Granica funkcji

Granica funkcji

Definicja Heine’go

Definicja Heine’go

i

i

Definicja Cauchy’ego

Definicja Cauchy’ego

Definicja Heine’go

Definicja Heine’go

Liczbę

Liczbę

a

a

nazywamy granicą funkcji

nazywamy granicą funkcji

y = f(x)

y = f(x)

w punkcie

w punkcie

x

x

0

0

jeśli dla każdego ciągu

jeśli dla każdego ciągu

(x

(x

n

n

)

)

argumentów funkcji zbieżnego do

argumentów funkcji zbieżnego do

x

x

0

0

 o

 o

wyrazach różnych od

wyrazach różnych od

x

x

0

0

, odpowiadający

, odpowiadający

mu ciąg

mu ciąg

(f(

(f(

x

x

n

n

))

))

wartości funkcji jest zbieżny

wartości funkcji jest zbieżny

do

do

a

a

.

.

Fakt, że granicą funkcji przy

Fakt, że granicą funkcji przy

x

x

dążącym do

dążącym do

x

x

0

0

jest liczba

jest liczba

a

a

zapisujemy:

zapisujemy:

 

 

Jeżeli

Jeżeli

f : X

f : X





R

R

i

i

g : X

g : X





R

R

(

(

X

X

-

- dziedzina

funkcji)

funkcji)

są dowolnymi funkcjami, to:

są dowolnymi funkcjami, to:

►

sumą funkcji

sumą funkcji

f

f

i

i

g

g

nazywamy

nazywamy

funkcję

funkcję

f + g : X

f + g : X





R

R

określoną wzorem:

określoną wzorem:

 

►

różnicą funkcji

różnicą funkcji

f

f

i

i

g

g

nazywamy funkcję

nazywamy funkcję

f – g : X

f – g : X





R

R

określoną wzorem:

określoną wzorem:

►

Iloczynem funkcji

Iloczynem funkcji

f

f

i

i

g

g

nazywamy

nazywamy

funkcję

funkcję

f

f

∙

∙

g : X

g : X





R

R

określoną wzorem:

określoną wzorem:

►

Ilorazem funkcji

Ilorazem funkcji

f

f

i

i

g

g

nazywamy

nazywamy

funkcje

funkcje

f/g : X

f/g : X





R

R

określoną wzorem:

określoną wzorem:

►

Iloczynem funkcji

Iloczynem funkcji

f

f

przez liczbę

przez liczbę

rzeczywistą

rzeczywistą

k

k

nazywamy funkcję

nazywamy funkcję

kf : X

kf : X





R

R

określoną wzorem:

określoną wzorem:

►

Jeśli funkcje

Jeśli funkcje

f

f

i

i

g

g

mają

mają

w punkcie

w punkcie

x

x

0

0

 granice odpowiednio

 granice odpowiednio

a

a

i

i

b

b

,

,

to istnieją w punkcie x

to istnieją w punkcie x

0

0

granice funkcji

granice funkcji

f + g, f – g, f

f + g, f – g, f

∙

∙

g, f/g : g

g, f/g : g

≠ 0

≠ 0

i zachodzą związki:

i zachodzą związki:

►

Jeżeli funkcja

Jeżeli funkcja

f

f

jest funkcją wymierną

jest funkcją wymierną

postaci

postaci

x

x





W

1

(x) / W

2

(x)

, gdzie

W

1

,

W

2

są wielomianami i punkt

x

2

nie jest

miejscem zerowym wielomianu

W

2

to:

)

(

)

(

lim

0

2

x

f

x

f

x





►

Liczbę

Liczbę

a

a

nazywamy granicą funkcji

nazywamy granicą funkcji

f : X

f : X





R

R

w punkcie

w punkcie

x

x

0

0

, gdy

, gdy

dla dowolnego otoczenia

dla dowolnego otoczenia

U

U

punktu

punktu

a

a

istnieje takie sąsiedztwo

istnieje takie sąsiedztwo

S

S

punktu

punktu

x

x

0

0

,

,

że jeśli

że jeśli

x

x

∈S∩X

∈S∩X

, to

, to

f(x)∈U

f(x)∈U

Definicje Heine’go dotyczące granic

Definicje Heine’go dotyczące granic

niewłaściwych funkcji w punkcie.

niewłaściwych funkcji w punkcie.

►

Funkcja

Funkcja

f : X

f : X





R

R

ma w punkcie

ma w punkcie

x0

x0

granicę niewłaściwą

granicę niewłaściwą

+

+

∞

∞

, jeśli dla

, jeśli dla

każdego ciągu (

każdego ciągu (

xn

xn

) argumentów

) argumentów

funkcji

funkcji

f

f

zbieżnego do

zbieżnego do

x0

x0

, o wyrazach

, o wyrazach

różnych od

różnych od

x0

x0

, odpowiadający mu ciąg

, odpowiadający mu ciąg

(

(

f(xn

f(xn

))

))

wartości funkcji jest rozbieżny

wartości funkcji jest rozbieżny

do

do

+∞

+∞

.

.

►

Funkcja

Funkcja

f : X

f : X





R

R

ma w punkcie

ma w punkcie

x

x

0

0

granicę niewłaściwą

granicę niewłaściwą

-

-

∞

∞

, jeśli dla

, jeśli dla

każdego ciągu

każdego ciągu

(

(

x

x

n

n

)

)

argumentów funkcji

argumentów funkcji

f

f

zbieżnego do

zbieżnego do

x

x

0

0

,

,

o wyrazach różnych od

o wyrazach różnych od

x

x

0

0

,

,

odpowiadający mu ciąg

odpowiadający mu ciąg

(f(x

(f(x

n

n

))

))

wartości funkcji jest rozbieżny do

wartości funkcji jest rozbieżny do

-∞

-∞

.

.

Definicja Cauchy’ego

Definicja Cauchy’ego

►

Liczbę

Liczbę

a

a

nazywamy granicą funkcji

nazywamy granicą funkcji

f : X

f : X





R

R

w punkcie

w punkcie

x

x

0

0

,

,

gdy dla każdej liczby

gdy dla każdej liczby





>0

>0

istnieje

istnieje

taka liczba

taka liczba





>0

>0

, że dla dowolnego

, że dla dowolnego

x

x

∈X

∈X

prawdziwa jest implikacja:

prawdziwa jest implikacja:

0

0

<

<

|x- x0|<

|x- x0|<





⇒

⇒

|f(x)-a| <

|f(x)-a| <





►

Możemy to zapisać jako:

Możemy to zapisać jako:

Definicje Cauchy’ego dotyczące

Definicje Cauchy’ego dotyczące

granic niewłaściwych funkcji w

granic niewłaściwych funkcji w

punkcie.

punkcie.

►

Funkcja

Funkcja

f : X

f : X





R

R

ma w punkcie

ma w punkcie

x

x

0

0

granicę niewłaściwą

granicę niewłaściwą

+

+

∞

∞

,

,

jeśli dla każdej liczby

jeśli dla każdej liczby

E>0

E>0

istnieje

istnieje

taka liczba

taka liczba





>0

>0

, że dla dowolnego

, że dla dowolnego

x

x

∈

∈

X

X

prawdziwa jest implikacja:

prawdziwa jest implikacja:

0<|x-x0|<

0<|x-x0|<





⇒f(x)>E

⇒f(x)>E

►

Możemy to zapisać jako:

Możemy to zapisać jako:

►

Funkcja

Funkcja

f : X

f : X





R

R

ma w punkcie

ma w punkcie

x

x

0

0

granicę niewłaściwą

granicę niewłaściwą

-

-

∞

∞

, jeśli dla każdej

, jeśli dla każdej

liczby

liczby

E>0

E>0

istnieje taka liczba

istnieje taka liczba





>0

>0

, że

, że

dla dowolnego

dla dowolnego

x

x

∈

∈

X

X

prawdziwa jest

prawdziwa jest

implikacja:

implikacja:

0<|x-x)|<

0<|x-x)|<





⇒

⇒

f(x)<-E

f(x)<-E

►

Możemy to zapisać jako:

Możemy to zapisać jako:

►

Granice funkcji

Granice funkcji

:

:

►

Przykłady:

Przykłady:

3

2

1

3

1

2

lim

2

sin

3

)

2

(

2

lim

2

sin

3

4

lim

.

3

4

7

3

1

6

1

lim

3

6

lim

.

2

26

15

2

24

7

8

lim

2

8

3

7

4

2

lim

2

2

3

7

2

2

lim

2

3

7

2

lim

.

1

0

0

0

1

4

4

1

2

2

3

2

2

3

2

2













































































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x