Bryłami obrotowymi

nazywamy bryły,
które powstają w
wyniku obrotu
figur płaskich
wokół osi obrotu.

Walec jest

bryłą geometryczną

powstałą w wyniku obrotu

prostokąta

wokół jednego z jego boków.

Pole powierzchni podstawy (koła) P

p

= πr

2

Pole powierzchni bocznej P

b

= 2πrh

Pole powierzchni całkowitej P

c

= 2P

p

+ P

b

= 2πr

2

+ 2πrh = 2πr(r

+ h)
Objętość V = πr

2

h

Walcami określa się również inne bryły i powierzchnie, których
podstawą może być

elipsa

,

hiperbola

, lub

parabola

, czyli

krzywe stożkowe

. Mówimy wówczas odpowiednio o walcu

eliptycznym, hiperbolicznym i parabolicznym, przy czym jedynie
pierwszy z nich może stanowić bryłę, a pozostałe dwa to
powierzchnie nieskończone.



Stożek to bryła wypukła
powstała przez obrót
trójkąta prostokątnego
wokół jednej z
przyprostokątnych.
Przyprostokątna ta tworzy
wysokość (h) stożka, druga
przyprostokątna staje się
promieniem podstawy (r)
zaś

przeciwprostokątna

–

tworzącą stożka (l).

Objętość stożka

Pole powierzchni całkowitej stożka

Pole powierzchni bocznej stożka

Pole podstawy stożka

Stożek w

kartezjańskim układzie współrzędnych

opisany jest

np.

równaniem

Beczka -

geometryczna

bryła obrotowa

powstająca przez

obrót

figury płaskiej

ograniczonej łukiem,

dwoma odcinkami

jednakowej długości

prostopadłymi do

osi obrotu

i osią

obrotu, dookoła tej osi.

Gdy łuk jest fragmentem

paraboli:

KULA– w

przestrzeni metrycznej

jest

zbiorem

punktów

oddalonych od

wybranego punktu (zwanego środkiem kuli) nie bardziej niż o zadaną
odległość.

Intuicyjnie, w

przestrzeni euklidesowej

trójwymiarowej, jest to część

przestrzeni ograniczona

sferą

(sfera jest

powierzchnią

kuli).

Kulę można opisać wzorem jako zbiór punktów

przestrzeni euklidesowej

,

których

współrzędne

(x,y,z) spełniają nierówność:

 

                                                                                                       

gdzie (x

0

,y

0

,z

0

) są współrzędnymi środka kuli, a r oznacza jej promień.

W przestrzeni n-wymiarowej wzór ten ma natychmiastowe uogólnienie – kula o
środku w punkcie

 

                                          i promieniu r to zbiór punktów,

których współrzędne spełniają nierówność:

 

                                                                                                                     

       

•Objętość n - wymiarowej kuli o promieniu r:
                            

•Pole powierzchni kuli

Objętość3-wymiarowej kuli-

Torus - dwuwymiarowy torus
oznaczany często T

2

to

dwuwymiarowa powierzchnia

geometryczna

leżąca w przestrzeni

trójwymiarowej, powstała przez

obrót

okręgu wokół

osi

(dookoła

prostej

)

leżącej w tej samej

płaszczyźnie

co

ten

okrąg

, i nie przecinającej go

(czyli nie mającej z nim wspólnych

punktów

).

Jeśli okrąg ten ma

promień

r, a odległość

prostej od jego środka wynosi R, to
pole powierzchni S torusa wynosi S =
4π

2

rR, a

objętość

V = 2π

2

Rr

2

.

Równanie torusa ma postać: .

Elipsoida to

powierzchnia

, której

wszystkie przekroje płaskie są

elipsami

. Szczególnym

przypadkiem elipsoidy jest
elipsoida obrotowa,
powierzchnia ograniczona
powstała przez obrót elipsy
wokół własnej osi symetrii.

Równanie elipsoidy ma postać:

Dla a=b=c elipsoida jest sferą o

promieniu a.

Objętość elipsoidy
wyraża się wzorem:
                                
Pole powieszchni: