Projektowanie URA



Synteza sterowania



Wtedy gdy układ dynamiczny nie zachowuje się w

sposób pożądany musimy zaprojektować regulator



Pierwszym krokiem w projekcie regulatora jest

ustalenie jego struktury. Trzy najprostsze

struktury dla to:



wzmocnienie



pojedyncze zero



pojedynczy biegun



Wzmocnienie i pojedynczy biegun występowały już

wcześniej przy okazji rozważań na temat uchybu

ustalonego:



Integrator

w pętli jednostkowego sprzężenia

zwrotnego jest szczególnym przypadkiem

pojedynczego bieguna; implikuje zerowy uchyb

ustalony na wymuszenie skokowe

)

(s

G



_

r

y

)

(s

K

)

(s

K



Synteza sterowania



Występuje również ważna struktura

sterowania, która jest szczególnym

przypadkiem pojedynczego zera, gdy jest

ono w początku układu współrzędnych:

sterowanie różniczkujące



Waga elementów

p

roporcjonalnego

(wzmocnienie), różniczkującego (ang.

d

erivative) i całkującego (ang.

i

ntegral)

jest od dawna uznana w sterowaniu.

Regulator, który uwzględnia te trzy

efekty nazywany jest regulatorem

proporcjonalno-całkująco-różniczkującym,

czyli

PID

)

1

1

(

)

(

d

i

p

sT

sT

K

s

K









Synteza sterowania



Jednakże, okazuje się, że przypadek pojedynczego

zera chociaż teoretycznie akceptowalny to w

praktyce nie jest realizowalny fizycznie.

Rozwiązaniem jest dodanie zarówno zera jak i

bieguna i utworzenie struktury o ogólnej postaci

jak poniżej



Gdy zero ma mniejszą wartość (co do modułu) niż

biegun wówczas taki regulator nazywamy

wyprzedzającym fazę (ang.

lead

controller). W

przeciwnym przypadku nazywamy go regulatorem

opóźniającym fazę (ang.

lag

controller).

p

s

z

s

K

s

K







)

(



Synteza sterowania – własności

regulatorów

Regulator

Odpowiedź

przejściowa

Uchyb statyczny

Proporcjonalny

(P)

Może poprawić

zazwyczaj nie

zero

Różniczkujący

(D)

zwiększa

tłumienie i

poprawia

stabilność

zazwyczaj nie

zero

Całkujący (I)

może pogorszyć

stabilność

Jeśli wzm. DC

obiektu jest

różne od zera,

sterowanie (I)

sprowadza

uchyb do zera

PI

kombinacja P , I

kombinacja P, I

PD

kombinacja P, D

kombinacja P, D

PID

kombinacja P, I,

D

kombinacja P, I,

D

Wyprzedzający

fazę

Zmniejsza czas

narastania

zwiększa

tłumienie

zazwyczaj nie

zero

Opóźniający fazę

pogarsza

stabilność

zmniejsza uchyb



Projekt regulatora P



Załóżmy, że chcemy zaprojektować regulator P,

który zagwarantuje zapas fazy 60º i pasmo

przenoszenia co najmniej 0.5 rad/sec dla obiektu

(silnik DC)



Krok1:

Narysujmy charakterystyki obiektu

nie spełniają

założeń

)

1

(

1

)

(

)

(

)

(







s

s

s

V

s

s

G

a



Frequency (rad/sec)

P

ha

se

(

de

g)

; M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Bode Diagrams

-60

-40

-20

0

20

40

Gm = Inf, Pm=51.827 deg. (at 0.78615 rad/sec)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-180

-160

-140

-120

-100

-80



Projekt regulatora P



Czy zwykłe wzmocnienie wystarczy?



Krok 2:

Znajdź częstotliwość dla której faza jest równa –

180º+PM=-120º. Odpowiedź: około



Krok 3:

Czy częstotliwość dla której faza=-120º jest

większa niż wymagane pasmo przenoszenia ? Tak, gdyż



Krok 4:

Jeżeli odpowiedź w Kroku 3 jest nie, to samo

wzmocnienie nie wystarczy. Jeżeli jest tak, to

przyjmujemy jako częstotliwość

odcięcia układu otwartego (aproksymacja pasma

przenoszenia układu zamkniętego) ustalając

wzmocnienie regulatora jako odwrotność wzmocnienia

układu dla tej częstotliwości. W naszym przypadku



Krok 5:

Rysujemy charakterystyki skompensowanego

układu

sec

/

57

.

0

rad





5

.

0

57

.

0







sec

/

57

.

0

rad





3

/

2

5

.

1

/

1

5

.

1

)

57

.

0

(









K

j

G

K

s

K



)

(



Projekt regulatora P



Rysunek pokazuje, że wymaganie zapasu fazy jest spełnione



Krok 6:

Narysuj wykres Bode’go

układu zamkniętego i zmierz

pasmo przenoszenia. Wymagania są spełnione

Frequency (rad/sec)

P

ha

se

(

de

g)

; M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Bode Diagrams

-60

-40

-20

0

20

40

Gm = Inf, Pm=60 deg. (at 0.57735 rad/sec)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-180

-160

-140

-120

-100

-80

Frequency (rad/sec)

P

ha

se

(

de

g)

; M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Bode Diagrams

-60

-40

-20

0

20

From: U(1)

10

-1

10

0

10

1

-200

-150

-100

-50

0

To

: Y

(1

)

5

.

0

92

.

0





B



3



3

/

2

)

( 

s

K

nieskompensowany



Regulator PD



Regulator PD ma następującą

transmitancję (patrz powyżej)



A oto jego charakterystyki

częstotliwościowe dla





1

)

(

)

(







s

T

K

s

KD

s

K

d

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

0

10

20

30

40

50

M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

0

20

40

60

80

100

Frequency (rad/sec)

P

ha

se

(

de

gr

ee

s)

2

1







e

T

d

2

1



e

T

d



1

,

1





d

T

K

1



d

T



Projekt regulatora PD



Z charakterystyk częstotliwościowych widać, że

regulator PD ma stabilizujący wpływ na obiekt,

zwiększając przesunięcie fazowe powyżej

Zwiększając fazę w układzie nieskompensowanym

zwiększamy zapas fazy, który poprawia stabilność

(zwiększa tłumienie, rośnie)



Stosujemy ten regulator tak, aby punkt załamania

jego charakterystyki był w pobliżu częstotliwości

odcięcia, => większy zapas fazy.



Przykład:

Dla silnika DC, załóżmy, że chcemy

oraz . Projektując regulator P

dla częstotliwości odcięcia 1.51 rad/sec otrzymamy

tylko To nie wystarcza. Musimy więc

zaprojektować regulator PD, który zwiększy fazę.

2

1







e

T

d

100

/

PM





1



d

T

s

rad

B

/

5

.

1





º

34



PM

º

60



PM



Projekt regulatora PD



Krok 1:

chcemy aby pasmo przenoszenia było

większe niż 1.5, czyli np. . Wiemy, że pasmo

przenoszenia układu zamkniętego można

przybliżyć częstotliwością odcięcia układu

otwartego. A więc chcemy .



Krok 2:

Dla , faza nieskompensowanego

układu jest o 26º powyżej –180º. Czyli

potrzebujemy co najmniej 34º fazy aby otrzymać

PM=60º. Dla bezpieczeństwa przyjmijmy

dodatkowo 45º dla . Można to osiągnąć

ustalając gdyż regulator PD ma fazę 45º w

.



Krok 3:

narysujmy wykres Bode’go układu

skompensowanego i dostosujmy wzmocnienie

tak aby częstotliwość odcięcia była

2



B



2



c



2



c



2



c



2

1





d

T

1





d

T



2



c



10

2

2

1

2

1

1

)

(

)

(

1

2















c

c

c

c

c

j

j

j

j

G

j

D

K













K



Projekt regulatora PD



Step 4:

Draw Bode plots of open-loop

and closed-loop systems to show that

the specifications are met

Frequency (rad/sec)

P

ha

se

(

de

g)

; M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Bode Diagrams

-20

0

20

40

60

Gm = Inf, Pm=71.565 deg. (at 2 rad/sec)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-180

-160

-140

-120

-100

-80

Frequency (rad/sec)

P

ha

se

(

de

g)

; M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Bode Diagrams

-20

-15

-10

-5

0

5

From: U(1)

10

-1

10

0

10

1

-100

-80

-60

-40

-20

0

To

: Y

(1

)



B

=2.5





1

5

.

0

10

)

(





s

s

K

(otwarty)

(zamknięty)



Kompensator wyprzedzający fazę



Zaprojektowany został regulator PD w celu

stabilizacji systemu oraz zapewnienia

pożądanego pasma przenoszenia (bandwidth).



Rzut oka na charakterystykę Bode’go

regulatora PD pokazuje, że wzmocnienie

logarytmiczne rośnie ze wzrostem

częstotliwości



Jest to niepożądane ponieważ powoduje to

wzmocnienie szumów

wysokoczęstotliwościowych N zazwyczaj

występujących w rzeczywistych systemach

oraz dlatego że idealne różniczkowanie nie jest

realizowalne fizycznie



Dla wysokich częstotliwości wymagamy

































)

(

)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

j

K

j

G

j

K

j

G

j

K

j

G

j

N

j

Y

1

)

(

)

(







j

K

j

G

)

(

)

(





j

K

j

G



10

log

20



Kompensator wyprzedzający fazę



Aby osłabić efekt wzmacniania wysokich

częstotliwości regulatora PD dodajemy jeden

biegun odpowiadający częstotliwości

załamania charakterystyki regulatora PD w

mianowniku jego transmitancji



Wzrost fazy (lub wyprzedzenie) nadal

występuje ale wzmocnienie dla wysokich

częstotliwości jest ograniczone



Transmitancja kompensatora

wyprzedzającego fazę



Charakterytstyki częstotliwościowe

p

z

p

s

z

s

K

s

KD

s

K











,

)

(

)

(

p

arctg

z

arctg

j

K

p

z

K

j

K





























)

(

arg

)

(

,

)

(

2

2

2

2



Kompensator wyprzedzający fazę



The name lead compensation comes from the phase-lead

characteristic caused by the zero occuring first

10

,

1

,

10







p

z

K

10

-1

10

0

10

1

10

2

0

5

10

15

20

M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

10

-1

10

0

10

1

10

2

0

20

40

60

80

P

ha

se

(

de

gr

ee

s)

Frequency (rad/sec)



Kompensator wyprzedzający fazę



Częstotliwość dla której faza osiąga

maksimum i wartość fazy dla tej

częstotliwości można otrzymać następująco















1

/

1

/

)

sin(

2

)

(

1

1

)

(

0

)

(

1

/

1

1

/

1

)

(

max

max

max

max

2

max

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

max



























































































































z

p

z

p

zp

z

p

tg

zp

zp

p

zp

z

zp

p

zp

arctg

tg

z

zp

arctg

tg

p

zp

arctg

tg

z

zp

arctg

tg

tg

zp

p

z

zp

p

z

d

d

p

z

z

p

pz

z

zp

p

p

z

z

p

p

z

z

d

d







































z

p

pz

2

z

p

max





Kompensator wyprzedzający fazę



Jak widać z wykresu Bode’go, częstotliwość

odpowiadająca maksimum fazy jest w połowie między

zerem, a biegunem, tzn. jest

średnią geometryczną

częstotliwości odpowiadających zeru i biegunowi



Moduł dla częstotliwości o maksimum fazy wynosi



Wykres maksymalnego
przesunięcia fazowego jako
funkcji p/z pokazuje, że powyżej
85º p/z staje się b. duże



90º tylko dla
(tylko zero, nie ma bieguna)

p

z

K

j

K

z

p

p

p

z

z

K

zp

p

zp

z

K

j

K

















)

(

)

(

)

(

)

(

max

2

2

max





0

50

100

150

200

250

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

p/z



m

ax





)

/

(

z

p



Projekt kompensatora

wyprzedzającego fazę



W projekcie tego typu kompensatora mamy do

czynienia z trzema parametrami projektowymi

1.

Pasmo przenoszenia , które określa częstotliwość

odcięcia , czas narastania i czas ustalania

2.

Zapas fazy PM, który określa współczynnik tłumienia

i przeregulowanie

3.

Wzmocnienie dla małych częstotliwości, które określa

uchyb ustalony



kompensator można projektować ze względu na

PM i zwiększone pasmo przenoszenia lub PM i

zachowanie w stanie ustalonym.



Oba te sposoby różnią się tylko w części

początkowej

B



c



r

t

s

t



p

M



Projet kompensatora

wyprzedzającego fazę



Krok 1 (stan ustalony):

Wybierz wzmocnienie układu

otwartego K aby spełnić wymagania uchybowe



Krok 1 (pasmo przenoszenia):

Wybierz częstotliwość

odcięcia układu otwartego do dwóch razy mniej

niż żądane pasmo przenoszenia układu zamkniętego



Krok 2:

Oszacuj zapas fazy systemu przed kompensacją



Krok 3:

Przyjmij dodatkowy zapas fazy (5% do 10%

wiecej) i wyznacz potrzebne wyprzedzenie fazy



Krok 4:

Wyznacz



Krok 5:

Oblicz wzmocnienie kompensatora

i przyjmij (przyjmij dla

pasma przenoszenia)

max



)

sin(

1

)

sin(

1

max

max











p

z

p

z

K

j

K



max

)

(



c







max

)

(

/

c

j

G

z

p

K





c





Projekt kompensatora

wyprzedzającego fazę



Krok 5 daje wartość którą możemy użyć w

co razem z

daje parametry kompensatora



Krok 6:

Narysuj charakterystyki układu po

kompensacji i sprawdź z założeniami. Jeśli

spełnione - zakończ, jeśli nie wróć do Kroku 2 i

rozpocznij kolejną iterację.



Przykład 1 (pasmo przenoszenia):

Ten sam przykład

co dla PD



Krok 1:

Wybierz .



Krok 2:

Dla , zapas fazy wynosi26º .



Krok 3:

Potrzeba co najmniej 34º dodatkowo aby

PM=60º. Na wszelki wypadek dodajmy 45º w

max



zp



max



)

sin(

1

)

sin(

1

max

max











p

z

s

rad

B

/

5

.

1





º

60



PM

s

rad

c

/

2





2



c



2



c



-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Real Axis

Im

ag

A

xi

s



Projekt kompensatora

wyprzedzającego fazę



Krok 4:



Krok 5:

1716

.

0

2

2

2

2

)

4

/

sin(

1

)

4

/

sin(

1



















p

z

8

.

10

1716

.

0

1

5

2

)

(

/

5

2

1

)

(













K

j

G

z

p

K

j

G

c

c





829

.

0

1716

.

0

,

828

.

4

4

1716

.

0

1716

.

0

4

2

2

2

max



























p

z

p

p

p

z

Niech

zp

zp

c





828

.

4

829

.

0

8

.

10

)

(







s

s

s

K

Frequency (rad/sec)

P

ha

se

(

de

g)

; M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Bode Diagrams

-100

-50

0

50

Gm = Inf, Pm=71.539 deg. (at 2.0009 rad/sec)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-180

-160

-140

-120

-100

-80



Projekt kompensatora

wyprzedzającego fazę



Krok 6:

Wszystkie założenia spełnione



Bode plots of open-loop uncompensated and compensated

systems show the effect of phase lead

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-50

0

50

M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Uncompensated
Compensated

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-180

-160

-140

-120

-100

-80

P

ha

se

(

de

gr

ee

s)

Frequency (rad/sec)

10

-1

10

0

10

1

10

2

-60

-40

-20

0

M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Bode Plot for Closed-Loop System

10

-1

10

0

10

1

10

2

-200

-150

-100

-50

0

P

ha

se

(

de

gr

ee

s)

Frequency (rad/sec)



B

=3



Projekt kompensatora

wyprzedzającego fazę



Przykład 2 (stan ustalony):

dla obiektu

zaprojektuj kompensator spełniający następujące

założenia:

1.

Uchyb ustalony na wymuszenie skokowe = 0

2.

Uchyb ustalony na wymuszenie liniowe <= 0.1

3.

Zapas fazy = 45º

Krok 1:

W obiekcie występuje integrator więc zał. 1 jest OK.

Dla zał. 2 wymagamy

Ponieważ , wystarczy

)

1

6

/

)(

1

5

.

2

/

(

10

)

(







s

s

s

s

G

10

)

(

)

(

lim

10

1

.

0

1

1

.

0

0

















s

G

s

sK

K

K

e

s

v

v

ramp

ss

10

)

(

lim

0





s

sG

s

1

)

0

( 

K



Projekt kompensatora

wyprzedzającego fazę



Krok 2:

z wykresu Bode’go widać, że PM=-4º dla

układu przed kompensacją



Krok 3:

Przyjmując

5º extra fazy, potrzeba

45+5+4=54º

wyprzedzenia fazy

przez kompensator



Krok 4:

Wzm. i nowa

ponieważ

Frequency (rad/sec)

P

ha

se

(

de

g)

; M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Bode Diagrams

-100

-50

0

50

100

From: U(1)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-300

-250

-200

-150

-100

-50

To

: Y

(1

)

1056

.

0

)

º

54

sin(

1

)

º

54

sin(

1









p

z





dB

z

p

76

.

9

/

log

20

10



sec

/

9

.

6

76

.

9

)

(

rad

dB

j

G













sec

/

9

.

6 rad

c







Projekt kompensatora

wyprzedzającego fazę



Krok 5:

Transmitancja kompensatora



Krok 6:

Założenie

zapasu fazy

nie spełnione

Potrzeba 20º więcej

24

.

2

1056

.

0

23

.

21

61

.

47

1056

.

0

1056

.

0

61

.

47

9

.

6

9

.

6

2

max





























z

p

z

p

p

p

z

Weź

zp

zp

c





1

23

.

21

/

1

24

.

2

/

)

(







s

s

s

K

Frequency (rad/sec)

P

ha

se

(

de

g)

; M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Bode Diagrams

-100

-50

0

50

100

Gm=8.2389 dB (at 11.583 rad/sec), Pm=24.999 deg. (at 6.8907 rad/sec)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-300

-250

-200

-150

-100

-50



Projekt kompensatora

wyprzedzającego fazę



Jeżeli powtórzymy kroki projektowe

dla nowego wyprzedzenia fazowego

otrzymamy kompensator

23

.

21

24

.

2

40

4

0106

.

0

1

)

(











s

s

s

s

s

K

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

-150

-100

-50

0

50

100

M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Uncompensated
Compensated

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

-300

-250

-200

-150

-100

-50

P

ha

se

(

de

gr

ee

s)

Frequency (rad/sec)

Frequency (rad/sec)

P

ha

se

(

de

g)

; M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Bode Diagrams

-100

-50

0

50

100

Gm=12.702 dB (at 31.379 rad/sec), Pm=49.913 deg. (at 12.837 rad/sec)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

-300

-250

-200

-150

-100

-50

Bode plot (open-loop)

Plan



Projekt regulatora PI za pomocą wykresów

Bode’go



Przykład



Projekt kompensatora opóźniającego fazę

za pomocą wykresów Bode’go



Przykłady



Projekt regulatora PID za pomocą

wykresów Bode’go



Przykład

)

(s

G



_

r

y

)

(s

K



Regulator PI



Regulator PI ma następującą

transmitancję



Regulatora PI używamy gdy chcemy

zredukować uchyb ustalony. Duże

wzmocnienie dla niskich

częstotliwości. Zmniejsza przesunięcie

fazowe dla dużych częstotl.











 







1

)

(

)

(

s

s

K

s

KD

s

K

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

0

10

20

30

40

50

M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-100

-80

-60

-40

-20

0

P

ha

se

(

de

gr

ee

s)

Frequency (rad/sec)

=



-1

e

-/2



-1

e

/2



-1



Projekt regulatora PI



Przykład:

dla silnika DC chcemy uzyskać

zerowy uchyb ustalony na wymuszenia

skokowe i liniowe i zapas fazy co najmniej

50º.



Krok 1:

Narysuj wykres Bode’go dla układu

przed kompensacją i sprawdź czy zapas

fazy spełnia założenia.

Jeśli nie, zaprojektuj

kompensator wyprzedzający.



Krok 2:

Czy stan ust. OK. Nie!

)

1

(

1

)

(

)

(

)

(







s

s

s

V

s

s

G

a



Frequency (rad/sec)

P

ha

se

(

de

g)

; M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Bode Diagrams

-60

-40

-20

0

20

40

Gm = Inf, Pm=51.827 deg. (at 0.78615 rad/sec)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-180

-160

-140

-120

-100

-80

1

1

1

)

(

lim

0

1

1

)

(

lim

0

0





























v

ramp

ss

s

v

p

step

ss

s

p

K

e

s

sG

K

K

e

s

G

K



Projekt regulatora PI



Krok 3:

Ponieważ założenia co do stanu

ustalonego nie są spełnione

zastosujemy regulator PI. Umieścimy

zero regulatora PI w częstotliwości co

najmniej 10 razy mniejszej niż

częstotliwość odcięcia aby opóźnienie

fazowe nie zmniejszało zapasu fazy



Krok 4:

Ustal wzmocnienie regulatora

tak aby częstotliwość odcięcia nie

uległa zmianie

72

.

12

10

786

.

0

1





















 







6149

.

0

786

.

0

1

10

786

.

0

786

.

0

786

.

0

1

1

1

1

1

)

(

)

(

2

2

2

2

2

1





































 









K

K

j

j

j

j

K

j

G

j

K

c

c

c

c

c

c















sec

/

786

.

0

rad

c







Projekt regulatora PI





0786

.

0

6149

.

0

)

(





s

s

s

K

Frequency (rad/sec)

P

ha

se

(

de

g)

; M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Bode Diagrams

-50

0

50

100

Gm=-286.76 dB (at 0 rad/sec), Pm=53.191 deg. (at 0.54541 rad/sec)

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-180

-160

-140

-120

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-100

-50

0

50

100

M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Uncompensated
Compensated

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-180

-160

-140

-120

-100

-80

P

ha

se

(

de

gr

ee

s)

Frequency (rad/sec)



Krok 5:

Sprawdź czy zapas fazy jest wystarczający



Bode plot for open-loop shows gain and phase effects



Kompensator opóźniający fazę



Kompensator opóźniający fazę jest

uogólnieniem regulatora PI.

Wykres Bode’go dla



Głównym celem

jest ograniczenie wzm.

dla niskich częst.

(20dB dla tego przykł.)

,

)

(

)

(

p

s

z

s

K

s

KD

s

K









10

,

1

,

1







z

p

K

p

z

K

K



)

0

(

10

-1

10

0

10

1

10

2

0

5

10

15

20

M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

10

-1

10

0

10

1

10

2

-80

-60

-40

-20

0

P

ha

se

(

de

gr

ee

s)

Frequency (rad/sec)

z

p 

dla















p

z

K

10

10

log

)

0

(

log

20

Tłumienie:



Projekt regulatora PID



Inna postać transmitancji regulatora PID



Regulator PID jest bardzo popularny w

praktyce gdyż zapewnia zarówno

odpowiedni zapas fazy jak i poprawnia

zachowanie układu w stanie ustalonym.

Jego uogólnieniem jest kompensator

wyprzedzająco-opóźniający fazę.

























i

d

s

s

s

K

s

KD

s

K





1

1

)

(

)

(

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

0

20

40

60

M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

-100

-50

0

50

100

P

ha

se

(

de

gr

ee

s)

Frequency (rad/sec)

=1/



i

1/



d



Projekt regulatora PID



Przykład (regulacja PID wysokości satelity)



Model:



T.F:



Dane:



d

T

T

I









2

)

(

Is

T

T

s

d







d

T

T 

9

10



I



_

r



)

(s

K

Regulator

Satelita

Pomiar

2

9

.

0

s

2

2



s



d

T

T



Projekt regulatora PID



Zaprojektuj regulator spełniający

następujące założenia:

1.

Zerowy uchyb ustalony na stały moment

zakłócający

2.

Zapas fazy co najmniej 64º

3.

Pasmo przenoszenia – jak największe

4.

Użyj sensora wysokości o wzm. 2 i stałej

czasowej 0,5 s.



Krok 1:

Sprawdź założenia dotyczące

uchybów ustalonych











































)

(

lim

0

)

(

lim

8

.

1

8

.

1

)

(

8

.

1

)

2

(

)

2

(

9

.

0

lim

)

(

)

(

8

.

1

)

2

(

)

2

(

9

.

0

)

2

(

8

.

1

)

(

1

/

9

.

0

)

(

)

(

0

0

2

0

2

2

2

s

K

s

K

s

A

s

K

s

s

s

s

s

A

s

T

s

K

s

s

s

s

s

s

K

s

s

T

s

s

s

s

ss

d

d







Projekt regulatora PID



Krok 2:

Z Kroku 1 wiemy, że potrzebny jest

biegun w zerze.

Niestabilny !

Potrzeba PID. 2 zera

aby uzyskać fazę powyżej –180º



Krok 3:

Zwykle .

Najpierw

umieść zero

w

.

Przebieg fazy PID wskazuje, że należy przyjąć

aby zwiększyć fazę ponad 180º i

osiągnąć zakładany zapas fazy. Jeżeli ,

wyprzedzenie fazy z PID zniosłoby się z

opóźnieniem fazy sensora. Zmiana fazy sensora

zaczyna się w 2/10=0.2. Przyjmijmy więc

)

2

(

8

.

1

1

)

(

1

2





s

s

s

s

G

s

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-200

-100

0

100

200

M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-360

-340

-320

-300

-280

-260

P

ha

se

(

de

gr

ee

s)

Frequency (rad/sec)

d

i







1



d



2

1





d



2

1





d



1

.

0

2

.

0

1

1











d

d







Projekt regulatora PID



Krok 4:

Chcą uzyskać maksymalne

wyprzedzenia fazy dla częstotliwości

odcięcia, ustalamy

zero w

ponad dekadę

mniej niż . Dla bezpieczeństwa

przyjmujemy



Krok 5:

Narysuj wykres Bode’go układu

otwartego przed kompensacją.

Wyznacz wzm.

Aby uzyskać

Zapas fazy - PM>64º

Jeśli czest. odcięcia

. Więc

005

.

0

20

/

1

1









d

i





1



i



1



d



sec

/

5

.

0 rad

c





0562

.

0

)

(

)

005

.

0

)(

1

10

(

1

5

.

0











K

s

G

s

s

s

K

j

s

Frequency (rad/sec)

P

ha

se

(

de

g)

; M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Bode Diagrams

-50

0

50

100

150

200

Gm=-40.056 dB (at 0.022972 rad/sec), Pm=64.079 deg. (at 0.5004 rad/sec)

10

-4

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

-300

-250

-200

-150

-100



Projekt regulatora PID



Step 6:

See if specifications are met. If

not, iterate.

10

-4

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-300

-250

-200

-150

-100

P

ha

se

(

de

gr

ee

s)

Frequency (rad/sec)

10

-4

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

M

ag

ni

tu

de

(

dB

)

Uncompensated
Compensated

º

64



PM



Projekt regulatora PID



Wykres linii pierwiastkowych – bieguny układu

zamkniętego



bieguny



zera

-2

-1.5

-1

-0.5

0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Real Axis

Im

ag

A

xi

s

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Real Axis

Im

ag

A

xi

s

Zoom







005

.

0

1

10

0562

.

0

)

(







s

s

s

s

K

268

.

1

,

592

.

0

,

135

.

0

,

005

.

0









2

,

1

.

0

,

005

.

0









Projekt regulatora PID



Odpowiedź skokowa pokazuje wolną

kompensację zakłóceń ponieważ występuje

skracanie zera z biegunem



Wniosek:

Skracanie zera z biegunem jest

niepożądane dla biegunów niestabilnych lub

słabo tłumionych





d

T

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0

0.5

1

1.5

2

2.5

time

S

te

p

D

is

tu

rb

an

ce

Zakłócenie
Pojawia się tutaj



Loop Shaping – Przykład



Obiekt



Struktura sterowania

2

1

s

G(s)

G(s)

_

K(s)

d

y

n

r

e

u

Regulator

Obiekt

F

2

1

)

(

)

(

1

,

s

s

F

s

X

M

x

M

F







 

x

F

x

)

(

)

(

)

(

1

1

)

(

)

(

s

S

s

G

s

K

s

R

s

E







)

(

)

(

)

(

1

)

(

)

(

)

(

)

(

s

T

s

K

s

G

s

K

s

G

s

N

s

Y











)

(

)

(

)

(

1

1

)

(

)

(

s

S

s

G

s

K

s

D

s

Y









Loop Shaping – Przykład



Zaprojektuj K(s) aby ustabilizować G(s) i

spełnić:

1.

Zmniejszyć o –80dB wpływ d na y w paśmie

częstotliwości

2.

Nadążać z uchybem mniejszym niż -40dB za

sygnałami zadanymi r w paśmie częstotliwości

3.

Tłumić co najmniej o –20dB szum n w paśmie

4.

Uchyb ustalony na wymuszenie paraboliczne

5.

Zapas fazy i zapas modułu:



 



1

1

.

0

,

0

,

0





rad

d





  

1

1

,

0

,

0





rad

r











1

3

2

2

1

10

,

10

,





rad

n

n





02

0.

)

(





par

e

0

45





M

dB

G

M

20







Loop Shaping – Przykład



Geometryczne warunki z założeń 1, 2 i

3

i)





1

1

10

,

0

,

80

)

(











rad

dB

j

S









1

1

10

,

0

,

80

)

(

)

(











rad

dB

j

K

j

G







ii)

 

1

1

,

0

,

40

)

(









rad

dB

j

S





 

1

1

,

0

,

40

)

(

)

(









rad

dB

j

K

j

G







iii





1

3

2

10

,

10

,

20

)

(









rad

dB

j

T









1

3

2

10

,

10

,

20

)

(

)

(









rad

dB

j

K

j

G







1

)

(

)

(









j

K

j

G

1

)

(

)

(









j

K

j

G

1

)

(

)

(









j

K

j

G

Warunek

przybliżony

Warunek

przybliżony

Warunek

przybliżony



Loop Shaping – Przykład



Ograniczenia wzmocnienia (na

)

)

(

)

(





j

K

j

G

0db

)

(

1



rads



db

20



3

10

2

10

1

0.

1

db

40



db

80



Ograniczenia nisko częstotliwościowe

r, d

Ograniczenia wysoko częstotliwościowe

n



Loop Shaping – Przykład



Warunek 4 jest możliwy do spełnienia

gdyż G(s) ma dwa bieguny w zerze

)

(

)

(

)

(

)

(

s

K

s

G

s

R

s

E





1

)

(

)

(

)

(

s

K

s

G

s

s

E





1

1

2

3

Niech

1

)

0

(

);

(

)

(





D

s

kD

s

K

02

.

0

2

1

1

2

lim

)

(

lim

)

(

2

3

0

0

















k

s

k

s

s

s

sE

e

s

s

par

100



k



Loop Shaping – Przykład



Pierwszy proponowany regulator

(proporcjonalny)

100

;

1

)

(

);

(

)

(







k

s

D

s

kD

s

K

0db

)

(

1



rad



db

20



3

10

2

10

1

0.

1

db

40



db

80



2

100

)

(

)

(

)

(







j

j

K

j

G



)

(

1



rad



)

(

)

(





j

K

j

G

0

180



Faza

0

0





M

10

Zapas fazy za mały!



Loop Shaping – Przykład



Ponieważ zapas fazy jest za mały to

musimy wprowadzić dodatkowe

wyprzedzenie fazy



Jeśli wzmocnienie w pętli nie zmienia

się istotnie możemy przyjąć











real

M

des

M

dla bezp.

rzecz. zapas
fazy = 0

0





Przyjmujemy regulator PD dający wyprzedzenia fazy = 45º dla z

1

10

;

)

(









rad

z

z

z

s

k

s

K

z

z

1

,

)

(



k

j

K



odb

)

(

1



rads



)

(

1



rads



0

90

0

45

)

(



j

K





Loop Shaping – Przykład

0dB

)

(

1



rad



dB

20



3

10

2

10

1

.

0

1

dB

40



dB

80



)

(

)

(





j

K

j

G

)

(

1



rad



)

(

)

(





j

K

j

G

0

180



Faza

Nowy

)

(

~



j

K

0

90



0

135



1

10

;

100

;

)

(

)

(

~

);

(

~

)

(













rad

z

k

z

z

s

s

K

s

K

k

s

K

Wszystkie założenia
spełnione !



Loop Shaping – Przykład



Układ po kompensacji



Sprawdzenie stabilności (wykres

Nyquist’a)

10

)

10

(

100

)

(

)

(

~

)

(

)

(

2







s

s

s

G

s

K

k

s

K

s

G

10

)

10

(

100

)

(

)

(

~

)

(

)

(

2







s

s

s

G

s

K

k

s

K

s

G

x

x

Liczba biegunów układu otwartego

wewnątrz konturu Nyquist’a

P=0

Liczba okrążeń

wokół –1 N=0

x

-1

Stabilny!

Zapas wzm. = niesk.!



Loop Shaping – Przykład



Linie pierwiastkowe

-25

-20

-15

-10

-5

0

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Real Axis

Im

ag

A

xi

s

Kilka uwag na koniec !



Zajmowaliśmy się układami liniowymi,ciagłymi o jedny

wejściu i jednym wyjściu (ang. single input - single output

(

SISO

) control).



Co robić jeśli układ ma wiele wejść i wyjść np. samolot

(ciąg, ster kierunku, ster wysokości,itd. jako wejścia,

położenie środka masy, obroty wokół trzech osi itd. jako

wyjścia) ? Układy

MIMO (ang. multiple input - multiple output

systems) – potrzebne są metody przestrzeni stanu.

Zapraszam na wykład Komputerowe

sterowanie obiektami



Dynamika samolotu jak i większości układów

dynamicznych jest nieliniowa. Może być tylko przybliżona

dynamiką liniową wokół punktu równowagi (pracy). Jak

można rozwiązywać problemy sterowania układów

nieliniowych?

Zapraszam na wykład – Nieliniowe układy sterowania.

Specjalność: Automatyka i Inżynieria Komputerowa,

Specjalizacja: Inżynieria sterowania