W wielu badaniach medycznych

gromadzimy dane będące liczebnościami. Na
przykład możemy klasyfikować chorych w
badanej próbie do różnych kategorii pod
względem wieku, płci czy natężenia choroby,
czyli kilku badanych cech. Przedstawiane do
tej pory w naszym cyklu metody statystyczne
stają się użyteczne dla danych jednej cechy,
danymi jakościowymi lub ilościowych.
Techniki statystyczne omówione w tym
odcinku należą do najbardziej przydatnych w
analizie danych jakościowych i ilościowych.
Umożliwiają one dokonanie oceny zależności
między zmiennymi tego typu.

Wykład 3.

ANALIZA

WSPÓŁZALEŻNOŚCI

Tabele wielodzielcze (kontyngencji).

Tabele wielodzielcze (kontyngencji).

• Pierwszym krokiem jest przedstawienie zebranych danych

indywidualnych w postaci tabeli wielodzielczej (kontyngencji).

Wymaga to zliczenia jednostek w odpowiednich komórkach

tabeli z danymi. Zliczanie to bez użycia komputera jest

żmudne, zwłaszcza dla dużej liczby przypadków.

• Tabele wielodzielcze stanowią podstawę do obliczania

pozostałych statystyk określających siłę związku. Tabela

wielodzielcza przedstawia rozkład obserwacji ze względu na

kilka cech jednocześnie.

Załóżmy, że dysponujemy n obserwacjami dla jakościowej cechy

X (posiadającej kategorie X1, X2, ... Xk) i jakościowej cechy Y

(o kategoriach Y1, Y2, ...Yp) (tab. 1).

Liczebności nij określają liczbę elementów próby, dla których

cecha X ma wariant Xi i jednocześnie cecha Y - wariant Yj.

Tablica wielodzielcza pokazuje więc określony łączny rozkład

obu cech. Liczebności w ostatnim wierszu i w ostatniej

kolumnie nazywamy empirycznymi brzegowymi rozkładami,

odpowiednio cechy Y i cechy X.

Na przykład, chcąc ocenić wpływ używek (papieros, kawa,

alkohol) na pewną chorobę, zebraliśmy dane na temat ich

używania w grupie 90-osobowej. Zastosowano podział na 4

kategorie: nigdy (tzn. nie używano nigdy), niewiele (używano w

małych ilościach), średnio (używano w średnich ilościach) i

dużo (używano w dużych ilościach).

Przykład tabeli wielodzielczej

Grupa

Kobiety

Mężczyźni

Razem

n

%

n

%

n

%

Cukrzyca

25

35,7

20

40,0

45

37,5

Bez

cukrzycy

45

64,3

30

60,0

75

62,5

Tabela

Lp.

Kawa

Papierosy

Alkohol

Płeć

1

nigdy

dużo

niewiele

m

2

niewiele

nigdy

nigdy

m

3

dużo

dużo

średnio

k

4

niewiele

niewiele

dużo

m

5

średnio

niewiele

niewiele

k

6

dużo

dużo

dużo

m

7

nigdy

średnio

niewiele

k

8

srednio

dużo

nigdy

m

9

nigdy

nigdy

średnio

k

10

dużo

dużo

dużo

m

Zliczając otrzymane dane dla papierosów i płci, otrzymamy
następującą tabelę wielodzielczą (tab. 3)

Tabela 3

Płeć

Papiero
s
nigdy

Papiero
s

niewiel
e

Papiero
s
średnio

Papiero
s
dużo

Razem

kobieta 11

8

6

5

30

mężczy
zna

4

4

28

24

60

razem

15

12

34

29

90

Widać wyraźną przewagę mężczyzn w grupie

palących dużą lub średnią liczbę papierosów, natomiast
około 3-krotnie więcej kobiet niż mężczyzn nigdy nie
paliło. Informacje byłyby bogatsze po dołączeniu danych
odsetkowych. Odsetki wylicza się względem: ostatniej
rubryki (płci), ostatniego wiersza (liczby wypalanych
papierosów) oraz całkowitej liczby respondentów.
Następny etap analizy statystycznej tak zebranych danych
to próba weryfikacji hipotezy, że dwie jakościowe cechy w
populacji są niezależne

.

Najczęściej stosowanym narzędziem jest test .

.

Został on opracowany przez Karla Pearsona w
1900 roku i jest metodą, dzięki której można się
upewnić, czy dane zawarte w tabeli
wielodzielczej dostarczają wystarczającego
dowodu na związek tych dwóch zmiennych. Test

polega na porównaniu częstości

zaobserwowanych z częstościami oczekiwanymi
przy założeniu hipotezy zerowej (o braku związku
między tymi dwiema zmiennymi). Częstości
oczekiwane obliczamy, wykorzystując częstości
marginalne (z tablicy wielodzielczej) według
następującego wzoru:

Wówczas hipotezę zerową orzekającą, że cechy X
i Y są niezależne, możemy zweryfikować testem
według następującego schematu:

Weryfikacja hipotezy

zerowej:

H0: cechy X i Y są

niezależne

Wobec hipotezy

alternatywnej: H1: cechy X

i Y są zależne

Do weryfikacji hipotezy

stosujemy statystykę:

gdzie E - oczekiwana częstość komórki oraz O -
obserwowana częstość komórki
Przy założeniu hipotezy zerowej opisywana
statystyka ma asymptotyczny rozkład

o s = (k - 1) (p - 1)
stopniach swobody

Rys. 1.
Na przykład badano zależność między liczbą
wypalanych papierosów a wystąpieniem
pewnych zmian patologicznych w płucach w
grupie 1500 osób. Zebrane dane przedstawiono
w wielodzielczej tabeli 4.
Tabela 4

   

Niepalący

Palący

mało

Palący

dużo

Razem

zmiany

występują

ce

51

250

560

861

zmian nie

ma

370

210

59

639

razem

421

460

619

1500

Wyliczymy wartość oczekiwaną E11. Zgodnie z

definicją:

Wyniki obliczeń pozostałych wartości oczekiwanych

przedstawiono w tabeli 5. w nawiasach obok wartości

obserwowanych.

Tabela 5

   

Niepalący

Palący
mało

Palący
dużo

Razem

zmiany
występują

51
(241,654)

250
(264,04)

560
(353,306)

861

zmian
nie ma

370
(179,346)

210
(195,96)

59
(263,694)

639

razem

421

460

619

1500

Wartość statystyki

wynosi

701,0731

Z kolei wartość krytyczna odczytana z tablic dla poziomu istotności alfa = 0,001 wynosi 13,817

alfa

= 13,817. Pozwala więc nam odrzucić

hipotezę zerową

>

i stwierdzić, że na poziomie istotności alfa = 0,001 istnieje
zależność między liczbą wypalanych papierosów dziennie a
wystąpieniem patologicznych zmian w płucach.

701,0731.

Błąd standardowy SE=

n

S

Rozstęp = wartość największa-wartość
najmniejsza
Mediana Me=wartość środkowa w
posortowanych danych
Modalna – wartość najczęściej
występująca
Są to miary położenia i rozproszenia
(zmienności)
Zadanie: s=4; SE=?
125,134,146,134,130
Me=? Modalna=?

Przedział ufności dla średniej

w populacji





- nieznana średnia w populacji,

• , s średnia i odchylenie standardowe

obliczone z próby dla cechy X, mającej
rozkład normalny, to

• P( -1,96s<



< +1,96s)=0,95

• Przykład =175; s=10, to
• P(155,4<



< 194,6)=0,95

ANALIZA

WSPÓŁZALEŻNOŚCI

Analiza struktury zjawisk dotyczyła jednej

cechy. W praktyce jednak bywa tak, że
badane jednostki statystyczne
charakteryzowane są przez kilka cech.
Cechy te nie są od siebie odizolowane,
mają na siebie wpływ oraz posiadają
wzajemne uwarunkowania. Dlatego często
zachodzi potrzeba badania
współzależności między tymi cechami.

Kowariancja jest średnią arytmetyczną

iloczynu odchyleń zmiennych X i Y

od ich średnich arytmetycznych:

Rozpatrując kowariancję uzyskać

można następujące informacje o

istniejącym związku pomiędzy

zmiennymi X i Y:

1. Jeżeli cov(x,y)>0 – dodatnia korelacja
2. Jeżeli cov(x,y)<0 – ujmena korelacja
3. Jeżeli cov(x,y)=0 – brak korelacji







 

















n

i

i

i

y

y

x

x

n

y

x

1

1

,

cov

Przeprowadzając analizę można spotkać

dwa rodzaje współzależności zmiennych:

1. Współzależność funkcyjną, polegającą

na tym, że zmiana wartości jednej

zmiennej pociąga określoną zmianę

wartości drugiej zmiennej.

2. Współzależność stochastyczną

(probabilistyczną), polegającą na tym,

że wraz ze zmianą jednej zmiennej

zmienia się rozkład prawdopodobieństwa

drugiej zmiennej. Szczególnym

przypadkiem zależności

stochastycznej jest zależność

korelacyjna.

Zależności korelacyjne zachodzą

wówczas, gdy określonym wartościom
jednej zmiennej odpowiadają ściśle
określone średnie wartości
drugiej zmiennej.

Zdarzają się jednak sytuacje, w

których nie istnieje
współzależność (korelacja) ale ma
miejsce zbieżność występowania
zjawisk. Taką zbieżność określa się
mianem korelacji pozornej.

Najczęściej spotykanymi metodami

wykrywania związków korelacyjnych są:

Metoda porównywania

przebiegu szeregów statystycznych.

Metoda graficzna.

y

i

0 x

i

y

i

0 x

i

Związek ujemny (wzrost wartościchy X indukuje obniżanie

wartości cechy Y)

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

Związek dodatni

Brak związku

Cechę dwuwymiarową oznacza się jako

uporządkowaną parę (X,Y). Składowymi
mogą być zarówno cechy ilościowe
jak i jakościowe. To od tego, z jakimi cechami
mamy do czynienia zależy wybór sposobu
opisu współzależności.

Podstawą analizy jest zbiorowość

jednostek scharakteryzowanych parą
własności ,

gdzie i=1,2,...,n.
Badając zbiorowość jednostek pod względem

wyróżnionych cech otrzymuje się ciąg par wartości:



 







.

,

,...,

,

,

,

2

2

1

1

n

n

y

x

y

x

y

x





i

i

y

x ,

MIARY

WSPÓŁZALEŻNOŚCI

Do badania zależności między zmiennymi

X i Y wykorzystuje się najczęściej
współczynnik korelacji liniowej
Pearsona, będący miarą siły związku
prostoliniowego między dwiema
cechami mierzalnymi. Współczynnik ten
wylicza się ze wzoru:

gdzie:
cov(x,y) - kowariancja zmiennych X i Y
s - odchylenie standardowe.





   

y

s

x

s

y

x

r

xy





,

cov

Kowariancja jest średnią

arytmetyczną iloczynu odchyleń
zmiennych X i Y od ich
średnich arytmetycznych:







 

















n

i

i

i

y

y

x

x

n

y

x

1

1

,

cov

Rozpatrując kowariancję uzyskać

można następujące informacje o
istniejącym związku pomiędzy
zmiennymi X i Y:

Jeżeli cov(x,y)>0 – dodatnia korelacja
Jeżeli cov(x,y)<0 – ujmena korelacja
Jeżeli cov(x,y)=0 – brak korelacji

Kowariancji nie można stosować

do bezpośrednich porównań. Dlatego
jest ona standaryzowana przez odchylenia
standardowe, dzięki czemu otrzymuje
się współczynnik korelacji liniowej
Pearsona.

Właściwości współczynnika korelacji:
1. Przyjmuje wartości z przedziału <-1;1>
2. Dodatni znak świadczy o dodatnim, zaś

ujemny o ujemnym związku korelacyjnym

3. Im , tym związek

korelacyjny jest silniejszy.

0



xy

r

Sposoby komentowania współczynnika

korelacji

:

a) - współzależność nie występuje,
b) - słaby stopień współzależności,
c) - umiarkowany (średni) stopień

współzależności,

d) - znaczny stopień współzależności,
e) - wysoki stopień współzależności,
f) - bardzo wysoki stopień

współzależności,

g) - całkowita (ścisła) współzależność
(zależność funkcyjna pomiędzy
badanymi cechami).

0



XY

r

3

,

0

0





XY

r

5

,

0

3

,

0





XY

r

7

,

0

5

,

0





XY

r

9

,

0

7

,

0





XY

r

1

9

,

0





XY

r

1



XY

r

• Współczynnik korelacji liniowej Pearsona

(dalej nazywany po prostu współczynnikiem

korelacji), wymaga, aby zmienne były

ciągłe. Określa on stopień proporcjonalnych

powiązań wartości dwóch zmiennych.

Wartość korelacji (współczynnik korelacji)

nie zależy od jednostek miary, w jakich

wyrażamy badane zmienne, np. korelacja

pomiędzy wzrostem i ciężarem będzie taka

sama bez względu na to, w jakich

jednostkach (cale i funty czy centymetry i

kilogramy) wyrazimy badane wielkości.

Określenie "proporcjonalne" znaczy zależne

liniowo, to znaczy, że korelacja jest silna,

jeśli może być opisana przy pomocy linii

prostej (nachylonej do góry lub na dół).

Analizę współzależności należy

uzupełnić o współczynnik
determinacji, będący kwadratem
współczynnika korelacji liniowej
Pearsona ( ).

Współczynnik determinacji

informuje, jaka część zmiennej
objaśnianej jest wyjaśniona przez
zmienną objaśniającą. Przy pomocy
tego współczynnika można
wnioskować, czy na zmienną
objaśniającą wpływają również inne
czynniki, nie podlegające badaniu.

2

xy

r

Prosta regresji: y=ax+b,

gdzie

a = cov(x,y)/

S^2; b= - a

• Linia, o której mowa, nazywa się linią regresji

albo linią szacowaną metodą najmniejszych
kwadratów, ponieważ jej parametry określane są
w ten sposób, by suma kwadratów odchyleń
punktów pomiarowych od tej linii była
minimalna. Zwróćmy uwagę, że fakt podnoszenia
odległości do kwadratu powoduje, iż
współczynnik korelacji reaguje na sposób
rozmieszczenia danych (jak to zobaczymy w
dalszej części opisu).

•  

x

y

yy

Tabele wielodzielcze

• Tabele wielodzielcze
•   W wielu badaniach medycznych

gromadzimy dane będące

liczebnościami. Na przykład możemy

klasyfikować chorych w badanej próbie

do różnych kategorii pod względem

wieku, płci czy natężenia choroby.

Przedstawiane do tej pory w naszym

cyklu metody statystyczne stają się

bezużyteczne dla danych tego typu,

zwanych danymi jakościowymi.

W sytuacji, gdy obserwacje

statystyczne dotyczące badanych
zmiennych są liczne, bazowanie na
wartościach szczegółowych może być
uciążliwe. W celu zapewnienia
przejrzystości zebranych danych
sporządza się wówczas tablicę korelacyjną.

Na skrzyżowaniu kolumn z

wierszami wpisuje się liczebności
jednostek zbiorowości statystycznej, u
których zaobserwowano jednoczesne
występowanie określonych wartości
i .

i

x

i

x

i

y

Schemat tablicy

korelacyjnej:

x

i

y

j

y

1

y

2

...

y

t

i

t

i

ij

n

n 



1

x

1

x

2

.
.
.

x

k

n

11

n

21

.
.
.

n

k1

n

12

n

22

.
.
.

n

k2

.
.
.
.
.
.

n

1t

n

2t

.
.
.

n

kt

n

1

n

2

.
.
.

n

k

j

k

i

ij

n

n 



1

n

.1

n

.2

…

n

.t

n

Tabele wielodzielcze stanowią podstawę do

obliczania pozostałych statystyk

określających siłę związku.

gdzie E - oczekiwana liczebność komórki oraz O
lub nij - obserwowana liczebność komórki

Na przykład badano zależność między liczbą

wypalanych papierosów a wystąpieniem pewnych

zmian patologicznych w płucach w grupie 1500

osób. Zebrane dane przedstawiono w następującej

tabeli wielodzielczej

Niepalący

Palący

mało

Palący

dużo

Razem

zmiany występujące

51

250

560

861

zmian nie ma

370

210

59

639

razem

421

460

619

1500

Wyliczymy wartość oczekiwaną E

11

. Zgodnie z

definicją:

Wyniki obliczeń pozostałych wartości

oczekiwanych przedstawiono w tabeli. w

nawiasach obok wartości obserwowanych.

•  

Inny przykład tabeli korelacyjnej.
Wykształcenie badanych osób
przebywających w Domach Pomocy
Społecznej z uwzględnieniem płci

Wykształcenie

Płeć

Żeńska

Męska

Liczba
podstawowe
%

53

86,9%

16

43,2%

Liczba
zawodowe

%

2

3,3 %

14

37,8 %

Liczba
średnie
%

6

9,8 %

5

13,5 %

Liczba

wyższe
%

0

0,0 %

2

5,4 %

Liczba
Razem

%

61

100,0 %

37

100,0 %

W tablicy korelacyjnej zawarte są
rozkłady brzegowe i warunkowe.
Rozkład brzegowy (por. ostatnia
kolumna określa rozkład brzegowy
cechy X, ostatni wiersz – rozkład
brzegowy cechy Y) prezentuje
strukturę wartości jednej zmiennej (X
lub Y) bez względu na kształtowanie
się wartości drugiej zmiennej.

Rozkłady brzegowe i warunkowe

mogą być scharakteryzowane pewnymi
sumarycznymi wielkościami (najczęściej
są to średnie arytmetyczne)

Średnie arytmetyczne z

rozkładów brzegowych wyznacza
się ze wzorów:

Średnie arytmetyczne z

rozkładów warunkowych oblicza
się następująco:

i

k

i

i

n

x

n

x









1

1

j

t

i

j

n

y

n

y









1

1

ij

k

i

i

j

j

n

x

n

x









1

.

1

ij

t

i

j

i

i

n

y

n

y









1

.

1

W sytuacji, gdy wraz ze

wzrostem (spadkiem) wartości jednej
zmiennej następuje wzrost (spadek)
warunkowych średnich drugiej
zmiennej, wówczas można stwierdzić
istnienie korelacji dodatniej
między zmiennymi. W sytuacji,
kiedy występuje przeciwny kierunek
zmian, można mówić o korelacji
ujemnej.

Jeżeli różnice pomiędzy

średnimi są takie same, tzn.:

wówczas związek między

zmiennymi jest liniowy.

1

2

3

1

2

...















t

t

x

x

x

x

x

x

1

2

3

1

2

...















k

k

y

y

y

y

y

y

Dla tabel dwudzielczych 2x2 postaci

wartość statystyki wyznaczamy według

prostszego, praktycznego wzoru:

a

b

c

d

Na przykład w próbie liczącej 100 mężczyzn

w wieku 50-60 lat zbadano częstość

występowania choroby wieńcowej i

podwyższonego ciśnienia tętniczego.

Chcemy ocenić, czy choroba wieńcowa

współistnieje z podwyższonym ciśnieniem

tętniczym

Obliczając

według wzoru podanego wyżej,
otrzymujemy

=
26,23

Innym miernikiem korelacyjnego związku cech

jest współczynnik korelacji rang
Spearmana. Współczynnik ten stosowany
jest głównie do badania współzależności
cech niemierzalnych, bądź cechy mierzalnej i
niemierzalnej. Może być on również
stosowany w badaniu związku
korelacyjnego pomiędzy cechami
mierzalnymi (szczególnie w przypadku małej
próby).

Konstrukcja współczynnika korelacji

rang opiera się na zgodności pozycji, którą
zajmuje każda z odpowiadających sobie
wielkości we wzrastającym lub
malejącym szeregu wartości cechy.

Współczynnik korelacji rang Spearmana

(Q) wylicza się w oparciu o wyznaczone
różnice rang ( ) oraz liczby par
obserwacji (n):

przy czym:

gdzie:
- rangi zmiennej X oraz Y (i=1,2,...n)

n

n

d

Q

n

i

i













3

1

2

6

1

i

i

y

x

i

v

v

d





i

i

y

x

v

v ,

gdy

Współczynnik korelacji rang

przyjmuje wartości z przedziału
, a jego interpretacja
jest analogiczna do
współczynnika korelacji Pearsona

1



Q

0

1

2







n

i

i

d

1

1







Q

Przykład. W celu zbadania, czy istnieje związek
między zdyscyplinowaniem pacjentów względem
zaleceń personelu medycznego a wynikami
terapii na pewną dolegliwość poddano
obserwacji 10 pacjentów. Otrzymano
następujące wyniki obserwacji zestawione w
tabeli

:

Pacjent

Ranga

zdyscyply-

-nowanie

Ranga

terapii

Różnica

rang (d)

Kwadrat

różnicy

rang (d

2

)

1
2
3
4
5
6
7
8
9

10

6
2
5
1

10

4
9
3
8
7

4
1
5
3

10

7
6
2
9
8

2
1
0

-2

0

-3

3
1

-1
-1

4
1
0
4
0
9
9
1
1
1

Razem

0

30