Kwantowy model atomu wodoru
Równanie Schr�dingera we współrzędnych sferycznych
Rozdzielenie
względem
współrzędnych
sferycznych
Atom wodoru - liczby kwantowe
- główna liczba kwantowa (n = 1,2,3...) określa energię elektronu
(numer powłoki elektronowej)
- poboczna liczba kwantowa (l = 0,1,...,n - 1) określa wartość
bezwzględną orbitalnego momentu pędu L (numer podpowłoki)
- magnetyczna liczba kwantowa (ml = - l,..., - 1,0,1,...,l) określa rzut
orbitalnego momentu pędu na wybraną oś
- magnetyczna spinowa liczba kwantowa (ms=1/2 lub ms=-1/2)
wskazuje zwrot spinu względem wybranej osi
Wektory momentu pędu orbitalny i spinowy sumują się.
J=L+S
1
Notacja spektroskopowa
Powłoki Podpowłoki Orbitale
l=3 3f ml=-3,-2,-1,0,+1,+2,+3
N l=2 3d ml=-2,-1,0,+1,+2
n=4 l=1 3p ml=-1,0,+1
l=0 3s ml=0
M l=2 3d ml=-2,-1,0,+1,+2
n=3 l=1 3p ml=-1,0,+1
l=0 3s ml=0
L l=1 2p ml=-1,0,+1
n=2 l=0 2s ml=0
K l=0 2s ml=0
n=1
Poziomy energii atomu wodoru i przejścia
spełniające regułę wyboru "l=ą1
Funkcje falowe elektronu w atomie wodoru - oribitale
l=0 l=1 l=2
n=1
n=2
n=3
Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia elektronu - przekrój w płaszczyz
nie x-z (y=0)
|�n,l,m(x,y=0,z)|2 dla n=1,2,3; l=0,1,2; m=0. Kolor biały  największa gęstość.
Obracając przekrój wokół osi z można otrzymać gęstość w przestrzeni trójwymiarowej.
2
1 r
ś#
Stan podstawowy atomu wodoru � (r) = exp�# - ź#
ś#
�# #
Ąa3 a
n=1, l=0, m=0
dV = 4Ąr2dr
Objętość powłoki sferycznej
4 2r
ś#dr
2
P(r)dr = 4Ąr2� (r)dr = r2 exp�#- ź#
ś#
a3 �# a
#
Radialne funkcje własne Rn,l(�) elektronu w atomie wodoru w zależności od odległości
od jądra podzielonej przez promień Bohra �=r/a.
3
n=5
n=4
n=3
n=2
n=1
Radialne funkcje falowe, ich kwadraty i rozkłady radialnej gęstości prawdopodobieństwa
dla stanów elektronu w atomie wodoru o zerowym momencie pędu l=0. Poziome linie
przerywane oznaczają wartości własne energii, czerwona linia  potencjał kulombowski.
Stany atomu wodoru o głównej liczbie kwantowej n=2
4
Stany o dużej głównej liczbie kwantowej n
Gdy orbitalna liczba kwantowa ma
największą dozwoloną wartość
l=n-1
moment pędu jest
L = h l(l +1) = h (n -1)n E" nh
orbital jest podobny do kołowej
orbity w modelu Bohra atomu
wodoru
Kwadraty modułu trójwymiarowych
funkcji falowych elektronu w atomie
wodoru są zależne tylko od
odległości od jądra r i kąta
biegunowego �.
5
Kształty orbitali powłoki M n=3
6
Znaczenie liczb kwantowych
2
meZ e4 1
Główna liczba kwantowa n określa energię E(n) = -
2
n2
(4Ą�0 ) 2h2
elektronu
Poboczna (orbitalna) liczba kwantowa l
L = l(l +1)h
określa moment pędu elektronu
Doświadczenie Einsteina  de Haasa
Z orbitalnym momentem pędu elektronu
związany jest moment magnetyczny �
e
� = L = �B l(+1)
2me
eh
�B = = 9,27�10-24 J/T
2me
�B  magneton Bohra
l=2
Znaczenie liczb kwantowych
Magnetyczna liczba kwantowa ml określa
ml=2
składową z momentu pędu
Lz = mlh
ml=1
i składową z orbitalnego momentu
ml=0
magnetycznego elektronu
ml=-1
e
ml=-2
�z = - Lz = -ml�B
2me
Kwantowanie przestrzenne momentu pędu
W polu magnetycznym o indukcji
B=[0,0,Bz] skierowanej wzdłuż osi z
moment magnetyczny ma energię
potencjalną U=-��B=-�zBz
Poziom energii o orbitalnej liczbie
kwantowej l>0 ulega rozszczepieniu na
2l+1 poziomów o energii zależnej od
magnetycznej liczby kwantowej ml
Rozszczepienie poziomów energii o l=2 i l=1.
"E = -�zBz = ml�BBZ
9 zaznaczonych przejść spełnia regułę wyboru
Jest to obserwowane jako rozszczepienie
"ml=0, ą1 i daje 3 różne wartości zmiany energii:
linii widmowych w polu magnetycznym 
E0-�BBz, E0, E0+�BBz  trzy linie widmowe.
zjawisko Zeemana.
7
Spin elektronu  moment pędu i moment magnetyczny
Elektron ma wewnętrzny moment pędu  spin opisany liczbą kwantową s=1/2
S = S = h s(s +1) = h 3 2 , którego składowa z może przyjmować dwie wartości:
sz = - h 2 i sz = + h 2
dla magnetycznej spinowej liczby kwantowej ms=+1/2, -1/2.
Składowa z spinowego momentu magnetycznego elektronu może przyjmować dwie
wartości �z=-msg�B, gdzie g=2,002319E"2 jest czynnikiem żyromagnetycznym.
W polu magnetycznym Bz energia spinu
Doświadczenie Sterna-Gerlacha 1922
przyjmuje wartości: U+=+�łBz dla ms=+1/2
W niejednorodnym polu magnetycznym na
moment magnetyczny działa siła: U-=-�BBz dla ms=-1/2
"U "Bz
Fz = - = �z
"z "z
W doświadczeniu badano odchylenie wiązki atomów
srebra i zaobserwowano dwie linie na detektorze, co
odpowiada dwu wartościom magnetycznej spinowej
liczby kwantowej. Moment magnetyczny atomu srebra
jest równy spinowemu momentowi magnetycznemu
pojedynczego elektronu.
Spin i struktura subtelna
Struktura subtelna: ruch elektronu wokół jądra wytwarza pole
magnetyczne, które oddziałuje ze spinowym momentem magnetycznym
elektronu, co powoduje rozszczepienie linii widmowych
tzw. oddziaływanie spin-orbita
Struktura subtelna wodoru
Dublet sodowy
8