Węzły, kierunki i płaszczyzny oznacza się
używając układu współrzędnych, którego osie
pokrywają się z trzema krawędziami
elementarnej komórki w krysztale, a początek
układu znajduje się w jednym z węzłów sieci, w
którym przecinają się te krawędzie. Za jednostki
skali każdej osi przyjmuje się odpowiednie
długości krawędzi komórki elementarnej.
WSKAŹNIKI MILLERA
Wskaźniki Millera - stanowią ogólnie przyjęty
system oznaczania węzłów, kierunków i
płaszczyzn w sieci.
Wskaźniki węzłów
Określaj położenie dowolnego węzła w sieci
względem obranego początku układu
współrzędnych.
Dla opisania kierunku obiera się prostą
przechodzącą przez początek układu współrzędnych.
Kierunek tej prostej jest jednoznacznie określony
przez wskaźniki [[mnp]] pierwszego węzła, przez
który ta prosta przechodzi.
Wskaźniki kierunku: [mnp]
Wskaźniki kierunków
Wskaźniki płaszczyzn
- Jeżeli odcinek odcinany na osi ma wartość ujemną, to
odpowiadający mu wskaźnik Millera jest także ujemny. Znak
minus piszemy nad wskaźnikiem.
- W układzie regularnym kierunek [mnp] jest prostopadły do
płaszczyzny (mnp).
- Jeżeli płaszczyzna jest równoległa do którejkolwiek osi, to
wskaźnik odpowiadający tej osi jest równy zeru.
Sieć odwrotna
Wektory sieci odwrotnej
Zdefiniowane są jako b
1
, b
2
, b
3
:
3
2
1
2
1
3
3
2
1
1
3
2
3
2
1
3
2
1
a
a
a
a
a
b
a
a
a
a
a
b
a
a
a
a
a
b
2
2
2
(
ij
jest deltą Kröneckera).
Jeśli a
1
, a
2
, a
3
są podstawowymi wektorami translacji
sieci krystalicznej, to b
1
, b
2
, b
3
są podstawowymi
wektorami translacji sieci odwrotnej. Każdy wektor
zdefiniowany powyższym wyrażeniem jest prostopadły do
dwóch
wektorów
sieci
prostej
(zwanej
siecią
rzeczywistą). Wektory b
1
, b
2
, b
3
mają następującą
własność
:
3
2
1
b
b
b
G
l
k
h
Węzły sieci odwrotnej są wyznaczone przez
zbiór wektorów :
gdzie h,k i l są wskaźnikami Millera i są
liczbami całkowitymi.
Tak zapisany wektor G jest wektorem sieci
odwrotnej.
Każda struktura krystaliczna ma związane ze
sobą dwie sieci: sieć krystaliczną prostą i
sieć odwrotną. Obraz dyfrakcyjny kryształu
jest obrazem sieci odwrotnej. Wektory sieci
prostej mają wymiar długości; wektory sieci
odwrotnej mają wymiar odwrotności długości.
Sieć odwrotna jest siecią w przestrzeni
Fouriera.
Zjawisko dyfrakcji w kryształach
Używane źródła promieniowania
W badaniach materiałowych stosujemy trzy
podstawowe techniki dyfrakcyjne:
- dyfrakcję promieni rentgenowskich
- dyfrakcję neutronów,
- dyfrakcje elektronową
Długość fali promieniowania rentgenowskiego znajdujemy
z podstawowej relacji:
c
gdzie jest częstotliwością promieniowania.
W przypadku strumieni cząstek (dyfrakcja neutronowa i
elektronowa) długość fali wyznaczamy z relacji de Broglie’a
:
p
h
gdzie: h jest stałą Plancka,
zaś p jest pędem cząstek
Równanie Bragg’ów
d
k
i
k
d
Uginanie padającej wiązki
promieniowania na płaszczyznach
atomowych w krysztale; k
i
oraz k
d
są wektorami falowymi wiązki
padającej i ugiętej
Kąt padania definiowany jest jako kąt pomiędzy wiązką a
płaszczyzną odbijającą wiązkę. Zakładając, że odległość między
płaszczyznami atomowymi wynosi d, różnica przebytych dróg
między promieniami „1” i „2” wynosi 2 = 2dsin, a zatem
wzmocnione wiązki ugięte otrzymamy, jeśli ta różnica dróg
wyniesie wielokrotność długości fali:
n
d
sin
2
Wyraźmy powyższy warunek w sposób ogólniejszy. Niech k
i
oraz k
d
będą wektorami falowymi wiązki padającej i ugiętej
(przypomnimy, że ). Wektor k = k
d
– k
i
jest
prostopadły do płaszczyzny uginającej i jego długość wynosi
:
2
k
k
sin
4
i
d
k
k
k
-k
i
k
d
k
i
Relacja między wektorami
k
d
, k
i
oraz
k
Skorzystajmy z prawa Bragg’ów (dla n=1):
. Ostatnie równanie można przepisać:
d
1
sin
2
hkl
d
2
k
Przywołując
znany
wynik
na
odległość
międzypłaszczyznową d
hkl
:
hkl
G
2
hkl
d
możemy napisać:
hkl
G
k
W powyższych relacjach G
hkl
jest wektorem sieci odwrotnej
(o współrzędnych h,k,l). Wiemy ponadto, że wektor ten jest
prostopadły do płaszczyzny sieciowej (hkl), podobnie jak
wektor k. Możemy zatem w powyższym równaniu opuścić
symbol wartości bezwzględnej i otrzymamy:
k = G
hkl
Jest to ogólnie zapisany warunek dyfrakcji. Na warunku tym
opiera się tzw. konstrukcja Ewalda.
� � �
� � �
� � �
� � �
� �
� �
� �
� �
� � � � �
k
d
k
i
G
hkl
=k
Załóżmy, że rysujemy wektor k
i
w ten
sposób, że jego koniec pokrywa się z
jednym z węzłów sieci odwrotnej.
Następnie
zakreślamy
sferę
o
promieniu k
i
. Jeśli na sferze tej
znajdzie się jakiś inny węzeł sieci
odwrotnej to wskaże on kierunek
wektora k
d
. Konstrukcja ta wyraża
geometrycznie warunek, że k musi
być równe jednemu z wektorów sieci
odwrotnej (właśnie G
hkl
)
Geometryczny czynnik
strukturalny
Najczęściej komórka elementarna zawiera więcej niż
jeden atom i fala ugięta będzie wynikiem
interferencji na tych atomach
a
c
b
0
atom “n”
r
n
Pozycja atomu „n”
w komórce
elementarnej
Załóżmy, że komórka elementarna zawiera N
atomów, których położenia wewnątrz komórki
elementarnej zdefiniowane są wektorami r
n
:
c
b
a
r
n
n
n
n
z
y
x
gdzie a, b, c są wektorami translacji sieci, definiującymi
komórkę elementarną, a wskaźnik n=1,2,...,N.
Czynnik F
hkl
nosi nazwę czynnika strukturalnego
dla odbicia na płaszczyznach (hkl):
N
n
n
n
n
n
hkl
)
lz
ky
i(hx
f
F
1
]
2
exp[
Czynnik ten ma podstawowe znaczenie w
teorii dyfrakcji
. Umożliwia on przewidywanie
występowania lub nieobecności refleksów
dyfrakcyjnych od różnych płaszczyzn krystalo-
graficznych, a także proporcje ich intensywności.
Opisywany przezeń efekt spowodowany jest
interferencją fal cząstkowych ugiętych na
poszczególnych atomach komórki elementarnej.
W obliczeniach praktycznych, wygodna jest na
ogół równoważna „rozwinięta” postać wyrażenia
na F
hkl
:
N
n
N
n
n
n
n
n
n
n
n
n
hkl
)
lz
ky
(hx
f
i
)
lz
ky
(hx
f
F
1
1
2
sin
2
cos
Zgodnie z teorią fal, intensywność wiązki
rozproszonej proporcjonalna jest do kwadratu
modułu jej amplitudy, a zatem również do
kwadratu modułu czynnika strukturalnego
2
hkl
F
I
Przykłady obliczania czynnika
strukturalnego
Podamy teraz trzy przykłady obliczania czynnika
strukturalnego dla najczęściej spotykanych struktur
krystalicznych.
Sieć
regularna
powierzchniowo
centrowana (A1)
Rozważmy komórkę elementarną kryształu o sieci
regularnej powierzchniowo centrowanej, zawierającej tylko
jeden rodzaj atomów (np. miedź, aluminium). Zawiera ona
efektywnie cztery atomy, których współrzędne są
następujące: (0,0,0), (½, ½, 0), (½,0, ½), (0,½,½).
Komórka
elementarna
sieci
regularnej
powierzchniowo
centrowanej.
Po lewej: pozycje atomów,
Po prawej: atomy
„efektywne
Wykorzystując definicję czynnika strukturalnego:
)]
2
l
k
(
2
sin
)
2
l
h
(
2
sin
)
2
k
h
(
2
sin
)
0
[sin(
if
)]
2
l
k
(
2
cos
)
2
l
h
(
2
cos
)
2
k
h
(
2
cos
)
0
[cos(
f
F
hkl
W równaniu tym f jest atomowym czynnikiem rozpraszania
atomów tworzących kryształ (tylko jeden rodzaj). Zauważmy, że:
- wszystkie składniki z sinusami są równe zeru (w argumentach
jest zero bądź wielokrotność ),
- wartość składników z cosinusami zależy od parzystości
występujących tam sum wskaźników h, k lub l;
a) jeśli h, k, l są tej samej parzystości wtedy suma dwóch
wskaźników jest zawsze parzysta i wtedy F
hkl
=4f,
b) jeśli h, k, l są parzystości mieszanej wtedy dwa składniki są
równe 1, a dwa pozostałe –1; w efekcie F
hkl
=0.
Sieć regularna przestrzennie centrowana
(A2)
W tym wypadku sześcienna komórka elementarna zawiera
efektywnie dwa atomy o następujących współrzędnych:
(0,0,0) i (½,½,½)
Komórka elementarna sieci
regularnej
przestrzennie
centrowanej.
Po lewej: pozycje atomów,
Po prawej: atomy
„efektywne
”
Czynnik strukturalny można zapisać:
)]
2
l
k
h
(
2
sin
)
0
[sin(
if
)]
2
l
k
h
(
2
cos
)
0
[cos(
f
F
hkl
Zauważmy, że wszystkie składniki z sinusem wynoszą zero,
pozostają ewentualnie tylko te z cosinusem. I tak:
- jeśli suma trzech wskaźników (h+k+l) jest parzysta to wtedy
F
hkl
=2f,
- jeśli suma trzech wskaźników (h+k+l) jest nieparzysta to
wtedy F
hkl
=0.
Sieć heksagonalna (A3)
Rozważmy czysty metal o sieci heksagonalnej (np. cynk, kadm,
tytan...). Komórka elementarna tej sieci zawiera efektywnie dwa
atomy, o następujących współrzędnych: (0,0,0) i ( 1/3, 2/3, 1/2).
Zauważmy, że tutaj osie translacji (a, b, c) nie tworzą prostokątnego
układu współrzędnych; kąt między osiami a i b wynosi 120
o
.
a
b
c
120
0
a
b
c
a
b
c
120
0
Komórka elementarna sieci
heksagonalnej (wyznaczona
przez wektory a, b, c).
Pokazano położenia atomów,
a także dwa atomy
„efektywne
Uzyskujemy następujące wyrażenie na czynnik
strukturalny:
)]
2
3
2
(
2
sin
)]
2
3
2
(
2
cos
1
[
l
k
h
i
l
k
h
f
F
hkl
Z uzyskanego wyrażenia widać, że w sieci heksagonalnej: F
hkl
0 (warunek wystąpienia refleksu) jeśli h+2k3n lub l jest
liczbą parzystą F
hkl
= 0 (warunek znikania refleksu) jeśli
h+2k=3n i (równocześnie) l jest liczbą nieparzystą
Dyfraktometria rentgenowska
Dyfraktometria rentgenowska
(XRD)
(XRD)
1.Obszary zastosowań XRD
2.Promieniowanie X (rentgenowskie)
3.Teorie dyfrakcji
4.Metody doświadczalne
dyfraktometrii rentgenowskiej
Obszary zastosowań XRD
Obszary zastosowań XRD
Krystalografia rentgenowska
• układ krystalograficzny i klasę dyfrakcyjną,
• parametry komórki elementarnej,
• typ sieci Bravais’a i grupę symetrii przestrzennej,
• pozycje atomów w komórce elementarnej.
Rentgenowska analiza fazowa
• identyfikacja faz krystalicznych,
• skład fazowy próbek krystalicznych,
• rozróżnienie faz stałych amorficznych od
krystalicznych
Promieniowanie
Promieniowanie
elektromagnetyczne
elektromagnetyczne
radiow
e
mikrofal
e
IR
UV/VIS
X
γ
do
30cm
300 – 1
mm
1000 –
0.77μm
770 –
10nm
10 –
0.005nm
>
0.5nm
Promieniowanie
rentgenowskie
od 0.05 do 100
Å
w metodzie XRD
0.2 do 2.5 Å
Lampa rentgenowska
Lampa rentgenowska
Anody lamp rentgenowskich i
odpowiadające im filtry
Charakterystyka
Charakterystyka
promieniowania
promieniowania
X
X
Oddziaływanie promieni X z
Oddziaływanie promieni X z
materią
materią
•
Absorpcja promieniowania
rentgenowskiego
• Fluorescencja rentgenowska
• Rozproszenie promieniowania
rentgenowskiego
• Dyfrakcja promieniowania
rentgenowskiego
Równoważność teorii Lauego
Równoważność teorii Lauego
i Bragga
i Bragga
Dla:
0
= 0
o
;
0
= 90
o
oraz
0
= 90
o
równania Laue`go przyjmą postać:
H = a (cos - 1)
K = a cos
L = a cos
co po podniesieniu do kwadratu i dodaniu
daje:
2
(H
2
+K
2
+L
2
) = a
2
(cos
2
+cos
2
+cos
2
)
+a
2
(1-2cos
)
ponieważ:
cos
2
+ cos
2
+ cos
2
= 1
cos = cos2 = 1 - 2sin2
więc:
2
(H
2
+ K
2
+ L
2
) = 4a
2
sin
H
2
+ K
2
+ L
2
4 sin
2
=
2
a
2
1 h
2
k
2
l
2
h
2
+ k
2
+ l
2
= + +
d
2
hkl
a
2
b
2
c
2
a
2
Metody doświadczalne
Metody doświadczalne
dyfrakcji rentgenowskiej
dyfrakcji rentgenowskiej
(XRD)
(XRD)
a
) ze względu na wykorzystywane promieniowanie
rentgenowskie:
polichromatyczne
- metoda Lauego,
monochromatyczne
- metoda obracanego kryształu;
- metoda proszkowa Debey`a-
Scherrera-Hulla (DSH)
b) ze względu na rodzaj badanego materiału:
monokryształ
- metoda Lauego,
- metoda obracanego kryształu.
polikryształy
- metoda proszkowa Debey`a-
Scherrera-Hulla (DSH).
Metoda Laue’ego
Metoda Laue’ego
Symetria lauegramów
m
Metoda obracanego
Metoda obracanego
kryształu
kryształu
Goniometr czterokołowy - geometria Eulera
Geometria Eulera
Geometria Eulera
Geometria kappa
Geometria kappa
Dyfraktometr 4-kołowy
Dyfraktometr wyposażony w detektor CCD
Metoda Debey`a – Scherrera –
Metoda Debey`a – Scherrera –
Hulla (DSH)
Hulla (DSH)
Metoda Debye'a-Scherrera-Hulla (DSH)
Metoda Debye'a-Scherrera-Hulla (DSH)
Dyfraktometr rentgenowski do badań materiałów
Dyfraktometr rentgenowski do badań materiałów
polikrystalicznych
polikrystalicznych
Schemat goniometru
Schemat goniometru
Dyfraktometr 2-kołowy do badań
Dyfraktometr 2-kołowy do badań
materiałów polikrystalicznych
materiałów polikrystalicznych
Przykładowy dyfraktogram proszkowy Al(NH
Przykładowy dyfraktogram proszkowy Al(NH
4
4
)SO
)SO
4
4
·12H
·12H
2
2
O
O