FUNKCJA PRZEJŚCIA

Jednym z podstawowych pojęć automatyki jest pojęcie funkcji

przejścia – przepustowość – transmitancja.

A. Element o jednym wejściu i jednym wyjściu

  

Jeżeli w układzie liniowym wyróżnimy sygnał wejściowy x i

wyjściowy y, to sygnały te związane będą ogólnie równaniem

różniczkowym (rys.1) :

gdzie: A

k

i B

k

— stałe współczynniki oraz n  m.

Rys. 1. Sygnał wejściowy x i wyjściowy y w układzie liniowym

Dokonując transformacji całkowej

Laplace'a-Carsona

obu stron równania,

otrzymamy przy założeniu zerowych warunków początkowych

Otrzymaną funkcję

operatorową funkcją przejścia

układu liniowego i

oznaczamy przez K(p).

K(p)

=

X(p)

Y(p)

X(p)

Y(p)

=

Jeśli sygnał wejściowy

x(t)

jest skokiem jednostkowym

1(t)

, a więc jeżeli

X(t) = 1,

to z równania (1) wynika

Y(p) = K(p),

a więc

y(t) = k(t).

 

Można, zatem powiedzieć, że

funkcja przejścia k(t)

danego elementu

jest to funkcja określająca przebieg sygnału na wyjściu danego

elementu, wywołany doprowadzeniem na jego wejście sygnału

1(t),

przy zerowych warunkach początkowych.

Element o wielu wejściach i wyjściach

Przykładem elementu o wielu wejściach i wyjściach może być

przedstawiony na rys. 2. element o dwóch wejściach i dwóch

wyjściach. Sygnały wejściowe

x

1

, x

2

, i wyjściowe

y

1

, y

2

związane będą ogólnie przy założeniu liniowości układu i zerowych

warunków początkowych równaniami, które można zapisać

stosując oznaczenia macierzowe w postaci operatorowej.













22

21

12

11

K

K

K

K













2

1

Y

Y

=

=

X

1

X

2

Y

1

Y

1













2

1

X

X

Macierz układu równań nazywamy funkcją przejścia elementu o
dwóch wejściach i dwóch wyjściach i oznaczamy przez K, jest więc

K =













22

21

12

11

K

K

K

K

Jeżeli założymy X

2

= O,

otrzymamy













1

21

1

11

X

K

X

K













2

1

Y

Y

=

Jeżeli natomiast założymy X

1

= O, to

mamy













2

2

22

12

X

K

X

K













2

1

Y

Y

=

Otrzymane równania dają podstawę do obliczenia, dla danego obiektu

dwuwejściowego, elementów jego macierzowej funkcji przejścia. Aby więc

obliczyć elementy

K

11

i K

21

, należy znać przebiegi sygnałów wyjściowych

y

1

, y

2

wywołane zmianą sygnału wejściowego

x

1

,

przy stałej, równej zeru, wartości

sygnału

x

2

.

Jeżeli zmiana sygnału wejściowego x

1

będzie jednostkowa, czyli jeżeli

będzie

x(t) = 1,

to funkcje określające przebiegi sygnałów y

1

(t) i y

2

(t) będą wprost

transformatami odwrotnymi elementów K

11

i K

21

macierzy K .

Definicję funkcji przejścia można rozszerzyć na element o n

wejściach i m wyjściach.













n

Y

Y

1













nn

n

n

K

K

K

K

1

1

11













Xn

X

1

=

=

lub

w

skrócie

Y = KX,

Ogólnie, w przypadku elementu o n wejściach i m wyjściach będziemy mieć
zapis

Y

m

= KX

n

Sygnał wejściowy

X

n

może być zatem w ogólnym przypadku

wektorem

n

-wymiarowym,

Y

m

– wektorem

m

-wymiarowym, a

K

jest macierzą o

m

wierszach i

n

kolumnach.

Definicja operatora różniczkowania

Definicja operatora całkowania

Przykłady sygnałów występujących w

U

kładach

S

terowania

A

utomatycznego

Impuls prostokątny

1 dla | t | < ½
x(t) = Π (t) = { ½ dla |t| = ½
0 dla |t| > ½
x(t) = 1 E

x

=1

Symbol specjalny x(t) oznacza

unormowany symetryczny impuls

prostokątny

o jednostkowym czasie trwania i jednostkowej amplitudzie.

Zarówno wartość średnia tego sygnału, czas jego trwania, jak i energia sa
jednostkowe

X(t
)

t

1/2

-1/2

1

Za pomocą tego symbolu można zapisać impuls prostokątny o dowolnej

wysokości a, dowolnej szerokości b i przesunięty w czasie o dowolną wartość c

x(t) = a Π = (

t-c

/

b

)

x(t) = a E

x

= a

2

b

X(t

)

t

c

0

a

b

Impuls trójkątny

 (t)

1 – t dla | t |

 1

x(t) =

 (t) = { 0 dla | t | > 1

x(t) = ½ , E

x

= ⅔

Symbol specjalny

(t) oznacza unormowany symetryczny impuls trójkątny o

czasie trwania równym 2 i wartości w zerze równej 1. Zapis

(t/T ) oznacza

symetryczny impuls trójkątny o czasie trwania 2T.

X(t)

1

1

-1

t

0

Mnożąc dany sygnał przez x(t) = u((t −

c)/b) można „wyciąć” jego dowolny

fragment.

Zapis u(t/T ) oznacza symetryczny impuls

prostokątny o czasie trwania T.

Impuls

kosinusoidalny

x(t) = X

0

cos ω

0

t Π ( t/ π ω

0-1

)

x = 2 X

0

/ π E

x

= π X

20

/ 2 ω

0

Sygnał ten jest symetrycznym impulsem obejmującym pół

okresu sygnału kosinusoidalnego o amplitudzie X

0

i

pulsacji ω

0

.

X(t
)

t

Impuls radiowy

Sygnał ten ma postać y(t) = x(t) cos(ω

0

t + 'φ

0

,

gdzie x(t) jest dowolnym sygnałem impulsowym

.

Sygnały takie są wykorzystywane m.in. w

systemach radiokomunikacyjnych i

radiolokacyjnych. Stad pochodzi ich nazwa. Sygnał

x(t) jest nazywany obwiednia

impulsu y(t), a funkcja cos(ω

0

t + 'φ

0

) – jego

wypełnieniem. Czas trwania impulsu T jest z reguły

wielokrotnie dłuższy od okresu wypełnienia T0 = 2

π /ω

0

.

•Sygnał skokowy (skok jednostkowy)

0 dla t

< 0,

1(t)

= ½ dla t = 0,

1 dla t

> 0,

P

0

P

0

1

1/2

0

t=0

t

Przykład: nagłe przyłożenie siły

Przykłady prostych nieokreślonych sygnałów

analogowych o ograniczonej mocy

• Sygnał stały
x(t) = 1 dla - ∞

< t < ∞

x(t) = 1, P

x

= 1

0

t

x(t
)

1

Sygnał wykładniczy narastający

x(t) = (1 - e

-at

) 1(t), α> O,

(x) = ½ P

x

= ½

Sygnał impulsowy

x = x

0

1(t),

x

0

– stała 1(t) – funkcja zwana impulsem jednostkowym

1(t) = 0 dla t ≠ 0
1(t) → ∞ dla t = 0

Sygnał harmoniczny

x(t) = x

0

sin ωt,

lub x

0

–

stała , ω – pulsacja (częstość kołowa

sygnału)

x(t) = x

0

cos ωt,

do obliczeń wprowadza się uogólnioną postać sygnału harmonicznego

(harmonicznego w postaci zespolonej)

x(t) = x

0

e

iωt

, i = √-1

x

0

e

iωt

= x

0

(cos ωt + i sin ωt)

Sygnał potęgowy

x(t) = x

0

t

n

,

n = 1,2,3,….n