KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW. PLASTYCZNE

WYRÓWNANIE NAPRĘŻEŃ I MOMENTÓW

Wykład 10

PROJEKTOWANIE KONCEPCYJNE.

Koncepcja klasyczna (XIX w.)

Założenia teoretyczne – wg klasycznej mechaniki

budowli:

- materiał jest liniowo sprężysty  = E 
- pręty są idealnie proste
- obciążenia przyłożone w osiach przekrojów
- konstrukcja traci nośność gdy naprężenia

osiągną granicę

plastyczności choćby w jednym punkcie   k

dop

KONCEPCJE WSPÓŁCZESNE

Budownictwo zróżnicowane

Założenia teoretyczne – wg teorii nośności

granicznej:

- materiał jest nieliniowo sprężysto-plastyczny

 =  ()

- pręty są obarczone

imperfekcjami

geometrycznymi

- obciążenia działają na

mimośrodach

wstępnych

- konstrukcja traci nośność w

stanie

granicznym

KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW

METALOWYCH

Nośność graniczna przekroju pręta zależy od:

1. Smukłości ścianek przekroju


wpływ stateczności miejscowej

2. Rodzaju przekroju (dwuteownik, ceownik, zetownik)


krzywe nośności granicznej

w stanach złożonych

3. Schematu statycznego (belka swobodnie podparta, ciągła)


elasto- lub plastostatyka

KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW

METALOWYCH

Smukłość ścianek przekroju 

UPN 200  262 Z 16



 = d/t

w

= 151/8,5 =

17,8

  = c/t =

260/1,6 =

162,5

KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW

METALOWYCH

Wpływ smukłości ścianek na nośność przekroju



m

– średnie naprężenie ściskające ściankę,

f

02

– granica plastyczności (rzeczywista lub umowna)

KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW

METALOWYCH

Graniczne smukłości ścianek przekrojów stalowych 

= c/t

(kryterium klasy przekroju stalowego wg PN-EN

1993-1-1)

KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW METALOWYCH

Graniczne smukłości ścianek

stalowych

KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW METALOWYCH

Graniczne smukłości ścianek

stalowych

KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW METALOWYCH

Graniczne smukłości ścianek

stalowych

KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW METALOWYCH

Graniczne smukłości 

i

ścianek ze stopów Al

A – stopy ulepszone cieplnie nie spawane
B – stopy ulepszone cieplnie spawane lub nie ulepszone cieplnie

nie spawane

C – stopy nie ulepszone cieplnie spawane

Podparci

e

ścianki



1



2



3

A

B

C

A

B

C

A

B

C

Krawędź

swobodn

a

3

2,5



2  4,5



4  3 

6 

5  4 

Na całym

obwodzie

11



9 

7 

16



13



11



22



18



15



KLASYFIKACJA PRZEKROJÓW METALOWYCH

Graniczne smukłości

ścianek

• Parametr  dla ścianek stalowych:

• Parametr  dla ścianek ze stopów Al:

y

f

235





02

f

250





TWIERDZENIA TEORII

PLASTYCZNOŚCI

1.

Twierdzenie 1 o plastycznym wyrównaniu
naprężeń

w przekroju zginanym momentem M

S

S

lub

ścinanym siłą poprzeczną V

S

:

M

Rd

=

M

pl

= W

pl

f

d

V

Rd

=

V

pl

= 0,58A

pl

f

d

gdzie

f

d

= f

y

/

Mo

W

pl

= S

1

+ S

2

= 2S

A

pl

= A

v

th

TWIERDZENIA TEORII

PLASTYCZNOŚCI

Dowód: warunki równowagi sił w przekroju:
N = 0

czyli oś obojętna dzieli przekrój na 2 równe części
M = 0

0

dA

f

0

dA

f

0

σdA

A

A

A

d

d

















2

A

/2

h

/2

h

1

pl

2

1

d

pl

A

A

A

d

pl

d

pl

S

S

ydA

ydA

M

)

S

(S

f

M

ydA

f

M

ydA

f

M

σydA

o

o



































TWIERDZENIA TEORII

PLASTYCZNOŚCI

Nośność sprężysta przekroju zginanego momentem

M

S

S

lub ścinanego siłą poprzeczną V

S

:

V

Rd

=

V

el

= 0,58V

el

f

d

Wskaźnik rezerwy plastycznej przekroju 

pl

:

S

Jt

0,58f

V

V

0,58f

Jt

S

V

y

el

Rd

y

el

el













el

d

v

d

el

pl

pl

el

d

el

d

pl

el

pl

pl

W

2S

Jt

htS

Jt

0,58f

S

A

0,58f

V

V

α

W

2S

f

W

f

W

M

M

α















TWIERDZENIA TEORII

PLASTYCZNOŚCI

Wskaźnik rezerwy plastycznej przekroju



pl

:



pl

=

1,5

1- 1,5 1,5 - 

1,27-1,7

TWIERDZENIA TEORII

PLASTYCZNOŚCI

Wskaźnik rezerwy plastycznej dla przekroju prostokątnego

bxh

:

Wniosek z tw. 1:

Nośność plastyczna (zginanego lub ścinanego) przekroju

metalowego niepodatnego na utratę stateczności miejscowej
jest nawet o 50 % większa od nośności wynikająca ze
sprężystej pracy konstrukcji (dla dwuteowników
walcowanych o 10-18 %)

1,5

4

6

/6

bh

/4

bh

h/2

/12

bh

,25h

2x0,5bxhx0

h/2

J

2S

W

W

α

2

2

3

el

pl

pl













TWIERDZENIA TEORII

PLASTYCZNOŚCI

• Twierdzenie 2 - o powierzchniach granicznych

w złożonym

stanie sił wewnętrznych

– są dla materiału sprężysto-

plastycznego zawsze wypukłe

Powierzchnie graniczne wg teorii a) plastyczności b) sprężystości

(interakcja M

y

- M

z

- N)

TWIERDZENIA TEORII

PLASTYCZNOŚCI

Twierdzenie 2 o powierzchniach granicznych -

dwuteowniki

TWIERDZENIA TEORII

PLASTYCZNOŚCI

Krzywa interakcji na płaszczyźnie M

Sy

– M

Sz

wg PN-EN 1993-1-1:

dla dwuteowników bisymetrycznych

 = 2;  = 1

dla rur kołowych

 = 2;  = 2

; dla rur prostokątnych

 = 

=1,66

Wniosek z tw. 2:

Krzywe nośności granicznej przekroju metalowego

niepodatnego na utratę stateczności miejscowej są wypukłe
i zależą od rodzaju przekroju.

1

M

M

M

M

β

plz

Sz

α

ply

Sy

































TWIERDZENIA TEORII

PLASTYCZNOŚCI

Twierdzenie 3 – o plastycznym wyrównaniu momentów

zginających

(dla układów prętowych statycznie

niewyznaczalnych)

TWIERDZENIA TEORII

PLASTYCZNOŚCI

Twierdzenie 3 – o plastycznym wyrównaniu momentów

zginających

W stanie sprężystym moment przęsłowy M

max

= ql

2

/24, a

momenty

podporowe M

min

= - ql

2

/12.

Po utworzeniu się przegubów plastycznych moment

„wyrównany” M* :

ql

2

/12 - M = ql

2

/24 + M  M = ql

2

/48

M* =

ql

2

/48 + ql

2

/24 =

ql

2

/16

Rezerwa nośności wynikająca z redystrybucji momentów:

M*/ M

min

= ql

2

/16/ql

2

/12 = 16/12 =

1,33 (33 %)

TWIERDZENIA TEORII

PLASTYCZNOŚCI

Twierdzenie 3 – o plastycznym wyrównaniu momentów

zginających

TWIERDZENIA TEORII

PLASTYCZNOŚCI

Twierdzenie 3 – o plastycznym wyrównaniu momentów

zginających

W stanie sprężystym moment przęsłowy M

max

= ql

2

/8, a

momenty

podporowe M

min

= - ql

2

/8 , czyli momenty są równe  M = 0

Po utworzeniu się przegubów plastycznych moment

„wyrównany” M* :

M* =

ql

2

/8

Rezerwa nośności:

M*/ M

min

= ql

2

/8/ql

2

/8 =

1,00 (0 %)

Wniosek: przyrost nośności zależy od stopnia statycznej

niewyznaczalności oraz sposobu rozłożenia obciążenia

TWIERDZENIA TEORII

PLASTYCZNOŚCI

Twierdzenie 3 – o plastycznym wyrównaniu momentów

zginających

Tablice Bleicha dla belek ciągłych

M

S

= c

g

gl

2

+ c

p

pl

2

M

S

= c

g

Gl + c

p

Pl

Schema

t

belki

Sposó

b

wyrów

.

Momen

t

Obciąż. równo

m.
g, p

Obciąż

.

skupion
e
G, P

c

g

c

p

c

g

c

p

2

przęsła

I

M

max

0,086

0,105

0,167

0,198

M

min

-0,086

-0,105

-0,167

-0,198

HIPOTEZA HMH TEORII

SPRĘŻYSTOŚCI

Nośność przekrojów w stanie sprężystym:

Dla 

xEd

= 

NEd

+ 

MyEd

+ 

MzEd

 interakcja N

s

– M

Sy

- M

Sz

1

f

3

f

σ

f

σ

f

σ

f

σ

2

d

Ed

d

zEd

d

xEd

2

d

zEd

2

d

xEd







































































1

M

M

M

M

N

N

zRd

zEd

yRd

yEd

Rd

Ed







KLASY PRZEKROJÓW METALOWYCH

Wpływ smukłości ścianek na nośność przekroju



m

– średnie naprężenie ściskające ściankę,

f

02

– granica plastyczności (rzeczywista lub umowna)

klasa 1 klasa 2 klasa 3 klasa

4

KLASY PRZEKROJÓW METALOWYCH

Klasa 1 –

przekroje, które osiągają nośność przegubu

plastycznego

(pl-pl)

i wykazują przy tym zdolność do obrotu niezbędną

do

plastycznej redystrybucji momentów

- dwuteowniki walcowane IPN, IPE, HEA,

HEB, HEM

(w belkach wieloprzęsłowych i ramach)
- procedury obliczeniowe z wykorzystaniem
wszystkich rezerw plastycznych wg tw. 1,

tw. 2 tw. 3

KLASY PRZEKROJÓW METALOWYCH

Klasa 2 –

przekroje, które osiągają nośność przegubu plastycznego

(pl-el)

i wykazują ograniczoną zdolność do obrotu na skutek

niestateczności miejscowej (w stanie plastycznym, stąd
nie jest możliwa plastyczna redystrybucja momentów)

- dwuteowniki walcowane IPN, IPE, HEA, HEB,

HEM

- procedury obliczeniowe z wykorzystaniem
rezerw plastycznych wg tw. 1 i tw. 2

KLASY PRZEKROJÓW METALOWYCH

Klasa 3 –

przekroje, które wykazują nośność nie mniejszą niż to

(el-el)

wynika z początku uplastycznienia strefy ściskanej,

lecz

wskutek niestateczności miejscowej (w stanie

sprężysto-

plastycznym) nie osiągają nośności przegubu

plastycznego

- kształtowniki zimnogięte, blachownice
- procedury obliczeniowe wg klasycznej
wytrzymałości materiałów (stany sprężyste)

KLASY PRZEKROJÓW STALOWYCH

Klasa 4 –

przekroje, które wskutek niestateczności

miejscowej (w sta-

(el-el)

nie sprężystym) wykazują nośność mniejszą niż

to wynika

z początku uplastycznienia strefy ściskanej

- blachownice, kształtowniki

zimnogięte,

- procedury obliczeniowe dla

blachownic stalowych

wg teorii nośności nadkrytycznej,

patrz. rys.:

b

e

= b

w



c

KLASY PRZEKROJÓW STALOWYCH

Klasa 4

– współczynnik stateczności miejscowej wg PN-EN

1993-1-5:

- dla ścianki stalowej podpartej na czterech

krawędziach:



c

= 1,0 dla 

p

 0,673



c

= [

p

– 0,055(3+)]/(

p

)

2

dla 

p

> 0,673

- dla ścianki stalowej z krawędzią swobodną:



c

= 1,0 dla 

p

 0,748



c

= [

p

– 0,188]/(

p

)

2

dla 

p

> 0,748

gdzie

σ

cr

y

p

k

28,4ε

b/t

σ

f

λ





KLASY PRZEKROJÓW STALOWYCH

Klasa 4 – współczynnik



c

= 

KLASY PRZEKROJÓW ALUMINIOWYCH

Klasa 4 -

przekroje obliczeniowe ścianek

ze

stopów Al

.:

t

ei

= t

i



c

dla i = f, w



c

 1

– współczynnik stateczności miejscowej

KLASY PRZEKROJÓW ALUMINIOWYCH

Klasa 4

– współczynnik stateczności miejscowej wg PN-EN 1999-

1-1:

 

1,0

β/ε

a

β/ε

a

ρ

2

2

1

C







Podparci

e ścianki

A

B

C



3

/

a

1

a

2



3

/

a

1

a

2



3

/

a

1

a

2

Krawędź

swobodn

a

6

10

24

5

9

20

4

8

16

Na całym

obwodzie

22

32

220 18

29

198

15

25

150

KLASY PRZEKROJÓW ALUMINIOWYCH

Klasa 4 – współczynnik



c

= 

p



c

CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE KLASA

1-3

Dwuteowniki walcowane

PROJEKTOWANIE KONCEPCYJNE.

• Świadomy wybór projektanta typu konstrukcji

dostosowanej do funkcji i oczekiwanego okresu

użytkowania obiektu.

Projektowe okresy użytkowania wg PN-EN-1990

Kategoria okresu

Projektowy okres

Przykłady

1

10 lat

konstrukcje

tymczasowe

2

10-25 lat

wymienialne

części

konstrukcji

3

15-30 lat

konstrukcje

rolnicze

4

50 lat

konstrukcje

zwykłe

5

100 lat

mosty, budynki

monumentalne

Literatura do wykładu 10

1.
2. Gwóźdź M.: Stany graniczne konstrukcji

aluminiowych. Wydawnictwo Politechniki
Krakowskiej. Kraków 2007.