Miary średnie

Opisowe charakterystyki
rozkładów

Miary średnie (zwane też miarami poziomu wartości
zmiennej, miarami położenia lub przeciętnymi) służą do
określania tej wartości zmiennej opisanej przez rozkład,
wokół której skupiają się wszystkie pozostałe wartości
zmiennej
Miary

rozproszenia

(zmienności,

zróżnicowania,

dyspersji) służące do badania stopnia zróżnicowania
wartości zmiennej
Miary asymetrii (skośności) służące do badania kierunku
zróżnicowania wartości zmiennej
Miary koncentracji służące do badania stopnia
nierównomierności rozkładu ogólnej sumy wartości
zmiennej pomiędzy poszczególne jednostki zbiorowości
lub do analizy stopnia skupienia poszczególnych jednostek
wokół średniej

Miary średnie

•Klasyczne: średnia
arytmetyczna ( ), średnia
harmoniczna, średnia
geometryczna

•Pozycyjne: kwartyl pierwszy
( Q

1

), mediana (kwartyl drugi)

(M

x

, Q

2

), kwartyl trzeci (Q

3

),

dominanta (moda) (D

x

)

x

Definicja:

Średnia arytmetyczna to suma wartości
zmiennej wszystkich jednostek badanej
zbiorowości podzielona przez liczbę tych
jednostek.

Wzór:

n

x

n

x

x

x

x

n

i

i

n















1

2

1

...

gdzie
:

x

- symbol średniej
arytmetycznej

i

x

- warianty cechy
mierzalnej

n

- liczebność badanej

zbiorowości

Jeżeli warianty zmiennej występują z różną
częstotliwością, to oblicza się średnią
arytmetyczną ważoną.

Wzór na obliczanie średniej arytmetycznej z
szeregów rozdzielczych punktowych:

n

n

x

n

n

x

n

x

n

x

x

k

i

i

i

k

k















1

2

2

1

1

...

gdzie n

i

(i=1,2,...k) oznacza liczebność jednostek

odpowiadającą poszczególnym wariantom
zmiennej, a n jest sumą tych liczebności.

Przykład 1. Obliczyć średnią liczbę
napraw badanych komputerów

xi

ni

xi*ni

0

5

0

1

6

6

2

10

20

3

5

15

4

4

16

5

2

10

suma

32

67

n = 32 komputery

X - liczba napraw (cecha
skokowa)

09

,

2

32

67





x

Interpretacja:
Średnia liczba napraw
dla badanych
komputerów wynosi
2,09.

Wzór na obliczanie średniej arytmetycznej z
szeregów rozdzielczych przedziałowych

n

n

x

n

n

x

n

x

n

x

x

k

i

i

i

o

k

k

o

o

o















1

2

2

1

1

...

gdzie

2

1

0

i

i

o

i

x

x

x





środek i-tego
przedziału

Przykład 2. Obliczyć średni koszt
naprawy badanych komputerów

n = 32 komputery

Y - koszt napraw (w zł) (cecha
ciągła)

88

,

246

32

7900





y

Interpretacja: Średni
koszt naprawy badanych
komputerów wynosi 246,88
zł

<Y0i - Y1i)

ni

0-100

9

50

450

100-200

6

150

900

200-300

3

250

750

300-400

7

350

2450

400-500

5

450

2250

500-600

2

550

1100

suma

32

X

7900

o

i

y

i

i

o

n

y 

(zł)

Pozycyjne miary położenia

(średnie)



Dominanta (moda)



Mediana (kwartyl drugi)



Kwartyl pierwszy



Kwartyl trzeci

Dominanta (D

x

)

Jest to taka wartość cechy
statystycznej, która występuje
najczęściej.

Wyznaczanie dominanty

dla szeregu rozdzielczo-

punktowego

Szereg rozdzielczo-punktowy dla
przykładu 1:

xi

ni

0

5

1

6

2

10

3

5

4

4

5

2

suma

32

n = 32 komputery

X - liczba napraw (cecha
skokowa)

D

x

=2 Najwięcej komputerów (10) miało

2 naprawy.

Wyznaczanie dominanty

dla szeregu rozdzielczo-

przedziałowego

Szereg rozdzielczo-przedziałowy dla
przykładu 2:

<Y0i - Y1i)

ni

0-100

9

100-200

6

200-300

3

300-400

7

400-500

5

500-600

2

suma

32

n = 32 komputery

Y - koszt naprawy (w zł) (cecha
ciągła)

<0-100) przedział
dominanty

Wzór na dominantę dla

szeregu przedziałowego

D

D

D

D

D

D

D

D

x

h

n

n

n

n

n

n

x

D

1

1

1

0



















Gdzie:

x

0D

- początek przedziału dominanty

n

D

- liczebność przedziału dominanty

n

D-1

- liczebność przedziału poprzedzającego

przedział dominanty

n

D+1

- liczebność przedziału następnego po

przedziale dominanty

h

D

- długość przedziału dominanty

Dla przykładu 2

zł

D

x

75

100

6

9

0

9

0

9

0















<Y0i - Y1i)

ni

0-100

9

100-200

6

200-300

3

300-400

7

400-500

5

500-600

2

suma

32

Najwięcej komputerów
charakteryzowało się
kosztem napraw równym
około 75 zł.

Mediana (M

x

)

Dzieli zbiorowość uporządkowaną
na dwie równe części w ten sposób
że: połowa jednostek ma wartości
cechy mniejsze lub równe medianie,
a połowa większe lub równe
medianie.

Wyznaczanie mediany dla szeregu rozdzielczo-
punktowego

xi

ni

nski

0

5

5

1

6

11

2

10

21

3

5

26

4

4

30

5

2

32

suma

32

X

16

2

32

2







n

N

M

-miejsce
mediany

M

x

= 2 Połowa

komputerów miała nie
więcej niż 2 naprawy.

Wyznaczanie mediany dla szeregu rozdzielczo-
przedziałowego

<Y0i - Y1i)

ni

nski

0-100

9

9

100-200

6

15

200-300

3

18

300-400

7

25

400-500

5

30

500-600

2

32

suma

32

X

16

2

32

2







n

N

M

<200-300) - przedział
mediany

Wzór na medianę dla szeregu przedziałowego

M

M

skM

M

x

n

h

n

n

x

M











 





 1

0

2

Gdzie:

x

0M

- początek przedziału mediany

n

skM-1

- liczebność skumulowana odpowiadająca

przedziałowi poprzedzającemu przedział mediany

h

M

- długość przedziału mediany

n

M

- liczebność przedziału mediany

<Y0i - Y1i)

ni

nski

0-100

9

9

100-200

6

15

200-300

3

18

300-400

7

25

400-500

5

30

500-600

2

32

suma

32

X

Dla przykładu 2





zł

M

x

33

,

233

3

100

15

16

200









Połowa komputerów charakteryzuje się kosztem
napraw niewiększym niż 233,33 zł.

Kwartyl pierwszy (Q

1

)

Dzieli zbiorowość uporządkowaną
na dwie części w ten sposób że:
25% (1/4) jednostek ma wartości
cechy

mniejsze

lub

równe

kwartylowi pierwszemu, a 75% (3/4)
jednostek ma wartości większe lub
równe kwartylowi pierwszemu.

xi

ni

nski

0

5

5

1

6

11

2

10

21

3

5

26

4

4

30

5

2

32

suma

32

X

Wyznaczanie kwartyla pierwszego dla szeregu
rozdzielczo-punktowego

8

4

32

4

1







n

N

Q

-miejsce Q

1

Q

1

= 1 25% komputerów

miało nie więcej niż 1
naprawę.

<Y0i - Y1i)

ni

nski

0-100

9

9

100-200

6

15

200-300

3

18

300-400

7

25

400-500

5

30

500-600

2

32

suma

32

X

Wyznaczanie kwartyla
pierwszego dla szeregu
rozdzielczo-przedziałowego

<0-100) - przedział Q

1

8

4

32

4

1







n

N

Q

Wzór na Q

1

dla szeregu przedziałowego

1

1

1

1

1

0

1

4

Q

Q

skQ

Q

n

h

n

n

x

Q











 







Gdzie:

x

0Q1

- początek przedziału kwartyla pierwszego

n

skQ1-1

- liczebność skumulowana odpowiadająca

przedziałowi poprzedzającemu przedział kwartyla
pierwszego

h

Q1

- długość przedziału kwartyla pierwszego

n

Q1

- liczebność przedziału kwartyla pierwszego

<Y0i - Y1i)

ni

nski

0-100

9

9

100-200

6

15

200-300

3

18

300-400

7

25

400-500

5

30

500-600

2

32

suma

32

X

Dla przykładu 2





zł

Q

89

,

88

9

100

0

8

0

1









25% komputerów charakteryzuje się
kosztem napraw niewiększym niż
88,89 zł.

Kwartyl trzeci (Q

3

)

Dzieli zbiorowość uporządkowaną
na dwie części w ten sposób że:
75% (3/4) jednostek ma wartości
cechy

mniejsze

lub

równe

kwartylowi trzeciemu, a 25% (1/4)
jednostek ma wartości większe lub
równe kwartylowi trzeciemu.

xi

ni

nski

0

5

5

1

6

11

2

10

21

3

5

26

4

4

30

5

2

32

suma

32

X

Wyznaczanie kwartyla trzeciego dla szeregu
rozdzielczo-punktowego

24

4

32

3

4

3

3









n

N

Q

-miejsce Q

3

Q

3

= 3 75% komputerów

miało nie więcej niż 3
naprawy.

<Y0i - Y1i)

ni

nski

0-100

9

9

100-200

6

15

200-300

3

18

300-400

7

25

400-500

5

30

500-600

2

32

suma

32

X

Wyznaczanie kwartyla
trzeciego dla szeregu
rozdzielczo-przedziałowego

<300-400) - przedział Q

3

24

4

32

3

4

3

3









n

N

Q

Wzór na Q

3

dla szeregu przedziałowego

3

3

3

3

1

0

3

4

3

Q

Q

skQ

Q

n

h

n

n

x

Q





















Gdzie:

x

0Q3

- początek przedziału kwartyla trzeciego

n

skQ3-1

- liczebność skumulowana odpowiadająca

przedziałowi poprzedzającemu przedział kwartyla
trzeciego

h

Q3

- długość przedziału kwartyla trzeciego

n

Q3

- liczebność przedziału kwartyla trzeciego

<Y0i - Y1i)

ni

nski

0-100

9

9

100-200

6

15

200-300

3

18

300-400

7

25

400-500

5

30

500-600

2

32

suma

32

X

Dla przykładu 2





zł

Q

71

,

385

7

100

18

24

300

3









75% komputerów charakteryzuje się
kosztem napraw niewiększym niż
385,71 zł.