1

Rozwiązywanie obwodów SLS

 

 

t

i

t

i

C1

1



 

 

t

i

t

i

C2

2



 

 

 

t

i

t

i

t

i

C

C

2

1

3





2

Rozwiązywanie obwodów SLS

  

   



 

 

 

 

 





































dt

t

i

C

t

i

R

dt

t

i

C

C

dt

t

di

L

dt

t

di

L

L

t

i

R

R

t

E

C

C

C

C

C

C

2

3

2

3

1

3

1

2

3

1

3

1

1

3

1

1

1

1

1

  

   



 

 

 

 

 







































dt

t

i

C

t

i

R

dt

t

i

C

C

dt

t

di

L

dt

t

di

L

L

t

i

R

R

t

E

C

C

C

C

C

C

1

3

1

3

2

3

2

1

3

2

3

2

2

3

2

2

1

1

1

3

Rozwiązywanie obwodów SLS

Prąd płynący
do
oznaczonego
wyprowadze
nia cewki
indukuje w
drugiej
cewce
napięcie
skierowane
do
wyprowadze
nia
oznaczonego
tym samym
znakiem

4

Rozwiązywanie obwodów SLS

 

 

 

 





 

 





 

 

 





t

i

t

i

R

dt

t

di

M

dt

t

i

t

i

d

M

dt

t

i

t

i

d

L

t

i

R

t

E

C

C

C

C

C

C

C

C

2

1

2

3

13

3

2

12

2

1

1

1

1

1

















5

Rozwiązywanie obwodów SLS

 

 





 

 





 

 





 

 

 





 

 





 

dt

t

di

M

dt

t

i

t

i

d

M

dt

t

i

t

i

d

L

dt

t

di

M

dt

t

i

t

i

d

M

dt

t

i

t

i

d

L

t

i

t

i

R

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

3

23

2

1

12

3

2

2

3

13

3

2

12

1

2

1

1

2

2

0



























6

Rozwiązywanie obwodów SLS

 

 





 

 

 





 

 

 





 

 





 



























dt

t

i

C

dt

t

i

t

i

d

M

dt

t

i

t

i

d

M

dt

t

di

L

dt

t

i

t

i

d

M

dt

t

di

M

dt

t

i

t

i

d

L

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

3

3

2

1

13

3

2

23

3

3

2

1

12

3

23

2

3

2

1

0

7

Rozwiązywanie obwodów SLS w

stanie nieustalonym - warunki

początkowe

Warunki początkowe pozwalają na znalezienie
rozwiązań szczególnych równań różniczkowych
opisujących obwody.

W chwili początkowej t = 0 stan energetyczny
układu biernego R, L, C określony jest poprzez
energię zgromadzoną w polu elektrycznym
kondensatorów oraz w polu magnetycznym
cewek. Energie te są równe:

 

0

2

2

1

t

CU

W

C

C



 

0

2

2

1

t

Li

W

L

L



8

Rozwiązywanie obwodów SLS w

stanie nieustalonym - prawo

komutacji

Jeżeli oznaczymy: t = 0

-

chwilę tuż przed

zmianą stanu energetycznego obwodu, t = 0

+

chwilę tuż po zmianie stanu energetycznego
obwodu, to na mocy prawa zachowania energii
można zapisać relacje:

 

 







0

0

C

C

W

W

   







0

0

L

L

W

W

 

 

0

0

0

C

C

C

U

U

U









   

0

0

0

L

L

L

i

i

i









9

Rozwiązywanie obwodów SLS w

stanie nieustalonym - prawo

komutacji

W przypadku obwodów zawierających
elementy idealne prawo komutacji może nie
być spełnione !!!

Niech

 







t

m

e

E

t

E

 

 

V

U

U

C

C

0

0

0

2

1









10

Rozwiązywanie obwodów SLS w

stanie nieustalonym - prawo

komutacji

Gdyby spełnione było prawo komutacji czyli
to nie byłoby spełnione drugie prawo
Kirchhoffa dla chwili t = 0

+

!!!

 

 

V

U

U

C

C

0

0

0

2

1









 

0

0







m

E

E

11

Rozwiązywanie obwodów SLS w

stanie nieustalonym - prawo

komutacji

Korzystając z prawa
zachowania ładunku,
można zapisać:

 

 

 

   



























m

C

C

C

C

E

E

U

U

U

C

U

C

0

0

0

0

0

0

2

1

1

1

2

2

0

1

2



 q

q

 

 

























2

1

1

2

2

1

2

1

0

0

C

C

C

E

U

C

C

C

E

U

m

C

m

C

12

Rozwiązywanie obwodów SLS w

stanie nieustalonym - warunki

początkowe

13

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

Przykład 1. Obliczyć przebieg prądu i napięcia dla
kondensatora C.

 

 















A

i

V

U

C

C

0

0

0

0

14

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

• Warunki początkowe dla czasu t = 0

+

 

 

















1

1

0

0

0

R

E

i

V

U

C

C

Kondensator, na
którym panowało
napięcie równe zeru
w chwili t = 0

-

,

stanowi w chwili t =
0

+

zwarcie!!!

15

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

 

 

Cs

Cp

C

U

t

U

t

U





Składowa
przejściowa

Składowa
ustalona

16

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

Składową ustaloną obliczamy dla t = 

3

1

3

1

3

1

3

1

1

1

R

R

R

E

R

R

R

R

R

E

U

Cs









 

 

3

1

3

1

R

R

R

E

t

U

t

U

Cp

C







17

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

• Obliczenie
składowej
przejściowej:

 

 

 

3

1

1

1

R

t

U

dt

t

dU

C

R

t

U

R

E

C

C

C







18

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

 

 

 

3

1

1

1

R

t

U

dt

t

dU

C

R

t

U

R

E

C

C

C







 

 

3

1

3

1

R

R

R

E

t

U

t

U

Cp

C









 



 

 

 

3

1

3

1

1

3

1

1

3

1

1

1

R

t

U

dt

t

dU

C

R

t

U

R

R

E

R

R

R

R

E

R

E

Cp

Cp

Cp















 

 

t

U

R

R

R

R

dt

t

dU

C

Cp

Cp

3

1

3

1

0







19

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

 

 

t

U

R

dt

t

dU

C

Cp

w

Cp

1

0





3

1

3

1

R

R

R

R

R

w





gdzie

 

 







dt

C

R

t

U

t

dU

w

Cp

Cp

1

 

'

ln

A

t

U

C

R

t

Cp

w







 

C

R

t

Cp

w

Ae

t

U





Stałą A obliczamy z
warunków początkowych,
dla t = 0

+

 

 

A

R

R

R

E

U

U

U

Cp

Cs

C















3

1

3

1

0

0

3

1

3

1

R

R

R

E

A







20

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

• Przebieg
napięcia:

 

 

3

1

3

1

R

R

R

E

t

U

t

U

Cp

C







 

C

R

t

Cp

w

e

R

R

R

E

t

U









3

1

3

1

 

























C

R

t

C

w

e

R

R

R

E

t

U

1

3

1

3

1

0

100

200

300

400

500

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

R

1

+R

3

E

1

R

3

U

C

(t

)

Czas - t

Wielkość  = R

w

C

nazywamy stałą
czasową obwodu typu
RC.

21

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

• Przebieg
prądu:

 

 

C

R

t

C

C

w

e

R

E

dt

t

dU

C

t

i







1

1

0

200

400

600

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

R

1

E

1

I

C

(t

)

Czas - t

22

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

 

 































C

R

t

C

R

w

e

R

R

R

R

E

R

t

U

t

i

1

3

1

1

3

1

1

1

W podobny sposób można obliczyć
pozostałe przebiegi prądów.

 

 































C

R

t

C

R

w

e

R

R

E

R

t

U

t

i

1

3

1

1

3

3

23

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

W przypadku obwodu z jednakowymi opornikami
R

1

= R

2

= R

3

= R przebiegi prądów wyrażają

zależności:

 

C

R

t

C

e

R

E

t

i

2

1





 



























C

R

t

R

e

R

E

t

i

2

1

1

2

1

 



























C

R

t

R

e

R

E

t

i

2

1

1

2

3

24

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

0

200

400

600

800

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

i

R

1

(t) oraz i

R

3

(t)

i

C

(t)

2R

E

1

R

E

1

P

rz

e

bi

e

gi

p

rą

dó

w

Czas - t

25

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

Przykład 2. Obliczyć przebieg prądu i napięcia dla
kondensatora C.

Dla t  0

-

, napięcie

na kondensatorze
C jest równe

U

C0

= U

C

(0

-

) =

J

2

R

2

Dla t  
U

C

() = E

1

2

26

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

 

 

1

1

0

0

R

U

E

i

C

C









Analiza obwodu
dla czasu t = 0

+

27

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

Analiza obwodu
dla czasu t > 0

+

 

 

 













0

1

0

1

1

C

t

C

C

U

dt

t

i

C

t

i

R

E

dt

d

28

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

 

 

t

i

C

dt

t

di

R

C

C

1

0

1





W obwodzie, dla czasu
t > 0

+

płynie tylko

składowa przejściowa
prądu, ponieważ i

C

()

= 0

29

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

 

 

t

i

C

dt

t

di

R

C

C

1

0

1





 

C

R

t

C

Ae

t

i

1





 

 

A

R

U

E

i

C

C











1

1

0

0

 

 

C

R

t

C

C

e

R

U

E

t

i

1

1

1

0









0

5

10

15

20

25

30

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

U

C

(0

+

) = 1V; E

1

= 10V

U

C

(0

+

) = 3V; E

1

= 10V

U

C

(0

+

) = 5V; E

1

= 10V

U

C

(0

+

) = 7V; E

1

= 10V

i

C

(t

)

Czas - t

30

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

 

 

 





C

R

t

C

C

C

e

U

E

E

R

t

i

E

t

U

1

0

1

1

1

1















Przebieg napięcia
na kondensatorze
C można obliczyć
jako całkę z prądu
lub jako różnicę
pomiędzy
napięciem źródła
E

1

i spadkiem

napięcia na
oporniku R

1

.

31

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

-5

0

5

10

15

20

25

30

0

2

4

6

8

10

U

C

(0

+

) = 1V; E

1

= 10V

U

C

(0

+

) = 3V; E

1

= 10V

U

C

(0

+

) = 5V; E

1

= 10V

U

C

(0

+

) = 7V; E

1

= 10V

U

C

(t

)

Czas - t

32

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

Przykład 3. Obliczyć przebieg prądu i napięcia
dla cewki L.

Przebiegi te można
obliczyć licząc
najpierw przebieg
prądu lub przebieg
napięcia.

 

A

i

L

0

0 



 

V

U

L

0

0 



33

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

 

A

i

L

0

0 



 

1

0

E

U

L





Cewka przez którą
nie płynął prąd w
chwili t = 0

-

stanowi

w chwili t = 0

+

rozwarcie !!!

34

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

Przedstawiając obwód dla
chwili t = , można

obliczyć składową stałą
prądu i

Ls

:

 

1

1

R

E

i

i

L

Ls







 

 

Ls

Lp

L

i

t

i

t

i





35

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

 

 

dt

t

di

L

R

t

i

E

L

L





1

1

 

 

dt

t

di

L

R

t

i

Lp

Lp





1

0

 

 

dt

L

R

t

i

t

di

Lp

Lp

1







36

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

 

'

A

t

L

R

t

i

ln

Lp







1

 

t

L

R

Lp

Ae

t

i

1





Stałą A obliczyć można z warunków
początkowych

   

0

0

0









L

L

i

i

 

0

0

1

1











R

E

A

i

i

Ls

Lp

1

1

R

E

A 



 





















t

L

R

L

e

R

E

t

i

1

1

1

1

37

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

Wielkość  = L / R

1

nazywamy stałą

czasową obwodu typu RL

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0

E

1

/R

1

Duża stała czasowa



Mała stała czasowa



i

L

(t

)

Czas - t

38

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

Przebieg napięcia
można wyznaczyć z
zależności:

 

 

1

1

R

t

i

E

t

U

L

L





 

L

t

R

L

e

E

t

U

1

1





39

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

0

10

20

30

40

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

E

1

Duża stała czasowa



Mała stała czasowa



U

L

(t

)

Czas - t

40

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

1

1

1

R

E

J 

Można najpierw obliczyć napięcie,
transformując źródło napięciowe do postaci
prądowej.

41

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

 

 

 













0

1

0

1

1

L

t

L

L

i

dt

t

U

L

R

t

U

J

dt

d

 

 

t

U

L

dt

t

dU

R

L

L

1

1

0

1





 

L

t

R

L

e

E

t

U

1

1





 

L

t

R

L

Ae

t

U

1





 

1

0

E

U

L





42

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

Przykład 4. Obliczyć przebieg prądu i napięcia
dla cewki L.

 

2

0

J

i

L





43

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

 

 

 













0

1

0

1

1

L

t

L

L

i

dt

t

U

L

R

t

U

J

dt

d

44

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

 





1

2

1

1

1

2

1

0

R

J

R

E

R

J

J

U

L























 

L

t

R

L

Ae

t

U

1





 

L

t

R

L

e

R

J

R

E

t

U

1

1

2

1

1



















45

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

 

 

1

1

1

R

t

U

R

E

t

i

L

L





 

L

t

R

L

e

J

R

E

R

E

t

i

1

2

1

1

1

1





















46

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

0

10

20

30

40

50

0

2

4

6

8

10

J

2

niewiele mniejsze od J

1

J

2

dużo mniejsze od J

1

U

L

(t

)

Czas - t

47

Stany nieustalone - metoda równań

różniczkowych

0

10

20

30

40

50

0

2

4

6

8

10

J

2

niewiele mniejsze od J

1

J

2

dużo mniejsze od J

1

i

L

(t

)

Czas - t

48

Stany nieustalone - obwody z

pobudzeniem harmonicznym

Przykład 5. Obliczyć przebieg prądu i napięcia
dla cewki L.

 





4

10

10

2







t

cos

t

E

t

j

j

e

e

E







4

2

2

10

E

1

= 5V, R =

10 ,
L = 1 H

 

R

E

i

L

1

0 



 

0

0 



L

U

49

Stany nieustalone - obwody z

pobudzeniem harmonicznym

 

 

 

dt

t

di

L

R

t

i

t

E

L

L





2

 

 

 

t

f

t

i

dt

t

di

L

L







1

R

L





 

 

t

E

L

t

f

2

1



50

Stany nieustalone - obwody z

pobudzeniem harmonicznym

 

 

 

t

f

t

i

dt

t

di

L

L







1



t

e

 

 

 













t

t

L

t

L

e

t

f

e

t

i

e

dt

t

di

1

Wzór rozwinięty
na pochodną
iloczynu.

 

 





















t

t

L

e

t

f

e

t

i

dt

d



51

Stany nieustalone - obwody z

pobudzeniem harmonicznym

 

 











A

dt

e

t

f

e

t

i

t

t

L

 

 

















t

t

t

L

Ae

dt

e

t

f

e

t

i





t

e

Całka szczególna funkcji
wymuszającej nie zależy od
warunków początkowych

Rozwiązanie ogólne
zależy od warunków
początkowych oraz
parametrów obwodu

52

Składowa
przejściowa ma
charakter funkcji
dążącej do zera

 

 

















t

t

t

L

Ae

dt

e

t

f

e

t

i

Stany nieustalone - obwody z

pobudzeniem harmonicznym

Składowa wymuszona
- i

w

(t)

Składowa przejściowa
- i

p

(t)

 

0







t

i

p

t

Składowa
wymuszona ma
charakter funkcji
wymuszającej

53

Stany nieustalone - obwody z

pobudzeniem harmonicznym

• Obliczenie składowej
wymuszonej - i

w

(t)

 





4

10

10

2







t

cos

t

E

10





 

10

10 j

j

Z







 

4

2

10







j

e

j

Z

54

Stany nieustalone - obwody z

pobudzeniem harmonicznym

Wartość symboliczna składowej
wymuszonej - i

w

(t) wyniesie zatem:

 

A

e

e

Iˆ

j

j

w

2

1

2

10

2

10

4

4









 





 

 

A

t

cos

e

Iˆ

Re

t

i

t

j

w

w

10

2

1

2

10





55

Stany nieustalone - obwody z

pobudzeniem harmonicznym

• Obliczenie składowej
przejściowej - i

p

(t)

 

 

 

t

f

t

i

dt

t

di

L

L







1

Rozwiązujemy
równanie:

Dla składowej przejściowej prądu i

p

(t), przy braku

działania źródła wymuszjącego !!!

 

 

0

1







t

i

dt

t

di

p

p

 







t

p

Ae

t

i

56

Stany nieustalone - obwody z

pobudzeniem harmonicznym

• Obliczenie rozwiązania
ogólnego - i

L

(t)

 

 

 

 













t

p

w

L

Ae

t

cos

t

i

t

i

t

i

10

2

1

Stałą A oblicza się korzystając z prawa
komutacji:

   

 

A

,

A

R

E

i

i

L

L

5

0

2

1

0

0

1















 

A

,

,

A

207

0

2

1

5

0









57

Stany nieustalone - obwody z

pobudzeniem harmonicznym

 

 









t

L

e

,

t

cos

t

i

207

0

10

2

1

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

i

w

(t)

i

p

(t)

i

L

(t)

P

rz

e

bi

e

gi

p

rą

d

u

Czas - t

58

Stany nieustalone - obwody z

pobudzeniem harmonicznym

 

 

 















t

L

L

e

,

t

sin

dt

t

di

L

t

U

207

0

10

2

10

 

s

,

R

L

1

0







0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

U

w

(t)

U

p

(t)

U

L

(t)

P

rz

e

bi

eg

i n

ap

ię

ci

a

Czas - t