STEROWALNOŚĆ I

OBSERWOWALNOŚĆ UKŁADÓW

LINIOWYCH

Badanie każdego obiektu zaczynamy od modelowania sterowanego

procesu oraz określenia liczby i lokalizacji elementów pomiarowych i

elementów wykonawczych. Otrzymamy więc model obiektu sterowania

o określonych wejściach i wyjściach. Ponadto, jeśli uwzględnimy

dynamikę elementów wykonawczych i pomiarowych, to otrzymamy

model układu otwartego. Pojawia się pytanie; czy jesteśmy w stanie

zbudować układ sterowania dla danej konfiguracji układu otwartego?

Odpowiedź na to pytanie daje badanie sterowalności i

obserwowalności układu lub szerzej badanie osiągalności i

odtwarzalności układu. Jak okaże się poniżej, badanie to sprowadza

się, w przypadku układów liniowych, do badania rzędu macierzy

zwanych macierzami obserwowalności i sterowalności. Badanie to

przeprowadzić można zarówno dla układów ciągłych w czasie jak i dla

układów dyskretno-czasowych. Ponadto w niniejszym rozdziale

pokazana zostanie postać kanoniczna Kalmana, która uzmysławia

ograniczenia modelu transmitancyjnego. Na koniec wykażemy, że

badania obserwowalności i sterowalności należy uzupełnić badaniami

wrażliwości układu zamkniętego, aby poprawnie on działał w

rzeczywistych warunkach zmienności parametrów.

Sterowalność układów liniowych

stacjonarnych

• Dany jest układ liniowy stacjonarny opisany równaniami:

• przy czym macierze A, B, C, D są macierzami o wymiarach

odpowiednio: [n×n],[nxr] ,[mxn],[rxm].

• Przyjmiemy, że rozwiązaniem równania stanu jest wektor x(t, u,

to, xo), który jest funkcją czasu, sterowania i warunku

początkowego:

• Układ będzie całkowicie sterowalny, jeśli uda się go

przeprowadzić w skończonym czasie z dowolnego stanu

początkowego do zadanego stanu końcowego xk(tk)=0, przez

zastosowanie ciągłego przedziałami sygnału sterowania u(t),

gdzie tt0, tk.

 

 

 

t

t

t

Bu

Ax

x







 

 

 

t

t

t

Du

Cx

y





.

)

(

o

o

t

x

x



Sterowalność

•

Rozważymy obecnie warunki, które muszą spełniać macierze układu, aby układ był

sterowalny. Rozwiązanie równania stanu spełniającego warunki początkowe ma postać:

•

Jeśli istnieje taka skończona chwila czasu tk i takie sterowanie u(t), które przeprowadza układ

ze stanu początkowego x(t0) do stanu końcowego xk=x(tk)=0, to powyższe rozwiązanie

możemy zapisać jak następuje:

•

Jeśli pomnożymy powyższe równanie macierzowe lewostronnie przez: i

dokonamy odpowiednich przekształceń, to otrzymamy:

•

Na podstawie zależności na macierz fundamentalną zastosowanej do funkcji mamy:

•

Rozważymy obecnie warunki, które muszą spełniać macierze układu, aby układ był

sterowalny. Rozwiązanie równania stanu, spełniającego warunki początkowe, ma postać:

•

Jeśli istnieje taka skończona chwila czasu tk i takie sterowanie u(t), które przeprowadza układ

ze stanu początkowego x(t0) do stanu końcowego xk=x(tk)=0, to powyższe rozwiązanie

możemy zapisać jak następuje:

 





 





 











t

t

t

o

t

t

o

d

e

t

e

t







Bu

x

x

A

A

0

 





 

 

.

0

0

0

Bu

x

x

A

A













k

o

k

k

t

t

t

t

t

k

k

d

e

e

t











0

t

t

k

e



 A

 

 

.

0

0









k

o

t

t

t

d

e







Bu

x

A

 







0

t

e

A

 

.

)

(

1

0

0













n

i

i

i

t

f

e

A

A





,

1

0

0









n

i

i

i

v

B

A

x

Hv

x 

0

Sterowalność

• W równaniu mamy n-wymiarowy wektor:

• którego elementy są funkcjami czasu:

• oraz macierz:

• która nazywana jest macierzą sterowalności.

•

Z zależności powyższej wynika, że wektor x0 jest kombinacją liniową kolumn

macierzy H. Z założenia x0 może być dowolnym niezerowym wektorem w n-

wymiarowej przestrzeni stanu. Wobec tego układ jest sterowalny wtedy i tylko wtedy,

gdy macierz H określona zależnością (14.11) ma n liniowo niezależnych kolumn

tworzących bazę tej n-wymiarowej przestrzeni. Macierz H ma n liniowo niezależnych

kolumn wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy H równa się n. Rozważania powyższe

prowadzą do prostego twierdzenia, na bazie którego bada się obserwowalność

liniowych układów stacjonarnych.

•

Twierdzenie o sterowalności. Układ liniowy stacjonarny jest sterowalny

wtedy i tylko wtedy, gdy macierz sterowalności ma rząd równy n.

•

W Matlabie sterowalność układów otwartych bada się korzystając z

następujących funkcji: rank H. Dla układu o jednym wejściu macierz sterowalności

jest macierzą kwadratową. W tym przypadku badanie sterowalności ogranicza się do

sprawdzenia, czy wyznacznik tej macierzy jest różny od zera. Jeśli wyznacznik jest

różny od zera, to macierz sterowalności ma rząd n.

Hv

x 

0



























 1

1

0

n

v

v

v



v

1

,

,

2

,

1

,

0

,

)

(

)

(

0











n

i

d

u

f

v

k

t

t

i

i













B

A

B

A

AB

B

H

1

2





n



Przykład. Sterowalność łożyska

magnetycznego

• Wyprowadzimy modele układu otwartego masy wirnika zawieszonego w

łożyskach magnetycznych dla jednej osi sterowania łożyskiem. Wykorzystuje

się w tym celu naprzeciwległą parę cewek elektromagnesów. Tego typu

sterowanie nazwać można lokalnym, gdyż na podstawie pomiaru wielkości

fizycznych na kierunku osi pary cewek lub w jej najbliższym otoczeniu steruje

się parametrami tej pary cewek. Równanie stanu ma następującą postać:

•
• gdzie:

• , ,

,

• ,

• Obiekt został rozprzężony na dwa podukłady: podukład punktu pracy i

podukład sterowany. Po wydzieleniu części sterowanej otrzymaliśmy

następujące równanie stanu podukładu sterowanego:

• Należy zbadać sterowalność tego podukładu.

,

,

Cx

y

F

B

Bu

Ax

x

F









z

























































0

0

0

0

0

0

0

2

2

0

2

0

0

1

0

L

L

R

L

L

k

L

L

R

L

L

k

m

k

m

k

m

k

s

s

i

o

s

s

i

i

i

s

A



























2

1

i

i

x

x



x















2

1

u

u

u







































0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

L

L

L

L

s

s

B

.

0

0

1

0





























 m

F

B

.

0

1

0

1

0

0

0

2

0

2

0

1

0

z

o

s

o

s

o

s

i

i

s

F

m

u

L

L

i

x

x

L

L

R

L

L

k

m

k

m

k

i

x

x

dt

d













































































































































Przykład-cd

• Aby sprawdzić sterowalność podukładu sterowanego zbudujemy

macierz sterowalności:

• .

• Jest to macierz kwadratowa, gdyż układ ma tylko jedno wejście.

Badanie sterowalności ogranicza się w tym przypadku do badania

wartości wyznacznika macierzy sterowalności. Wyznacznik tej

macierzy wynosi:

•

•
• Ponieważ ten wyznacznik jest różny od zera dla dowolnych

niezerowych parametrów, to podukład sterowany jest także

sterowalny.

2

2

2

2

2

3

2

0

0

(

)

2

2

0

(

)

(

)

2 (

)

1

(

)

(

)

(

)

i

s

o

i

i

s

o

s

o

i

s

o

s

o

s

o

s

o

k

m L L

k

kR

m L L

m L L

mR

k L L

R

L L

L L

m L L

�

�

�

�

+

�

�

�

�

-

�

�

=

=�

�

�

�

+

+

�

�

�

�

-

+

-

�

�

+

+

+

�

�

�

�

H

B AB A B

2

2

3

4

det( )

0

(

)

i

s

o

k

m L L

=

�

+

H

Obserwowalność liniowych układów

stacjonarnych

• Układ będziemy nazywali całkowicie obserwowalnym, jeśli istnieje taka skończona chwila

czasu tk, że na podstawie znajomości prawa sterowania u(t) i odpowiedzi układu y(t) w

przedziale czasu t



t0, tk



można wyznaczyć stan początkowy x0 w chwili t0.

• Aby wyznaczyć warunki, przy których liniowy układ stacjonarny jest obserwowalny

przyjmiemy, że jego sygnał mierzony jest rozwiązaniem uzyskanym przez podstawienie

rozwiązania równania stanu do równania odpowiedzi układu:

• Wprowadzając nową zmienną odpowiedzi:

•

• otrzymamy:

• Równanie powyższe wiąże zmodyfikowany wektor odpowiedzi z(t) z wektorem stanu w

chwili początkowej x0(t0). Z równania tego wynika, że wektor z(t) dla dowolnego

niezerowego wektora x0 jest kombinacją liniową wektorów będących kolumnami

macierzy: Załóżmy, że kolumny macierzy są liniowo niezależne,

wówczas:

• dla dowolnego wektora v0.

 

 

 







t

t

t

Du

Cx

y









 

)

(

0

0

t

d

e

e

t

t

t

t

t

o

Du

Bu

C

x

C

A

A





















 

),

(

)

(

)

(

t

d

e

t

t

t

t

t

o

Du

Bu

C

y

z

A





















.

)

(

0

0

x

C

z

A

t

t

e

t









.

0

t

t

e



A

C





,

0

0

v

C

A



 t

t

e

Obserwowalność

• Różniczkując (n-1)-krotnie zależność względem czasu i biorąc pod

• uwagę właściwość , otrzymamy:

• dla

v0,

• gdzie:

•

• nazywana jest macierzą obserwowalności.

• Macierz jest macierzą nieosobliwą dla dowolnej macierzy A. Z powyższej

zależności wynika, że macierz obserwowalności ma n liniowo niezależnych

kolumn, czyli, że jej rząd jest równa się n. Stąd możemy sformułować

twierdzenie o obserwowalności liniowych układów stacjonarnych.

• Twierdzenie o obserwowalności. Układ liniowy stacjonarny opisany

równaniami jest obserwowalny, gdy rząd macierzy obserwowalności S, wynosi

n.

• W Matlabie obserwowalność układów otwartych bada się korzystając z

następującej funkcji: rankS. Dla układu o jednym wyjściu macierz

obserwowalności jest macierzą kwadratową. W tym przypadku badanie

obserwowalności ogranicza się do sprawdzenia, czy wyznacznik tej macierzy

jest różny od zera. Jeśli wyznacznik jest różny od zera, to macierz

obserwowalności ma rząd n.





,

0

0

v

C

A



 t

t

e

A

A

A

t

t

e

e

dt

d







,

0

1

2

0

v

CA

CA

CA

C

A







































t

t

n

e



,

1

2





































n

CA

CA

CA

C

S







0

t

t

e



A

Przykład. Obserwowalność

samopomiarowego łożyska

magnetycznego

W poprzednim przykładzie przedstawiliśmy równania stanu dla jednej osi łożyska magnetycznego

zarówno w przypadku pełnego modelu jak i modelu rozprzężonego. Obecnie przedstawimy

równanie pomiaru. Przyjmując, że mierzymy tylko prądy w obu cewkach (tak zwany układ

samopomiarowy), otrzymujemy dla pełnego modelu układu następujące równanie pomiaru:

przy czym, po rozprzężeniu układu mamy dla podukładu sterowanego macierz pomiaru:

•

.

•
•

Należy zbadać obserwowalność tego podukładu. Macierz obserwowalności dla układu

samopomiarowego ma postać:

•

.

•

Macierz obserwowalności jest macierzą kwadratową. Badanie obserwowalności ograniczymy

więc do badania wartości wyznacznika z macierzy obserwowalności. Ponieważ wyznacznik tej

macierzy wynosi:

•

,

•

to podukład sterowany z pomiarem prądów jest obserwowalny dla dowolnych niezerowych

parametrów układu.





































2

1

1

1

0

0

i

i

x

x



Cx

y





1

0

0



C

2

2

2

0

0

1

0

(

)

(

)

2

2 (

)

(

) (

)

(

)

i

i

s

o

s

o

s i

i

i

s

o

s

o

s

o

s

o

k

R

L L

L L

k k

Rk

R m

k L L

L L

L L

L L

�

�

�

�

�

�

�

�

-

-

=�

�

+

+

�

�

�

�

-

-

+

�

�

+

+

+

�

�

�

�

G

2

2

2

det( )

0

(

)

s i

i

s

o

k k

L L

=

�

+

G

Przykład. Obserwowalność łożyska magne-

tycznego przy pomiarze przemieszczenia

wału

• Gdy mierzymy jedynie przemieszczenie wału wirnika na kierunku osi pary

cewek elektromagnesów, to równanie pomiaru przyjmuje postać:

•
• przy czym, po rozprzężeniu układu dla części sterowanej macierz pomiaru

ma postać:

• .

• Zbadać obserwowalność podukładu sterowanego.

• W celu sprawdzenia obserwowalności podukładu sterowanego zbadamy

macierz obserwowalności dla przypadku pomiaru przemieszczenia:

•

.

• Ponieważ wyznacznik tej macierzy wynosi:

• ,

• to podukład sterowany przy pomiarze przemieszczenia jest obserwowalny

dla dowolnych niezerowych parametrów układu.





,

0

0

0

1

2

1

































i

i

x

x



Cx

y





0

0

1



C

1

0

0

0

1

0

2

2

0

x

s

i

k

k

m

m

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

=

=�

�

�

�

�

�

�

�

�

� �

�

�

�

2

C

G

CA

CA

2

det(

)

0

i

k

m

=

�

x

G

Postać kanoniczna Kalmana

• Kalman wykazał, że każdy układ otwarty z punktu widzenia

obserwowalności i sterowalności można podzielić na cztery części.

• Część niesterowalna i nieobserwowalna.

• Część niesterowalna i obserwowalna.

• Część sterowalna i nieobserwowalna.

• Część sterowalna i obserwowalna.

• . Algorytm wyznaczania tych części został opracowany przez Kalmana.

Temu podziałowi odpowiada podział macierzy A, B, C na odpowiednie

podmacierze charakteryzujące poszczególne części układu w sposób

podany poniżej:

• Wskaźniki 1,2,3,4 dotyczą odpowiednio: 1 – części niesterowalnej i

nieobserwowalnej, 2 - części niesterowalnej i obserwowalnej. 3 – części

sterowalnej i nieobserwowalnej, 4 - części sterowalnej i obserwowalnej.

[

]

33

34

31

32

3

44

42

4

4

2

11

12

22

,

,

,

�

�

� �

�

�

� �

�

�

� �

=

=

=

�

�

� �

�

�

� �

� �

�

�

A

A

A

A

B

0

A

0

A

B

A

B

C

0 C

0 C

0

0

A

A

0

0

0

0

A

0

Postać kanoniczna Kalmana-cd

•

Okazało się, że w przypadku modelu układu w postaci transmitancji zajmujemy się jedynie

częścią czwartą, czyli transmitancja opisuje jedynie część obserwowalną i sterowalną układu

otwartego. Przy wykazaniu tego faktu skorzystamy ze znanej zależności na macierz odwrotną do

macierzy blokowej:

•

Jak wiemy związek pomiędzy modelem operatorowym i modelem w przestrzeni stanu jest

następujący:

•

Jeśli podstawimy w miejsce macierzy A, B, C ich postać kanoniczną Kalmana, to otrzymamy:

•

Uwzględniając wzór na odwracanie macierzy blokowej trójkątnej otrzymamy:

•

•

gdzie elementy macierzy blokowej trójkątnej oznaczone symbolem × są nieistotne przy wymnożeniu

powyższych macierzy, gdyż ostatecznie:

•

Należy podkreślić, że macierz transmitancji operatorowych dostarcza jedynie informacji o

właściwościach dynamicznych części sterowalnej i obserwowalnej, nie daje natomiast żadnych

informacji o pozostałych trzech częściach układu. W tym zakresie istotną przewagę ma modelowanie

układu w przestrzeni stanu.







































1

4

1

4

2

1

1

1

1

1

4

2

1

M

0

M

M

M

M

M

0

M

M

 





D

B

A

I

C

G







 1

s

s





,

0

0

)

(

4

3

1

22

12

11

42

44

32

31

34

33

2

4

D

0

0

B

B

A

I

0

0

0

A

A

I

0

0

A

0

A

I

0

A

A

A

A

I

C

C

G









































































s

s

s

s

s





,

)

(

)

(

)

(

)

(

0

0

)

(

4

3

1

22

1

11

1

44

1

33

2

4

D

0

0

B

B

A

I

0

0

0

A

I

0

0

A

I

0

A

I

C

C

G





















































































s

s

s

s

s

 





.

4

1

44

4

D

B

A

I

C

G









s

s

Wrażliwość układu względem

parametrów

• Czy wystarcza badanie sterowalności i obserwowalności

oraz zaprojektowanie regulatora, aby podjąć decyzję o
budowaniu układu sterowania? Niestety, nie. Po
zaprojektowaniu regulatora dla układu sterowalnego i
obserwowalnego należy sprawdzić wrażliwość układu
zamkniętego na zmiany istotnych dla tego układu
parametrów. Może okazać się, że układ zamknięty jest
bardzo wrażliwy na niepewność parametrów modelu.
Wówczas niewielka ich zmiana, co zwykle ma miejsce w
układach rzeczywistych, prowadzi do niestabilności układu.
Pokażemy to w poniższym przykładzie.

Przykład. Wrażliwość układu

sterowania łożysk magnetycznych

• W przykładach badaliśmy obserwowalność odpowiednio układu

łożyskowania magnetycznego z pomiarem tylko prądów w cewkach

elektromagnesów i układu z pomiarem tylko przemieszczenia wirnika

(zwory obwodu magnetycznego). Jak wiemy z wcześniejszych przykładów

parametry zlinearyzowanego modelu są funkcją parametrów punktu pracy.

Logicznym zagadnieniem jest więc badanie wrażliwości układu

zamkniętego na zmiany tych parametrów punktu pracy jak: prąd punktu

pracy io oraz położenie wirnika w punkcie pracy xo.

•

Dla układu samopomiarowego w wyniku procedury projektowania

uzyskano regulator metodą przesuwania biegunów z wykorzystaniem

obserwatora stanu do estymacji wektora stanu.. Na rysunku pokazano

przedziały parametrów punktu pracy, dla których układ zamknięty

pozostaje stabilny.

• Układ sterowania samopomiarowego jest bardzo wrażliwy na zmianę

parametrów punktu pracy. Obszar stabilnej pracy układu jest niewielki

(patrz – zakresy wartości parametrów). Aby można było realizować taki

układ, niezbędna jest bardzo precyzyjna identyfikacja parametrów

dynamicznych. Tak wyznaczone parametry obiektu pozwolą precyzyjnie

zaprojektować układ sterowania. Badania eksperymentalne wskazują

jednak, że nieuwzględnione w modelu nieliniowości korzystnie wpływają na

stabilność tego układu rozszerzając nieco zakres stabilnych przedziałów

parametrów.

Przykład-cd

• Obszar stabilności układu samopomiarowego w funkcji parametrów

punktu pracy: i0 i x0.

0.9

2

0.9

4

0.9

6

0.9

8

1

1.0

2

1.0

4

1.0

6

3.49

8

3.4985

3.49

9

3.4995

3.5

3.5005

3.50

1

3.5015

3.502

3.5025

10

-4

Prąd punktu pracy i

o

[A]

Sz

cz

el

in

a

no

m

in

al

na

x

o

[m

]

Punkt pracy

(i

o

,x

o

)

Niestabilny obszar pracy

układu

Granica stabilności

Stabilny obszar pracy układu

Niestabilny obszar pracy

układu

Przykład-cd

• Dla układu z pomiarem przemieszczenia wirnika wybrano regulator

typu PDD, a więc regulator proporcjonalny z dwiema akcjami

różniczkującymi. Taki regulator można realizować jedynie w technice

cyfrowej.

• Należy zauważyć, że nominalne wartości parametrów punktu pracy

wynoszą: xo=0.35mm, io=1A. Parametr xo reprezentuje wartość

szczeliny pomiędzy wirnikiem a stojanem łożyska magnetycznego. Tym

samym przemieszczanie wirnika dopuszczalne jest w przedziale 0-

0.7mm. Prąd punktu pracy równy jest połowie prądu nasycającego

obwód magnetyczny. Tym samym maksymalna wartość prądu może

wynosić 2A. Jak widzimy na rysunku został uwzględniony powyższy

przedział zmienności parametrów punktu pracy.

•

Na podstawie rysunku wnioskujemy, że układ z pomiarem

przemieszczenia jest praktycznie niewrażliwy na zmiany parametrów

punktu pracy. Wynika to z faktu, że aby sterować drganiami wirnika z

wykorzystaniem łożysk magnetycznych musimy mieć informację o

położeniu wirnika uzyskaną przez pomiar bezpośredni, pomiar

pośredni lub w wyniku procesu estymacji. Pomiar bezpośredni jest z

oczywistych względów najlepszy.

•

Obszar stabilności układu sterowanego

napięciowo z regulatorem PD2 w funkcji

parametrów punktu pracy (io, xo).

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0

1

2

3

4

5

6

7

Prąd punktu pracy i

o

[A]

Sz

cz

el

in

a

no

m

in

al

na

x

o

[m

]

Punkt pracy

(i

o

,x

o

)

Niestabilny obszar pracy

układu

Granica stabilności

St

ab

iln

y

ob

sz

ar

p

ra

cy

uk

ła

du

x 10

-4