di

CR

(3)

Po założeniu, że składowa wymuszona i

w

= 0 rozwiązanie równania 3 zapisujemy w postaci:

t

p

t

p

e

A

e

A

i

2

1

2

1

+

=

(4)

gdzie A

1

i A

2

są nieznanymi stałymi całkowania, a p

1

i p

2

są pierwiastkami równania

charakterystycznego zestawionego z równania różniczkowego 3 drogą zamiany zmiennych

operatorem różniczkowania p .

Równanie charakterystyczne ma postać:

0

1

2

=

+

+

p

R

C

p

L

C

,

(5)

a jego pierwiastki są równe:

LC

L

R

L

R

p

1

4

2

2

2

2

,

1

−

±

−

=

. (6)

a po podstawieniu

L

R

2

=

δ

oraz

C

L

L

1

0

=

ω

2

0

2

2

,

1

ω

δ

δ

−

±

−

=

p

(7)

4. Aby znaleźć stałe całkowania, należy najpierw zróżniczkować równanie 4. Wynik

różniczkowania:

t

p

t

p

e

p

A

e

p

A

dt

di

2

1

2

2

1

1

+

=

(8)

Wówczas z równań (2, 4 i 7) dla t = 0 otrzymujemy układ równań:

2

1

0

A

A

+

=

2

2

1

1

p

A

p

A

L

U

+

=

(9)

skąd:

2

1

2

2

1

1

1

1

p

p

L

U

A

p

p

L

U

A

−

−

=

−

=

(10)

5. Rozwiązanie równania 4 zapisujemy w postaci:

t

p

t

p

e

p

p

L

U

e

p

p

L

U

i

2

1

2

1

2

1

1

1

−

−

−

=

(11)

Charakter stanu nieustalonego zależy od relacji dwu wielkości (patrz równanie 7):

Przygotował Grzegorz Śmigielski

7

δ



−

współczynnika tłumienia;

ω

0

−

pulsacji rezonansowej obwodu (a więc częstotliwości

rezonansowej obwodu f

0

) gdzie

ω

0

= 2

π

f

0

.

Dla

δ

>

ω

0

- pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste, ujemne i różne.

Prąd w stanie nieustalonym oblicza się z równania:

)

(

2

2

1

2

0

2

t

p

t

p

e

e

L

U

i

−

−

=

ω

δ

(12)

Dla takiego przypadku przebieg prądu ma charakter aperiodyczny.

Dla

δ

<



ω

0

- pierwiastki równania charakterystycznego są pierwiastkami zespolonymi

sprzężonymi, a przebieg prądu ma charakter drgań zanikających i określony jest równaniem:

t

e

L

U

i

t

ω

ω

δ

sin

−

=

(13)

gdzie

ω

−

pulsacja (częstotliwość) własna obwodu z uwzględnieniem tłumienia

2

2

0

δ

ω

ω

−

=

.

Przebieg stanu nieustalonego dla tego przypadku przedstawiono na rysunku. Stosunek

wartości dwóch chwilowych prądu w odstępie okresu T charakteryzuje właściwości drgań

obwodu i nosi nazwę dekrementu tłumienia. Dekrement tłumienia

∆

określa się ze wzoru:

T

e

δ

=

∆

(14)

Na rysunku c pokazano graficzny sposób wyznaczenia dekrementu tłumienia przez

porównanie dwóch wartości chwilowych prądu.

Zadanie:

Zbudować układ szeregowy RLC.

Parametry układu: L = 0,56 mH C = 0,1 uF

Obliczyć wartość częstości rezonansowej układu

LC

1

0

=

ω

, wyznaczyć zakres rezystancji

dla których spełniony jest warunek

δ

>

ω

0

(1) oraz warunek

δ

< 

ω

0

(2).

Wykonać interfejs pomiarowy zgodnie z rysunkiem umożliwiający pomiar napięcia na

rezystorze w funkcji czasu i zapisanie jego przebiegu do pliku tekstowego.

Przygotował Grzegorz Śmigielski

8

Ikonę DAQ Asistant pobrać z Functions->Measurement I/O NI DAQmx. Typ sygnału w

kreatorze wybrać jako NRSE – pozostałe ustawienia w zależności od wybranego rezystora

podano niżej.

Ikonę Write Meas File Functions pobrać z Functions->File I/O. Ustawienia ikony Write

Meas File jak na rysunku poniżej, plik utworzyć w katalogu roboczym.

Wykonać pomiary: dla rezystancji spełniającej 1 warunek (ustawić Rate na 50 k, Sample To

Read na 50 k). oraz dla rezystancji spełniającej 2 warunek (ustawić Rate na 250 k, Sample

To Read na 50 k).

Na podstawie wygenerowanych plików utworzyć wykresy w Excelu.

W sprawozdaniu umieścić wykresy uzyskanych przebiegów, obliczenia, komentarze, wnioski.

Przygotował Grzegorz Śmigielski

9

DODATEK 1)

Oznaczenie liczbowe rezystorów

Producenci podają w oznaczeniach rezystorów tylko najważniejsze parametry, czyli

rezystancję nominalną, tolerancję (wyrażoną w procentach klasę dokładności) i moc

znamionową. W przypadku małych oporników gdzie nie ma miejsca napisy stosuje się

oznaczenie kodowe: cyfrowo-literowe lub barwnych pasków. W oznaczeniu cyfrowo-

literowym IEC w miejscu przecinka dziesiętnego znajduje się litera oznaczająca mnożnik: R

= 1, K=1000, M=1000000. W standardzie MIL trzecia cyfra oznacza mnożnik przez który

trzeba pomnożyć dwie pierwsze liczby.

Przykład

oznaczenie IEC oznaczenie MIL

rezystancja

R57

R57

0,57 Ω

6R8

6R8

6,8 Ω

27R

270

27 Ω

820R, K82

821

820 Ω

4K7

472

4,7 k Ω

56K

563

56 k Ω

470K, M47

474

470 k Ω

2M7

275

2,7 M Ω

56M

566

56 M Ω

oznaczenie:

N

M

K

J

G

H

tolerancja:

30 %

20 %

10 %

5 %

2 %

1 %

DODATEK 2)

Kod paskowy rezystorów

W systemie znakowania cztero-paskowym dwa pierwsze oznaczają wartość rezystancji, a

trzeci mnożnik przez który należy pomnożyć te dwie pierwsze liczby. Czwarty pasek to

dopuszczalna tolerancja.

Kod pięcio-paskowy stosowany jest przy rezystorach o niskiej tolerancji błędu. Tutaj wartość

rezystancji wskazują trzy pierwsze paski, czwarty to mnożnik, a piąty tolerancja. Jeśli

oznaczenie zawiera sześć pasków to ten szósty oznaczą współczynnik temperaturowy.

Przygotował Grzegorz Śmigielski

1

kolor

liczby

znaczące

mnożnik

tolerancja

srebrny

-

0,01

10 %

złoty

-

0,1

5 %

czarny

0

1

-

brązowy

1

10

1 %

czerwony

2

100

2 %

pomarańczowy

3

1000

15 %

żółty

4

10000

-

zielony

5

100000

0,5 %

niebieski

6

1000000

1,25%

fioletowy

7

10000000

0,1 %

szary

8

100000000

-

biały

9

1000000000

-

brak

x

-

-

20 %

Przykład:

Wartość rezystancji: 1,6 kΩ, 20 % tolerancji.

DODATEK 3)

Oznaczanie pojemności kondensatorów przy pomocy wartości liczbowej

Pojemność kondensatora jest podawana w pikofaradach (10

-12

F).

Pierwsze dwie cyfry to liczby znaczące, natomiast trzecia jest mnożnikiem (podobnie jak dla

rezystancji)

Przykład:

10

4

=

10

* 10

4

pF = 10 * 10

-8

F = 100 nF

12

1

=

12

* 10

1

pF = 12 * 10

-11

= 120 pF

Przygotował Grzegorz Śmigielski

1