ROZWIĄZANIE RÓWNAŃ

DYNAMICZNYCH

Na potrzeby analizy przebiegów czasowych

odpowiedzi układów na różnego rodzaju

pobudzenia dysponujemy różnymi metodami

rozwiązywania równań dynamiki układów.

Najczęściej stosuje się dwa podejścia.

1.

Bezpośrednie całkowanie równań metodami

numerycznymi.

2.

Zastosowanie przekształcenia Laplace’a do

rozwiązywania równań.

W obu przypadkach korzystne jest uwzględnienie

teorii liniowych równań różniczkowych i

przybliżenie takich pojęć jak całka ogólna

(odpowiedź swobodna układu) i całka szczególna

(odpowiedź wymuszona układu) w odniesieniu do

modelu układu w przestrzeni stanu.

Rozwiązanie macierzowego równania

stanu

•

Równanie stanu jest macierzowym liniowym niejednorodnym równaniem różniczkowym. Jego

rozwiązanie będzie się więc składało z całki ogólnej i z całki szczególnej. Całka ogólna jest

rozwiązaniem części jednorodnej równania:

•

.

•

Zgodnie z teorią liniowych równań różniczkowych całkę ogólną (rozwiązanie ogólne) szukamy w

postaci:

•

,

•

gdzie: S(t)- jest nazywana macierzą podstawową lub fundamentalną, c- jest stałym wektorem.

•

Macierz fundamentalną rozłożymy w szereg potęgowy:

•

.

•

Rozwiązanie ogólne powinno tożsamościowo spełnić równanie jednorodne. Mamy więc:

•

.

•

Aby powyższa tożsamość była prawdziwa współczynniki po obu stronach tożsamości stojące przy tych

samych potęgach zmiennej czasowej powinny być sobie równe. Stąd znajdziemy w rekurencyjny

sposób kolejne stałe

•

macierze :

•

,

 

 

0

Ax

x





t

t



   

c

S

x

t

t 

 

















3

3

2

2

1

t

t

t

t

C

C

C

I

S









c

C

C

C

I

A

c

C

C

C

C























3

3

2

2

1

3

4

2

3

2

1

4

3

2

t

t

t

t

t

t

n

n

3

2

3

2

2

1

2

3

1

2

1

A

C

A

AC

C

A

C

A

C

AC

C

AC

C

AC

C

A

C

n!

!

n

n

n

1

3

1

3

1

2

1

3

2

1









































Całka ogólna

• Ostateczne macierz fundamentalna dla układu równań przyjmie następującą postać:

• .

• Macierz fundamentalna jest więc macierzową funkcją wykładniczą o postaci:

• .

• ,

• Macierz fundamentalna ma pewne interesujące właściwości, które obecnie rozważymy.

Pochodna macierzowej funkcji wykładniczej wynosi:

• a więc jest przemiennym iloczynem macierzowym. Łatwo to udowodnić szukając pochodnej

z wykorzystaniem szeregu potęgowego :

• .

• Ponieważ czas jest skalarem, to macierz można wyciągnąć przed nawias z prawej (jak

powyżej) lub lewej strony:

• .

•

Są więc macierze A i eAt macierzami przemiennymi.

 

At

e

t

t

t

t















3

3

2

2

!

3

1

!

2

1

A

A

A

I

S

 

























t

a

t

a

t

a

t

a

t

a

t

a

t

a

t

a

t

a

t

n

n

n

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

t

3

32

31

2

22

21

1

12

11







A

S

A

A

A

A

A

t

t

t

e

e

e

dt

d





t

t

e

t

t

t

t

e

dt

d

A

A

A

A

A

I

A

A

A

A































2

2

2

3

2

!

2

1

1

!

3

3

!

2

1

A

A

A

A

I

A

A

t

t

e

t

t

e

dt

d





















2

2

!

2

1

Całka ogólna-cd

•

Aby wyznaczyć stały wektor c załóżmy, że w pewnej chwili czasu τ dany jest stan układu . Ten

dany stan nazywamy stanem początkowym lub warunkiem początkowym. Na podstawie rozwiązania

ogólnego mamy:

•

.

•

Mnożąc lewostronnie powyższy związek przez macierz odwrotną do macierzy eAt otrzymamy:

•

.

•

Tak wyznaczoną stałą podstawiamy do rozwiązania ogólnego :

•

Można wykazać, korzystając z szeregu potęgowego , że zachodzi zależność dla dowolnego i :

•

.

•

Po przyjęciu z tej właściwości wynika, że:

•

.

•

Tym samym mamy ostatecznie całkę ogólną w postaci:

•

.

•

Ponieważ czas jest skalarem, to:

i wówczas:

•

Jest to ostatnia z właściwości macierzy fundamentalnej, którą potrzebujemy, aby wyznaczyć

rozwiązanie szczególne związane z sygnałem sterującym . Sygnał sterujący jest jawną funkcją czasu,

gdyż jest to sygnał wychodzący ze sterownika.

 

τ

x

 

c

x

A





e



 

)

(

1





x

c

A



 e

 

 

 





x

x

A

A

1





e

e

t

t





2

1

2

1

t

t

t

t

e

e

e

A

A

A















2

1

, t

t

 





A

A





e

e

1

 





 





x

x

A 



t

e

t









1

2

2

1

t

t

t

t

e

e







A

A

1

2

2

1

t

t

t

t

e

e

e

e

A

A

A

A



Całka szczególna

• Zgodnie z teorią liniowych równań różniczkowych rozwiązanie (całkę)

szczególną znajdziemy stosując metodę uzmienniania stałej, czyli:

• .

• Ponieważ wektor jest teraz iloczynem dwóch macierzy zależnych od

czasu, to jego pochodna będzie „pochodną iloczynu”. Jeśli wstawimy

taką pochodną do równania stanu, to otrzymamy:

• ,

• gdzie człony po obu stronach tożsamości znoszą się. Z pozostałych

członów powyższej równości wyznaczamy pochodną:

• .

• Funkcję znajdziemy przez całkowanie powyższego wyrażenia:

• .

• Dolną granicę całkowania wyznaczymy później. Przy znanej funkcji

całka szczególna ma postać:

• .

 

 

t

e

t

t

c

x

A



 

 

 

 

t

t

t

e

t

t

e

t

t

e

Bu

c

A

A

c

A

c

A

A









 

 

t

e

t

t

Bu

c

A







 

 







t

T

d

e

t





 Bu

A

c

 

 





 













t

T

t

t

T

t

d

e

d

e

e

t













Bu

Bu

x

A

A

A

Całka szczególna

• Całkowite rozwiązanie równania stanu jest sumą całki ogólnej i całki

szczególnej:

• .

• Jeśli przyjmiemy, że t = τ , to mamy:

• .

• Powyższe jest prawdziwe jedynie w przypadku, gdy całka jest równa

zero dla dowolnego . Ma to miejsce, gdy T= τ. Ostatecznie, całkowite

rozwiązanie przyjmie postać:

• .

• Całka ogólna jest funkcją warunku (stanu) początkowego . Gdy stan ten

jest równy zero, to nie ma tak zwanej „odpowiedzi swobodnej” układu.

Drugi składnik rozwiązania nazywamy „odpowiedzią wymuszoną”

układu, gdyż jest to odpowiedź układu na pobudzenie funkcją u(t). Całka

reprezentująca odpowiedź wymuszoną układu nazywana jest całką

splotową, gdyż jest całką z iloczynu (splotu) dwóch funkcji: macierzy

fundamentalnej i sygnału wymuszającego. Obliczanie całki splotowej w

sposób analityczny jest możliwe jedynie w szczególnych przypadkach.

Stosuje się wówczas najczęściej „całkowanie przez części”.

 





 





 











t

T

t

t

d

e

e

t











Bu

x

x

A

A

   





 









t

T

d

e













Bu

x

x

A

 





 





 











t

T

t

t

d

e

e

t











Bu

x

x

A

A

Obliczanie macierzy

fundamentalnej

• W całce ogólnej i całce szczególnej rozwiązania równania stanu istotną rolę

pełni macierz podstawowa (fundamentalna):

» S(t) =

•

Macierz odwrotna nazywa się rezolwentą macierzy , która z kolei jest

funkcją zmiennej zespolonej s. Symbol oznacza odwrotne przekształcenie

Laplace’a. Macierz odwrotną znajdujemy, dzieląc macierz dołączoną przez

wyznacznik macierzy:

• .

•

Jeśli macierz stanu A jest macierzą kwadratową o wymiarze n, to wyznacznik jest

wielomianem charakterystycznym rzędu n ze względu na zmienną zespoloną s .

Elementy macierzy dołączonej powstają przez zastąpienie każdego elementu macierzy

transponowanej AT przez odpowiadające mu dopełnienie algebraiczne: Dij=(-1)i+jMij,

przy czym Mij są minorami stopnia n-1 macierzy AT, tzn. wyznacznikiem macierzy

powstałej przez usuwanie i-tego wiersza i j-tej kolumny z macierzy AT. Stopień tak

otrzymanego wielomianu macierzowego zmiennej będzie więc równy lub mniejszy od

stopnia n-1. Dlatego rezolwentę można zapisać w następującej postaci:

•

gdzie wielomian charakterystyczny macierzy stanu układu otwartego wynosi





]

1

[

1









A

I

A

s

L

t

e













  



A

I

A

I

A

I

A

I

















s

adj

s

s

det

s

adj

s

1

1









 

 



























n

i

i

i

n

s

s

s

s

s

s

1

1

1

1

1

1

δ

δ

δ

δ

A

I

n

2

1



 

1

,

1

1

2

2

1

0

























n

n

n

n

n

a

s

a

s

a

s

a

s

a

a

s

s



A

I

Macierz fundamentalna-cd

•

Okazuje się, że macierze kwadratowe δ o wymiarach nxn, możemy wyrazić jako funkcje macierzy A

i współczynników jej wielomianu charakterystycznego. W tym celu pokażemy przebieg obliczeń dla

układu czwartego rzędu:

•

Współczynniki przy jednakowych potęgach zmiennej zespolonej s po obu stronach tego równania

muszą być sobie równe. Zatem:

•

, ponieważ

•

oraz kolejno:

•

Z tych rekurencyjnych wzorów przez kolejne podstawienia otrzymamy:

•

Prowadzi to przez indukcję do ogólnego wzoru na macierz :

























4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

4

3

3

2

2

1

4

4

3

3

2

2

1

0

δ

Aδ

δ

Aδ

δ

Aδ

δ

Aδ

δ

δ

δ

δ

A

I

I

s

s

s

s

s

s

s

s

s

a

s

a

s

a

s

a

a







































I

I

δ





4

4

a

I

Aδ

I

Aδ

δ

I

Aδ

δ

I

Aδ

δ

3

2

1

2

1

2

3

2

3

4

3

a

a

a

a

















1

4 

a

3

2

2

3

2

1

2

1

1

2

2

3

2

3

2

2

4

3

3

A

A

A

I

Aδ

I

δ

A

A

I

Aδ

I

δ

A

I

δ

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a



































n

j

i

j

j

i

a

1

A

δ

I

δ 

n

1



n

a

Macierz fundamentalna-cd

• Wykorzystując powyższe zależności możemy teraz wyrazić rezolwentę przez wielomian

macierzy stanu. Najpierw ponownie rozpatrzymy układ rzędu czwartego.

• , Po podstawieniu powyższych związków otrzymamy:

•

• Łącząc wyrażenia w każdej z kolumn o tej samej potędze macierzy stanu w funkcje

wymierne otrzymamy wielomian macierzy stanu:

• gdzie:

• Ponownie przez indukcję dokonamy uogólnienia na przypadek n-tego rzędu:

• ,

• przy czym:

• .

 



4

3

3

2

2

1

1

δ

δ

δ

δ

A

I

s

s

s

s

s















I

δ 

4

 



I

A

I

A

A

I

A

A

A

I

A

I

3

4

2

4

2

3

2

4

3

2

3

4

2

3

2

1

1

s

a

s

a

s

a

s

a

s

a

s

a

a

a

a

a

s

s

































 

 

 

 

3

3

2

2

1

0

1

)

(

A

A

A

I

A

I

s

F

s

F

s

F

s

F

s













 

 

 

 

 

 

 

 

s

a

s

F

s

s

a

a

s

F

s

s

a

s

a

a

s

F

s

s

a

s

a

s

a

a

s

F





























4

3

4

3

2

2

4

3

2

1

3

4

2

3

2

1

0

 













1

0

1

)

(

n

i

i

i

s

F

s

A

A

I

 

 

s

s

a

s

a

a

s

F

n

n

i

i

i

















1

2

1



Macierz fundamentalna-cd

• Wyrażenia F(s) są transformatami Laplace’a funkcji czasowych f(t). Te funkcje

można wyznaczyć przez zastosowanie odwrotnego przekształcenia Laplace’a:

• .

• W wyniku powyższych wywodów możemy macierz podstawą rozwiązań

równania stanu przedstawić jako liniowy wielomian macierzy stanu:

• .

• .

• Zależność pozwala unikać operacji odwracania macierzy fundamentalnej.

Dlatego w teorii sterowania zależność ta jest często wykorzystywana do

udowodnienia innych twierdzeń. Zauważmy, że macierze można wyznaczyć z

następującego algorytmu:

• oraz:

• Do obliczenia rezolwenty skorzystamy z powyższych wzorów rekurencyjnych,

po zastosowaniu ich do wzoru (5.14):

 

 





s

F

L

t

f

i

i

1













 

















1

0

1

1

n

i

i

i

t

t

f

e

s

L

A

A

I

A

I

Aδ

δ

i

i

i

a





1

0

I

Aδ

δ









1

-

i

i

i

a

1









n

n

n

n

n

s

a

s

a

s

a

s

a

a

s

s

s





























1

1

2

2

1

0

1

1





n

2

1

δ

δ

δ

A

I













1

1

2

1

1

2

1























i

i

n

n

n

n

tr

i

n

a

tr

a

tr

a

Aδ

Aδ

Aδ

















1

2

1

,

0





,n

,

,

i



Algorytm Fadiejewej

Bezpośrednie całkowanie równań

modelu w przestrzeni stanów

• Jak wcześniej pokazaliśmy macierz podstawową eAt , która wchodzi

zarówno do całki szczególnej jak i do całki ogólnej rozwiązania można

przedstawić w postaci potęgowego szeregu czasowego:

• Jest to szereg nieskończony, ale zazwyczaj szybko zbieżny do zera. W

wielu przypadkach obliczenia można więc ograniczyć do kilku jego

wyrazów. Zazwyczaj, ze względu na wymiary macierzy A, musimy

posiłkować się komputerowymi środkami obliczeniowymi. Aby je

wykorzystać, wygodnie jest sprowadzić model analizowanego układu do

jego postaci dyskretnej w czasie (zwanej również postacią dyskretno-

czasową lub cyfrową).

• Postać cyfrową uzyskuje się przez dyskretyzację i kwantyzację sygnałów

ciągłych. Czasami sygnały są dyskretne ze swojej natury, lecz w

niniejszym podręczniku takich sygnałów nie rozpatrujemy. Proces

dyskretyzacji został pokazany na poniższym rysunku.

• Jak pokazano na rysunku (b) sygnał ciągły przechodzi przez urządzenie

zwane impulsatorem, które zamyka obwód w dyskretnych chwilach

czasu, co stały przedział czasowy, zwany okresem próbkowania . Takie

urządzenie jest stosowane w każdym przetworniku analogowo-

cyfrowym, nazywanym w skrócie przetwornikiem AC lub AD. Ostatni

skrót pochodzi z języka angielskiego od analog-digital.

















!

t

!

t

t

t

e

t

4

3

2

4

4

3

3

2

2

A

A

A

A

I

A

Próbkowanie sygnałów

Dyskretyzacja równań

• Jak wiemy z teorii sterowania ciągły w czasie stacjonarny liniowy (LTI)

model układu w przestrzeni stanów przedstawia się następująco:

• gdzie x jest wektorem stanu, u jest wektorem sterowań, y jest

wektorem pomiaru, natomiast Ac jest macierzą stanu, Bc jest macierzą

sterowań, C jest macierzą pomiaru, a D jest macierzą przenoszenia

sprzęgającą wejścia i wyjścia. Dla warunków początkowych x(to) w

chwili czasu to rozwiązanie równania stanu jest w postaci:

• ,

• dla . To równanie opisuje zmianę w czasie wektora stanu x dla

danych warunków początkowych x(to) i danego sygnału wejściowego

u(t). Przez próbkowanie sygnału x(t) co stały okres czasu



T i

podstawienie

• otrzymamy:

• .

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

t

t

t

t

t

t

c

c

Du

Cx

y

u

B

x

A

x



















d

e

e

t

c

t

t

t

o

t

t

o

c

o

c

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

u

B

x

x

A

A











o

t

t 

T

k

o

t

T

k

t











oraz

)

1

(







d

e

t

e

T

k

c

T

k

T

k

T

k

o

T

c

c

)

(

)

(

]

)

1

[(

)

1

(

)

)

1

((

u

B

x

x

A

A

























Dyskretyzacja równań-cd

• Zakładamy, że u(t) jest stałe pomiędzy kolejnymi chwilami

próbkowania, tzn., że spełnia następującą zależność:

• dla

• Rozwiązanie dla stałej macierzy Bc przyjmie więc postać:

• ,

• gdzie wprowadzono zmienną . Definiując:

• ,

• ,

• ,

• ,możemy stwierdzić, że próbkowanie prowadzi do liniowego układu

dyskretno-czasowego w następującej postaci:

•

• który jest modelem układu w przestrzeni stanu

  



T

k

u

u









,

3

,

2

,

1

,

1













k

T

k

T

k



)

(

]

'

[

)

(

]

)

1

[(

0

)

'

(

T

k

d

e

T

k

e

T

k

c

T

T

c

c



















u

B

x

x

A

A





T

c

e





A

A

c

T

d

e

c

B

B

A







0

)

'

(

'





]

)

1

[(

)

1

(

T

k

k









x

x

)

(

)

(

T

k

k



u

u

,....

3

,

2

,

1

,

0

)

(

)

(

)

(

),

(

)

(

)

1

(













k

k

k

k

k

k

k

Du

Cx

y

Bu

Ax

x























3

2

)

(

!

3

1

)

(

!

2

1

T

T

T

e

c

c

c

T

c

A

A

A

I

A

A

c

A

B

A

A

A

I

B

B

]

)

(

!

3

1

)

(

!

2

1

)

(

[

'

4

3

3

2

2

0

)'

(



























T

T

T

T

d

e

c

c

c

c

T

c





Przykład. Układ drgający o jednym

stopniu swobody - analiza

)

(t

u

w

w







 

 

 

 

 

 

 

 

 





 

 

 

 

 

t

t

t

u

t

w

t

w

t

t

t

t

u

t

w

t

w

t

w

t

w

t

C

C

Du

Cx

0

1

y

u

B

x

A

x





























































































1

0

0

1

1

0





1

,

0

1

,

1

0

,

0

1

1

0





































D

C

B

A

Korzystając z zasady d’Alambert z
najdziemy równanie ruchu w
postaci:

Mierząc przyśpieszenie masy
otrzymamy ciągły w czasie model
układu w przestrzeni stanu jak
następuje:

czyli:

.

Przykład-cd

• Celem wyznaczenia modelu dyskretnego obliczymy:
• ,
• ,

• Macierz stanu układu dyskretnego będzie więc następująca:

• a macierz sterowań:



















































1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

2

c

c

c

A

A

A



















































0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

2

3

c

c

c

A

A

A















































1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

0

3

4

c

c

c

A

A

A









































































































T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

c

c

c

cos

sin

sin

cos

!

4

1

!

2

1

1

)

!

5

1

!

3

1

(

!

5

1

!

3

1

!

4

1

!

2

1

1

)

(

!

3

1

)

(

!

2

1

4

2

5

3

5

3

4

2

3

2



A

A

A

I

A







































































































































































T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

c

c

c

sin

cos

1

1

0

sin

cos

1

cos

1

sin

1

0

!

5

1

!

3

1

)

!

4

1

!

2

1

1

(

1

)

!

4

1

!

2

1

1

(

1

!

5

1

!

3

1

]

)

(

!

3

1

)

(

!

2

1

)

(

[

5

3

4

2

4

2

5

3

4

3

3

2

2











c

B

A

A

A

I

B

Przykład-cd

• Zauważmy, że macierze te mają stałe w czasie elementy, gdy:

Ostatecznie więc, dyskretny model rozpatrywanego układu przyjmie

postać:

• W tym prostym przykładzie widzimy, że macierze stanu i sterowania są

funkcją okresu próbkowania. Macierze związane z równaniem pomiaru

pozostają niezmienione.





)

(

)

(

)

(

0

1

)

(

)

(

sin

cos

1

)

(

)

(

cos

sin

sin

cos

)

1

(

)

1

(

1

1

1

1

1

1

k

u

k

x

k

x

k

y

k

u

T

T

k

x

k

x

T

T

T

T

k

x

k

x



























































































.

const

T 



Parametry Markowa

• gdzie:

• nazywane są parametrami Markowa układu lub krótko - parametrami

Markowa. Parametry Markowa można wyznaczyć bezpośrednio podczas

eksperymentu lub pośrednio z funkcji odpowiedzi częstotliwościowej,

wyznaczanej również podczas eksperymentu. Tym samym doskonale

nadają się do identyfikacji dynamiki układów liniowych, gdyż z drugiej

strony są funkcją macierzy układu A,B,C,D. Ponieważ parametry

Markowa tworzą sekwencję (dyskretne wartości) odpowiedzi impulsowej,

to są one jednoznaczne dla danego układu. Rozwiązanie jest niczym

innym niż splotem funkcji odpowiedzi impulsowej układu z jego sygnałem

wejściowym, ale dla układu o wielu wejściach i wielu wyjściach.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

1

1

k

i

k

k

i

k

k

k

i

i

k

i

i

Du

Bu

CA

y

Bu

A

x























B

CA

Y

CAB

Y

CB

Y

D

Y

1

)

(

,

,

)

2

(

,

)

1

(

,

)

0

(











k

t



)

1

(

)

0

(

)

1

(

)

0

(

)

1

(

Du

CBu

y

Bu

x







)

2

(

)

1

(

)

0

(

)

2

(

)

1

(

)

0

(

)

2

(

Du

CBu

CABu

y

Bu

ABu

x











)

0

(

)

0

(

)

0

(

Du

y

0

x





Przykład

• Znaleźć parametry Markowa dla układu z rys.

• Jak widzimy, parametry Markowa z wyjątkiem Y(0) są funkcją

okresu próbkowania T i są one niezerowe dla każdego chwili

czasu (kroku próbkowania k). Wynika to z faktu, że układ

wykonuje drgania niegasnące po pobudzeniu impulsem

jednostkowym.













T

k

T

k

T

sin

T

cos

-

1

T

T

T

T

0

1

-

k

k

T

T

T

sin

T

cos

-

1

T

T

T

T

0

1

-

T

T

sin

T

cos

-

1

0

1

-

1

-

k

k







































































































































)

1

cos(

cos

cos

sin

sin

cos

)

(

,

2

cos

2

cos

cos

sin

sin

cos

)

2

(

1

cos

)

1

(

,

1

)

0

(

1

B

CA

Y

CAB

Y

CB

Y

D

Y



Przykład

• Wyrazić odpowiedź układu z rys. przez parametry

Markowa. W kolejnych krokach próbkowania mamy:

• Tym samym, odpowiedź układu przyjmie postać:

• dla .
• Zauważmy, że w tym przykładzie mamy jedno

wyjście i jedno wejście układu. Dlatego parametry

Markowa są skalarami.

 
 

 























,

,

3

,

2

,

1

,

1

cos

cos

,

1

0

1



dlai

T

i

T

i

i

Y

Y

i

B

CA

D

   













i

k

u

T

k

T

i

k

u

t

y

k

i

















1

1

cos

cos

1



k