BRYŁY

BRYŁY

OBROTOWE

OBROTOWE

Opracowała:

Opracowała:

Barbara S i t e k

Barbara S i t e k

2002

2002

Barbara Sitek -
2002

W

W

Y

Y

B

B

I

I

E

E

R

R

Z

Z

W A L E C

W A L E C

S T O Ż E K

S T O Ż E K

K U L A

K U L A

K O N I E C

K O N I E C

Z A D A N I A

Z A D A N I A

W A L E

W A L E

C

C

jako bryła

jako bryła

obrotowa

obrotowa

Barbara Sitek -
2002

Walec jest

bryłą

obrotową.

Powstaje z

obrotu

prostokąta

dokoła

jednego z

boków

W A L E

W A L E

C

C

H

H

R = promień

R = promień

koła

koła

podstawy

podstawy

H = wysokość

H = wysokość

walca

walca

Barbara Sitek -
2002

oś obrotu

R

R

Siatka walca

Siatka walca

H

R

R

P

P

p

p

=

=





r

r

2

2

P

P

p

p

=

=





r

r

2

2

P

P

b

b

=

=

2

2

.

.





.

.

R

R

.

.

H

H

Barbara Sitek -
2002

2

2

.

.





.

.

R

R

Pole

Pole

powierzchni

powierzchni

całkowitej

całkowitej

walca:

walca:

P

P

c

c

=

=

2

2

.

.





.

.

R

R

2

2

+ 2

+ 2

.

.





.

.

R

R

.

.

H

H

P

P

p

p

P

P

b

b

Barbara Sitek -
2002

Objętość walca

Objętość walca

P

P

p

p

.

.

H

H

V =

V =

czyli

czyli





V =

V =





.

.

R

R

2 .

2 .

H

H

P

P

p

p

Barbara Sitek -
2002

Objętość walca

Objętość walca

obliczymy mnożąc

obliczymy mnożąc

pole powierzchni

pole powierzchni

podstawy przez

podstawy przez

wysokość walca.

wysokość walca.

R

H

S

S

O

S T O Ż E

S T O Ż E

K

K

jako

jako

bryła

bryła

obrotowa

obrotowa

Barbara Sitek -
2002

Stożek jest bryłą

obrotową.

Powstaje z obrotu

trójkąta

prostokątnego

dokoła jednej

z

przyprostokątnyc

h.

S T O Ż E

S T O Ż E

K

K

R

R

H

H

O

O

S

S

R = promień

R = promień

koła

koła

podstawy

podstawy

H = wysokość

H = wysokość

stożka

stożka

S = wierzchołek

S = wierzchołek

stożka

stożka

O = środek

O = środek

koła

koła

podstawy

podstawy

Barbara Sitek -
2002

oś obrotu

Siatka stożka

Siatka stożka

R

R

l

l

S

S

P

P

b

b

=

=









R

R

*

*

l

l

P

P

p

p

=

=





R

R

2

2

Barbara Sitek -
2002

O

O

Pole powierzchni

Pole powierzchni

stożka

stożka

R

H

O

S

P

P

c

c

=

=





.

.

R

R

2

2

+

+





.

.

R

R

.

.

l

l

P

P

p

p

P

P

b

b

Barbara Sitek -
2002

Objętość

Objętość

stożka

stożka

R

H

O

S

V

V

=

=

P

P

p

p









.

.

R

R

2

2

.

.

H

H

1

1

3

3

.

.

V

V

=

=

P

P

p

p

.

.

H

H

1

1

3

3

.

.

czyli

czyli

Barbara Sitek -
2002

Objętość stożka

Objętość stożka

to

to

1

1

/

/

3

3

iloczynu

iloczynu

pola powierzchni

pola powierzchni

podstawy przez

podstawy przez

wysokość stożka.

wysokość stożka.

jako bryła

jako bryła

obrotowa

obrotowa

Barbara Sitek -
2002

K U L A

K U L A

Kula jest to

Kula jest to

bryła

bryła

obrotowa.

obrotowa.

Powstaje z

Powstaje z

obrotu

obrotu

półkola

półkola

dokoła

dokoła

średnicy.

średnicy.

K U L A

K U L A

R

R

O

O

R = promień

R = promień

kuli

kuli

koło wielkie

koło wielkie

kuli

kuli

R = promień

R = promień

koła

koła

wielkiego

wielkiego

kuli

kuli

i

Barbara Sitek -
2002

R

O

Pole

Pole

powierzchni kuli

powierzchni kuli

P

P

=

=

4





R

R

2

2

Barbara Sitek -
2002

Według Archimedesa

Według Archimedesa

pole powierzchni kuli

pole powierzchni kuli

jest

jest

4 razy większe

4 razy większe

od pola powierzchni

od pola powierzchni

koła wielkiego kuli

koła wielkiego kuli

.

.

V

V

=

=





.

.

R

R

3

3

4
3

.

.

R

O

Objętość

Objętość

kuli

kuli

czyli

V

V

=

=

4

4

.

.

P

P

k

k





.

.

R

R

2

2

.

.

R

R

1
3

.

.

Barbara Sitek -
2002

Według Archimedesa

Według Archimedesa

objętość kuli jest

objętość kuli jest

4 razy

4 razy

większa

większa

od objętości

od objętości

stożka

stożka

,

,

którego

którego

podstawą jest koło wielkie

podstawą jest koło wielkie

kuli,

kuli,

a wysokością – promień

a wysokością – promień

kuli.

kuli.

Barbara Sitek -
2002

ZADANIE NR 1

ZADANIE NR 1

ZADANIE NR 2

ZADANIE NR 2

K O N I E C

K O N I E C

W

Y

B

I

E

R

Z

ZADANIE NR 3

ZADANIE NR 3

Barbara Sitek -
2002

Zad. 1.

Zad. 1.

Oblicz objętość

Oblicz objętość

i pole powierzchni

i pole powierzchni

walca mając dane:

walca mając dane:

Rozwiązanie

Rozwiązanie





R = 4 , 9

R = 4 , 9

cm

cm

H = 8 , 3

H = 8 , 3

cm

cm

H

R

R

Barbara Sitek -
2002

R = 4 , 9

R = 4 , 9

cm

cm

H = 8 , 3

H = 8 , 3

cm

cm

H

R

R

Dane:

Dane:

Oblic

Oblic

z:

z:

P

P

c

c

=

=

2

2

.

.





.

.

R

R

2

2

+

+

2

2

.

.





.

.

R

R

.

.

H

H





V =

V =





.

.

R

R

2

2

.

.

H

H

Rozwiązan

Rozwiązan

ie:

ie:

V =





.

.

4,9 cm

4,9 cm

.

.

4,9

4,9

cm

cm

.

.

8,3 cm

8,3 cm

V =

V =





.

.

24,01

24,01

.

.

8,3

8,3

cm

cm

3

3

V =

199,283

.

.









cm

3

3

=199,283

=199,283

.

.

3,14

3,14

cm

cm

3

3

V = 625,74862
cm

3

3

Odp.

Odp.

Objętość walca jest równa

Objętość walca jest równa

625,7 cm

625,7 cm

3

3

.

.

625,7 cm

625,7 cm

3

3

c.d.

c.d.







Rozwiązanie

Rozwiązanie

c.d. :

c.d. :

P

P

c

c

=

=

2

2

.

.





.

.

4,9cm

4,9cm

.

.

4,9cm

4,9cm

+ 2

+ 2

.

.





.

.

4,9cm

4,9cm

.

.

8,3cm

8,3cm

P

P

c

c

=

=

2

2

.

.









.

.

24,01 cm

24,01 cm

2

2

+ 2

+ 2

.

.





.

.

40,67 cm

40,67 cm

2

2

P

P

c

c

=

=





.

.

129,36

129,36

cm

cm

2

2

P

P

c

c

=

=





.

.

48,02 cm

48,02 cm

2

2

+

+





.

.

81,34 cm

81,34 cm

2

2

R = 4 , 9

R = 4 , 9

cm

cm

H = 8 , 3

H = 8 , 3

cm

cm

P

P

c

c

=

=

2

2

.

.









.

.

R

R

2

2

+ 2

+ 2

.

.





.

.

R

R

.

.

H

H

P

P

c

c

=

=

3,14

3,14

.

.

129,36

129,36

cm

cm

2

2

P

P

c

c

=

=

406,1904 cm

406,1904 cm

2

2

406,2

406,2

cm

cm

2

2

Odp.

Odp.

Pole powierzchni walca jest

Pole powierzchni walca jest

równe 406,2 cm

równe 406,2 cm

2

2

.

.

Barbara Sitek -
2002

+



Barbara Sitek -
2002

Zad. 2.

Zad. 2.

Oblicz

Oblicz

objętość i pole

objętość i pole

powierzchni stożka

powierzchni stożka

mając dane:

mając dane:

Rozwiązanie

Rozwiązanie





R = 2 , 7

R = 2 , 7

cm

cm

H = 6 , 8

H = 6 , 8

cm

cm

l

l

= 7 , 3

= 7 , 3

cm

cm

R

H

O

S

l

Barbara Sitek -
2002

R = 2 , 7

R = 2 , 7

cm

cm

H = 6 , 8

H = 6 , 8

cm

cm

Dane:

Dane:

Oblic

Oblic

z:

z:

P

P

c

c

=

=





.

.

R

R

2

2

+

+





.

.

R

R

.

.

l

l

Rozwiązan

Rozwiązan

ie:

ie:

V =

.

.





.

.

2,7 cm

2,7 cm

.

.

2,7 cm

2,7 cm

.

.

6, 8 cm

6, 8 cm

V =

V =

.

.





.

.

7,29

7,29

.

.

6, 8

6, 8

cm

cm

3

3

V =

.

.

49,572

.

.









cm

3

3

=

=

V = 51,88536

V = 51,88536

cm

cm

3

3

Odp.

Odp.

Objętość stożka jest równa

Objętość stożka jest równa

51,9 cm

51,9 cm

3

3

.

.

51,9 cm

51,9 cm

3

3

c.d.

c.d.





l

l

= 7 , 3

= 7 , 3

cm

cm

R

H

O

S

l

V =

V =









.

.

R

R

2

2

.

.

H

H

1

1

3

3

.

.

1

1

3

3

1

1

3

3

1

1

3

3

16,524

.

.

3,14

3,14





cm

3

3



Rozwiązanie

Rozwiązanie

c.d. :

c.d. :

P

P

c

c

=

=





.

.

2,7 cm

2,7 cm

.

.

2,7 cm

2,7 cm

+

+





.

.

2,7

2,7

cm

cm

.

.

7,3 cm

7,3 cm

P

P

c

c

=

=





.

.

7,29 cm

7,29 cm

2

2

+

+









.

.

19,71 cm

19,71 cm

2

2

P

P

c

c

=

=





.

.

27

27

cm

cm

2

2

P

P

c

c

=

=





.

.

R

R

2

2

+

+









.

.

R

R

.

.

l

l

P

P

c

c

=

=

3,14

3,14

.

.

27

27

cm

cm

2

2

P

P

c

c

=

=

84,78

84,78

cm

cm

2

2

84,8

84,8

cm

cm

2

2

Odp.

Odp.

Pole powierzchni stożka jest

Pole powierzchni stożka jest

równe 84,8 cm

równe 84,8 cm

2

2

.

.

Barbara Sitek -
2002

R = 2 , 7

R = 2 , 7

cm

cm

H = 6 , 8

H = 6 , 8

cm

cm

l

l

= 7 , 3

= 7 , 3

cm

cm

+



R

O

Barbara Sitek -
2002

Zad. 3.

Zad. 3.

Oblicz

Oblicz

objętość i pole

objętość i pole

powierzchni kuli

powierzchni kuli

mając dane:

mając dane:

Rozwiązanie

Rozwiązanie





R = 3 , 8

R = 3 , 8

cm

cm

Barbara Sitek -
2002

R = 3 , 8

R = 3 , 8

cm

cm

Dane:

Dane:

Oblic

Oblic

z:

z:

Rozwiązan

Rozwiązan

ie:

ie:

P =

P = 4

.

.





.

.

R

R

2

2

V

V

=

=

4
3





.

.

R

R

3

3

.

.

P =

P = 57,76

.

.





cm

cm

2

2

=

57,76

.

.

3,14

3,14

cm

cm

2

2

P =

P =
181,3664





cm

cm

2

2

181,4

181,4





cm

cm

2

2

V =

V =

4
3





.

.

3,8 cm

3,8 cm

.

.

3,8 cm

3,8 cm

.

.

3,8 cm

3,8 cm

.

.

V

V

=

=

4
3





.

.

54,872

54,872

cm

cm

3

3

.

.

=

=

3,14

3,14

.

.

73,16266

73,16266

cm

cm

3

3

V

V

=

=

229,7307

229,7307

cm

cm

3

3

229,7

229,7

cm

cm

3

3

Odp. . .
.

R R

R R

R

P =

P = 4

.

.





.

.

3,8 cm

3,8 cm

.

.

3,8 cm

3,8 cm





K O N I E

K O N I E

C

C

Barbara Sitek -
2002

K O N I E

K O N I E

C

C

K O N I E

K O N I E

C

C

K O N I E

K O N I E

C

C

K O N I E

K O N I E

C

C