Reguªa de l'Hospitala. Je±li przy wyznaczaniu granicy ilorazu funkcji

f (x)

g(x)

otrzymujemy symbol nie-

oznaczony

0
0

lub

∞
∞

, to iloraz ten mozna zamieni¢ na iloraz pochodnych

f

0

(x)

g

0

(x)

. Je±li granica tego ilorazu

pochodnych istnieje, to granica ta jest tak»e granic¡ ilorazu funkcji

f (x)

g(x)

.

Miejsce zastosowania reguªy de l'Hospitala zaznaczmy stawiaj¡c H nad znakiem równo±ci. Reguª¦ mo»-
na stosowa¢ kilkukrotnie.

Zadanie 6.

a. lim

x→0

e

x

− e

−x

x

=



0

0



H

= lim

x→0

e

x

+ e

−x

1

= 2

b. lim

x→1

+

ln x

√

x

2

− 1

=



0

0



H

= lim

x→1

+

1

x

2x

2

√

x

2

−1

= lim

x→1

+

1

x

·

√

x

2

− 1

x

= lim

x→1

+

√

x

2

− 1

x

2

= 0

c. lim

x→0

e

x

− e

−x

sin x

=



0

0



H

= lim

x→0

e

x

+ e

−x

cos x

= 2

d. lim

x→0

sin 3x

sin 5x

=



0

0



H

= lim

x→0

3 cos 3x

5 cos 5x

=

3

5

e. lim

x→0

(e

x

− e

−x

)

2

x

2

cos x

=



0

0



H

= lim

x→0

2(e

x

− e

−x

)(e

x

+ e

−x

)

2x cos x + x

2

sin x

= 2 lim

x→0

e

2x

− e

−2x

2x cos x + x

2

sin x

=

=



0

0



H

= 2 lim

x→0

2e

2x

+ 2e

−2x

2 cos x − 2x sin x + 2x sin x + x

2

cos x

= 4

f. lim

x→0

sin x − x cos x

x

3

=



0

0



H

= lim

x→0

cos x − (cos x − x sin x)

3x

2

= lim

x→0

x sin x

3x

2

=

1

3

lim

x→0

sin x

x

=

1

3

g. lim

x→

π

4

tg x − 1

sin x − cos x

=



0

0



H

= lim

x→

π

4

1

cos

2

x

cos x + sin x

=

2

√

2

=

√

2

h. lim

x→∞

x

2

sin

1
x

2x − 1

= lim

x→∞

sin

1
x

2x−1

x

2

= lim

x→∞

sin

1

x

2

x

−

1

x

2

=



0

0



H

= lim

x→∞

−

1

x

2

cos

1
x

−

2

x

2

+

2

x

3

= lim

x→∞

− cos

1
x

−

2

x

2

+

2

x

3

·

1

x

2

=

= lim

x→∞

− cos

1
x

−2 +

2
x

=

−1
−2

=

1

2

i. lim

x→∞

ln(ln x)

x

j. lim

x→0

e

2x

− 1

ln(1 + 2x)

k. lim

x→1



1

ln x

−

x

ln x



l. lim

x→1

−

(1 − x) ln(1 − x) = [0 ∞] = lim

x→1

−

ln(1 − x)

1

1−x

=



∞
∞



H

= lim

x→1

−

−1

1−x

1

(1−x)

2

= lim

x→1

−

−(1 − x)

2

1 − x

=

= − lim

x→1

−

(1 − x) = 0

1

m. lim

x→0



1

x

−

1

sin x



n. lim

x→0

arcsin x

x

o. lim

x→0

arctan x

sin x

p. lim

x→∞

x

1
x

=

h

∞

0

i

Tego typu symbole przeksztaªcamy korzystaj¡c z wªasno±ci: e

ln f (x)

= f (x)

.

lim

x→∞

x

1
x

= lim

x→∞

e

ln x

1

x

= lim

x→∞

e

1
x

ln x

= lim

x→∞

e

ln x

x

= e

A

A = lim

x→∞

ln x

x

=



∞
∞



H

= lim

x→∞

1
x

1

= 0

Zatem: lim

x→∞

x

1
x

= e

A

= e

0

= 1

q. lim

x→1

x

1/(1−x)

= [1

∞

] lim

x→1

e

ln x

1/(1−x)

= lim

x→1

e

ln x

1−x

= e

A

A = lim

x→1

ln x

1 − x

=



0

0



H

= ...

r. lim

x→0+

(tg x)

tg x

s. lim

x→0+

√

x ln x

t. lim

x→0+

(sin x)

x

u. lim

x→0



arctan x

x



1/x

2

2