1

STATYKA CHEMICZNA

STATYKA CHEMICZNA

1. REAKCJE ODWRACALNE - STAN RÓWNOWAGI      

CHEMICZNEJ

2. STAŁA RÓWNOWAGI CHEMICZNEJ
3. REGUŁA PRZEKORY

____________________________________

STATYKA 

CHEMICZNA 

zajmuje 

się 

układami  o  składnikach  zdolnych  do 
reagowania  ze  sobą,  w  których  reakcja 
chemiczna 

zakończyła 

się 

wskutek 

osiągnięcia STANU RÓWNOWAGI. 

REAKCJE ODWRACALNE

2

Reakcje odwracalne

Reakcje odwracalne

Reakcje 

chemiczne

Reakcje 

Reakcje 

odwracalne

odwracalne

Reakcje 

nieodwracalne

REAKCJA ODWRACALNA – 
może przebiegać zarówno ze 
strony lewej na prawą jak i w 
kierunku przeciwnym – osiąga 
stan równowagi, np.
A + B C + D

C + D  A +B

A + B  C + D – reakcja 

odwracalna
np.

2H

2(g)

 + O

2(g)

  2H

2

O

(g)

            2H

2

O

(g)

  2H

2(g)

 + O

2(g)

2H

2(g)

 + O

2(g)

  2H

2

O

(g)

(Biegną do wyczerpania 
substratów), 
np. reakcja 

Ag

+

 + Cl

-

 = 

AgCl

 jest reakcją 

nieodwracalną – nie 
osiąga stanu równowagi

Osiąganie stanu równowagi 
reakcji:

H

2(g)

 + CO

2(g)

 

H

2

O

(g)

   + CO

(g)

 

W momencie  t

e

 

stężenia [H

2

], [CO

2 

], 

[H

2

O] i [CO] są stałe. 

Stężenia substratów 
maleją, a produktów 
rosną w trakcie 
przebiegu reakcji

Dla 

reakcji 

odwracalnych

, 

przekształcenie 

substratów  w  produkty  często  jest  niezupełne, 
bez względu na czas reakcji.
Osiągnięty  zostaje  stan,  w  którym  stężenia  nie 
zmieniają  się  z  upływem  czasu.  Stan  ten,  który 
trwa  tak  długo,  jak  długo  warunki  zewnętrzne 
nie ulegają zmianie. 

Stan równowagi chemicznej.

Stan równowagi chemicznej.

 

4

Cechy reakcji odwracalnych:

Cechy reakcji odwracalnych:

1. W danych warunkach ciśnienia i temperatury 

stężenia produktów i nieprzereagowanych 
substratów są stałe – 

RÓWNOWAGA 

CHEMICZNA

4. Szybkości reakcji w stanie równowagi w obu 

kierunkach są jednakowe: V

1

 = V

2

2. Równowaga chemiczna jest równowagą 

DYNAMICZNĄ

 – po zmianie warunków 

fizycznych zostanie wznowiony bieg reakcji 
w jednym z kierunków

3. Każdej reakcji odwracalnej odpowiada jej 

własny ściśle określony stan równowagi, 
który charakteryzuje się odpowiednią 
zależnością między stężeniami reagentów - 
stała równowagi. 

5

Stała równowagi 

Stała równowagi 

chemicznej

chemicznej

Warunek równowagi: 
v

1

 = v

2

 

K

C 

 -   stała równowagi chemicznej wyrażona 

stężeniem

k

1

 i k

2

 są stałe, więc K

C

 

jest również wartością 
stałą

Matematycznym wyrazem stanu równowagi chemicznej 
jest 

STAŁA RÓWNOWAGI CHEMICZNEJ

STAŁA RÓWNOWAGI CHEMICZNEJ

:

:

               

D, E, F, L – 
reagenty
d, e, f, l – ilość 
moli
v – szybkość 
reakcji

k – stała szybkości 
reakcji
C – stężenie

               v

1

dD + eE 



 fF + lL

                v

2

Reakcja odwracalna:

l

L

f

F

2

2

e

E

d

D

1

1

)

C

(

)

C

(

k

v

)

C

(

)

C

(

k

v













l

L

f

F

2

e

E

d

D

1

)

C

(

)

C

(

k

)

C

(

)

C

(

k











e

E

d

D

l

L

f

F

C

2

1

)

C

(

)

(C

)

C

(

)

(C

K

k

k









Przeprowadźmy  serię trzech doświadczeń 
zrealizowanych w tej samej temperaturze, ale 
różniących się początkowymi stężeniami substratów 
tej reakcji:

Rozważmy  tę  zależność  na  przykładzie  równowagi 
pomiędzy PCl

3(g)

, Cl

2(g)

 i PCl

5(g)

. 

PCl

5(g) 

jest termicznie nietrwały i ulega rozkładowi na 

PCl

3

 i Cl

2

: 

PCl

5(g)

 PCl

3(g) + 

Cl

2

 

(g)

PCl

5(g)

 PCl

3(g) + 

Cl

2

 

(g)

PCl

5(g)

 PCl

3(g) + 

Cl

2

 

(g)

Stała równowagi chemicznej

Stała równowagi chemicznej

WARTOŚĆ STAŁEJ RÓWNOWAGI WYZNACZA 
SIĘ DOŚWIADCZALNIE.

Po zmieszaniu PCl

3 

i Cl

2 

reagują, tworząc PCl

5

: 

Doświadczenie 

c

:

 [PCl

5

] początkowe = 1 

mol/dm

3

                     

[Cl

2

] początkowe = 3 

mol/dm

3 

[PCl

3

] początkowe = 2 

mol/dm

3

[PCl

5

] końcowe =2,82 mol/dm

3

[Cl

2

] końcowe = 1,175 mol/dm

3

[PCl

3

] końcowe = 0,175 mol/dm

3

   [PCl

5

] początkowe = 0 

mol/dm

3                          

   [Cl

2

] początkowe = 1 

mol/dm

3 

   [PCl

3

] początkowe = 1 

mol/dm

3

[PCl

5

] końcowe = 0,764 mol/dm

3

 

[Cl

2

] końcowe = 0,236 mol/dm

3 

[PCl

3

] końcowe = 0,236 mol/dm

3

Doświadczenie 

b

:

T=546 K

PCl

5(g)

 PCl

3(g) + 

Cl

2

 

(g)

Doświadczenie 

a

:

  [PCl

5

]początkowe  =  1 

mol/dm

3

      

  [Cl

2

]  początkowe  =  0 

mol/dm

3       

  [PCl

3

]  początkowe  =  0 

mol/dm

3

  

[PCl

5

]końcowe=0,764 

mol/dm

3

 

[Cl

2

] końcowe = 0,236 

mol/dm

3 

[PCl

3

]końcowe =0,236 

mol/dm

3

Stężenia w 
równowadze

8

7

,

13

175

,

0

175

,

1

82

,

2

236

,

0

236

,

0

764

,

0

]

Cl

[

]

[PCl

]

[PCl

2

3

5













W każdym przypadku otrzymujemy taką samą  
wartość liczbową wynoszącą  13,7

wynoszącą  13,7

 :

Obliczamy dla doświadczeń: a); b); c) dla stanu 
równowagi ułamek:

]

Cl

[

]

[PCl

]

[PCl

2

3

5



stężeni
a

Stała równowagi chemicznej

Stała równowagi chemicznej

Ogólnie można napisać, że dla reakcji:

 

dD + eE  fF + lL

Stała w równowagi wyniesie:

C

i

 - stężenie reagentów w mol/dm

3

e

E

d

D

l

L

f

F

C

C

C

C

C

K

)

(

)

(

)

(

)

(







Stała równowagi 

Stała równowagi 

chemicznej

chemicznej

Dla reakcji przebiegającej w fazie gazowej stężenia 
molowe można zastąpić ciśnieniami cząstkowymi:
K

p

 - stała równowagi wyrażona 

ciśnieniem:
p

i

 - ciśnienie cząstkowe reagentów

Stałą równowagi można też wyrazić za pomocą stężenia 
określonego w ułamkach molowych (X):

Ułamek 
molowy:





i

i

i

i

n

n

X

Ponieważ: p

i

 = X

i

·P  

   oraz        p

i

 = C

i

·RT,

n

X

C

n

C

p

n

X

p

)

RT

P

(

K

K

(RT)

K

K

P

K

K



























i

i

i

i

(substr.)

n

(prod.)

n

Δn

gdzie:

P - ciśnienie całkowite

Zależności 
pomiędzy K

C

, 

K

p

 i K

X

e

E

d

D

l

L

f

F

X

)

(X

)

(X

)

(X

)

(X

K







e

E

d

D

l

L

f

F

p

)

p

(

)

p

(

)

p

(

)

p

(

K







10

PRAWO DZIAŁANIA MAS

PRAWO DZIAŁANIA MAS

Wartości  stałych  równowagi  zmieniają  się  od 
bardzo dużych do bardzo małych wartości.
np. K = 9,39 10

9 

dla reakcji syntezy siarkowodoru

      K = 2,38 10

-3 

dla reakcji syntezy amoniaku

„Gdy  w  roztworze  doskonałym  panuje  stan 
równowagi 

chemicznej 

w 

określonej 

temperaturze,    to  iloraz    iloczynu  stężeń 
(ciśnień)  produktów  reakcji  do  iloczynu 
stężeń 

(ciśnień) 

substratów 

reakcji 

podniesionych odpowiednio do potęg, których 
wykładniki 

odpowiadają 

współczynnikom 

stechiometrycznym  równania  reakcji,  ma 
wartość stałą”.

Stała równowagi chemicznej określana jest w 
chemii pod nazwą : prawo działania mas.

11

Jeśli  równowagę  układu  reakcyjnego  zostanie 
zakłócona, to reakcje chemiczne zostają wznowione i 
zostanie osiągnięty nowy stan równowagi.

PRZESUNIĘCIA STANU 

PRZESUNIĘCIA STANU 

RÓWNOWAGI CHEMICZNEJ

RÓWNOWAGI CHEMICZNEJ

„Jeżeli  na  układ  znajdujący  się  w  stanie 
równowagi  działa  jakiś  czynnik  zewnętrzny, 
to powoduje on naruszenie stanu równowagi 
w  taki  sposób,  który  częściowo  osłabia 
działanie tego czynnika”.

Kierunek takich przesunięć określa zasada (reguła) 

LE CHATELIERA- reguła przekory.

Reguła przekory 

Reguła przekory 

/Reguła Le Chateliera i Brauna/

/Reguła Le Chateliera i Brauna/

         

H < 0  - reakcja egzotermiczna

3H

2

 + N

2

 



 2NH

3

                    równowaga 

T=const.

       

H > 0  - reakcja endotermiczna

A.  Podwyższamy  temperaturę    wznawia  bieg 

reakcja rozkładu NH

3

 (endotermiczna)



wpływ 

wpływ 

temperat

temperat

ury

ury

B. Obniżamy temperaturę  wznawia bieg reakcja 

syntezy NH

3

 (egzotermiczna)

Ogólnie: podwyższenie temp. sprzyja reakcjom 

podwyższenie temp. sprzyja reakcjom 

endotermicznym, a obniżenie – egzotermicznym

endotermicznym, a obniżenie – egzotermicznym

.





























2

1

1

2

r

2

1

r

2

1

T

T

T

-

T

R

Q

ln

T

1

 

- 

T

1

R

Q

ln

 

=

 

K

K

Q

r

 -  ciepło reakcji

R - stała gazowa
K

1

 - stała równowagi w 

temp. T

1

K

2

 - stała równowagi w 

temp. T

2

13

Reguła przekory 

Reguła przekory 

/Reguła Le Chateliera i Brauna/

/Reguła Le Chateliera i Brauna/



wpływ 

wpływ 

ciśnienia

ciśnienia

         

v maleje

3H

2

 + N

2

 



 2NH

3

   równowaga 

p=const.

       

V rośnie

A. Zwiększamy ciśnienie  układ reaguje 

zmniejszeniem objętości (równowaga przesuwa się 
w prawo)  tworzenie NH

3

B. Zmniejszamy ciśnienie  układ reaguje 

zwiększeniem objętości (równowaga przesuwa się 
w lewo)  rozpad NH

3



wpływ zmiany 

wpływ zmiany 

stężenia

stężenia

3H

2

 + N

2

 



 

2NH

3

A. Doprowadzenie substratu  równowaga w 

prawo

C. Doprowadzenie produktu  równowaga w lewo

B. Odprowadzenie produktu  równowaga w prawo

KINETYKA CHEMICZNA

KINETYKA CHEMICZNA

zajmuje  się  badaniem  szybkości  reakcji

szybkości  reakcji

  oraz 

mechanizmami 

reakcji, 

a 

więc 

obejmuje 

zagadnienia  szybkości  dochodzenia  układu  do 
stanu równowagi.

Reakcja: 

Ag

+

  +  Cl

-

  AgCl

;  przebiega  bardzo 

szybko 

do 

wyczerpania 

jednego z substratów

Reakcja:

H

2

 + 0,5O

2

 H

2

O

; w temp. otoczenia 

przebiega wolno

SZYBKOŚĆ  REAKCJI  CHEMICZNEJ

  jest  to 

ubytek  stężenia  substratów  reakcji  lub  przyrost 
stężenia  produktów  reakcji  w  nieskończenie 
małym odstępie czasu:

dt

dC

dt

dC

V

x

s







gdzie: 

V-szybkość 

reakcji 

chemicznej,
  C

S

-stężenie substratów,

  C

X

-stężenie produktów,

  t-czas reakcji.

Większość reakcji przebiega z szybkością, którą 

można mierzyć

15

SZYBKOŚĆ REAKCJI 

SZYBKOŚĆ REAKCJI 

CHEMICZNEJ

CHEMICZNEJ

Jakie 

czynniki 

decydują 

o 

szybkości 

reakcji 

chemicznej?
1. 

Stężenie 

substratów

2. 

Temperatura

3.Obecność  
katalizatora 
(katalizatory 
dodatnie i ujemne)

C

s

C

s

,C

x

Zmiana 

stężenia 

substratów  (C

S

)  i  stężeń 

produktów  (C

X

)  w  czasie 

(t) przebiegu reakcji.

C

X

t

t

2t

3t

C

s

C

s

/

2

C

s

/

4

C

s

/

8

16

Jeżeli reakcja ma postać:

aA + bB + ............. = IL + mM + .................

to szybkość reakcji wyniesie:

gdzie:C

A

, C

B

-

stężenia substratów

a,b

-

współczynniki 

stechiometryczne

k

-

STAŁA 

SZYBKOŚCI 

REAKCJI

Równanie opisujące zależność szybkości reakcji 

od stężenia reagentów nazywamy: 

RÓWNANIEM KINETYCZNYM REAKCJI

k  –  szybkość  reakcji  gdy  stężenia  substratów 
równe są jedności: gdy C

A

 = C

B

 = ... = 1, to 

k = 

VStała szybkości reakcji k

 nie zależy od 

stężenia reagentów.

.....

C

C

k

V

b

B

a

A









)

(

)

(

Równanie kinetyczne 
reakcji

17

Równanie kinetyczne 

reakcji

Sumę  wykładników  potęgowych  w  równaniu 
kinetycznym  na  szybkość  reakcji  nazywamy 

rzędem reakcji

:

a + b + ... = n 

rząd reakcji

Rząd niekatalizowanych reakcji wynosi na ogół:
n = 0 – 3; a katalizowanych n = 1 – 2.

Zależność  szybkości  reakcji  od  stężenia 
substratów jest zatem funkcją potęgową:

n

s

)

(C

k

V





C

S

- stężenie substratów

18

CZĄSTECZKOWOŚĆ I RZĘDOWOŚĆ 

CZĄSTECZKOWOŚĆ I RZĘDOWOŚĆ 

REAKCJI CHEMICZNYCH

REAKCJI CHEMICZNYCH

CZĄSTECZKOWOŚĆ

 

reakcji 

jest 

liczbą 

cząsteczek  uczestniczących  jednocześnie  w 
tworzeniu 

cząsteczki 

produktu 

– 

limituje 

szybkość reakcji chemicznej.
Wyróżniamy  reakcje:  jednocząsteczkowe,     
dwucząsteczkowe,  trójcząsteczkowe, itd.

A

PRODUKTY

   np.:

        Br

2

      2 Br

A

C

k

V





REAKCJE JEDNOCZĄSTECZKOWE
W reakcji bierze udział jedna cząsteczka substratu:

Szybkość reakcji jednocząsteczkowych:

19

CZĄSTECZKOWOŚĆ I RZĘDOWOŚĆ 

CZĄSTECZKOWOŚĆ I RZĘDOWOŚĆ 

REAKCJI CHEMICZNYCH

REAKCJI CHEMICZNYCH

2

A

B

A

)

(C

k

V

C

C

k

V











W 

równaniach 

tych, 

stężenie 

substratu 

występuje 

w 

drugiej 

potędze.

Szybkość reakcji dwucząsteczkowych:

REAKCJE DWUCZĄSTECZKOWE
W  utworzeniu  produktu  biorą  udział  dwie 
cząsteczki substratu:

A + B                

PRODUKTY

   2A

PRODUKTY

np.:

H

2

 + Cl

2

2 HCl

     2 HI

            H

2

 + I

2

20

CZĄSTECZKOWOŚĆ I RZĘDOWOŚĆ 

CZĄSTECZKOWOŚĆ I RZĘDOWOŚĆ 

REAKCJI CHEMICZNYCH

REAKCJI CHEMICZNYCH

REAKCJE TRÓJCZĄSTECZKOWE
Reagują ze sobą trzy cząsteczki substratu:

np.:      H

2

SO

3

 + I

2

 + H

2

O

H

2

SO

4

 + 2 HI

      2 NO + O

2

   2 NO

2

A + B + C

PRODUKTY

3A

            PRODUKTY

2A + B

PRODUKTY

3

A

B

2

A

C

B

A

)

C

(

k

V

C

)

C

(

k

V

C

C

C

k

V



















Szybkość reakcji trójcząsteczkowych:

Suma wykładników 
potęgowych wynosi 

trzy

21

CZĄSTECZKOWOŚĆ I RZĘDOWOŚĆ 

CZĄSTECZKOWOŚĆ I RZĘDOWOŚĆ 

REAKCJI CHEMICZNYCH

REAKCJI CHEMICZNYCH

Teoretycznie

:  szybkość  reakcji  jednocząsteczkowej 

jest  proporcjonalna  do  pierwszej  potęgi  stężenia 
substratów;

dwucząsteczkowej

–

do drugiej potęgi;

trójcząsteczkowej

–

do trzeciej potęgi.

RZĘDOWOŚĆ REAKCJI:

RZĘDOWOŚĆ REAKCJI:

Suma wykładników potęgowych w równaniu na 
szybkość reakcji, do której należy podnieść stężenia 
substratów by doświadczalnie wyznaczona szybkość 
reakcji była zgodna z wyliczoną z równania 
kinetycznego.

Praktycznie

:

Rzeczywista cząsteczkowość – RZĘDOWOŚĆ 

RZĘDOWOŚĆ 

REAKCJI

REAKCJI

 – nie zawsze jest zgodna z pozorną 

(teoretyczną) cząsteczkowością.

REAKCJE PIERWSZEGO RZĘDU

REAKCJE PIERWSZEGO RZĘDU

:

Reakcje,  dla  których  doświadczalnie  wyznaczona 
szybkość  reakcji  jest  proporcjonalna  do  pierwszej 
potęgi stężenia substratu.

s

C

k

V

    

1;

n







REAKCJE 

DRUGIEGO 

REAKCJE 

DRUGIEGO 

RZĘDU:

RZĘDU:

2

s

C

k

V

    

2;

n

)

(







3

s

)

(C

k

V

  

3;

n







Dla  reakcji 

n-tego 

rzędu

:

lub

gdzie:  a  +  b  +  ...  +  k  =  n             
rzędowość.

Występują również reakcje rzędu zerowego. 
Wówczas szybkość reakcji nie zależy od stężenia 
substratu: 

k

V 

n

s

C

k

V

)

(





k

k

b

B

a

A

)

C

(

.....

)

C

(

)

C

(

k

V









REAKCJE 

TRZECIEGO 

REAKCJE 

TRZECIEGO 

RZĘDU:

RZĘDU:

23

Wpływ temperatury na 

szybkość reakcji 

chemicznych

SZYBKOŚĆ 

REAKCJI 

CHEMICZNYCH 

SZYBKOŚĆ 

REAKCJI 

CHEMICZNYCH 

ROŚNIE ZE WZROSTEM TEMPERATURY,

ROŚNIE ZE WZROSTEM TEMPERATURY,

co  wiąże  się  ze  wzrostem  stałych  szybkości 

stałych  szybkości 

reakcji

reakcji

 (k).

np. 

chcąc 

przeprowadzić 

reakcję 

syntezy  wody  z  wydajnością  15%  należy 
go prowadzić:

w temp. 20C

-

54 miliardy lat;

w temp. 500C

-

50 minut;

w 

temp. 

700C

-

przebiega 

wybuchowo.

24

Empiryczna reguła van’t 

Hoffa:

Jeżeli    =  3,  a  temperatura  wzrośnie  o  100

o

  to 

szybkość reakcji wzrośnie 3

10

 razy.

Współczynnik  temperaturowy  szybkości  reakcji 
jest  to  liczba  wskazująca  ile  razy  wzrasta 
szybkość reakcji po podwyższeniu temperatury o 
10 stopni.

Podwyższenie temperatury o 10 stopni powoduje 
zwiększenie szybkości reakcji 2-4 razy.

Współczynnik 

temperaturowy 

szybkości 

Współczynnik 

temperaturowy 

szybkości 

reakcji:

reakcji:

T

10

T

k

k







gdzie: k

T+10

- stała 

szybkości reakcji w  
temp. T+10

  k

T

  - stała szybkości 

reakcji w  temp. T

25

Współczynnik  temperaturowy  szybkości  reakcji 
zależy  od  temperatury,  przy  czym  zbliża  się  do 
jedności 

gdy 

temperatura 

dąży 

do 

nieskończoności:

gdy

T

to

1

Empiryczna reguła van’t 

Hoffa:

Można obliczać K w różnych 
temperaturach.

10

1

T

2

T

k

k

2

1









lg

T

T

T

k

k

lg

1

1

2

2

1







k

1

, k

2

 – stałe szybkości reakcji w temp. T

1

 i 

T

2

.

Ilościowo zależność ta wygląda następująco:

26

Teoria zderzeń aktywnych – 

równanie Arrheniusa

Wg 

kinetycznej 

teorii 

materii 

reakcje 

chemiczne  zachodzą  w  wyniku  zderzeń 
cząsteczek substratów (np. dwóch).
Nie  wszystkie  zderzenia  są  jednak  efektywne, 
tzn. prowadzą do powstania produktów reakcji. 
Przyjmuje  się,  że  efektywne  są  tylko  te 
zderzenia,  w  których  biorą  udział  cząsteczki 
obdarzone  energią  wyższą  od  początkowej, 
równą lub większą od wartości E zwaną: 

ENERGIĄ AKTYWACJI

ENERGIĄ AKTYWACJI

ENERGIA AKTYWACJI

ENERGIA AKTYWACJI przedstawia zatem 
najmniejszą energię jaką muszą mieć cząsteczki 
substratów, aby mogły wejść w daną reakcję:          
     

E > E

E > E

śr.

śr.

27

Teoria zderzeń aktywnych 

– równanie Arrheniusa

Cząsteczka  substratu  o  przeciętnej  energii  musi  zatem  przed 
wejściem  w  reakcję  uzyskać  pewien  nadmiar  energii,  na  skutek 
zderzeń  z  innymi  cząsteczkami.  Przejście  cząsteczki  ze  stanu 
energii  zbliżonej  do  początkowej  do  stanu  energii  aktywacji  dla 
reakcji endotermicznej i egzotermicznej przedstawia rysunek:

H

1

H

2

E

s

E

Energi
a

E

p

E

p

Współrzędna 
reakcji

E – energia aktywacji
E

s

 – energia substratów

E

p

 – energia produktów

H

1

 – ciepło reakcji 

endotermicznej
H

2

 – ciepło reakcji 

egzotermicznej

28

Teoria zderzeń aktywnych 

– równanie Arrheniusa

Teoria  zderzeń  aktywnych  pozwala  śledzić 
zmiany 

szybkości 

reakcji 

w 

funkcji 

temperatury.

RT

E

lnZ

k

 

ln

e

Z

k

o

RT

E

o











Jest to tzw. równanie ARRHENIUSA

równanie ARRHENIUSA

Z

o 

– 

ogólna 

liczba 

zderzeń,
E – energia aktywacji,
R – stała gazowa,
T – temperatura
k 

- 

stała 

szybkości 

reakcji

Wg PRAWA PODZIAŁU ENERGII MAXWELLA-

PRAWA PODZIAŁU ENERGII MAXWELLA-

BOLTZMANA

BOLTZMANA

 liczba zderzeń aktywnych cząsteczek 

(Z=k) wynosi: