1

Projektowanie elementów

zginanych

Część 1 – Podejście ogólne wg

Eurokodu 2

WYKŁAD NR 2

PODSTAWY

PROJEKTOWANIA

KONSTRUKCJI

ŻELBETOWYCH

Semestr V , r .ak. 2010/2011

Opracowanie - prof. dr hab. inż. Andrzej Łapko

2

Schematy konstrukcji żelbetowych

zginanych

Belka

Rama

Bieg schodów

Płytaa

Strefa zarysowania belki żelbetowej przy

zniszczeniu

4

Praca elementu zginanego

w fazie zarysowania

5

Fazy pracy elementu zginanego

Faza Ia i Ib – element bez zarysowania

Faza IIa i IIb – element zarysowany

Faza III – element silnie zarysowany, w stanie zniszczenia

d – wysokość użyteczna przekroju

III Faza

II Faza

I Faza

6

Przegląd metod obliczania

konstrukcji żelbetowych

7

•Metoda NL (naprężeń liniowych według
założeń fazy II)

Rozkład sił wewnętrznych w przekroju poprzecznym żelbetowego elementu zginanego

przyjmowany w obliczeniach metodą NL

cm

c

s

s

c

s

E

E















Zakłada się prawo płaskich przekrojów (hipoteza Bernouliego) i równość odkształceń
w betonie i zbrojeniu rozciąganym oraz prawo Hooke’a

c

e

c

cm

s

s

E

E





















E

Strefa ściskana

Oś obojętna

8

•Metoda NL (naprężeń
liniowych)

Obliczenia wykonuje się stosując tzw. przekrój
sprowadzony elementu A

cs

2

1

s

e

s

e

c

cs

A

A

A

A











gdzie: A

c

- pole przekroju betonu, A

s1

i A

s2

- pola przekroju stali zbrojeniowej.

cm

s

e

E

E





Współczynnik



e

zapisany jest wzorem

9

Metoda NL (naprężeń liniowych)

.

Oblicza się naprężenia w przekroju zginanym

według wzoru z wytrzymałości materiałów

i porównuje z naprężeniami bezpiecznymi, np:

-   

Naprężenia w skrajnym ściskanym włóknie betonu



c

cd

II

II

c

f

x

J

M







-  

Naprężenia w zbrojeniu

rozciąganym



s





yd

II

II

e

s

f

x

d

J

M











Metoda NL jest wykorzystywana do projektowania niektórych konstrukcji żelbetowych,
takich jak obiekty mostowe lub fundamenty pod maszyny, a także stosowana do obliczeń
odkształceń i przemieszczeń konstrukcji.

dop

W

M









cm

s

e

E

E





10

gdzie:M

n

jest momentem zginającym pochodzącym od obciążeń powiększonych o zapas bezpiecz.

Metoda “OP” (odkształceń plastycznych) –

III faza pracy

Wymiarowanie przekrojów zginanych w tej metodzie opiera się na kontroli
ich nośności na zginanie na podstawie warunku

R

n

M

M 

M

s

M

n





s – globalny współczynnik bezpieczeństwa, przyjmowany w
granicach 1,6

 s  2,2.

Nośność na zginanie M

R

w metodzie OP jest funkcją wytężenia betonu

w strefie ściskanej określoną dla rzeczywistych (średnich) wytrzymałości
betonu i stali (bez zapasu bezp.)

f

cm

f

cm

11

Metoda częściowych współczynników

bezpieczeństwa

Metoda stosowana aktualnie 

- Warunek stanu granicznego zniszczenia elementu
zginanego

)

,

,

,

(

)

(

s

yk

c

ck

s

c

d

f

Ed

f

f

A

A

R

q

S











lub krócej

Rd

Ed

M

M



gdzie: S

Ed

- wartość obliczeniowa momentu lub siły

przekrojowej,
R

d

- obliczeniowa nośność elementu (odporność) na działanie

danego obciążenia.

Podstawa – analiza przekrojów w stanach granicznych (SG):

-SGN - nośności

(osiągnięcie wytrzymałości, wyboczenie, itd.)

-SGU - użytkowalności

(zarysowania, ugięcia, nadmierne naprężenia)

12

Podejścia przy określaniu nośności

przekrojów

w elementach zginanych

Podejścia przy analizie przekrojów zginanych

a) – ogólne, b) - uproszczone

Do sprawdzania SGN i wymiarowania żelbetowych

przekrojów zginanych można wykorzystywać dwa

podejścia:

1. Ogólne, 2. Uproszczone

M

Rd

M

Rd

x

ef

x

z

c

z

c

Blok naprężeń w strefie ściskanej

Rd

Ed

M

M



M

Ed

M

Ed

13

Podejście ogólne w

analizie

elementów zginanych

14

Model odkształceniowy pracy

elementu zginanego w ujęciu

Eurokodu 2

Model

obliczeniowy

uwzględnia

następujące

założenia

podstawowe:

•1.

Założenie płaskich przekrojów

, zgodnie z zasadą

Bernoulli’ego,
co oznacza, że odkształcenia włókien przekroju są
proporcjonalne
do odległości od osi obojętnej.
•2.

Równość odkształceń w stali zbrojeniowej



s

i

otaczającym betonie



c

na styku obu materiałów.
•3. Pominięcie wytrzymałości betonu na rozciąganie f

ct

=0

z uwagi na zarysowanie przekrojów elementu zginanego.
•4. Obliczeniowe związki



-



dla betonu

, pozwalające

określić rozkłady
naprężeń



c

w strefie

ściskanej betonu

oraz ich wypadkową.

•5. Obliczeniowe związki



-



dla stali zbrojeniowej

w

analizowanym
przekroju.

15

Związki σ – ε dla betonu w strefie ściskanej wg Eurokodu 2

dla wszystkich klas betonów

Wykres paraboliczno – prostokątny

Wykres dwuliniowy

(dopuszczalny)

σ

c

– ε

c

σ

c

– ε

c

Parabola stopnia n

 2



Wykres idealizowany

Wykres idealizowany

Linia prosta

Podejście ogólne z wykorzystaniem nieliniowego

związku σ – ε

dla wszystkich klas betonów wg Eurokodu 2

W zakresie

































n

c

c

cd

c

f

2

1

1







W zakresie

u

c

c

c

2

2











cd

c

f





n – wykładnik potęgi funkcji parabolicznej:



c2,

- odkształcenie na granicy części parabolicznej i

prostokątnej wykresu



c2u

–odkształcenie graniczne przy zniszczeniu

c

c



 

17

17

Klasy betonu według Eurokodu 2

18

















4

2

c

c

cd

c

f







dla



c

< (2‰) i

n = 2

dla 2‰ 



c

 3,5

‰



c

= f

cd

f

cd

- obliczeniowa wytrzymałość betonu na ściskanie

parabola 2-go stopnia

gdzie: f

ck

- charakterystyczna wytrzymałość betonu na ściskanie

Podejście ogólne z wykorzystaniem nieliniowego

związku σ – ε

dla klas betonów zwykłych (do C50/60) wg

Eurokodu 2

Parabola stopnia n = 2

































n

c

c

cd

c

f

2

1

1







2 ‰

3,5 ‰

parabola n-tego stopnia

19

Zależności σ – ε dla stali
zbrojeniowej

A – wykres idealizowany (wartości charakterystyczne)
B – wykres obliczeniowy z półką nachyloną lub poziomą (wartości obliczeniowe)

20

Warunki osiągnięcia nośności

przekroju elementu zginanego

Stan graniczny nośności przekroju zostanie osiągnięty,
gdy spełniony będzie

przynajmniej jeden

z poniższych

warunków odkształceń:

-  Odkształcenia



s

w zbrojeniu rozciąganym

osiągną wartość
graniczną równą -



ud

-  Odkształcenia



c

w skrajnym włóknie ściskanym

betonu osiągną
wartość



c2u

21

Zakresy odkształceń zbrojenia i

betonu według metody ogólnej

Eurokodu 2

A – graniczne odkształcenia rozciąganej stali zbrojeniowej

B - graniczne odkształcenia betonu przy zginaniu
C – graniczne odkształcenia betonu przy ściskaniu osiowym

22

Zastosowania metody ogólnej

w obliczeniach elementów

zginanych

z betonów klas zwykłych (do

C50/60)

23

Założenia metody ogólnej w

obliczeniach elementów zginanych z

betonów klas zwykłych (do C50/60)

Zakresy odkształceń w podejściu ogólnym do analizy przekroju

elementów zginanych z betonów zwykłych

M

Ed

ε

c2

= 2

‰

ε

cu2

= 3,5

‰

- ε

ud

=10 ‰

24

Zakresy odkształceń betonu i stali w analizie przekrojów

zginanych metoda ogólna dla elementów z betonów

zwykłych

Symbol

zakresu

Zakres

1a

Zakres

1b

Zakres 2

Zakres 3

 

Odkształceni

a 

s

w stali

rozciąganej

 



s

=

10,0%

o

 

 



s

= 10,0%

o

 



sy





s

<

10,0%

o

 



s

<



sy

 

Odkształceni

a 

c

w betonie

ściskanym

 



c

< 2,0

%

o

 

 

2,0 %

o

 

c

<3,5

%

o

 



c

= 3,5 %

o

 



c

= 3,5 %

o

 

Uwagi

 

Beton

ściskany

nie jest

w pełni

wykorzysta

ny

 

Beton ściskany i zbrojenie A

s1

są w pełni wykorzystane

 

 

Zbrojenie A

s1

nie jest w

pełni

wykorzystan

e



sy

yd

s

f
E



25

Obliczeniowe warunki

równowagi przekrojów w

metodzie ogólnej

- 

Równania równowagi momentów i sił podłużnych

w

przekrojach normalnych
z uwzględnieniem wypadkowych naprężeń w strefie ściskanej
betonu
oraz wypadkowych naprężeń w zbrojeniu podłużnym
elementów,

- 

Równania określające

zależności między naprężeniami i

odkształceniami
betonu i

stali zbrojeniowej

na podstawie kryteriów

materiałowych
i związków obliczeniowych

- 

Równania określające

rozkłady odkształceń betonu i stali

zbrojeniowej
na

wysokości przekroju normalnego

elementu wg hipotezy

płaskich
przekrojów Bernoulli’ego i równości odkształceń w stali i
betonu

c

s













26

Podejście ogólne przy projektowaniu elementów żelbetowych

na zginanie

M

Rd

M

Rd

M

Ed

M

Sd

Założenia do obliczeń nośności

przekrojów zginanych metodą ogólną

wg Eurokodu 2

F

c

– wypadkowa bloku naprężeń

ściskających
w strefie ściskanej betonu

F

s

– wypadkowa naprężeń

rozciągających
w zbrojeniu strefy rozciąganej

z

c

– ramię sił wewnętrznych

M

Rd

= moment sił wewnętrznych (pary

sił F

c

i F

s

)

x

z

c

27

Zakresy odkształceń według

metody ogólnej

x – zasięg strefy ściskanej w przekroju zginanym (w danym zakresie odkształceń)
x/d = ξ – wielkość bezwymiarowa x (wygodna w obliczeniach na zginanie)

28

Równania równowagi dla

przekroju elementu zginanego

Równania równowagi dla rozpatrywanego
zginanego

przekroju

bez

udziału

sił

podłużnych w zapisie ogólnym

0

0

0

1

1













c

s

Ed

c

c

Ed

s

c

z

F

M

z

F

M

F

F

Suma rzutów sił na oś podłużną

Suma momentów

< f

cd

f

cd

f

cd

29

Zakresy odkształceń 1a i 1b w

przekroju

elementu zginanego

=

<

Rozkłady naprężeń i odkształceń w zakresach odkształceń 1a i 1b

M

E

d

M

E

d

30

Zakres odkształceń 2

=

31

 Zakres odkształceń 1a - zależności

x

d

y

x

d

y

c

s

cy

s

c

cy











1

1









dy

b

f

F

cy

cy

x

cd

c





















4

2

0





 

cd

c

f

bd

F

2

2

1

3

8

1

5



















 



=

d

x





Po scałkowaniu w funkcji
sprowadzonej ξ

Liniowa proporcja odkształceń

Wypadkowa bloku naprężeń
Ściskających F

c

M

Rd





















4

2

cy

cy

cd

cy

f







32

 Zakres odkształceń 1a - zależności





cd

c

f

bd

F

2

2

1

3

8

1

5



















 



d

z

c













 













3

8

1

4

4

12

3

2

=

=

d

x





Ramię sił wewnętrznych w funkcji

Moment sił wewnętrznych (nośność na zginanie)

c

s

Rd

c

c

Rd

z

F

M

z

F

M









lub

Wypadkowa bloku naprężeń
Ściskających F

c

M

Rd

33

Zakres odkształceń „2”

i odpowiednie zależności

=

=

x

d

x

s

o





1

%

5

,

3



cd

c

bdf

F

















21

17

d

z

c











 





238

99

1

Nośność na zginanie

c

s

Rd

c

c

Rd

z

F

M

z

F

M









lub

34

Graniczne położenie strefy ściskanej

– granica zakresu 2

s

yd

E

f





0035

,

0

0035

,

0

lim



lim

1

lim

0035

,

0

x

d

x

s







Z prawa płaskich przekrojów
wynika proporcja

ε

s1

= f

yd

/E

s

ε

c

= 0,0035

x

lim

d



lim

=

x

lim

/d

W elementach zginanych z betonów zwykłych

należy ograniczać zasięg strefy ściskanej



do

wartości



lim

A

s1

Używamy funkcji
sprowadzonej ξ

lim

= x/d

Strefa ściskana

d

d

d

s









lim

1

lim

0035

,

0







35

Zakres odkształceń 3 – element jest

przezbrojony

=

lim







yd

s

f





Jeżeli

to

czyli stal zbrojeniowa nie jest
w pełni wykorzystana

Uwaga !

Taki przekrój wymaga dozbrojenia strefy ściskanej

= f

yd

/ E

s

36

Równania równowagi dla

przekroju elementu zginanego w

zakresach 1a, 1b, 2

0

0

0

1

1













c

s

Sd

c

c

Sd

s

c

z

F

M

z

F

M

F

F

Rozwiązania dla elementu zginanego o przekroju
prostokątnym
przy użyciu tablic (w zapisie skróconym)

0

1





yd

s

cd

f

A

dbf



0

2





cd

Ed

bf

d

M



0

1





yd

s

Ed

f

dA

M



cd

Rd

c

cd

c

f

b

d

M

d

z

f

b

d

F















2







2

bd

f

M

cd

Ed





cd

yd

s

f

f

bd

A

1





yd

Ed

s

f

d

M

A





1

Suma rzutów sił na oś podłużną

Suma momentów

37

38

Koniec

wykładu 2