RYZYKO
PRZEDSIĘBIORCZOŚCI
.
TEORIA GIER.
Przygotowali:
Michał Bonecki
Dominika Brzezińska
Kinga Celej
Patryk Żak
RYZYKO
PRZEDSIĘBIORCZOŚCI
.
TEORIA GIER.
Przygotowali:
Michał Bonecki
Dominika Brzezińska
Kinga Celej
Patryk Żak
Macierz
wypłat
Gry o sumie zerowej najłatwiej jest
przedstawić w postaci macierzy wypłat.
Tak przedstawioną grę nazywamy grą w
postaci normalnej
. Macierz wypłat
zawiera wartości wypłat dla wszystkich
możliwych kombinacji strategii obu
graczy.
Przykładowa macierz
wypłat
B1
B2
A1
5,
-5
-3,
3
A2
2,
-2
-7,
7
Przedstawia ona wszystkie możliwe wypłaty
gry, w której gracz A dysponuje dwoma
strategiami (A1, A2), a gracz B dwoma (B1,
B2). Na przecięciu poszczególnych strategii
graczy A i B wpisana jest wypłata. Pierwsza z
liczb oznacza wypłatę dla gracza A, druga dla
gracza B.
Punkt siodłowy
Oto przykładowa macierz wypłat gry:
B1 B2
A1
6
3
A2
5
1
Przeanalizujmy ją od strony gracza A. Chce
on wygrać jak najwięcej przy założeniu, że
jego przeciwnik będzie robił wszystko aby
mu to uniemożliwić. Gracz A zakłada więc,
że jakąkolwiek strategię wybierze, gracz B
wybierze
najdogodniejsze
dla
siebie
posunięcie.
B1 B2
A1
6
3
A2
5
1
Punkt siodłowy
I tak, jeżeli A wybierze strategię A1, wówczas
jego wypłata w zależności od decyzji gracza B
wyniesie 6 albo 3, a więc nie mniej niż 3. W
przypadku wyboru strategii A2 gwarantuje sobie
wygraną nie mniejszą niż 1. Teraz gracz A, który
pragnie
maksymalizować
swoją
wygraną,
wybiera większą z tych liczb - jest to oczywiście
liczba 3.
Gra z punktem siodłowym
- wybrane wartości
B1
B
2
A1
6
3
3
A2
5
1
1
6
3
W tym przypadku doszło do pewnego rodzaju
"ugody" między graczami. Oboje zgodzili się
grać tak, że za każdym razem wypłata gracza A
wyniesie 3, a gracza B -3. Gdyby którykolwiek
z nich zmienił swoją strategię naraziłby się on
na niepotrzebne straty. O takiej grze mówimy
że posiada ona punkt siodłowy.
Punkt siodłowy
Ogólny sposób poszukiwania punktu
siodłowego jest następujący (jest to sposób
skuteczny zarówno dla gier 2x2 jak i
większych):
wypisz minima z każdego wiersza i wybierz
największe z nich (tzw. maksmin)
wypisz maksima z każdej kolumny i wybierz
najmniejsze z nich (tzw. minmaks)
Jeżeli obie liczby są równe, to gra posiada
punkt siodłowy. Gracze powinni wybrać te
strategie, które odpowiadają wyznaczonemu
wierszowi i kolumnie. Jeżeli wybiorą inne
strategie, narażą się na niepotrzebne straty.
Strategie czyste i
mieszane
Macierz gry bez punktu
siodłowego
B1
B2
A1
7
3
3
A2
2
11
2
7
11
W przedstawionej macierzy wypisane są już wybrane
przez graczy liczby. Jak widać są to różne wartości, tak
więc punkt siodłowy nie istnieje. Gracz A wybierając
strategię A1 gwarantuje sobie wygraną nie mniejszą niż
3. Gracz B grając B1 nie przegra więcej niż 7. Gdzieś
między tymi liczbami znajduje się poszukiwane
rozwiązanie. Aby je odnaleźć skorzystamy ze
strategii
mieszanych
.
Idea stosowania strategii mieszanej jest
następująca. Jeżeli przyjmiemy, że np. gracz B
będzie ciągle stosował wybraną ze swoich
strategii (np. B1), wówczas pozwoli graczowi A
na uzyskanie poważnych korzyści. Rozwiązanie
narzuca się samo - obaj gracze muszą stosować
czasem pierwszą, a czasem drugą ze swoich
strategii. Odtąd strategie A1, A2, B1 i B2
będziemy
nazywać
strategiami
czystymi
.
Strategię,
która
decydować
będzie
o
częstotliwości stosowania strategii czystych,
nazwiemy
strategią mieszaną.
Punkt siodłowy
Strategie czyste i
mieszane
B1
B2
A1
7
3
3
A2
2
11
2
7
11
•
dla gracza A
- odejmij od liczb pierwszej kolumny liczby
drugiej kolumny. Bezwzględna wartość pierwszej z liczb
określa częstotliwość stosowania strategii A2. Z kolei
bezwzględna wartość drugiej z liczb określa częstotliwość
stosowania strategii A1.
•
dla gracza B
- odejmij od liczb pierwszego wiersza liczby
drugiego wiersza. Bezwzględna wartość pierwszej z liczb
określa częstotliwość stosowania strategii B2. Z kolei
bezwzględna wartość drugiej z liczb określa częstotliwość
stosowania strategii B1
Macierz gry - obliczanie
strategii mieszanych
B1
B2
A1
7
3
A2 : |7-3| =
4
A2
2
11
A1 : |2-11|
= 9
B2 : |7-2|
= 5
B1:|3-11| =
8
Uwaga: Łatwo można się tu pomylić automatycznie
przypisując wyliczoną częstotliwość nie tej strategii
czystej co trzeba, bo częstotliwości wychodzą "na
krzyż.
W przykładowej macierzy wypłat przedstawionej
obok, gracz A powinien stosować strategię A1 i A2
w stosunku 9:4, gracz B strategię B1 i B2 w
stosunku 8:5. Rzecz jasna, żaden z nich nie może
zdradzić kolejności w jakiej stosuje swoje strategie -
to bowiem pozwoliłoby przeciwnikowi zagrać lepiej.
ZADANIE 1
Dwa konkurencyjne przedsiębiorstwa mogą uruchomić
niezależnie od siebie produkcję wyrobu X na jednym z
trzech poziomów 10, 20 lub 30 tys. sztuk.
Tabela zysków (strat) przedsiębiorstwa A (w tys. zł), w
zależności
od
przyjętego
poziomu
produkcji
przedsiębiorstwa B jest następująca:
B
1
= 10
tys.
B
2
= 20
tys.
B
3
= 30
tys.
A
1
= 10
tys.
20
-150
-250
A
2
= 20
tys.
150
-80
-100
A
3
= 30
tys.
250
100
40
Określić
strategię
produkcyjną
przedsiębiorstwa
A
zapewniającą minimalną stratę bez względu na strategię
przyjętą przez przedsiębiorstwo B, przy założeniu, że zysk
przedsiębiorstwa A jest dla B stratą.
ROZWIĄZANIE
Menedżer przedsiębiorstwa A ma do wyboru trzy strategie:
•A
1
produkować 10 tys. sztuk
•A
2
produkować 20 tys. sztuk
•A
3
produkować 30 tys. Sztuk
Menedżer przedsiębiorstwa B ma również do wyboru takie
same strategie co menedżer A.
Menedżer przedsiębiorstwa A dąży do minimalizacji straty
(menedżer przedsiębiorstwa B będzie dążył do maksymalizacji
zysku). Obaj postępują ostrożnie i żaden nie wie, co wybierze
jego przeciwnik. Gracz A dla każdej swojej strategii określa
maksymalną stratę (zakładając, że przeciwnik wybierze
najbardziej niekorzystną dla gracza A strategię). Maksymalna
wartość straty gracza A w wierszu A
1
wynosi -250, w wierszu A
2
wynosi -100, a w wierszu A
3
wynosi 40. Spośród tych strategii
gracz A wybierze tę, dla której ta maksymalna strata
(maksymalna przegrana) jest najmniejsza. Jest to strategia A
3
.
Gracz A stosuje więc tzw. regułę maxmin, tzn. wybiera V
A
=
max {min a
ij
}.
ROZWIĄZANIE cd
Tabela obrazuje poszukiwanie przez graczy optymalnych strategii:
Jeśli minimalna z maksymalnych przegranych (dla gracza A)
jest równa
maksymalnej z minimalnych wygranych (dla gracza B), to znaczy, że
istnieje rozwiązanie gry w zbiorze strategii czystych, czyli gra ma punkt
siodłowy. W zadaniu punkt siodłowy gry istnieje na przecięciu trzeciego
wiersza i trzeciej kolumny: jest to element macierzy wypłat (a
33
= 40).
Punkt siodłowy znajduje się na przecięciu optymalnych strategii obu
graczy i jest to najmniejszy element wiersza i równocześnie największy
element kolumny. Punkt siodłowy jest równocześnie wartością gry v, w tej
grze wartość gry wynosi v = 40.
B
1
= 10 tys.
B
2
= 20 tys.
B
3
= 30 tys.
min a
ij
A
1
= 10
tys.
20
-150
-250
-250
A
2
= 20
tys.
150
-80
-100
-100
A
3
= 30
tys.
250
100
40
40
max a
ij
250
100
40
WNIOSEK
Menedżer przedsiębiorstwa A powinien podjąć
decyzję o produkcji 30 tys. sztuk danego
wyrobu i wtedy bez względu na decyzję
przedsiębiorstwa B nie straci nic, a na pewno
zyska co najmniej 40 tys. zł. Przedsiębiorstwo
B powinno również produkować 30 tys. sztuk
tego wyrobu i wtedy, bez względu na decyzję
gracza A nie osiągnie co prawda zysku, ale
jego strata będzie stosunkowo najmniejsza i
wyniesie najwyżej 40 tys. zł..
ZADANIE 2
Dwa
konkurujące
przedsiębiorstwa
mogą
uruchomić
niezależnie od siebie produkcję wyrobu X na jednym z trzech
poziomów: 10, 20 lub 30 tys. sztuk. Tabela zysków (strat)
przedsiębiorstwa A (w tys. zł.), w zależności od przyjętego
poziomu produkcji przedsiębiorstwa B jest następująca:
A\B
B1 = 10
tys.
B2 = 20
tys.
B3 = 30
tys.
A1 = 10
tys.
20
-100
-50
A2 = 20
tys.
120
0
-120
A3 = 30
tys.
110
-100
-160
Określić
strategię
produkcyjną
przedsiębiorstwa
A
zapewniającą minimalną stratę bez względu na strategię
przyjętą przez przedsiębiorstwo B, przy założeniu, że zysk
przedsiębiorstwa A jest dla B stratą.
ROZWIĄZANIE
Sprawdzamy czy istnieje punkt siodłowy gry (czy istnieje
rozwiązanie gry w zbiorze strategii czystych):
A\B
B1 =
10 tys.
B2 =
20 tys.
B3 =
30 tys.
mi
n
a
ij
A1 =
10 tys.
20
-100
-50
-
10
0
← max
{min
a
ij
}
A2 =
20 tys.
120
0
-120
-
12
0
A3 =
30 tys.
110
-100
-160
-
16
0
max a
ij
120
0
-50
↑min
{max
a
ij
}
ROZWIAZANIE cd
V jest wartością gry.
W tym przypadku v
A
= max {min a
ij
} = -100, a
v
B
= min {max a
ij
} = -50.
Ponieważ v
A
≠ v
B
, gra nie ma rozwiązania w zbiorze strategii
czystych (nie ma punktu siodłowego). W takim przypadku dla
każdego gracza należy określić strategie mieszane.
Strategia mieszana jest kombinacją strategii czystych
stosowanych z odpowiednimi prawdopodobieństwami.
Optymalną strategię mieszaną gracza A można zapisać w
postaci:
(A1*p
1
+ A2*p
2
+ A3*p
3
),
a optymalną strategię mieszaną gracza B – w postaci:
(B1*q
1
+ B2*q
2
+ B3*q
3
),
gdzie p
1
, …, p
3
to prawdopodobieństwa (częstości) stosowania
przez gracza A jego strategii (przy założeniu: 0≤ p
i
≤ 1, Σ p
i
=
1), a q
1
, …, q
3
to prawdopodobieństwa stosowania przez gracza
B jego strategii
(przy założeniu: 0≤ q
i
≤ 1, Σ q
i
= 1).
ROZWIĄZANIE cd
Naszym zadaniem jest określenie tych prawdopodobieństw oraz
wartości gry v. Po określeniu strategii mieszanych wartość gry
będzie należeć do przedziału określonego przez dolną wartość
gry (v
A
) i górną wartość gry (v
B
), a więc w naszym przypadku:
v є (-100; -50).
Przed przystąpieniem do wyznaczania strategii mieszanych
należy (jeżeli to możliwe) zredukować macierz wypłat (zmniejszyć
jej rozmiary) przez wykreślenie tzw. strategii zdominowanych
(strategii jawnie niekorzystnych dla każdego graczy).
W naszym przypadku dla gracza A strategią wyraźnie
zdominowaną przez strategię A2 jest strategia A3. Natomiast, dla
gracza B strategia B1 jest wyraźnie zdominowana przez strategię
B3.
ROZWIĄZANIE cd
Dla gracza A wykreślamy jako zdominowaną tę strategię
(wiersz), której elementy są mniejsze od odpowiednich
elementów innej strategii lub równe tym elementom, czyli
strategię, która niezależnie od wyboru przeciwnika daje
graczowi większą przegraną niż inna. Ponieważ dla gracza B
elementy macierzy wypłat są stratami, za zdominowaną uznaje
się tę strategię (kolumnę), której elementy są większe od
odpowiednich elementów innej strategii lub im równe.
Po wykreśleniu strategii zdominowanych otrzymujemy, więc
następującą macierz wypłat:
A\B
B2 = 20 tys.
B3 = 30 tys.
A1 = 10
tys.
-100
-50
A2 = 20
tys.
0
-120
ROZWIĄZANIE cd
KKażdy z graczy powinien więc stosować tylko dwie strategie:
gracz A strategię A1 z częstością p
1
i strategię A2 z częstością p
2
(p
3
=
0);
gracz B będzie stosował strategię B2 z częstością q
2
i strategię B3 z
częstością q
3
(q
1
= 0).
Wygrana gracza A, oznaczona v
A
, w przypadku gdy gracz B zastosuje
strategię B2, wyniesie:
v
A
= -100p
1
+ 0p
2
v
A
= -100p
1
(1)
natomiast, gdy gracz B będzie stosował strategię B3, wygrana gracza A
wyniesie:
v
A
= -50p
1
- 120p
2
(2)
ponadto:
p
1
+ p
2
= 1
(3)
stąd p
2
= 1- p
1
. Podstawiając to wyrażenie do obydwu równań i
porównując równania (1) i (2) stronami, otrzymujemy:
-100p
1
= -50p
1
- 120(1 - p
1
)
Z powyższego równania wynika, że:
p
1
= 120/170 ≈ 0,71 ; a więc p
2
= 1 – 120/170 = 50/170 ≈ 0,29
Otrzymujemy wartość gry v:
v= -100 * 120/170 ≈ -71.
ROZWIĄZANIE cd
MMenedżer przedsiębiorstwa A powinien więc produkować 10 tys.
wyrobu z częstością 0,71 (stosować strategię A1) i 20 tys. wyrobu
z częstością 0,29 (stosować strategię A2), a strategii A3 w ogóle
nie stosować.
PRZY TAKIM POZIOMIE PRODUKCJI STRATY A WYNIOSĄ TYLKO
71 TYS. ZŁ.
Podobnie można wyznaczyć rozwiązanie dla gracza B. Wygrana gracza B
(v
B
), w przypadku gdy A będzie stosował strategię A1, wyniesie:
v
B
= -100q
2
– 50q
3
(4)
Podobnie, gdy gracz A będzie stosował strategię A2, wygrana B
wyniesie:
v
B
= 0q
2
– 120q
3
v
B
= – 120q
3
(5)
Wiadomo ponadto, że:
q
2
+ q
3
= 1 (q
1
= 0)
(6)
skąd q
3
= 1 - q
2
. Po uwzględnieniu tej równości i porównaniu równań (4)
i (5) stronami pozostaje do rozwiązania równanie z jedną niewiadomą:
-100q
2
– 50 (1 - q
2
) = -120 (1 - q
2
),
stąd q
2
= 70/170 ≈ 0,41;a q
3
= 1 – 70/170 = 100/170 ≈ 0,59.
Wartość gry obliczona np. z równania (4) lub (5) wyniesie:
v = -120 * 100/170 ≈ - 71
WNIOSEK
Menedżer przedsiębiorstwa B powinien więc
produkować 20 tys. szt. wyrobu z częstością 0,41 i 30 tys.
szt. wyrobu z częstością 0,59.
JEGO ZYSK WYNIESIE WTEDY 71 TYS. ZŁ.
Warto zauważyć, że dzięki zastosowaniu strategii
mieszanych wartość gry dla obydwu graczy jest taka sama
(wynosi – 71 tys. zł.). Poza tym zastosowanie strategii
mieszanych zmniejszyło maksymalną przegraną gracza A
(z -100) i zwiększyło minimalną wygraną gracza B (z -50).
Wartość gry należy teraz do przedziału wyznaczonego
przez dolną i górną wartość gry, czyli: -71 є (-100; -50).