RYZYKO

PRZEDSIĘBIORCZOŚCI

.

TEORIA GIER.

Przygotowali:

Michał Bonecki

Dominika Brzezińska
Kinga Celej
Patryk Żak

Macierz

wypłat

Gry o sumie zerowej najłatwiej jest

przedstawić w postaci macierzy wypłat.

Tak przedstawioną grę nazywamy grą w

postaci normalnej

. Macierz wypłat

zawiera wartości wypłat dla wszystkich

możliwych kombinacji strategii obu

graczy.

Przykładowa macierz

wypłat

 

B1

B2

A1

5,

-5

-3,

3

A2

2,

-2

-7,

7

Przedstawia ona wszystkie możliwe wypłaty
gry, w której gracz A dysponuje dwoma
strategiami (A1, A2), a gracz B dwoma (B1,
B2). Na przecięciu poszczególnych strategii
graczy A i B wpisana jest wypłata. Pierwsza z
liczb oznacza wypłatę dla gracza A, druga dla
gracza B.

Punkt siodłowy

Oto przykładowa macierz wypłat gry:

 

B1 B2

A1

6

3

A2

5

1

Przeanalizujmy ją od strony gracza A. Chce
on wygrać jak najwięcej przy założeniu, że
jego przeciwnik będzie robił wszystko aby
mu to uniemożliwić. Gracz A zakłada więc,
że jakąkolwiek strategię wybierze, gracz B
wybierze

najdogodniejsze

dla

siebie

posunięcie.

 

B1 B2

A1

6

3

A2

5

1

Punkt siodłowy

I tak, jeżeli A wybierze strategię A1, wówczas
jego wypłata w zależności od decyzji gracza B
wyniesie 6 albo 3, a więc nie mniej niż 3. W
przypadku wyboru strategii A2 gwarantuje sobie
wygraną nie mniejszą niż 1. Teraz gracz A, który
pragnie

maksymalizować

swoją

wygraną,

wybiera większą z tych liczb - jest to oczywiście
liczba 3.

Gra z punktem siodłowym

- wybrane wartości

 

B1

B

2

 

A1

6

3

3

A2

5

1

1

 

6

3

 

W tym przypadku doszło do pewnego rodzaju
"ugody" między graczami. Oboje zgodzili się
grać tak, że za każdym razem wypłata gracza A
wyniesie 3, a gracza B -3. Gdyby którykolwiek
z nich zmienił swoją strategię naraziłby się on
na niepotrzebne straty. O takiej grze mówimy
że posiada ona punkt siodłowy.

Punkt siodłowy

Ogólny sposób poszukiwania punktu
siodłowego jest następujący (jest to sposób
skuteczny zarówno dla gier 2x2 jak i
większych):

 wypisz minima z każdego wiersza i wybierz

największe z nich (tzw. maksmin)
 wypisz maksima z każdej kolumny i wybierz

najmniejsze z nich (tzw. minmaks)

Jeżeli obie liczby są równe, to gra posiada
punkt siodłowy. Gracze powinni wybrać te
strategie, które odpowiadają wyznaczonemu
wierszowi i kolumnie. Jeżeli wybiorą inne
strategie, narażą się na niepotrzebne straty.

Strategie czyste i

mieszane

Macierz gry bez punktu

siodłowego

 

B1

B2

 

A1

7

3

3

A2

2

11

2

 

7

11

 

W przedstawionej macierzy wypisane są już wybrane
przez graczy liczby. Jak widać są to różne wartości, tak
więc punkt siodłowy nie istnieje. Gracz A wybierając
strategię A1 gwarantuje sobie wygraną nie mniejszą niż
3. Gracz B grając B1 nie przegra więcej niż 7. Gdzieś
między tymi liczbami znajduje się poszukiwane
rozwiązanie. Aby je odnaleźć skorzystamy ze

strategii

mieszanych

.

Idea stosowania strategii mieszanej jest
następująca. Jeżeli przyjmiemy, że np. gracz B
będzie ciągle stosował wybraną ze swoich
strategii (np. B1), wówczas pozwoli graczowi A
na uzyskanie poważnych korzyści. Rozwiązanie
narzuca się samo - obaj gracze muszą stosować
czasem pierwszą, a czasem drugą ze swoich
strategii. Odtąd strategie A1, A2, B1 i B2
będziemy

nazywać

strategiami

czystymi

.

Strategię,

która

decydować

będzie

o

częstotliwości stosowania strategii czystych,
nazwiemy

strategią mieszaną.

Punkt siodłowy

Strategie czyste i

mieszane

 

B1

B2

 

A1

7

3

3

A2

2

11

2

 

7

11

 

•

dla gracza A

- odejmij od liczb pierwszej kolumny liczby

drugiej kolumny. Bezwzględna wartość pierwszej z liczb
określa częstotliwość stosowania strategii A2. Z kolei
bezwzględna wartość drugiej z liczb określa częstotliwość
stosowania strategii A1.

•

dla gracza B

- odejmij od liczb pierwszego wiersza liczby

drugiego wiersza. Bezwzględna wartość pierwszej z liczb
określa częstotliwość stosowania strategii B2. Z kolei
bezwzględna wartość drugiej z liczb określa częstotliwość
stosowania strategii B1

Macierz gry - obliczanie

strategii mieszanych

 

B1

B2

 

A1

7

3

A2 : |7-3| =

4

A2

2

11

A1 : |2-11|

= 9

 

B2 : |7-2|

= 5

B1:|3-11| =

8

 

Uwaga: Łatwo można się tu pomylić automatycznie
przypisując wyliczoną częstotliwość nie tej strategii
czystej co trzeba, bo częstotliwości wychodzą "na
krzyż.

W przykładowej macierzy wypłat przedstawionej
obok, gracz A powinien stosować strategię A1 i A2
w stosunku 9:4, gracz B strategię B1 i B2 w
stosunku 8:5. Rzecz jasna, żaden z nich nie może
zdradzić kolejności w jakiej stosuje swoje strategie -
to bowiem pozwoliłoby przeciwnikowi zagrać lepiej.

ZADANIE 1

Dwa konkurencyjne przedsiębiorstwa mogą uruchomić
niezależnie od siebie produkcję wyrobu X na jednym z
trzech poziomów 10, 20 lub 30 tys. sztuk.
Tabela zysków (strat) przedsiębiorstwa A (w tys. zł), w
zależności

od

przyjętego

poziomu

produkcji

przedsiębiorstwa B jest następująca:

 

B

1

= 10

tys.

B

2

= 20

tys.

B

3

= 30

tys.

A

1

= 10

tys.

20

-150

-250

A

2

= 20

tys.

150

-80

-100

A

3

= 30

tys.

250

100

40

Określić

strategię

produkcyjną

przedsiębiorstwa

A

zapewniającą minimalną stratę bez względu na strategię
przyjętą przez przedsiębiorstwo B, przy założeniu, że zysk
przedsiębiorstwa A jest dla B stratą.

ROZWIĄZANIE

Menedżer przedsiębiorstwa A ma do wyboru trzy strategie:

•A

1

produkować 10 tys. sztuk

•A

2

produkować 20 tys. sztuk

•A

3

produkować 30 tys. Sztuk

Menedżer przedsiębiorstwa B ma również do wyboru takie
same strategie co menedżer A.
 
Menedżer przedsiębiorstwa A dąży do minimalizacji straty
(menedżer przedsiębiorstwa B będzie dążył do maksymalizacji
zysku). Obaj postępują ostrożnie i żaden nie wie, co wybierze
jego przeciwnik. Gracz A dla każdej swojej strategii określa
maksymalną stratę (zakładając, że przeciwnik wybierze
najbardziej niekorzystną dla gracza A strategię). Maksymalna
wartość straty gracza A w wierszu A

1

wynosi -250, w wierszu A

2

wynosi -100, a w wierszu A

3

wynosi 40. Spośród tych strategii

gracz A wybierze tę, dla której ta maksymalna strata
(maksymalna przegrana) jest najmniejsza. Jest to strategia A

3

.

Gracz A stosuje więc tzw. regułę maxmin, tzn. wybiera V

A

=

max {min a

ij

}.

ROZWIĄZANIE cd

Tabela obrazuje poszukiwanie przez graczy optymalnych strategii:
 

Jeśli minimalna z maksymalnych przegranych (dla gracza A)

jest równa

maksymalnej z minimalnych wygranych (dla gracza B), to znaczy, że
istnieje rozwiązanie gry w zbiorze strategii czystych, czyli gra ma punkt
siodłowy. W zadaniu punkt siodłowy gry istnieje na przecięciu trzeciego
wiersza i trzeciej kolumny: jest to element macierzy wypłat (a

33

= 40).

Punkt siodłowy znajduje się na przecięciu optymalnych strategii obu
graczy i jest to najmniejszy element wiersza i równocześnie największy
element kolumny. Punkt siodłowy jest równocześnie wartością gry v, w tej
grze wartość gry wynosi v = 40.

 

B

1

= 10 tys.

B

2

= 20 tys.

B

3

= 30 tys.

min a

ij

A

1

= 10

tys.

20

-150

-250

-250

A

2

= 20

tys.

150

-80

-100

-100

A

3

= 30

tys.

250

100

40

40

max a

ij

250

100

40

 

WNIOSEK

Menedżer przedsiębiorstwa A powinien podjąć
decyzję o produkcji 30 tys. sztuk danego
wyrobu i wtedy bez względu na decyzję
przedsiębiorstwa B nie straci nic, a na pewno
zyska co najmniej 40 tys. zł. Przedsiębiorstwo
B powinno również produkować 30 tys. sztuk
tego wyrobu i wtedy, bez względu na decyzję
gracza A nie osiągnie co prawda zysku, ale
jego strata będzie stosunkowo najmniejsza i
wyniesie najwyżej 40 tys. zł..

ZADANIE 2

Dwa

konkurujące

przedsiębiorstwa

mogą

uruchomić

niezależnie od siebie produkcję wyrobu X na jednym z trzech
poziomów: 10, 20 lub 30 tys. sztuk. Tabela zysków (strat)
przedsiębiorstwa A (w tys. zł.), w zależności od przyjętego
poziomu produkcji przedsiębiorstwa B jest następująca:

A\B

B1 = 10

tys.

B2 = 20

tys.

B3 = 30

tys.

A1 = 10
tys.

20

-100

-50

A2 = 20
tys.

120

0

-120

A3 = 30
tys.

110

-100

-160

Określić

strategię

produkcyjną

przedsiębiorstwa

A

zapewniającą minimalną stratę bez względu na strategię
przyjętą przez przedsiębiorstwo B, przy założeniu, że zysk
przedsiębiorstwa A jest dla B stratą.

ROZWIĄZANIE

Sprawdzamy czy istnieje punkt siodłowy gry (czy istnieje
rozwiązanie gry w zbiorze strategii czystych):

A\B

B1 =

10 tys.

B2 =

20 tys.

B3 =

30 tys.

mi

n

a

ij

 

A1 =
10 tys.

20

-100

-50

-

10

0

← max

{min

a

ij

}

A2 =
20 tys.

120

0

-120

-

12

0

 

A3 =
30 tys.

110

-100

-160

-

16

0

 

max a

ij

120

0

-50

 

 

 

 

 

↑min

{max

a

ij

}

 

 

ROZWIAZANIE cd

V jest wartością gry.

W tym przypadku v

A

= max {min a

ij

} = -100, a

v

B

 = min {max a

ij

} = -50.

Ponieważ v

A

 ≠ v

B

, gra nie ma rozwiązania w zbiorze strategii

czystych (nie ma punktu siodłowego). W takim przypadku dla

każdego gracza należy określić strategie mieszane.

Strategia mieszana jest kombinacją strategii czystych

stosowanych z odpowiednimi prawdopodobieństwami.

Optymalną strategię mieszaną gracza A można zapisać w

postaci:

(A1*p

1

+ A2*p

2

+ A3*p

3

),

a optymalną strategię mieszaną gracza B – w postaci:

(B1*q

1

+ B2*q

2

+ B3*q

3

),

gdzie p

1

, …, p

3

to prawdopodobieństwa (częstości) stosowania

przez gracza A jego strategii (przy założeniu: 0≤ p

i

 ≤ 1, Σ p

i

=

1), a q

1

, …, q

3

to prawdopodobieństwa stosowania przez gracza

B jego strategii

(przy założeniu: 0≤ q

i

 ≤ 1, Σ q

i

= 1).

ROZWIĄZANIE cd

Naszym zadaniem jest określenie tych prawdopodobieństw oraz

wartości gry v. Po określeniu strategii mieszanych wartość gry

będzie należeć do przedziału określonego przez dolną wartość

gry (v

A

) i górną wartość gry (v

B

), a więc w naszym przypadku:

v є (-100; -50).

Przed przystąpieniem do wyznaczania strategii mieszanych

należy (jeżeli to możliwe) zredukować macierz wypłat (zmniejszyć

jej rozmiary) przez wykreślenie tzw. strategii zdominowanych

(strategii jawnie niekorzystnych dla każdego graczy).

W naszym przypadku dla gracza A strategią wyraźnie

zdominowaną przez strategię A2 jest strategia A3. Natomiast, dla

gracza B strategia B1 jest wyraźnie zdominowana przez strategię

B3.

ROZWIĄZANIE cd

Dla gracza A wykreślamy jako zdominowaną tę strategię
(wiersz), której elementy są mniejsze od odpowiednich
elementów innej strategii lub równe tym elementom, czyli
strategię, która niezależnie od wyboru przeciwnika daje
graczowi większą przegraną niż inna. Ponieważ dla gracza B
elementy macierzy wypłat są stratami, za zdominowaną uznaje
się tę strategię (kolumnę), której elementy są większe od
odpowiednich elementów innej strategii lub im równe.

Po wykreśleniu strategii zdominowanych otrzymujemy, więc
następującą macierz wypłat:

A\B

B2 = 20 tys.

B3 = 30 tys.

A1 = 10
tys.

-100

-50

A2 = 20
tys.

0

-120

ROZWIĄZANIE cd

KKażdy z graczy powinien więc stosować tylko dwie strategie:

gracz A strategię A1 z częstością p

1

i strategię A2 z częstością p

2

(p

3

=

0);

gracz B będzie stosował strategię B2 z częstością q

2

i strategię B3 z

częstością q

3

(q

1

= 0).

    Wygrana gracza A, oznaczona v

A

, w przypadku gdy gracz B zastosuje

strategię B2, wyniesie:

v

A

= -100p

1

+ 0p

2

v

A

= -100p

1

(1)

natomiast, gdy gracz B będzie stosował strategię B3, wygrana gracza A

wyniesie:

v

A

= -50p

1

- 120p

2

(2)

ponadto:

p

1

+ p

2

= 1

(3)

stąd p

2

= 1- p

1

. Podstawiając to wyrażenie do obydwu równań i

porównując równania (1) i (2) stronami, otrzymujemy:

-100p

1

= -50p

1

- 120(1 - p

1

)

Z powyższego równania wynika, że:

p

1

= 120/170 ≈ 0,71 ; a więc p

2

= 1 – 120/170 = 50/170 ≈ 0,29

Otrzymujemy wartość gry v:

v= -100 * 120/170 ≈ -71.

ROZWIĄZANIE cd

MMenedżer przedsiębiorstwa A powinien więc produkować 10 tys.

wyrobu z częstością 0,71 (stosować strategię A1) i 20 tys. wyrobu

z częstością 0,29 (stosować strategię A2), a strategii A3 w ogóle

nie stosować.

PRZY TAKIM POZIOMIE PRODUKCJI STRATY A WYNIOSĄ TYLKO

71 TYS. ZŁ.

Podobnie można wyznaczyć rozwiązanie dla gracza B. Wygrana gracza B

(v

B

), w przypadku gdy A będzie stosował strategię A1, wyniesie:

v

B

= -100q

2

– 50q

3

(4)

Podobnie, gdy gracz A będzie stosował strategię A2, wygrana B

wyniesie:

v

B

= 0q

2

– 120q

3

v

B

= – 120q

3

(5)

Wiadomo ponadto, że:

q

2

+ q

3

= 1 (q

1

= 0)

(6)

skąd q

3

= 1 - q

2

. Po uwzględnieniu tej równości i porównaniu równań (4)

i (5) stronami pozostaje do rozwiązania równanie z jedną niewiadomą:

-100q

2

– 50 (1 - q

2

) = -120 (1 - q

2

),

stąd q

2

= 70/170 ≈ 0,41;a q

3

= 1 – 70/170 = 100/170 ≈ 0,59.

Wartość gry obliczona np. z równania (4) lub (5) wyniesie:

v = -120 * 100/170 ≈ - 71

WNIOSEK

Menedżer przedsiębiorstwa B powinien więc

produkować 20 tys. szt. wyrobu z częstością 0,41 i 30 tys.

szt. wyrobu z częstością 0,59.

JEGO ZYSK WYNIESIE WTEDY 71 TYS. ZŁ.

Warto zauważyć, że dzięki zastosowaniu strategii

mieszanych wartość gry dla obydwu graczy jest taka sama

(wynosi – 71 tys. zł.). Poza tym zastosowanie strategii

mieszanych zmniejszyło maksymalną przegraną gracza A

(z -100) i zwiększyło minimalną wygraną gracza B (z -50).

Wartość gry należy teraz do przedziału wyznaczonego

przez dolną i górną wartość gry, czyli: -71 є (-100; -50).