Wykl 3 Nowy

background image

Projektowanie elementów zginanych wg

Eurokodu 2

Część 2 – Obliczenia według metody

uproszczonej

WYKŁAD NR 3

PODSTAWY

PROJEKTOWANIA

KONSTRUKCJI

ŻELBETOWYCH

Semestr V , r .ak. 2009/2010

Opracowanie - prof. dr hab. inż. Andrzej Łapko

background image

Podejścia przy określaniu nośności

przekrojów

w elementach zginanych

Podejścia przy analizie przekrojów zginanych

a) – ogólne, b) - uproszczone

Do sprawdzania SGN i wymiarowania żelbetowych

przekrojów w elementach zginanych można

wykorzystywać dwa podejścia:

1. Ogólne, 2. Uproszczone

M

Rd

M

Rd

x

ef

x

z

c

z

c

Blok naprężeń w strefie ściskanej

background image

3

Metoda uproszczona – założenia

Na podstawie stanu odkształcenia przekroju ustala się
wyłącznie graniczną
wysokość strefy ściskanej, która wynika z przyjęcia
granicznych odkształceń

c

= ε

cu3

[‰] w betonie oraz odkształceń

sy

= w zbrojeniu

rozciąganym.

Uproszczenie – wykres prostokątny naprężeń w strefie ściskanej
o zasięgu efektywnym

x

x

ef

x

ef

=

z

c

background image

Metoda uproszczona – założenia wg PN-EN

Uproszczenie – dla betonów zwykłych zasięg strefy
ściskanej
opisuje współczynnik λ, a stan naprężeń w skrajnym
włóknie - η

x

ef

=

z

c

50MPa

f

dla

0,8

λ

ck

MPa

90

f

50

dla

400

50)

(f

-

0.8

λ

ck

ck

MPa

50

f

dla

1,0

η

ck

MPa

90

f

50

dla

200

50

f

-

1,0

η

ck

ck

Betony wszystkich klas

Betony zwykłe klas do C50/60

background image

5

Charakterystyka klas betonu według Eurokodu 2

background image

Graniczny zasięg strefy ściskanej w

elemencie zginanym z betonu zwykłych klas

d

x

x

d

x

sy

cu

cu

sy

cu

3

3

lim

lim

lim

3

lim

,

ef

x

x

lim

x

ef,li

m

d

x

x

x

sy

cu

cu

ef

ef

3

3

lim

,

lim

lim

,

W metodzie ogólnej

W metodzie uproszczonej
dla wszystkich betonów

W metodzie uproszczonej
dla betonów klas zwykłych

s

yd

ef

ef

E

f

d

x

x

x

/

0035

,

0

0035

,

0

8

,

0

8

.

0

lim

,

lim

lim

,

0035

,

0

,

8

,

0

3

cu

background image

7

Graniczny zasięg strefy ściskanej w betonach

zwykłych klas

UWAGA !

Przekroczenie w obliczeniach zasięgu ξ

eff,lim

oznacza belkę przezbrojoną, w której stal rozciągana nie

osiąga granicy plastyczności (ε

y

< ε

sy

)

(jest to rozwiązanie nieekonomiczne).

lim

,

ef

x

Używamy zapisu w postaci bezwymiarowej ξ

ef

= x

ef

/d



s

yd

ef

ef

E

f

d

x

/

0035

,

0

0035

,

0

8

,

0

lim

,

lim

,

x

lim

x

ef,li

m

Zapis dla betonów zwykłych

w postaci bezwymiarowej

ξ

ef,lim

= x

eflimf

/d

Przykład: dla stali gat. 34GS – f

yd

= 350 MPa, E

s

= 200 000 MPa

ξ

eff,lim

= 0,530

dla stali gat. RB 500 – f

yd

= 420 MPa, E

s

= 200 000 MPa

ξ

eff,lim

= 0,500

background image

8

Beton zwykły - założenia metody

uproszczonej

Przekrój obciążony momentem zginającym obliczeniowym
M

Sd

pozostaje w równowadze pod działaniem

następujących sił wewnętrznych:

wypadkowej naprężeń ściskających w betonie F

c

obliczanej na
podstawie prostokątnego wykresu naprężeń,
wypadkowej F

s1

naprężeń w zbrojeniu rozciąganym,

wypadkowej F

s2

naprężeń w zbrojeniu umieszczonym w

strefie
ściskanej,
momentu wewnętrznego (nośności na zginanie) M

Rd

,

wynikającej
z działania pary sił: w strefie ściskanej i rozciąganej.

background image

9

Równania równowagi dowolnego

przekroju zginanego, pojedynczo

zbrojonego

0

0

0

1

1

c

s

Ed

c

c

Ed

s

c

z

F

M

z

F

M

F

F

Suma rzutów sił na oś
podłużną

Suma momentów względem osi zbrojenia
rozciąganego

Suma momentów względem środka ciężkości
strefy ściskanej

gdzie:

cd

ef

cc

c

f

A

F

,

yd

s

s

f

A

F

1

1

A

cc,ef

f

cd

x

ef

F

s1

A

s1

background image

10

Przekrój prostokątny

pojedynczo zbrojony

z betonów klas do C50/60

background image

11

Element pojedynczo zbrojony o przekroju prostokątnym

Położenie osi obojętnej x

ef

można wyrazić w sposób

bezwymiarowy

d

x

ef

ef

d

x

ef

ef

background image

12

Element o przekroju prostokątnym pojedynczo zbrojonym

Pod działaniem momentu zginającego przekrój pozostaje
w równowadze pod działaniem następujących sił wypadkowych

:

Wypadkowej ciśnień w strefie ściskanej betonu F

c

cd

ef

c

f

b

x

F

Wypadkowej naprężeń rozciągających w zbrojeniu

yd

s

s

f

A

F

1

1

cd

x

ef

c

f

b

d

F

ef

lub

background image

13

Przekrój prostokątny pojedynczo zbrojony

W przekroju prostokątnym o stałej szerokości b wypadkowa

bloku naprężeń w strefie ściskanej położona jest w środku

ciężkości bryły naprężeń w odległości

2

2

d

x

a

ef

ef

c

Natomiast ramię sił wewnętrznych zapisane jest wzorem





2

1

2

ef

ef

c

d

x

d

z

background image

14

Nośność przekroju prostokątnego

pojedynczo zbrojonego

Moment sił wewnętrznych wynikający z działania pary sił F

c

i F

s1

, obliczony względem osi zbrojenia A

s1

ma postać.

Moment oznacza nośność na zginanie

 

 



 

c

c

z

ef

F

cd

ef

Rd

x

d

bf

x

M





2

Moment sił wewnętrznych można też zapisać w postaci

cd

ef

cc

cd

S

c

ef

cc

cd

z

ef

A

ef

Rd

f

S

f

z

A

f

x

d

b

x

M

ef

cc

c

ef

cc





,

,

,

,

2



 

 

 

gdzie: S

cc,ef

moment statyczny powierzchni strefy ściskanej względem środka zbrojenia

f

cd

background image

15

Równowaga przekroju prostokątnego

pojedynczo zbrojonego w elemencie

zginanym

f

cd

Warunek sumy rzutów sił na oś podłużną
elementu

1

1

0

s

c

s

c

F

F

F

F

0

1

yd

s

cd

x

ef

f

A

bf

d

ef

0

1

,

yd

s

cd

A

ef

f

A

f

b

x

ef

cc

lub

w

innej

postaci

Warunek równowagi momentów względem osi zbrojenia A

s1

c

c

Ed

Rd

Ed

z

F

M

M

M

0

0

0

0

1

1

c

s

Ed

c

c

Ed

s

c

z

F

M

z

F

M

F

F

background image

Nośność na zginanie przekroju

prostokątnego

pojedynczo zbrojonego

Moment sił wewnętrznych wynikający z działania pary sił F

c

i F

s1

, obliczony względem osi zbrojenia A

s1

można zapisać w

funkcji bezwymiarowej x

ef

.

 

 



 

c

c

z

ef

F

cd

ef

Rd

x

d

bf

x

M





2

cd

ef

ef

z

ef

F

cd

ef

Rd

bf

d

d

d

dbf

M

c

c

2

2

1

2









 

 



 

d

x

d

x

ef

ef

ef

ef

Wykorzystując równanie równowago momentów otrzymujemy

cd

ef

ef

Ed

Rd

bf

d

M

M

2

2

1



background image

17

Obliczanie zbrojenia przekroju

prostokątnego pojedynczo

zbrojonego

Przyjmujemy wstępnie wymiary b x h przekroju zginanego
momentem o wartości obliczeniowej M

ed.

i zakładamy klasę

betonu i stali zbrojeniowej.
Obliczenia zbrojenia można być przeprowadzone analitycznie
Przekształcając

równanie

równowagi

momentów

można

obliczeniowo określić zasięg

ef

strefy ściskanej

ef

cd

Ed

ef

ef

f

bd

M

0

2

2

2

2

Po obliczeniu wartości

ef

potrzebne pole przekroju zbrojenia rozciąganego A

s1

można obliczyć z warunków równowagi sił na oś podłużną belki:

yd

cd

ef

s

f

f

db

A

1

stąd

cd

ef

ef

Ed

Rd

bf

d

M

M

2

2

1



1

1

0

s

c

s

c

F

F

F

F

0

1

yd

s

cd

ef

f

A

dbf

background image

18

Obliczanie zbrojenia przekroju

prostokątnego pojedynczo

zbrojonego

Pole zbrojenia można też wyznaczyć przekształcając równanie
równowagi momentów zewnętrznego i wewnętrznego

Pamiętając, że

stąd

yd

ef

Ed

s

f

d

M

A





2

1

1

yd

c

Ed

s

c

F

yd

s

Ed

f

z

M

A

z

f

A

M

s

1

1

0

1



 

d

z

ef

c





2

1

background image

19

Projektowanie przekroju prostokątnego

pojedynczo zbrojonego przy użyciu tablic

Stabelaryzowane funkcje

pomocnicze

eff

= x

eff

/d,

eff

= f(

eff

)

oraz

eff

=

f(

eff

).

Ramię sił wewnętrznych z

c

d

d

z

ef

ef

c

ef







 

2

1

Moment sił wewnętrznych

cd

ef

cd

ef

ef

Rd

bf

d

bf

d

M

ef

2

2

2

1



 

 

f

cd

background image

20

Projektowanie zbrojenia przekroju

prostokątnego pojedynczo zbrojonego przy

użyciu tablic

Z równania równowagi momentów sił wewnętrznych

f

cd

0

Rd

Sd

M

M

Możemy wyznaczyć współczynnik pomocniczy

eff

ef

ef

cd

Ed

ef

f

bd

M

lub

2

Pole przekroju zbrojenia rozciąganego wynosi

yd

cd

ef

s

f

f

db

A

1

lub

yd

ef

sd

s

f

d

M

A

1

cd

ef

cd

ef

ef

Rd

bf

d

bf

d

M

ef

2

2

2

1



 

 

background image

21

Tablice współczynników do projektowania elementu zginanego o przekroju prostokątnym

background image

22

Korekta wyniku obliczeń z uwagi

na

minimalny stopień zbrojenia

bd

f

f

A

yk

ctm

s

26

,

0

min

,

1

bd

A

s

0013

,

0

min

,

1

gdzie: b – średnia szerokość strefy rozciąganej w elemencie,

d – wysokość użyteczna przekroju,
f

ctm

średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie

f

yk

– charakterystyczna granica plastyczności stali.

background image

Sprawdzanie nośności przekroju

zginanego

Nośność, czyli moment sił wewnętrznych elementu żelbetowego
określamy w celu sprawdzenia, czy stan graniczny nośności na
zginanie nie jest przekroczony. Znamy wymiary przekroju b x h
oraz
pole powierzchni i układ zbrojenia i klasę betonu i stali
zbrojeniowej (wartości f

cd

oraz f

yd

).

Z tablicy ustalamy wartość współczynnika

ef

,i określamy nośność na zginanie

Stan graniczny nośności sprawdzamy z warunku SGN:

Na podstawie równania równowagi sił określamy współczynnik tablicowy ξ

ef

cd

yd

s

ef

f

f

bd

A

1

0

1

yd

s

cd

ef

f

A

dbf

cd

ef

Rd

bf

d

M

2

Rd

Ed

M

M

background image

24

background image

Tablica doboru prętów zbrojenia

background image

26

Korekta wyniku obliczeń

zbrojenia z uwagi na minimalny

stopień zbrojenia

bd

f

f

A

yk

ctm

s

26

,

0

min

,

1

bd

A

s

0013

,

0

min

,

1

gdzie: b – średnia szerokość strefy rozciąganej w elemencie,

d – wysokość użyteczna przekroju,
f

ctm

średnia wytrzymałość betonu na rozciąganie

f

yk

– charakterystyczna granica plastyczności stali.

background image

27

Element zginany o przekrój

prostokątnym

podwójnie zbrojonym – betony

zwykłe

Zbrojenie w strefie ściskanej

background image

28

Przekrój prostokątny podwójnie

zbrojony

Przypadki zastosowania podwójnego zbrojenia:

1. Nośność strefy ściskanej nie jest wystarczająca, tzn.

lim

,

ef

ef

2.

Na belkę działają momenty różnych znaków, tzn. +M

Ed

i - M

Ed

3. Belka wymaga zbrojenia ze względów konstrukcyjnych

background image

29

Przekrój prostokątny podwójnie zbrojony

Równanie równowagi sił poziomych na oś podłużną elementu

0

1

2

yd

s

yd

s

cd

ef

f

A

f

A

f

b

x

Równowaga momentów względem osi zbrojenia rozciąganego

2

2

a

d

f

A

z

F

M

M

yd

s

c

c

Rd

Ed

lim

,

ef

ef

 

jeżeli

0

1

2

s

s

c

F

F

F

0

1

2

lim

,

yd

s

yd

s

cd

ef

f

A

f

A

f

b

x

jeżeli

lim

,

ef

ef

background image

30

Nośność elementu prostokątnego podwójnie zbrojonego

Z równania równowagi sił poziomych wyznaczamy zasięg strefy ściskanej

0

1

2

yd

s

yd

s

cd

ef

f

A

f

A

f

db

cd

yd

s

yd

s

ef

f

db

f

A

f

A

1

2

2

2

2

5

,

0

1

a

d

f

A

bf

d

M

yd

s

cd

ef

ef

Rd

Jeżeli

lim

,

ef

ef

Jeżeli

lim

,

ef

ef

2

2

2

lim

,

lim

,

5

,

0

1

a

d

f

A

bf

d

M

yd

s

cd

ef

ef

Rd

background image

31

Nośność elementu prostokątnego podwójnie zbrojonego
- przypadek szczególny

2

1

1

a

d

f

A

z

F

M

yd

s

c

s

Rd

Jeżeli

d

a

a

x

ef

ef

2

2

2

czyli

2

Nośność na zginanie wyznacza się zakładając,
że zasięg strefy ściskanej wynosi

d

a

a

x

ef

ef

2

2

2

czyli

2

Zatem nośność na ściskanie wynosi

background image

32

background image

Obliczanie zbrojenia w przekroju

prostokątnym wymagającym

dozbrojenia w strefie ściskanej

Dla zadanych wymiarów b x h przekroju prostokątnego
zginanego momentem o wartości obliczeniowej M

Ed

, zakładamy

klasę betonu i stali zbrojeniowej.

Stosujemy zasadę superpozycji schematów I i II

W schemacie I obliczamy maksymalny moment M

Rd,lim

przyjmując

cd

ef

ef

Rd

f

b

d

M

2

lim

,

lim

,

lim

,

2

1





lim

,

ef

ef

lim

,

ef

ef

Jeżeli

background image

34

Obliczanie zbrojenia w przekroju

prostokątnym wymagającym

dozbrojenia w strefie ściskanej

Stosujemy zasadę superpozycji schematów I i II

cd

ef

ef

Rd

Ed

f

b

d

M

M

2

lim

,

lim

,

lim

,

*

2

1



yd

cd

ef

s

f

f

db

A

lim

,

*

1

Schemat I

Pole przekroju zbrojenia rozciąganego

Równowaga momentów

M

*

Ed

ΔM

Ed

background image

35

Obliczanie zbrojenia w przekroju

prostokątnym wymagającym

dozbrojenia w strefie ściskanej

Schemat II

Nadwyżka momentu sił wewnętrznych

lim

,

Rd

Ed

Ed

M

M

M

*

*

1

2

2

s

yd

Ed

s

A

a

d

f

M

A

Pole przekroju zbrojenia ściskanego
A

s2

równe zbrojeniu rozciąganemu w
schemacie II

Ostatecznie pole zbrojenia wynosi

*

*

1

*

1

1

s

s

s

A

A

A

ΔM

Ed

M

*

Ed

background image

36

Element zginany pojedynczo

zbrojony

o przekroju teowym

background image

37

Przekroje o kształcie teowym

Zasady idealizacji
konstrukcji

Efektywną szerokość b

ef

półki w belkach teowych można przyjmować

jako stałą na długości jednego przęsła. Szerokość tę wyznaczać należy

- w belkach teowych przy dwustronnym wysięgu płyty

2

1

0

5

b

b

b

l

b

b

w

w

ef

gdzie l

0

- odległość między punktami wyznaczającymi miejsca zerowych

momentów na długości przęsła elementu.

background image

38

Przekroje o kształcie teowym

Zasady idealizacji
konstrukcji

l

0

- odległość między punktami wyznaczającymi miejsca zerowych

momentów na długości przęsła elementu.

Odcinek l

0

wyznaczający strefę zasięgu naprężeń ściskających

w płycie
współpracującej ze środnikiem zależy od kształtu wykresu
momentów
zginających na elemencie. Długość tę można określić ze
schematu belki ciągłej.

background image

39

Elementy zginane o przekroju w

kształcie teowym

Dwa przypadki pracy przekroju teowego

a) – przekrój pozornie teowy, b) – przekrój rzeczywiście teowy

f

ef

h

x

lub

d

h

f

ef

f

ef

h

x

d

h

f

ef

lub

background image

40

Ustalenie przypadku pracy belki o

kształcie teowym

Określa się moment graniczny M

Rdp,ef

,

obliczony względem

osi zbrojenia rozciąganego przy

ef

=

.

cd

ef

ef

Rdp

f

b

d

M

2

,

5

,

0

1

 

Przekrój jest pozornie teowy, jeżeli spełniony jest warunek

ef

Rdp

Ed

M

M

,

W przeciwnym przypadku występuje przekrój
rzeczywiście teowy.

 

 

 

 

c

c

z

f

F

cd

f

ef

c

c

ef

Rdp

h

d

f

h

b

z

F

M

5

,

0

,

background image

41

Obliczanie zbrojenia przekroju

pozornie teowego pojedynczo

zbrojonego

W przypadku przekroju pozornie teowego zadanie
sprowadza się
do obliczenia zbrojenia w przekroju o kształcie
prostokątnym
polu powierzchni strefy ściskanej A

cc,ef

= x

ef

b

ef

.

background image

42

Obliczanie zbrojenia przekroju

pozornie teowego pojedynczo

zbrojonego

Można wykorzystać tablice. Należy wstępnie obliczyć współczynnik wejściowy

ef

,

ef

ef

ef

cd

Ed

ef

d

b

f

M

,

2

Pole przekroju zbrojenia rozciąganego można obliczyć na dwa sposoby:

yd

cd

ef

ef

s

f

f

db

A

1

lub

yd

ef

sd

s

f

d

M

A

1

ef

lub

ef

background image

43

Tablice współczynników do projektowania elementu zginanego o przekroju prostokątnym

background image

44

Schemat
wyjściowy

Schemat
1

Schemat
2

Obliczanie zbrojenia przekroju rzeczywiście teowego

Stosuje się zasadę superpozycji schematów 1 i 2

background image

45

Nośność graniczną przekroju w schemacie „1” zapisujemy

 

 

 

1

1

5

,

0

1

1

,

c

c

z

f

F

cd

w

ef

f

Rd

h

f

b

b

h

M

Zbrojenie A

s1

w schemacie „1” obliczamy z równania sumy rzutów wypadkowych

sił F

c1

i F

s1,1

na oś podłużną belki.

yd

cd

w

ef

f

s

f

f

b

b

h

A

1

,

1

Obliczanie zbrojenia przekroju

rzeczywiście teowego

cd

f

w

ef

yd

s

c

s

f

h

b

b

f

A

F

F

1

,

1

1

1

,

1

background image

46

W schemacie „2” przekrój teowy jest obciążony różnicą momentów – zewnętrznego
i odpowiadającego nośności przekroju w schemacie „1”

1

,

Rd

Ed

M

M

M

Na podstawie współczynnika wejściowego

ef

znajdujemy efektywny zasięg

strefy ściskanej

ef

oraz współczynnik pomocniczy

ef

ef

ef

tablicy

z

cd

w

ef

f

d

b

M

,

2

Schemat 2









background image

47

Przekrój rzeczywiście teowy oblicza się jako pojedynczo zbrojony, jeżeli

lim

,

ef

ef

yd

cd

w

ef

s

f

f

db

A

2

,

1

Pole przekroju zbrojenia w schemacie 2 obliczymy
jak dla przekroju prostokątnego o szerokości b

w

yd

ef

Ed

s

df

M

A

2

,

1

lub

2

,

1

1

,

1

1

s

s

s

A

A

A

Ostatecznie pole zbrojenia rozciąganego otrzymujemy

Przekrój oblicza się jako podwójnie zbrojony, jeżeli

lim

,

ef

ef

background image

48

Wstępnie można założyć, że
przekrój jest pozornie teowy

d

h

h

x

f

ef

f

ef

czyli

Na podstawie równania równowagi sił podłużnych otrzymamy zasięg
strefy ściskanej

yd

s

cd

ef

ef

f

A

f

db

1

Wyznaczanie nośności przekroju teowego

cd

yd

ef

s

ef

f

f

d

b

A

1

to nośność strefy ściskanej
wynosi

cd

ef

ef

ef

Rd

f

b

d

M

2

5

,

0

1

Jeżel
i

ef

background image

49

Oznacza to, że założenie było błędne
i przekrój
jest rzeczywiście teowy

Zasięg strefy ściskanej trzeba wyznaczyć
ponownie

0

1

yd

s

cd

ef

cd

w

ef

f

A

df

f

b

b

d

Wyznaczanie nośności przekroju teowego

w

w

ef

cd

ef

yd

s

ef

b

b

b

df

b

f

A

1

Nośność strefy ściskanej z
zasady superpozycji
schematów 1 i 2 wynosi

2

1

Rd

Rd

Rd

M

M

M

Jeżel
i

ef

cd

w

ef

Rd

f

d

b

b

M

2

1

5

,

0

1

cd

w

ef

ef

Rd

f

d

b

M

2

2

5

,

0

1

background image

50

Koniec wykładu 3


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wykł.3-nowy-MBN, Notatki I semestr, Zarys badań metodycznych
Wykl 7 Nowy
Wykl 2 Nowy 2
Wykl 3 Nowy
Wykl 7 Nowy
Wykł 4 nowy MBN
Wykl 9 Nowy
Wykl 8 Nowy
Wykł.3-nowy-MBN, Notatki I semestr, Zarys badań metodycznych
Wykl 11A Nowy
Wykl 1A Nowy
Wykl 12 Nowy
Wykl 1A Nowy

więcej podobnych podstron