Wykład 8

Ruch falowy

1. Własności ruchu falowego

2. Prędkość fazowa i grupowa

3. Interferencja fal

4. Fale stojące

5. Dudnienia

6. Zjawisko Dopplera

1. Własności ruchu falowego

• Fale powstające w ośrodkach sprężystych (np. fale dźwiękowe). Drgania ośrodka

wokół położenia równowagi są przekazywane na kolejne części ośrodka. Sam
ośrodek nie przesuwa się, a jedynie jego elementy wykonują drgania.

Np. fale na powierzchni wody.

• Fala dobiegające do danego przedmiotu wprawiają go w ruch drgający

przekazując mu energię (na duże odległości).

Energia fal = energia kinetyczna + potencjalna cząstek

ośrodka.

Cechą charakterystyczną fal jest to, że przenoszą energię poprzez
materię dzięki przesuwaniu się zaburzenia w materii a nie dzięki
ruchowi postępowemu samej materii

.

Do rozchodzenia się fal mechanicznych

potrzebny jest ośrodek

- jego

właściwości sprężyste decydują o prędkości rozchodzenia się fali.

FALE MECHANICZNE

Podział fal ze względu na:

(A) kierunek drgań cząstek względem kierunku rozchodzenia

się fali:

• fale poprzeczne (np. lina)

• fale podłużne (np. sprężyna, głos)

(B) czoło fali (powierzchnia łącząca punkty o jednakowych

zaburzeniach w danej chwili):

• fale płaskie (w jednym kierunku)
• fale kuliste

2. Prędkość fazowa, równanie

falowe

y = f(x), t = 0

Przykłąd: długi sznur naciągnięty w kierunku x, wzdłuż którego biegnie fala
poprzeczna, y – przemieszczenie cząsteczek sznura sznura.

Po czasie t fala przesuwa się o vt w prawo (v - prędkość fali), czyli

y = f(x  vt), t

(fala w prawo)

Kształt fali jest taki sam w chwili

t = 0 i t

mamy, więc równanie fali -

określamy funkcję

f

.

Obserwujemy

wybraną część fali

(czyli określoną

fazę

) – chcemy, żeby

wartość

y

(np. maksimum - amplituda) była cały czas takie samo, więc

x

 vt

musi być też taki sam, tzn. że gdy czas t rośnie - musi rosnąć x (czyli ruch w
prawo).

y = f(x + vt)

(fala w lewo)

Dla wybranej

fazy

mamy:

 

x vt = const.

 
Różniczkując względem t otrzymujemy

0

v

d

d





t

x

v

d

d



t

x

v -

prędkość fazowa

dla danego

t

- równanie

f(x)

i

dla danego miejsca sznura

x

- równanie

f(t).

Jeżeli fala biegnie w prawo to po czasie t

)

(

2

sin

t

x

A

y

v









Równanie fali biegnącej

T - okres czyli czas, w którym fala przebiega odległość

równą



:



= vT

, czyli











 



T

t

x

A

y





2

sin

W danej chwili

t

taka sama faza jest w punktach

x, x +

, x + 2, x + 3

itd., oraz danym miejscu

x

faza powtarza się w chwilach

t, t + T, t +2T

,

itd.

Po wprowadzeniu: k = 2/

 - liczby falowej i  = 2/T – częstości

y = A sin(kx-



t)

fala biegnąca w prawo

y = A sin(kx+



t)

fala biegnąca w lewo.

stąd

prędkość fazowa fali v

jest dana wzorem

 

 

Dla danego x

otrzymujemy

równanie ruchu harmonicznego

prostego

.

v



t

x

d

d

v =



/T =



/k

lub

Pomiar prędkości fali v - badamy przemieszczanie się w czasie

wybranej część fali

czyli

określonej fazy

.

Prędkość fali zależy od:

-

sprężystości ośrodka

(dla sznura jest określona poprzez napinającą

go siłę

F

),

-

bezwładności ośrodka

(związanej z masą sznura

m

oraz jego

długością

l

).

Rozpatrzmy mały wycinek sznura o długości

dx

i masie

dm =



dx

(gdzie  = m/l tj. masa przypadająca na jednostkę długości
sznura) .

.

θ

1

, θ

2

- kąty pomiędzy końcami wycinka sznura a osią

x.

Dla małych kątów

θ  sin θ   dy/dx

Wypadkowa pionowa siła

tj. siła wychylająca sznur w kierunku y wynosi :

1

2

1

2









F

F

F

F

F

wyp









sin

sin

Z II zasady dynamiki

F=ma=m(dv/dt)

2

1

2

)

(

)

(

v

t

y

dx

dx

t

t

v

dm

Fd

F

F

F

y

y

wyp

























2











2

)

(

t

y

dx

Fd







2





stąd

2

2

t

y

F

x















lub

(Uwaga: pochodne
cząstkowe, bo funkcja
y = f (x,t) – dwie zmienne).

Uwzględniając, że

θ = y/x

otrzymujemy

2

2

2

2

t

y

F

x

y













Równanie falowe

Podstawmy do tego równania odpowiednie pochodne
funkcji

)

sin(

)

,

f(

t

x

k

A

t

x

y









)

sin(

t

x

k

A

t

y















2

2

2

)

sin(

t

x

k

Ak

x

y













2

2

2

2

2





F

k 





F

k





v

W wyniku podstawienia

otrzymujemy

 skąd możemy obliczyć prędkość fali:

Sinusoidalna fala może być przenoszona wzdłuż struny z prędkością

niezależną od amplitudy i częstotliwości.

2

2

2

2

2

1

t

y

x

y









v



Równanie falowe struny możemy zapisać w
postaci:

Otrzymane

równanie falowe

stosuje się do wszystkich

rodzajów rozchodzących się fal.

Np. fale dźwiękowych czy elektromagnetycznych

.

 

y

1

= A sin(kx –



t –



)

  y

2

= A sin(kx –



t)

3. Interferencja fal

Rozważmy dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach ale
o fazach różniących się o



.

fala wypadkowa (

zasada superpozycji

) jest sumę

y = y

1

+ y

2

.

Korzystając ze wzoru na sumę sinusów otrzymujemy:

y = 2A cos(/2) sin(kx – t – /2)

 

Jest równaniem fali sinusoidalnej o amplitudzie 2Acos(



/2).

Dla

 = 0 fale spotykają się zgodnie w fazie (wzmacniają),

dla

 = 180 wygaszają.

Rozważmy teraz dwa ciągi falowe biegnące w przeciwnych

kierunkach tzn.

 

y

1

= A sin(kx –



t)

y

2

= A sin(kx +



t)

np. falę padającą i odbitą.

Fala wypadkową
 

y = y

1

+ y

2

= 2A sinkx cost

 

Równanie fali stojącej.

Zauważmy, że cząstki drgają ruchem harmonicznym prostym. Cząstki

mają tę samą częstość ale

różną amplitudę

zależną od położenia cząstki x.

Punkty kx = /2, 3/2, 5/2, itd. czyli x = /4, 3/4, 5/4 itd. mające

maksymalną amplitudę nazywamy

strzałkami

Punkty kx = , 2, 3 itd. czyli x = /2, , 3/2 itd. mające zerową

amplitudę nazywamy

węzłami

.

4. Fale stojące

Układ drgający

Jeżeli struna zamocowana na obu końcach zostanie najpierw

wygięta a następnie puszczona, to wzdłuż struny rozchodzą się
drgania poprzeczne. Zaburzenia te odbijają się od zamocowanych
końców i w wyniku interferencji powstaje

fala stojąca

.

Drgania struny wytwarzają w otaczającym powietrzu

dźwiękowe

fale podłużne

(fale akustyczne).

Warunkiem powstawania fal, jest nieruchomość obu końców struny,

czyli istnienie

węzłów fali stojącej

na tych końcach (mogą powstać

fale stojące o różnej długości).

n

L

n

2





Długości fal spełniają związek:



F

L

n

L

n

f

n

2

2





v

v

T









v

a częstotliwość rezonansów:

ale

Najniższa częstość -

częstość podstawowa,

a

pozostałe

wyższymi

harmonicznymi

(alikwotami).

Cztery rodzaje drgań jakie powstają w strunie o
długości L zamocowanej na końcach są pokazane na
rysunku poniżej.

Takie fale stojące nazywamy

rezonansami

.

W drganiach oprócz drgania podstawowego występują również

drgania harmoniczne

, a dźwięki jakie odbieramy są wynikiem

nakładania się tych drgań.
O jakości instrumentu (jego barwie) decyduje właśnie to ile
alikwotów jest zawarte w dźwięku i jakie są ich natężenia.
Przykładowo,

drganie wypadkowe struny

będące złożeniem

tonu

podstawowego (n = 1)

i

wyższych harmonicznych (n = 3, 5, 7)

o

różnych amplitudach jest pokazane na rysunku poniżej.

Wypadkowe drganie

(chociaż okresowe)

nie jest harmoniczne

(nie

daje się opisać funkcją sinus lub cosinus).

5. Dudnienia ‑ modulacja amplitudy

Superpozycja fal -

interferencja w przestrzeni

(dodawanie fal o tej

samej częstości).

Interferencja w czasie

- pojawia się gdy przez dany

punkt w przestrzeni przebiegają w tym samym kierunku fale o
trochę różnych częstotliwościach.

Wychylenie wywołane przez jedną falę ma postać
 

y

1

= Acos2



v

1

t

 y

2

= Acos2



v

2

t

więc

y = y

1

+ y

2

= A(cos2



v

1

t + cos2



v

2

t)

Ze wzoru na sumę cosinusów

t

v

v

t

v

v

A

y











 













2

2

cos

2

2

cos

2

2

1

2

1





Drgania wypadkowe - drgania o częstości
 

v

srednie

= (v

1

+ v

2

)/2

 która jest średnią dwóch fal, i o amplitudzie (wyrażenie w nawiasie
kwadratowym) zmieniającej się w czasie z częstością
 

v

amp

= (v

1

– v

2

)/2

 
Jeżeli częstotliwości v

1

i v

2

są bliskie siebie to amplituda zmienia się

powoli. Mówimy, że mamy do czynienia z modulacją amplitudy AM
(stosowana np. w odbiornikach radiowych).

Dla fal dźwiękowych modulacja amplitudy -

dudnienienia

- przejawia

się jako zmiana głośności nazywana (rysunek).

y

y

t

t

6. Zjawisko Dopplera

Źródło dźwięku spoczywa, a obserwator porusza się w kierunku źródła
z prędkością

v

o

. Nieruchomy obserwator odbierał by

vt/



fal w czasie

t

. Teraz odbiera jeszcze dodatkowo

v

o

t/



fal.

Częstość słyszana przez obserwatora

v

t

t

t

v

o

o

o

v

v

v

v

v

v

v



















'

v

v

v

o

v

v





'











 



z

o

v

v

v

v

v

v



'

gdzie v' - częstość odbierana przez obserwatora, v - częstość źródła,
v - prędkość fali, v

o

- prędkość obserwatora, v

z

- prędkość źródła.

Znaki "górne" w liczniku i mianowniku odpowiadają zbliżaniu się, a
znaki dolne oddalaniu się obserwatora i źródła.