MECHANIKA BUDOWLI

Architektura sem. II letni

Warunki równowagi: SIŁY

WEWNĘTRZNE

dr inż. Marek BARTOSZEK

KTKB p.126 WB

[e-mail]

http://kateko.rb.polsl.pl/

22 marzec 2011

Za wszystkie uwagi odnośnie poniższych wykładów z góry dziękuję.

Jeśli ktoś chciałby wykorzystać te materiały to proszę o kontakt.

www.rb.polsl.pl

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

2

Warunki równowagi statycznej

Przypomnienie zasad tworzenia warunków

równowagi dla dowolnego ustroju

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

3

Równowaga statyczna konstrukcji

●

Statyka

budowli

–

zajmuje się konstrukcjami, na które działają zrównoważone
układy sił

(lub – zgodnie z I zasadą dynamiki Newtona – nie działają żadne

siły)

;

–

takie obiekty pozostają w spoczynku – są

statyczne

(lub

poruszają się ruchem jednostajnym prostoliniowym)

.

●

Budowla

– t

o przedmiot inżynierskiej działalności człowieka

na

stale związany z podłożem

(gruntem lub nawet inną budowlą) .

●

Związanie z podłożem

unieruchamia budowlę

odróżniając ją

od

mechanizmów

(użytecznych na Wydziale Mechanicznym) .

●

Skoro

budowla jest nieruchoma to oznacza, że siły na nią działające

są w równowadze statycznej

, tzn.:

obciążenia zewnętrzne jako siły

czynne są w równowadze z reakcjami podpór, czyli siłami biernymi.

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

4

Równowaga statyczna konstrukcji

Przypomnienie: więzy i reakcje

●

Pojedynczy element

na płaszczyźnie

ma trzy stopnie

swobody

i aby go unieruchomić potrzeba

trzech więzów

łączących go z podłożem

●

Ustrój złożony z

„e” elementów

ma

3

*

e

stopni swobody i

tyle właśnie potrzebuje więzów aby go unieruchomić. Te
więzy łączą elementy:

–

pomiędzy sobą – to

więzy wewnętrzne

,

–

lub z podłożem – to

więzy zewnętrzne

.

●

W każdym

z więzów

, na skutek działania obciążeń

pojawiają się

siły bierne –

reakcje

.

●

Aby wyznaczyć

reakcje

więzów

układa się

warunki

równowagi statycznej

.

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

5

Równowaga statyczna konstrukcji

stat. wyznaczalność i geometr. niezmienność

●

Warunek konieczny statycznej wyznaczalności

:

W=

s.s.

-(

w.w.

+

w.z.

)=3*

e

-(2*

p

+

r

)=0

●

Ustrój

o takiej samej liczbie więzów jak stopni swobody

(W=0)

może być

statycznie wyznaczalny

– z warunków

równowagi statycznej można wyznaczyć nieznane reakcje
więzów, ale więzy muszą być właściwie rozmieszczone.

●

Ustrój

o większej liczbie więzów niż stopni swobody

(W<0)

jest

statycznie niewyznaczalny

– nie ma wystarczającej

liczby niezależnych równań równowagi aby wyznaczyć
reakcje nadliczbowych więzów.

●

Jeśli ustrój ma

mniej więzów niż stopni swobody

(W>0) to

nie można go unieruchomić – jest

mechanizmem

(jest

geometrycznie zmienny

i

statycznie niewyznaczalny

).

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

6

Równowaga statyczna konstrukcji

Przypomnienie: dobór warunków równowagi

●

Liczba niezależnych równań równowagi

ułożonych

dla

całego ustroju

jest stała:

w 2D są tylko 3 takie równania

.

●

W ustroju złożonym z

„e” elementów

jest w sumie

3*e

nieznanych reakcji więzów zewnętrznych i wewnętrznych.

●

Kolejne warunki równowagi

– poza trzema dla całości –

układa się

dla dowolnej części ustroju

(jednej lub kilku).

●

Więzy

łączące

wydzieloną

część konstrukcji z resztą

ustroju

zastępuje się

siłami wewnętrznymi

,

działającymi na

obie części konstrukcji z przeciwnymi zwrotami

.

●

Każda dowolna

, nawet najmniejsza, wydzielona

część

konstrukcji

musi

być w równowadze – czyli

spełniać

ułożone dla niej warunki równowagi (jak cała konstrukcja)

.

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

7

Warunki równowagi statycznej

Warunki równowagi dla części ustroju

Przekrój przez przegub – siły wewnętrzne

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

8

Warunki równowagi statycznej

Reakcje wyznaczone w ostatnim przykładzie

Schemat statyczny ramy

stat.

wyznaczalnej i geom. niezmiennej

Przyjmijmy w ostatnim zadaniu

α

=60°

oraz P=12*2

0.5

kN

Poprzednio wybrane równania

pozwalają obliczyć reakcje:

L

P

=12*2

0.5

kN

r=3

H

A

M

V

A

B

C

D

H

D

P

y

P

x

r=1

p=1

L/2

L/2

α

x

y

M =−PL∗[

1
2



1
2



3

2

]=

=−

2



3

4

PL

H

A

=−

P

x

−

H

D

=−

1
2

P−



3

4

P=

=−

2



3

4

P

V =P

y

=



3

2

P

H

D

=

1

2

P∗



3

2

=



3

4

P

4 rakcje
w. zewn.

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

9

Warunki równowagi statycznej

Oswobodzenie z więzów zewnętrznych

VI zasada statyki (zasada

oswobodzenia z więzów)

mówi, że:

każde ciało można oswobodzić

z więzów, zastępując ich
działanie reakcjami,

a następnie rozpatrywać je
oddzielnie jako ciało
swobodne, znajdujące się

pod działaniem sił czynnych
i biernych (obciążeń i reakcji

więzów).

Zgodnie z tym aksjomatem

odrzucamy

podpory

a

pozostawiamy odpowiednie

reakcje

– jak na rysunku.

L

P

=12*2

0.5

kN

H

A

M

V

A

B

C

D

H

D

P

y

P

x

p=1

L/2

L/2

α

L

x

y

M =−

2



3

4

PL

H

A

=−

2



3

4

P

V =



3

2

P

H

D

=



3

4

P

4 rakcje w. zewn.

P

y

=



3

2

P

P

x

=

1

2

P

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

10

Warunki równowagi statycznej

Siły wewnętrzne

jako „reakcje”

więzów wewn.

Przegub B to

dwa więzy

wewnętrzne

blokujące

możliwość wzajemnego
przesuwu obu części
w dwóch kierunkach.

Można “rozciąć„ przegub B

zastępując

dwa więzy

wewnętrzne

w przegubie

dwoma

„reakcjami” – zgodnie

z

aksjomatem oswobodzenia

z więzów

.

Przegub nie blokuje obrotu

(brak odpowiedniego więzu)

więc nie ma tam momentu
skupionego (

M

B

=0).

x

y

H

B

V

B

H

B

V

B

H

A

M

V

A

B

L

e1

Przekrój I-I przez przegub

L

P

C

D

H

D

α

L/2

L/2

e2

Ι

Ι

Przegub jednokrotny

p=1

, to dwa

więzy

wewnętrzne:

2*

p=2 w.w.

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

11

Warunki równowagi statycznej

Siły wewnętrzne – równowaga dla części ustroju

Więzy wewnętrzne

przesuwu

zastąpiono dwoma

„reakcjami”

więzów wewn

.

–

siłami wewnętrznymi:

H

B

oraz

V

B

.

Siły wewnętrzne

H

B

i V

B

przyłożono do obu części

z przeciwnymi zwrotami,
gdyż każda z części
oddziałuje na drugą z taką

samą siłą ale w przeciwnym
kierunku – zgodnie

z zasadą

akcji i reakcji (V zasada
statyki).

Przegub jednokrotny

p=1

, to dwa

więzy

wewnętrzne:

2*

p=2 w.w.

x

y

H

B

V

B

H

B

V

B

L

P

C

D

H

D

α

L/2

L/2

e2

H

A

M

V

A

B

L

e1

Ι

Ι

Przekrój I-I przez przegub

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

12

Warunki równowagi statycznej

Siły wewnętrzne – równowaga dla części ustroju

Siły wewnętrzne H

B

i V

B

są

nieznane, tak samo jak (były
nieznane)

reakcje więzów

zewn (reakcje podporowe)

.

Element “

e2

” ma 3 więzy:

1 zewn

. w podporze D oraz

2 wewn.

w przegubie B.

Element “

e1

” ma 5 więzów:

3 zewn.

w podporze A oraz

2 wewn.

w przegubie B.

Cała rama ma w sumie

6

różnych niewiadomych

(w 6

więzach blokujących 6 stopni

swobody – statycznie
wyznaczalnej ramy).

Przegub jednokrotny

p=1

, to dwa

więzy

wewnętrzne:

2*

p=2 w.w.

x

y

H

B

V

B

H

B

V

B

L

P

C

D

H

D

α

L/2

L/2

e2

H

A

M

V

A

B

L

e1

Ι

Ι

Przekrój I-I przez przegub

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

13

Warunki równowagi statycznej

Siły wewnętrzne – równowaga dla części ustroju

Reakcję

H

D

wyznaczyliśmy

już z równania

Σ

M

B

(C)

=0,

które jest warunkiem
równowagi dla części
konstrukcji: elementu “e2”.

Pozostały dwie niewiadome e2:

H

B

, V

B

(1 równ. z 1 niewad.)

.

Obliczymy je z kolejnych dwóch

warunków równowagi

ułożonych dla części e2.

Mamy nieskończenie wiele kombinacji

warunków równowagi dla e2,
przeważnie są zależne ale dla
pojedynczej części w 2D zawsze jest
wiele takich trójek warunków, które są
niezależne.

Przegub jednokrotny

p=1

, to dwa

więzy

wewnętrzne:

2*

p=2 w.w.

x

y

H

B

V

B

H

B

V

B

L

P

C

D

H

D

α

L/2

L/2

e2

H

A

M

V

A

B

L

e1

Ι

Ι

Przekrój I-I przez przegub

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

14

Warunki równowagi statycznej

Siły wewnętrzne – równowaga dla części ustroju

Przykładowo

H

B

i

V

B

można

obliczyć z warunków dla „e2”:

W ten sposób obliczymy

wartości

sił wewnętrznych

w

przekroju I-I

przez przegub

B, w którym moment

M

B

=0

.

Mając siły

H

B

i

V

B

można by

obliczyć reakcje

H

B

, V, M

z

3 niezależnych warunków

równowagi

ułożonych

wyłącznie

dla elementu „e1”

.

Oczywiście już je znamy.

Przegub jednokrotny

p=1

, to dwa

więzy

wewnętrzne:

2*

p=2 w.w.

x

y

H

B

V

B

H

B

V

B

L

P

C

D

H

D

P

y

P

x

α

L/2

L/2

e2

H

A

M

V

A

B

L

e1

Ι

Ι

Przekrój I-I przez przegub

∑

P

y

=

0

oraz

∑

M

C

=

0

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

15

Warunki równowagi statycznej

Warunki równowagi dla części ustroju

Siły wewnętrzne w przekroju

przez węzeł sztywny

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

16

Warunki równowagi statycznej

Siły wewnętrzne – w sztywnym węźle

Podobny przekrój można

wykonać w dowolnym

miejscu – np przez węzeł C.

Jest to węzeł sztywny

– z

trzema

więzami

wewnętrznymi

, więc po

rozcięciu trzeba je zastąpić

trzema niewiadomymi

siłami

wewnętrznymi

:

H

C

, V

C

, M

C

.

Oczywiście muszą one działać

jednakowo na obie części
ustroju lecz mieć przeciwne

zwroty – zgodnie

z V. zasadą

akcji i reakcji

.

Sztywny węzeł to

trzy

więzy wewnętrzne

x

y

L

C

D

H

D

H

A

M

V

A

B

L

e1

ΙΙ

ΙΙ

Przekrój II-II
przez węzeł
sztywny

P

α

L/2

L/2

V

C

H

C

M

C

p=1

H

C

V

C

M

C

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

17

Warunki równowagi statycznej

Siły wewnętrzne – równowaga dla części ustroju

Na części C-D są

4

niewiadome

:

H

C

, V

C

, M

C

i

H

D

a na części A-B-C jest aż 6

niewiadomych

:

H

C

, V

C

, M

C

i

H

A

, V

A

, M

A

.

W sumie

mamy

siedem niewiadomych

.

Dla części

C-D ułożymy

3,

dla A-B-C

4 niezależne war.

równowagi, razem 7 równań.

Jednak najlepiej najpierw

wyznaczyć

reakcje podpór

a dopiero później tylko 3
dodatkowe nieznane siły.

wewnętrzne:

H

C

, V

C

, M

C

.

Sztywny węzeł to

trzy

więzy wewnętrzne

x

y

L

C

D

H

D

H

A

M

V

A

B

L

e1

ΙΙ

ΙΙ

Przekrój II-II
przez węzeł
sztywny

P

α

L/2

L/2

V

C

H

C

M

C

p=1

H

C

V

C

M

C

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

18

Warunki równowagi statycznej

Warunki równowagi dla części ustroju

Siły wewnętrzne w dowolnym przekroju pręta

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

19

Warunki równowagi statycznej

Siły wewnętrzne – dowolny przekrój

Podobny przekrój można

wykonać w dowolnym

miejscu np. w

¼ pręta C-B

.

Dwie części jednego pręta

łączą się w sposób sztywny.

W takim połączeniu w

2D

są

trzy więzy wewnętrzne

(w

3D byłoby 6 więzów

).

Więzy

w miejscu rozcięcia

zastępujemy

siłami

wewnętrznymi

:

H

α

, V

α

, M

α

.

Działają one

jednakowo na obie

części lecz z przeciwnymi
zwrotami

.

Sztywny węzeł to

trzy

więzy wewnętrzne

x

y

L

C

D

H

D

L/4

α

α

Przekrój

α

-

α

prostopadły

do osi pręta

H

A

M

V

A

B

L

e1

p=1

L/4

P

α

L/2

V

α

H

α

M

α

V

α

H

α

M

α

X

α

=

¼ L

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

20

Warunki równowagi statycznej

Siły wewnętrzne – dowolny przekrój

Podobnie jak poprzednio mamy

7 niezależnych równań

równowagi statycznej ustroju

(3 dla całości i 4 dla części),
z których wyznaczymy

7 niewiadomych

:

H

α

, V

α

, M

α

oraz

H

D

, H

A

, V

A

, M

A

.

Aby wyznaczyć nieznane

siły

wewnętrzne

:

H

α

, V

α

, M

α

w

przekroju

α

w tym

przypadku, najlepiej najpierw

obliczyć

reakcje podpór

dla

całego (niepodzielonego)
ustroju (nie zawsze możliwe).

W dowolnym przekroju

pręta w 2D mamy

3 więzy wewnętrzne

x

y

L

C

D

H

D

L/4

α

α

Przekrój

α

-

α

prostopadły

do osi pręta

H

A

M

V

A

B

L

e1

p=1

L/4

P

α

L/2

V

α

H

α

M

α

V

α

H

α

M

α

X

α

=

¼ L

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

21

Warunki równowagi statycznej

Siły wewnętrzne – dowolny przekrój

Znając

reakcje

:

H

D

, H

A

, V

A

, M

A

,

obliczymy

siły wewnętrzne:

H

α

,

V

α

, M

α

(

przekrojowe

) np. z 3

warunków równowagi dla
części

α

-

C

-

D

:

Wartości

sił

, które obliczymy

z równań dla drugiej części,

muszą być takie same więc
używa się ich do sprawdzenia

W dowolnym przekroju

pręta w 2D mamy

3 więzy wewnętrzne

x

y

L

C

D

H

D

L/4

α

α

Przekrój

α

-

α

prostopadły

do osi pręta

H

A

M

V

A

B

L

e1

p=1

L/4

P

α

L/2

V

α

H

α

M

α

V

α

H

α

M

α

∑

P

y

=

0 :

∑

P

x

=

0:

∑

M





D

=

0 :

V



=

0

H



=

H

D

=



3

4

P

M



=

H

D

∗

L=



3

4

PL

X

α

=

¼ L

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

22

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Funkcje sił wewn. wzdłuż osi pręta

Jak zmienią się wartości

sił

wewnętrznych:

po przesunięciu przekroju

α

-

α

wzdłuż osi pręta?

W powyższych równaniach nie

miało znaczenia położenia

przekroju x

α

=¼ L

więc

wartości sił były stałe dla
dowolnego przekroju

x

α

∈

<0,½L)

.

W dowolnym przekroju

pręta w 2D mamy

3 więzy wewnętrzne

x

y

L

C

D

H

D

L/4

α

α

Przekrój

α

-

α

prostopadły

do osi pręta

H

A

M

V

A

B

L

e1

p=1

L/4

P

α

L/2

V

α

H

α

M

α

V

α

H

α

M

α

V



=

0

H



=

H

D

M



=

H

D

∗

L

X

α

=

¼ L

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

23

Warunki równowagi statycznej

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Funkcje sił wewnętrznych

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

24

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Funkcje

sił wewn. wzdłuż osi pręta

Przesuńmy przekrój

α

-

α

aż

poza

siłę skupioną P.

Położenie przekroju opisuje
współrzędna:

x

α

∈

(½L, L>

.

Warunki równ. dla części

α

-C-D

będą tym razem

funkcjami

współrzędnej

x

α

:

W dowolnym przekroju pręta w 2D

mamy

3 więzy wewnętrzne

x

y

L

C

D

H

D

L/2

P

α

L/4

α

α

Przekrój

α

-

α

prostopadły

do osi pręta

H

A

M

V

A

B

L

e1

p=1

L/4

V

α

H

α

M

α

V

α

H

α

M

α

x

α

∈(

½L, L>

∑

P

y

=

0 :

∑

P

x

=

0:

∑

M





D

=

0 :

V





P

y

=

0

H



=

H

D



P

x

M





P

y

∗

x



−

L

2

=

H

D

∗

L

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

25

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Funkcje sił wewnętrznych

Wartości

sił wewnętrznych

w

przekroju

α

-

α

:

W tym przypadku

moment

przekrojowy M

α

jest funkcją

współrzędnej

x

α

∈

(½L, L>

;

pozostałe dwie

siły

są

funkcjami stałymi

.

Funkcje te można wykreślić

wzdłuż osi pręta!

W dowolnym przekroju pręta w 2D

mamy

3 więzy wewnętrzne

x

y

L

C

D

H

D

L/2

P

α

L/4

α

α

Przekrój

α

-

α

prostopadły

do osi pręta

H

A

M

V

A

B

L

e1

p=1

L/4

V

α

H

α

M

α

V

α

H

α

M

α

x

α

∈(

½L, L>

V



=



3

2

P

H



=



32

4

P

M



=



3

2

PL−

x





22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

26

Warunki równowagi statycznej

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Wykresy funkcji sił wewnętrznych

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

27

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta

Rozważmy prostszy ustrój -

belkę wolno-podpartą ze

wspornikiem jak na rysunku.

Najpierw obliczmy reakcje:

Ustrój składa się z

1 elementu

, który

ma

3 stopnie swobody w 2D

.

3 więzy zewn.

blokują te

3 st. swob

.

–

ustrój jest statycznie wyznaczalny

.

Te

3 liniowe więzy zewn.

nie przecinają się

w jednym punkcie –

ustrój jest

geometrycznie niezmienny

(warunek

wystarczający rozmieszczenia tych 3
więzów)

.

x

y

A

C

H

A

V

A

L/2

L/2

L/2

V

C

K=qL

2

/4

D

B

q

P=qL

∑

P

x

=

0:

∑

M

A

=

0 :

∑

M

B

=

0 :

V

C

L=Kq

L

2

∗

5
4

L

V

A

LKq

L

2

∗

L

4

=

0

H

A

=

P

H

A

=

qL ;V

C

=

7
8

qL ;V

A

=−

3
8

qL

Spr. ∑ P

y

=

0 :

V

A



V

C

=

q

1
2

L

−

3
8

qL

7
8

qL=

1
2

qL

L≡P

Dane:

q

, L

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

28

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta

Przyjmijmy początek układu

współrzędnych w punkcie

A

.

Osią OX będzie oś belki.

Dokonajmy przekroju

α−α

belki.

Położenie przekroju wyraźmy

współrzędną

x

α

∈

<0,3/2L>

.

Podpory i obciążenia (oraz

ewentualne węzły) dzielą

belkę na 3 przedziały:

I: A-B: x

α

∈

<0,½L)

II: B-C: x

α

∈

(½L,L)

III: C-D: x

α

∈

(L,3/2L>

x

y

α

α

y

x

α

x

A

H

A

V

A

C

L/2

L/2

V

C

K=qL

2

/4

D

B

q

P=q
L

II

III

I

H

A

=

qL ;V

C

=

7
8

qL ;V

A

=−

3
8

qL

Dane:

q

, L

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

29

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta

Więzy wewnętrzne

w

przekroju

α−α

zastąpimy

siłami

wewnętrzn. (przekrojowymi)

:

N

α

, T

α

, M

α

.

Nazwy

sił wewnętrznych

zależą

od ich działania w stosunku
do osi belki lub w stosunku

do

przekroju

( do osi):

N

– osiowa lub

n

ormalna

T, V

– poprzeczna lub

t

nąca

M

–

m

oment zginający.

W 3D jest 6 więzów i 6 sił wewn.:

N, Ty, Tz, My, Mz, Ms.

x

y

α

α

x

α

A

H

A

V

A

T

α

N

α

M

α

T

α

N

α

M

α

C

L/2

L/2

V

C

K=qL

2

/4

D

B

q

P=qL

H

A

=

qL ;V

C

=

7
8

qL ;V

A

=−

3
8

qL

Dane:

q

, L

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

30

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Zasady znakowania sił wewnętrznych

Zasady

znakowania

sił

wewnętrznych

:

-

dodatnia

siła osiowa

N

działa

od przekroju

– rozciąga

element w miejscu przekroju;

-

dodatnia

siła tnąca

T

kręci

zgodnie ze wskazówkami
zegara względem przekroju

;

-

dodatni

moment M

rozciąga

wybraną przez nas stronę

pręta

(na rysunku kropkami

oznaczono dolną stronę
pręta).

+

+

–

–

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

31

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Która strona belki jest rozciągana przez

M

Dodatni

moment M

rozciąga

wybraną przez nas stronę

pręta a ujemny przeciwną.

W belkach zwykle „wybiera się”

dolną stronę jako „dodatnią”.

x

y

M

α

P

P

T

α

N

α

rozciąganie

ściskanie

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

32

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta

Szybko określimy

wartości sił

wewnętrznych

zapisując

warunki równ.gi

dla wybranej

części ustroju, od razu
w przekształconej formie

:

po lewej stronie znaku „=”

zapisujemy

obliczaną siłę

;

po

prawej

pozostałe składniki

równania z właściwymi

znakami.

Część ustroju, dla której

będziemy sumowali siły
wybieramy przyjmując tam

początek układu współrzędn.
Tutaj jest to strona

A-

α.

x

y

α

α

x

α

A

H

A

V

A

T

α

N

α

M

α

T

α

N

α

M

α

C

L/2

L/2

V

C

K=qL

2

/4

D

B

q

P=qL

H

A

=

qL ;V

C

=

7
8

qL ;V

A

=−

3
8

qL

Dane:

q

, L

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

33

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Sposób obliczania sił przekrojowych (wewn.)

Siły wewnętrzne są sumami

odpowiednich sił działających

po jednej ze stron przekroju:

-

siła osiowa

N

jest =

sumie

wszystkich sił przyłożonych
po jednej stronie przekroju

i

równoległych do osi pręta

;

-

siła poprzeczna (tnąca)

T

jest

równa sumie wszystkich sił

po jednej stronie przekroju

i

prostopadłych do osi belki

;

-

moment zginający M

jest =

sumie momentów wszystkich

sił po jednej stronie przekroju

względem

śr. ciężk. przekr

.

x

y

α

α

x

α

A

H

A

V

A

T

α

N

α

M

α

T

α

N

α

M

α

C

L/2

L/2

V

C

K=qL

2

/4

D

B

q

P=qL

H

A

=

qL ;V

C

=

7
8

qL ;V

A

=−

3
8

qL

Dane:

q

, L

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

34

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta

Siły wewnętrzne w przedziale I:

A-B

,

x

α

∈

<0,½L)

:

„–”

gdyż

H

A

działa do ustroju;

„+

V

A

”

kręci wzgl. przekroju

zgodnie ze wskazówkami;

„+”

gdyż

V

A

wygina koniec

pręta w górę rozciągając

zaznaczone

włókna dolne.

x

y

N



=−

H

A

=−

qL

α

α

y x

α

A

H

A

V

A

T

α

N

α

M

α

T

α

N

α

M

α

C

L/2

L/2

V

C

K=qL

2

/4

D

B

q

P=qL

T



=

V

A

=−

3
8

qL

M



=

V

A

∗

x



=−

3
8

qL∗x



H

A

=

qL ;V

C

=

7
8

qL ;V

A

=−

3
8

qL

Dane:

q

, L

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

35

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta

Siły wewnętrzne w przedziale

II:

B-C

,

x

α

∈

(½L,L)

:

gdyż

P

działa „od przekroju”

a

momentu skupionego K

nie rzutuje się na żaden kier.;

gdyż

P

działa prostopadle

a

momentu

nie rzutuje się;

„+K”

gdyż

K

rozciąga

zaznaczone włókna dolne –
kręci w tę stronę co

V

A

.

x

y

N



=−

H

A



P0

=

0

α

α

x

α

y

A

H

A

V

A

L/2

B

T

α

N

α

M

α

T

α

N

α

M

α

C

L/2

V

C

D

q

P=qL

K=qL

2

/4

T



=

V

A



00

=−

3
8

qL

M



=

V

A

∗

x





K

H

A

=

qL ;V

C

=

7
8

qL ;V

A

=−

3
8

qL

Dane:

q

, L

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

36

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta

Siły wewnętrzne w przedziale

III:

C-D

,

x

α

∈

(L, 3/2L>

:

gdyż nic nowego wzdłuż osi;

gdyż

V

C

kręci zgodnie a

q

przeciwnie do pierwszej skł.;

gdyż

V

C

rozciąga zaznaczony

dół jak

V

A

a

q

przeciwną str.

x

y

N



=−

H

A



P

=

0

α

α

x

α

y

A

H

A

V

A

q

K=qL

2

/4

P=qL

L/2

B

L/2

C

V

C

T

α

N

α

M

α

T

α

N

α

M

α

D

q

M



=

V

A

∗

x





K



V

C

∗

x



−

L−q∗



x



−

L

2

2

T



=

V

A



V

C

−

q∗ x



−

L

=

4
8

qL−q∗x



H

A

=

qL ;V

C

=

7
8

qL ;V

A

=−

3
8

qL

Dane:

q

, L

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

37

II

III

I

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta

W zależności od przedziału

otrzymaliśmy następujące

funkcje sił wewnętrznych:

osiowe:

tnące:

momenty:

x

y

N



=−

H

A



P

T



=

V

A



V

C

−

q∗ x



−

L

M



=

V

A

∗

x





K



V

C

∗

x



−

L−q∗



x



−

L

2

2

I i II

III

I

II i III

III

II

I

H

A

=

qL ;V

C

=

7
8

qL ;V

A

=−

3
8

qL

A

C

H

A

V

A

L/2

L/2

L/2

V

C

K=qL

2

/4

D

B

q

P=qL

Dane:

q

, L

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

38

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta

Po podstawieniu obc. i reakcji:

- osiowe:

- tnące:

- momenty:

x

y

N



II

=

N



III

=

0

T



I

=

T



II

=−

3
8

qL

M



II

=−

3
8

qL∗x





1

4

qL

2

N



I

=−

qL

T



III

=

3
2

qL−q∗x



M



I

=−

3

8

qL∗x



M



III

=−

1
2

q x



2



3
2

qL x



−

9
8

qL

2

II

III

I

H

A

=

qL ;V

C

=

7
8

qL ;V

A

=−

3
8

qL

A

C

H

A

V

A

L/2

L/2

L/2

V

C

K=qL

2

/4

D

B

q

P=qL

Dane:

q

, L

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

39

II

III

I

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta

Wykreślmy momenty zginające:

- przedział I (f. liniowa):

- przedział II (f. liniowa):

- przedział III (f. kwadratowa):

x

y

M



I



x



=

0

=

0

A

C

H

A

V

A

L/2

L/2

L/2

V

C

K=qL

2

/4

D

B

q

P=qL

M



I



x



=

L

2

=−

3

16

qL

2

M



II



x



=

L

2

=

1

16

qL

2

M



II



x



=

L

=−

1
8

qL

2

M



III



x



=

L

=−

1
8

qL

2

M



III



x



=

3
2

L

=

0

dM



III

dx



=−

q x





3
2

qL≡T



III

Poszukujemy ekstremum

M

α

III

(

x

α

):

T



III

=

3
2

qL−q∗x

extr

=

0

dM



III

dx



=

0 ⇒ x

extr

:

x

extr

=

3
2

L

Dane:

q

, L

M

extr

III

=

M



III



x

extr

=

3
2

L



22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

40

II

III

I

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta

Wykreślmy

momenty zginające

:

- przedział I (f. liniowa):

- przedział II (f. liniowa):

- przedział III (f. kwadratowa):

x

y

A

C

H

A

V

A

L/2

L/2

L/2

V

C

K=qL

2

/4

D

B

q

P=qL

Dane:

q

, L

M



I



x



=

0

=

0

M



I



x



=

L

2

=−

3

16

qL

2

M



II



x



=

L

2

=

1

16

qL

2

M



II



x



=

L

=−

1
8

qL

2

M



III



x



=

L

=−

1
8

qL

2

M



III



x



=

3
2

L

=

0

M

extr

III

=

M



III



x

extr

=

3
2

L



Na wykresie

M

nie umieszczamy

znaków,

ważne aby wykres był

wykonany po właściwiej stronie

.

[qL

2

]

3/16

1/16

1/8

+

K

M

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

41

II

III

I

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta

Wykreślmy

siły poprzeczne

T

:

- przedział I (f. stała):

- przedział II (f. stała):

- przedział III (f. liniowa):

x

y

T



I

=−

3
8

qL=

const.

A

C

H

A

V

A

L/2

L/2

L/2

V

C

K=qL

2

/4

D

B

q

P=qL

Dane:

q

, L

T



III



x



=

L

=

3
2

qL−q

L

=

1

2

qL

T



II

=−

3
8

qL=

const.

T



III



x



=

3
2

L

=

3
2

qL−q

3
2

L

=

0

T



III

=

3
2

qL−q∗

x



V

A

=−

3
8

qL

V

C

=

7
8

qL

Na wykresie

T

ważne są znaki

; a strona, po której będą

zaznaczone rzędne „+” oraz „-”, ma drugorzędne znaczenie.

[qL]

3/8

3/8

1/2

qL/2

T

-

+

V

A

V

C

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

42

II

III

I

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Wykresy sił wewn. wzdłuż osi pręta

Wykreślmy

siły osiowe N

:

- przedział I (f. stała):

czyli ściskanie osiowe

- przedział II (f. stała):

- przedział III (f. stała):

x

y

N



I

=−

qL=

const.

A

C

H

A

V

A

L/2

L/2

L/2

V

C

K=qL

2

/4

D

B

q

P=qL

Dane:

q

, L

N



II

=

0=

const.

H

A

=

qL

Na wykresie

N

ważne są znaki

; strona, po której będą

zaznaczone rzędne „+” oraz „-”, ma drugorzędne znaczenie.

[qL]

1

N

-

H

A

P

1

N



II

=

0=

const.

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

43

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Zależność pomiędzy wykresami

M

i

T

Wykresy na belkach rysuje się

jeden pod drugim.

Pomiędzy wykresami

M

i

T

zachodzi zależność:

T

są pochodną

M

, więc: tam

jest ekstremum

M

, gdzie

T

zmienia znak; rzędna
wykresu

T

to nachylenie

M

.

Gdy wykres

M

jest linowy, to

wartość

T

można obliczyć:

x

y

A

C

L/2

L/2

L/2

K=qL

2

/4

D

B

q

P=qL

Dane:

q

, L

[qL

2

]

3/16

1/16

1/8

+

K

M

[qL]

3/8

3/8

1/2

qL/2

T

-

+

V

A

V

C

dM



dx



=

T



V

A

=−

3
8

qL

H

A

=

qL

V

C

=

7
8

qL

∣

T

∣

=



M



x

=



1
8



1

16



qL

2

L/2

=

3
8

qL

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

44

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Zasady tworzenia wykresów sił wewn.

Sporządzanie

wykresów sił

wewnętrznych na podstawie

funkcji jest pracochłonne

.

W praktyce staramy się robić

wykresy bez zbędnych
obliczeń

.

Na podstawie rodzaju i

rozmieszczenia obciążeń

ustala się typ funkcji,

charakterystyczne punkty,
oczywiste rzędne

.

Oblicza się tylko brakujące

rzędne w wybranych

przekrojach

tak aby możliwe

było wykreślenie funkcji.

x

y

A

C

L/2

L/2

L/2

K=qL

2

/4

D

B

q

P=qL

Dane:

q

, L

[qL

2

]

3/16

1/16

1/8

+

K

M

[qL]

3/8

3/8

1/2

qL/2

T

-

+

V

A

V

C

V

A

=−

3
8

qL

H

A

=

qL

V

C

=

7
8

qL

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

45

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Zasady tworzenia wykresów sił wewn.

Gdzie na wykresie sił wewn.

występuje skok wartości

:

- na

wykr. M

jest skok pod

momentem skupionym K

;

- na

wykr. T

jest skok pod

siłami skupionymi

do osi

,

reakcjami

:

V

A

i

V

B

;

- na

wykr N

jest skok od

siły

skupionej P

działającej

wzdłuż osi

.

W miejscu działania

siły

skupione

j do osi

wartość

momentu

M

po prawej i lewej

stronie jest taka sama –

jest

tylko załamanie

zgodne z

kierunkiem działania siły

.

x

y

A

C

L/2

L/2

L/2

K=qL

2

/4

D

B

q

P=qL

Dane:

q

, L

[qL

2

]

3/16

1/16

1/8

+

K

M

[qL]

3/8

3/8

1/2

qL/2

T

-

+

V

A

V

C

V

A

=−

3
8

qL

H

A

=

qL

V

C

=

7
8

qL

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

46

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Zasady tworzenia wykresów sił wewn.

Moment skupiony K

powoduje

skok

na

wykresie M

w stronę

zależną od kierunku działania

K:

Pochylenie

wykresu momentów

po obu stronach

K

jest

takie

samo

(funkcje M(x) różnią się

tylko o stałą).

Moment skupiony

nie wpływa

na kształt

wykresu sił

poprzecznych T

ani

sił

osiowych N

.

W przegubie

moment zginający

M

jest

równy zeru

.

x

y

A

C

L/2

L/2

L/2

K=qL

2

/4

D

B

q

P=qL

Dane:

q

, L

[qL

2

]

3/16

1/16

1/8

+

K

M

[qL]

3/8

3/8

1/2

qL/2

T

-

+

V

A

V

C

V

A

=−

3
8

qL

H

A

=

qL

V

C

=

7
8

qL

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

47

Siły wewnętrzne (przekrojowe)

Zasady tworzenia wykresów sił wewn.

Wykresem momentów

od

obciążenia równomiernie

rozłożonego q

jest parabola

ramionami skierowana
przeciwnie

do kierunku

działania

obciążenia q

.

Aby

wykreśl

ić

parabolę

potrzeba

3 wartości:

na końcach przedziału

i ekstremum

. Oś symetrii

paraboli przechodzi przez jej
wierzchołek (ekstemum).

Obciążenie

q równomiernie

rozłożone

,

działające

do

osi pręta

zmienia

wykres sił T

liniowo

a nie skokowo.

x

y

A

C

L/2

L/2

L/2

K=qL

2

/4

D

B

q

P=qL

Dane:

q

, L

[qL

2

]

3/16

1/16

1/8

+

K

M

[qL]

3/8

3/8

1/2

qL/2

T

-

+

V

A

V

C

V

A

=−

3
8

qL

H

A

=

qL

V

C

=

7
8

qL

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

48

DZIEKUJĘ ZA UWAGĘ

KONIEC wykładu

22.03.11

dr inż. Marek Bartoszek

49

Siły działające na konstrukcję

przyczyny i skutki

●

Siły czynne

czyli

obciążenia

działające na

konstrukcję

●

Siły bierne

są to

reakcje

oraz siły

wewnętrzne powstające na

skutek działania obciążeń

reakcje pojawiąją się w

podporach podtrzymujących
konstrukcję

wyznacza się je metodami

mechaniki budowli