BRYŁY
BRYŁY
OBROTOWE
OBROTOWE
Opracowała:
Opracowała:
Barbara S i t e k
Barbara S i t e k
2002
2002
BRYŁY
BRYŁY
OBROTOWE
OBROTOWE
Opracowała:
Opracowała:
Barbara S i t e k
Barbara S i t e k
2002
2002
Barbara Sitek -
2002
W
W
Y
Y
B
B
I
I
E
E
R
R
Z
Z
W A L E C
W A L E C
S T O Ż E K
S T O Ż E K
K U L A
K U L A
K O N I E C
K O N I E C
Z A D A N I A
Z A D A N I A
W A L E
W A L E
C
C
jako bryła
jako bryła
obrotowa
obrotowa
Barbara Sitek -
2002
Walec jest
bryłą
obrotową.
Powstaje z
obrotu
prostokąta
dokoła
jednego z
boków
W A L E
W A L E
C
C
H
H
R = promień
R = promień
koła
koła
podstawy
podstawy
H = wysokość
H = wysokość
walca
walca
Barbara Sitek -
2002
oś obrotu
R
R
Siatka walca
Siatka walca
H
R
R
P
P
p
p
=
=
r
r
2
2
P
P
p
p
=
=
r
r
2
2
P
P
b
b
=
=
2
2
.
.
.
.
R
R
.
.
H
H
Barbara Sitek -
2002
2
2
.
.
.
.
R
R
Pole
Pole
powierzchni
powierzchni
całkowitej
całkowitej
walca:
walca:
P
P
c
c
=
=
2
2
.
.
.
.
R
R
2
2
+ 2
+ 2
.
.
.
.
R
R
.
.
H
H
P
P
p
p
P
P
b
b
Barbara Sitek -
2002
Objętość walca
Objętość walca
P
P
p
p
.
.
H
H
V =
V =
czyli
czyli
V =
V =
.
.
R
R
2 .
2 .
H
H
P
P
p
p
Barbara Sitek -
2002
Objętość walca
Objętość walca
obliczymy mnożąc
obliczymy mnożąc
pole powierzchni
pole powierzchni
podstawy przez
podstawy przez
wysokość walca.
wysokość walca.
R
H
S
S
O
S T O Ż E
S T O Ż E
K
K
jako
jako
bryła
bryła
obrotowa
obrotowa
Barbara Sitek -
2002
Stożek jest bryłą
obrotową.
Powstaje z obrotu
trójkąta
prostokątnego
dokoła jednej
z
przyprostokątnyc
h.
S T O Ż E
S T O Ż E
K
K
R
R
H
H
O
O
S
S
R = promień
R = promień
koła
koła
podstawy
podstawy
H = wysokość
H = wysokość
stożka
stożka
S = wierzchołek
S = wierzchołek
stożka
stożka
O = środek
O = środek
koła
koła
podstawy
podstawy
Barbara Sitek -
2002
oś obrotu
Siatka stożka
Siatka stożka
R
R
l
l
S
S
P
P
b
b
=
=
R
R
*
*
l
l
P
P
p
p
=
=
R
R
2
2
Barbara Sitek -
2002
O
O
Pole powierzchni
Pole powierzchni
stożka
stożka
R
H
O
S
P
P
c
c
=
=
.
.
R
R
2
2
+
+
.
.
R
R
.
.
l
l
P
P
p
p
P
P
b
b
Barbara Sitek -
2002
Objętość
Objętość
stożka
stożka
R
H
O
S
V
V
=
=
P
P
p
p
.
.
R
R
2
2
.
.
H
H
1
1
3
3
.
.
V
V
=
=
P
P
p
p
.
.
H
H
1
1
3
3
.
.
czyli
czyli
Barbara Sitek -
2002
Objętość stożka
Objętość stożka
to
to
1
1
/
/
3
3
iloczynu
iloczynu
pola powierzchni
pola powierzchni
podstawy przez
podstawy przez
wysokość stożka.
wysokość stożka.
jako bryła
jako bryła
obrotowa
obrotowa
Barbara Sitek -
2002
K U L A
K U L A
Kula jest to
Kula jest to
bryła
bryła
obrotowa.
obrotowa.
Powstaje z
Powstaje z
obrotu
obrotu
półkola
półkola
dokoła
dokoła
średnicy.
średnicy.
K U L A
K U L A
R
R
O
O
R = promień
R = promień
kuli
kuli
koło wielkie
koło wielkie
kuli
kuli
R = promień
R = promień
koła
koła
wielkiego
wielkiego
kuli
kuli
i
Barbara Sitek -
2002
R
O
Pole
Pole
powierzchni kuli
powierzchni kuli
P
P
=
=
4
R
R
2
2
Barbara Sitek -
2002
Według Archimedesa
Według Archimedesa
pole powierzchni kuli
pole powierzchni kuli
jest
jest
4 razy większe
4 razy większe
od pola powierzchni
od pola powierzchni
koła wielkiego kuli
koła wielkiego kuli
.
.
V
V
=
=
.
.
R
R
3
3
4
3
.
.
R
O
Objętość
Objętość
kuli
kuli
czyli
V
V
=
=
4
4
.
.
P
P
k
k
.
.
R
R
2
2
.
.
R
R
1
3
.
.
Barbara Sitek -
2002
Według Archimedesa
Według Archimedesa
objętość kuli jest
objętość kuli jest
4 razy
4 razy
większa
większa
od objętości
od objętości
stożka
stożka
,
,
którego
którego
podstawą jest koło wielkie
podstawą jest koło wielkie
kuli,
kuli,
a wysokością – promień
a wysokością – promień
kuli.
kuli.
Barbara Sitek -
2002
ZADANIE NR 1
ZADANIE NR 1
ZADANIE NR 2
ZADANIE NR 2
W
Y
B
I
E
R
Z
ZADANIE NR 3
ZADANIE NR 3
Barbara Sitek -
2002
Zad. 1.
Zad. 1.
Oblicz objętość
Oblicz objętość
i pole powierzchni
i pole powierzchni
walca mając dane:
walca mając dane:
R = 4 , 9
R = 4 , 9
cm
cm
H = 8 , 3
H = 8 , 3
cm
cm
H
R
R
Barbara Sitek -
2002
R = 4 , 9
R = 4 , 9
cm
cm
H = 8 , 3
H = 8 , 3
cm
cm
H
R
R
Dane:
Dane:
Oblic
Oblic
z:
z:
P
P
c
c
=
=
2
2
.
.
.
.
R
R
2
2
+
+
2
2
.
.
.
.
R
R
.
.
H
H
V =
V =
.
.
R
R
2
2
.
.
H
H
Rozwiązan
Rozwiązan
ie:
ie:
V =
.
.
4,9 cm
4,9 cm
.
.
4,9
4,9
cm
cm
.
.
8,3 cm
8,3 cm
V =
V =
.
.
24,01
24,01
.
.
8,3
8,3
cm
cm
3
3
V =
199,283
.
.
cm
3
3
=199,283
=199,283
.
.
3,14
3,14
cm
cm
3
3
V = 625,74862
cm
3
3
Odp.
Odp.
Objętość walca jest równa
Objętość walca jest równa
625,7 cm
625,7 cm
3
3
.
.
625,7 cm
625,7 cm
3
3
Rozwiązanie
Rozwiązanie
c.d. :
c.d. :
P
P
c
c
=
=
2
2
.
.
.
.
4,9cm
4,9cm
.
.
4,9cm
4,9cm
+ 2
+ 2
.
.
.
.
4,9cm
4,9cm
.
.
8,3cm
8,3cm
P
P
c
c
=
=
2
2
.
.
.
.
24,01 cm
24,01 cm
2
2
+ 2
+ 2
.
.
.
.
40,67 cm
40,67 cm
2
2
P
P
c
c
=
=
.
.
129,36
129,36
cm
cm
2
2
P
P
c
c
=
=
.
.
48,02 cm
48,02 cm
2
2
+
+
.
.
81,34 cm
81,34 cm
2
2
R = 4 , 9
R = 4 , 9
cm
cm
H = 8 , 3
H = 8 , 3
cm
cm
P
P
c
c
=
=
2
2
.
.
.
.
R
R
2
2
+ 2
+ 2
.
.
.
.
R
R
.
.
H
H
P
P
c
c
=
=
3,14
3,14
.
.
129,36
129,36
cm
cm
2
2
P
P
c
c
=
=
406,1904 cm
406,1904 cm
2
2
406,2
406,2
cm
cm
2
2
Odp.
Odp.
Pole powierzchni walca jest
Pole powierzchni walca jest
równe 406,2 cm
równe 406,2 cm
2
2
.
.
Barbara Sitek -
2002
+
Barbara Sitek -
2002
Zad. 2.
Zad. 2.
Oblicz
Oblicz
objętość i pole
objętość i pole
powierzchni stożka
powierzchni stożka
mając dane:
mając dane:
R = 2 , 7
R = 2 , 7
cm
cm
H = 6 , 8
H = 6 , 8
cm
cm
l
l
= 7 , 3
= 7 , 3
cm
cm
R
H
O
S
l
Barbara Sitek -
2002
R = 2 , 7
R = 2 , 7
cm
cm
H = 6 , 8
H = 6 , 8
cm
cm
Dane:
Dane:
Oblic
Oblic
z:
z:
P
P
c
c
=
=
.
.
R
R
2
2
+
+
.
.
R
R
.
.
l
l
Rozwiązan
Rozwiązan
ie:
ie:
V =
.
.
.
.
2,7 cm
2,7 cm
.
.
2,7 cm
2,7 cm
.
.
6, 8 cm
6, 8 cm
V =
V =
.
.
.
.
7,29
7,29
.
.
6, 8
6, 8
cm
cm
3
3
V =
.
.
49,572
.
.
cm
3
3
=
=
V = 51,88536
V = 51,88536
cm
cm
3
3
Odp.
Odp.
Objętość stożka jest równa
Objętość stożka jest równa
51,9 cm
51,9 cm
3
3
.
.
51,9 cm
51,9 cm
3
3
l
l
= 7 , 3
= 7 , 3
cm
cm
R
H
O
S
l
V =
V =
.
.
R
R
2
2
.
.
H
H
1
1
3
3
.
.
1
1
3
3
1
1
3
3
1
1
3
3
16,524
.
.
3,14
3,14
cm
3
3
Rozwiązanie
Rozwiązanie
c.d. :
c.d. :
P
P
c
c
=
=
.
.
2,7 cm
2,7 cm
.
.
2,7 cm
2,7 cm
+
+
.
.
2,7
2,7
cm
cm
.
.
7,3 cm
7,3 cm
P
P
c
c
=
=
.
.
7,29 cm
7,29 cm
2
2
+
+
.
.
19,71 cm
19,71 cm
2
2
P
P
c
c
=
=
.
.
27
27
cm
cm
2
2
P
P
c
c
=
=
.
.
R
R
2
2
+
+
.
.
R
R
.
.
l
l
P
P
c
c
=
=
3,14
3,14
.
.
27
27
cm
cm
2
2
P
P
c
c
=
=
84,78
84,78
cm
cm
2
2
84,8
84,8
cm
cm
2
2
Odp.
Odp.
Pole powierzchni stożka jest
Pole powierzchni stożka jest
równe 84,8 cm
równe 84,8 cm
2
2
.
.
Barbara Sitek -
2002
R = 2 , 7
R = 2 , 7
cm
cm
H = 6 , 8
H = 6 , 8
cm
cm
l
l
= 7 , 3
= 7 , 3
cm
cm
+
R
O
Barbara Sitek -
2002
Zad. 3.
Zad. 3.
Oblicz
Oblicz
objętość i pole
objętość i pole
powierzchni kuli
powierzchni kuli
mając dane:
mając dane:
R = 3 , 8
R = 3 , 8
cm
cm
Barbara Sitek -
2002
R = 3 , 8
R = 3 , 8
cm
cm
Dane:
Dane:
Oblic
Oblic
z:
z:
Rozwiązan
Rozwiązan
ie:
ie:
P =
P = 4
.
.
.
.
R
R
2
2
V
V
=
=
4
3
.
.
R
R
3
3
.
.
P =
P = 57,76
.
.
cm
cm
2
2
=
57,76
.
.
3,14
3,14
cm
cm
2
2
P =
P =
181,3664
cm
cm
2
2
181,4
181,4
cm
cm
2
2
V =
V =
4
3
.
.
3,8 cm
3,8 cm
.
.
3,8 cm
3,8 cm
.
.
3,8 cm
3,8 cm
.
.
V
V
=
=
4
3
.
.
54,872
54,872
cm
cm
3
3
.
.
=
=
3,14
3,14
.
.
73,16266
73,16266
cm
cm
3
3
V
V
=
=
229,7307
229,7307
cm
cm
3
3
229,7
229,7
cm
cm
3
3
Odp. . .
.
R R
R R
R
P =
P = 4
.
.
.
.
3,8 cm
3,8 cm
.
.
3,8 cm
3,8 cm
K O N I E
K O N I E
C
C
Barbara Sitek -
2002
K O N I E
K O N I E
C
C
K O N I E
K O N I E
C
C
K O N I E
K O N I E
C
C
K O N I E
K O N I E
C
C