Ruch
falowy
Równanie fali płaskiej
Drgania harmoniczne punktu materialnego odbywające się wokół
położenia równowagi można opisać podając zależność wychylenia od
czasu:
0
sin
A
t
y
w
=
Umownie przyjmujemy, że zaburzenie = 0 odpowiada chwili przyjętej za
początek rachuby czasu (t = 0).
Niech zaburzenie (stan drgania) przesuwa się w przestrzeni np. w kierunku
osi z.
Wówczas cząstka znajdująca się w punkcie o współrzędnej z 0 będzie
opóźniona w drganiach względem cząstki znajdującej się w punkcie 0 (z = 0)
– źródła fali. Opóźnienie jest proporcjonalne do odległości „z” od źródła fali.
Załóżmy, że stan drgań przesuwa się ruchem jednostajnym z prędkością V.
Do punktu B’, odległego od źródła fali (punktu 0) o z’, zaburzenie dociera z
opóźnieniem
= z’ / v
= 0; = 0; t = 0;
0
0
'
sin[ (
)]
'
'
sin[ (
)]
A
t
z
A
t
v
y
w
t
y
w
=
-
=
-
2
T
p
w =
0
'
'
sin[2 (
)]
t
z
A
T Tv
y
p
=
-
0
''
''
sin[2 (
)]
t
z
A
T Tv
y
p
=
-
Wychylenie ’ punktu B’, z położenia równowagi wyraża się wzorem:
T – okres drgań
wychylenie punktu B’
wychylenie punktu B”
Jaki warunek musi spełnić odległość (z” - z’) aby punkty B’ i B” były
najbliższymi punktami w których w każdej chwili wychylenia od
położenia równowagi są identyczne ?
Z okresowości funkcji sinus wynika, że
’ = ” jeśli argumenty pod
znakiem „sin” będą się różniły o całkowitą wielokrotność 2.
'
"
2 (
) 2 (
) 2
t
z
t
z
T vT
T vT
p
p
p
-
-
-
=
stąd
z” – z’ = vT
odległość tę
nazywamy długością
fali
v T
l = �
"
"
1
z z
vT
-
=
Długość fali równa się drodze, jaką zaburzenie przebywa w czasie
jednego okresu drgania źródła.
Ogólnie:
0
0
2
2
sin(
)
2
sin(
)
t
z
A
T
z
A
t
p
p
y
l
p
y
w
l
=
-
=
-
2
k
p
l
=
0
sin(
)
A
wt kz
y =
-
równanie fali płaskiej, harmonicznej
gdzie:
– wychylenie z położenia równowagi cząstki znajdującej
się w
odległości „z” od źródła fali, po czasie t
ω – pulsacja źródła fali
A
0
– amplituda drgań źródła fali
– liczba falowa
Fale płaskie:
powierzchnie falowe w przestrzeni – płaszczyzny równoległe
linie falowe w przestrzeni dwuwymiarowej – proste równoległe
Kierunek rozchodzenia się fali nazywamy promieniem fali.
Zbiór punktów przestrzeni, którym odpowiada jednakowa faza drgań
związanych z określoną falą, nazywamy czołem fali lub jej powierzchnią
falową.
Fale, których czoło stanowi w przestrzeni trójwymiarowej powierzchnia
kuli, zaś w przestrzeni dwuwymiarowej okrąg koła nazywamy
odpowiednio falami sferycznymi i kolistymi.
Fale takie pochodzą od źródeł punktowych. Amplituda fali kulistej maleje
wraz ze wzrostem odległości od źródła. Przy założeniu, iż nie ma strat
energii, amplitudę fali opisuje wzór:
0
A R
A
r
=
gdzie:
R – promień źródła fali
r – odległość od źródła
A
0
– amplituda w odległości 1m od
źródła
0
sin[
(
)]
A R
t k r R
r
y
w
=
-
-
a w przypadku źródła
punktowego
0
1m
sin(
)
A
t kr
r
y
w
�
=
-
równanie fali kulistej
(kolistej)
Interferencja fal
Źródła Z
1
i Z
2
są źródłami fal sinusoidalnych rozchodzących się w
ośrodku izotropowym, jednorodnym. Niech fale te będą wzbudzane
przez punktowe źródła Z
1
i Z
2
, których pulsacja drgań równa się
odpowiednio
1
i
2
, a fazy początkowe wynoszą
1
i
2
.
Drgania wzbudzane w punkcie P będą spełniać równania:
1
1
1
1 1
1
1
2
2
2
2 2
2
2
sin(
)
sin(
)
A
t kr
r
A
t k r
r
y
w
j
y
w
j
=
-
+
=
-
+
oznaczamy:
1
1
1 1
1
2
2
2 2
2
t kr
t k r
f
w
j
f
w
j
=
-
+
=
-
+
stąd
:
1
1
1
1
2
2
2
2
sin
sin
A
r
A
r
y
f
y
f
=
=
Zgodnie z zasadą superpozycji drgań, wypadkowe drganie w punkcie P opisuje wzór:
1
2
sin
A
y y
y
f
= + =
gdzie:
2
2
1
2
1 2
1
2
1
2
1 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
( )
( ) 2
cos(
)
sin
sin
cos
cos
A
A
AA
A
r
r
rr
A
A
r
r
tg
A
A
r
r
f
f
f
f
=
+
+
-
+
=
+
Możliwe są dwa przypadki:
1. Różnica faz (
1 - 2) zależy od czasu (zmienia się w czasie) – źródła Z
1
i Z
2
nazywamy niespójnymi.
2. Różnica faz (
1 - 2) nie zależy od czasu. Fale takie i wzbudzające je
źródła nazywamy spójnymi.
1
2
1
1 1
1
2
2 2
2
1
2
1
2
1 1
2 2
1
2
(
)
(
) (
)
t kr
t k r
t
kr k r
f
w
j
w
j
f
w w
j
j
-
=
-
+ -
+
+
-
=
-
+
-
+
-
2
W przypadku 2 (
1
-
2
) nie zależy od czasu, zatem (
1
-
2
)t = 0, stąd
1
-
2
= 0, więc
1
=
2
, T
1
= T
2
. Wówczas (
1
-
2
) nie jest funkcją czasu.
1
2
1
2
1
2
2
2
2
(
)
r
r
r r
Tv
Tv
p
p
p
f
l
-
=
-
=
-
Amplituda drgań w punkcie P zależy od różnicy faz
1
-
2
, a ta z kolei zależy
od odległości punktu P od źródeł Z
1
i Z
2
.
Przypadek 1
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
cos(
) 1;
0
2
0
0;
;
r r
A
A
r r
r r
A
r
r
f
f
p
l
-
=
-
=
-
=
-
=
=
= +
a)
max interferencyjne w P
Zakładamy, że
1
=
2
zaś
= T
T
1
= T
2
; v = const
stąd k
1
= k
2
b)
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
cos(
) 1;
2
2
2
;
1,2,...
n
r r
n
r r n
n
r r r
f
f
p
p
p
l
l
-
=
-
= �
-
= �
-
=
=
D = -
r nl
D =
- maksimum interferencyjne
Maksimum interferencyjne w punkcie P:
Różnica dróg przebytych przez fale ze źródeł Z
1
i Z
2
do punktu P
równa jest całkowitej wielokrotności długości fali (przy założeniu,
że
1
=
2
) lub jest równa 0.
Przypadek 2
(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
cos(
)
1;
;
2
1
3
lub
...
2
2
A
A
A
r
r
r r
r r
r r
f
f
p
p
p
l
l
l
-
=-
-
=
= -
-
=
-
=
-
=
(2
1)
2
r
n
l
D =
+
- minimum interferencyjne
Minimum interferencyjne w punkcie P:
Różnica dróg przebytych przez fale ze źródeł Z
1
i Z
2
do punktu
P równa jest nieparzystej wielokrotności połowy długości fali.
Fale stojące
Rozpatrzmy przypadek interferencji fal: „biegnącej” i odbitej.
Falę płaską biegnącą wzdłuż osi x opisuje równanie:
1
1
0
sin2 (
)
t
x
y
A
T
p
l
=
-
Fala odbita przebywa dodatkową drogę (2x) do P.
1
2
0
2
sin2 [
(
)]
t
x
x
y
A
d
T
p
l
p
=
-
-
+
Wynik interferencji w punkcie P:
1
1
0
1
1
2
2
2
2
2 2
2
2 cos
2
2
2
2
2
2 2
2
sin
2
t
x
t
x
x
d
T
T
y
A
t
x
t
x
x
d
T
T
p
p
p
p
p
p
l
l
l
p
p
p
p
p
p
l
l
l
-
-
+
+
+
=
�
-
+
-
-
-
1
0
2 cos[2 (
)] sin[2 (
)]
2
2
x d
t
x x d
y
A
T
p
p
l
l
+
=
+
�
-
-
Wprowadźmy parametr
d
w celu scharakteryzowania warunków
odbicia (od ściany sztywnej fala odbija się ze zmianą fazy na
przeciwną, od swobodnego końca bez zmiany fazy).
Zatem równanie opisujące falę odbitą ma postać:
Amplituda w punkcie P
0
2 cos[2 (
)]
2
x d
A
A
p
l
=
+
*)
Ze wzoru *) wynika, że amplituda drgań cząstki (np. liny, węża
gumowego) zależy od odległości cząstki (punktu P) od końca B (liny,
węża), czyli od x.
Dla x = 0, A = 0 (sznur przymocowany do ściany)
Wtedy
cos[2 (
)] 0
2
x d
p
l
+
=
zaś
2 (
)
2
2
x d
p
p
l
+
=
ponieważ x = 0 to
1
2
d =
.
2
1
2
2
d
p
j
p
j
j
p
=
=
=
Jeśli koniec jest nieruchomy faza przy odbiciu fali zmienia się na przeciwną.
W punkcie B jest węzeł fali (A = 0).
W jakich położeniach cząstki liny mają maksymalną amplitudę ?
cos[2 (
)]
1
2
2 (
)
2
2
1
2
1
2
(
)
2 2
2
4
x d
x d
n
x
n
x
n
n
x
p
l
p
p
l
l
l
l
l
+
=�
+
=
+ =
= -
=
-
Licząc od
ściany
1
3
5
'
; "
; "'
4
4
4
x
x
x
l
l
l
=
=
=
W odległościach x’, x”, x”’ powstają strzałki (cząstki mają maksymalną amplitudę)
1
2
d =
Obliczamy położenia węzłów:
A = 0 zatem:
1
cos[2 (
)] 0
4
1
2 (
) (2
1)
4
2
2
x
x
n
x n
p
l
p
p
l
l
+
=
+ =
+
=
Węzły powstają w położeniach (licząc od końca liny B)
*
**
***
0;
;
; ...
2
x
x
x
l
l
=
=
=
Zakładamy teraz, że koniec liny jest swobodny. Na końcu liny powstaje strzałka:
cos[2 (
)] 1
2
2 (
) 0
2
0
2
x d
x d
x d
p
l
p
l
l
+
=
+
=
+ =
Jeśli x = 0, to i d = 0.
Przy odbiciu od swobodnego końca fale odbijają się bez zmiany fazy.
Położenie strzałek i węzłów można obliczyć podobnie jak wyżej.
Prędkość grupowa
Rozważmy przypadek, gdy w danym ośrodku biegną fale o długości
z
prędkością
n
r
oraz o długości (
+ d) z prędkością
(
)
d
n
n
+
r
r
Obie fale biegną w kierunku osi x (rysunek).
Obliczamy prędkość u wierzchołka fali powstałej w wyniku superpozycji
obu fal.
U – prędkość grupowa
W chwili t = 0 wierzchołek „grupy” fal znajduje się w punkcie B (B’). Po
czasie t wierzchołek „grupy” fal przesunął się na odległość s (teraz
zgodne fazy mają punkty A i A’).
Zatem
s
U
t
=
ale
s vt l
= -
stąd
U v
t
l
= -
*)
Z rysunku
(
)
d
v dv t vt t dv
d
t dv
d
t
dv
l
l
l
= +
-
= �
= �
=
podstawiamy do wzoru *)
dv
U v
d
l
l
= -
Jeśli w ośrodku nie występuje tzw. dyspersja to
0
dv
dl
=
U <
- prędkość fazowa
wtedy U = v
Zasada Huygensa-Fresnela. Ugięcie fal.
Treść zasady Huygensa-Fresnela składa się z przyjętych bez dowodu postulatów:
1. Źródło fali Z można zastąpić układem fikcyjnych źródeł fal wtórnych.
Jako te fikcyjne źródła można przyjąć małe odcinki zamkniętej
powierzchni otaczającej źródło Z.
2. Źródła wtórne są spójne. Za powierzchnię S przyjmuje się
powierzchnię falową. Wtedy fazy drgań źródeł wtórnych są takie same, a
także moce wtórnych źródeł są jednakowe.
3. Amplituda fali wtórnej jest tym mniejsza im większy jest kąt
, jaki
tworzy kierunek fali z
normalną do powierzchni. Amplituda = 0, gdy
2
p
a �
Nie istnieją fale wsteczne.
4. Jeżeli część powierzchni S jest zasłonięta, fale wtórne wysyłane są tylko
przez odsłoniętą część powierzchni S. Wysyłanie fal odbywa się tak, jak w
nieobecności osłony.
Każdy punkt ośrodka, w którym rozchodzi się fala jest źródłem fal
cząstkowych; obwiednia fal cząstkowych tworzy czoło fali (powierzchnie
falową).
Odbicie fali. Prawo odbicia.
- kąt padania
- kąt odbicia
AD = BC
(fala cząstkowa rozejdzie
się na odległość AD w
czasie, w którym czoło
fali padającej przebędzie
odległość CB)
z przystawania trójkątów
(kąty
o
ramionach
wzajemnie prostopadłych
są sobie równe)
b a
=
prawo odbicia
Kąt odbicia fali równa się kątowi padania.
ACB
ADB
D
=D
CAB
ABD
=
R
R
CAB a
=
R
ABD b
=
R
Załamanie fali. Prawo załamania.
– kąt załamania
1 – prędkość fali padającej w ośrodku I
2 – prędkość fali załamanej w ośrodku II
1
2
;
CB vt AB vt
=
=
ramiona
wzajemnie
prostopadłe
1
2
sin
; sin
vt
v t
AB
AB
a
b
=
=
1
1
2/1
2
2
sin
sin
vt
v
n
v t v
a
b
=
= =
współczynnik
załamania
ośrodka II
względem I
1
2/1
2
sin
sin
;
sin
sin
v
n
v
a
a
b
b
=
=
prawo załamania
CAB
ABD
a
b
=
=
R
R
Natężenie fali
Rozchodzenie się fali polega na przekazywaniu energii (w przypadku fal
mechanicznych – przekazywaniu energii ruchu drgającego cząstek
ośrodka).
Natężeniem fali nazywamy wielkość liczbową równą ilości energii
przenoszonej w jednostce czasu przez jednostkę powierzchni
prostopadłą do kierunku rozchodzenia się fali.
2
[
]
J
I
S t
ms
e
=
D
Ponieważ energia ruchu drgającego cząstek ośrodka jest proporcjonalna
do kwadratu amplitudy drgań wokół ich położeń równowagi (
~ A
2
)
zatem natężenie fali jest również proporcjonalne do kwadratu amplitudy
fali.
2
I A
:
~
Tłumienie fal
Rozchodzeniu się fali w ośrodku towarzyszy pochłanianie energii
(część energii drgań zamienia się w energię ruchu cieplnego).
Załóżmy, że fala płaska przechodzi przez warstwę substancji o
grubości x. Natężenie fali zmienia się od wartości I
0
do I, przy czym I
< I
0
.
Przeźroczystość danej substancji D dla danej fali wyraża się stosunkiem:
0
I
D
I
=
Przyjmując, że ilość energii pochłoniętej w warstwie o grubości dx w
jednostce czasu i w jednostkowej powierzchni jest proporcjonalna do I i
dx, możemy zapisać:
dI
Idx
b
=-
gdzie:
– współczynnik pochłaniania energii w ośrodku
dI
dx
I
b
=-
Całkując stronami otrzymujemy:
lnI
x C
b
=-
+
C wyznaczamy z warunków początkowych – jeśli x = 0, to I = I
0
lnI
0
= C
Zatem
0
0
0
0
0
ln
ln
ln
ln
ln
x
x
I
x
I
I
I
x
I
x
I
I
e
I
I I e
b
b
b
b
b
-
-
=-
+
-
=-
=-
=
=
Wniosek:
Natężenie fali wykładniczo maleje z grubością warstwy (przy stałym
).
Elementy akustyki
Fale akustyczne są to fale podłużne rozchodzące się w ośrodku
sprężystym. Źródłami fal akustycznych (głosowych) są ciała drgające
(struny, membrany).
Ucho ludzkie odbiera fale głosowe w przedziale częstości 20 – 20 000
Hz. Fale o częstości
f < 20 Hz nazywamy infradźwiękami
,
a o częstości
f > 20 000 Hz ultradźwiękami
.
Tzw. szumy nie maja charakteru periodycznego.
Odpowiada im ciągły zakres częstości.
W zależności od kształtu widma akustycznego rozróżniamy:
1. tony
2. dźwięki
3. szumy
Dźwięki słyszalne charakteryzujemy podając:
1. częstość drgań (wysokość dźwięku)
2. amplitudę drgań (głośność – natężenie dźwięku)
3. widmo akustyczne (barwę dźwięku)
f
f
f
f
0
f
0
2f
0
4f
0
Za głośność wzorcową przyjmujemy głośność dźwięku o częstości 1 kHz
i natężeniu I
0
= 10
-12
J/m
2
s (próg słyszalności)
Głośność dźwięku o tej samej częstości i o innym natężeniu I określamy
prawem Webera:
0
lg
I
I
b =
Głośność wyrażamy w belach (B) lub decybelach (dB):
1dB = 0,1 B
Np. I = 1000 I
0
, to
= lg1000 = 3 B = 30 dB
Głośność dźwięku o innej częstości porównujemy z głośnością
dźwięku o częstości 1 kHz. Wówczas głośność wyrażamy w
fonach
.
Tzn. jeśli dany dźwięk wydaje się „tak samo głośny” jak dźwięk o
częstości
1 kHz i głośności
dB, to jego głośność określamy jako fonów.
Próg bólu: 120 dB przy f = 5000 Hz
szelest liści
rozmowa
hałas uliczny
fortissimo orkiestry
10 – 20 dB
50 – 70 dB
80 – 90 dB
90 – 100 dB
Zjawisko Dopplera
Gdy źródło jest nieruchome to w czasie t wysyła n zagęszczeń.
W tym czasie pierwsze zagęszczenie przebędzie odległość
s = Vdt
d
d
V t V
n
l
g
=
=
1.Ruchome źródło dźwięku, nieruchomy obserwator
Jeśli Z porusza się z prędkością Vz, to n zagęszczeń znajdzie się w odległości:
1
(
)
d
z
d
z
s V t Vt
V V t
=
-
=
-
W tym przypadku
(
)
'
d
z
V V t
n
l
-
=
ale
, zaś
Zatem
, ale
więc
'
'
d
V
l
g
=
'
'
d
V
g
l
=
'
(
)
d
d
Z
V n
V V t
g =
-
n
t
g
=
'
d
d
z
V
V V
g g
=
-
1
'
1
z
d
V
V
g
g
=
-
Jeśli źródło oddala się od obserwatora to :
2.Nieruchome źródło dźwięku, obserwator porusza się z prędkością V
o
1
'
1
z
d
V
V
g
g
=
+
;
;
s
n
n
t
n
t
l
g
g
=
=
=
t’ – czas, w którym obserwator minie n zagęszczeń
'
'
n
t
g
=
(
) '
(
) '
(
)
'
(
)
'
d
d
o
d
d
o
d
o
d
d
o
d
s V t
s V V t
V t
V V t
n
V V n
V
V V
V
g
g
g g
=
=
+
=
+
+
=
+
=
'
(1
)
o
d
V
V
g
g
=
+
Document Outline
