Zasady budowy modelu
matematycznego
Model matematyczny
• Model matematyczny opracowuje się
na podstawie przyjętych hipotez i
założeń. Przy ich określaniu należy
uwzględnić następujące elementy:
• relacje pomiędzy modelowanym
obiektem rzeczywistym a otoczeniem;
• istotę danego problemu;
• metody i środki techniczne, za pomocą
których problem będzie rozwiązany.
Model matematyczny
W czasie budowy modelu matematycznego
zazwyczaj wyróżnia się następujące fazy:
• Sformułowanie równań opisujących badany
problem.
• Znalezienie rozwiązania, czyli takie
przekształcenie wyrażeń matematycznych, aby
uzyskać zdolność wnioskowania o zachowaniu się
obiektu w określonych warunkach.
• Porównanie otrzymanych rozwiązań z dostępnymi
danymi (np. z wynikami badań doświadczalnych).
• Weryfikacja i uściślenie modelu
Model matematyczny
Równania układów hydraulicznych
• równania sił lub momentów
(równowaga sił),
• równania natężeń przepływu
(ciągłość przepływu),
Model matematyczny
Równania sił i momentów
Równania te opisują równowagę elementów
ruchomych poddanych działaniu:
• sił F
i
(x) (momentów M
i
(φ)) – będących
funkcjami położenia x lub kąta obrotu φ
rozważanego obszaru płynu oraz kolejnych
pochodnych x lub φ.
• sil F
i
(w) (momentów) – będących funkcjami
parametrów zewnętrznych (np. sygnałów
sterujących, zakłóceń itd.) lub funkcjami
określonych zmiennych układu (ciśnienia,
natężenia przepływu, prędkości obrotowej itp.
Równania sił i momentów
• siły pochodzące od ciśnienia
statycznego cieczy roboczej którą
opisuje się zależnością:
• gdzie: p – ciśnienie, A – powierzchnia
robocza
• siła wywołana ugięciem sprężyny
• gdzie: c – napięcie wstępne
sprężyny, k – stała sprężyny, x-
ugięcie sprężyny
A
p
F
x
k
c
F
s
Równania sił i momentów
• siła tarcia lepkiego
gdzie: f – współczynnik tarcia lepkiego
• Współczynnik ten w przypadku siłownika przyjmuje
następująca postać:
• gdzie: ν – lepkość cieczy, D – średnica cylindra, d-
średnica tłoka, L – długość węzła uszczelniającego.
dt
dx
f
F
t
d
D
L
D
f
Równania sił i momentów
• siła bezwładności (np. sprężyny)
• gdzie: m
sp
– masa sprężyny
2
2
sp
b
dt
x
d
m
3
1
m
F
Równania sił i momentów
siła hydrodynamiczna wywołana zmianą
kierunku przepływu cieczy roboczej
• gdzie: ρ – gęstość cieczy, Q – natężenie
przepływu cieczy roboczej, v
1
– prędkość
cieczy przed zmianą kierunku przepływu,
v
2
– prędkość cieczy po zmianie kierunku
przepływu, θ – kąt odchylenia strugi
cieczy jednak nie większy niż 69
0
.
cos
Q
F
2
1
HR
Równania sił i momentów
• moment na wałku wyjściowym
silnika
• gdzie: q
s
– chłonność jednostkowa
silnika obrotowego, Δp – różnica
ciśnień pomiędzy wejściem i
wyjściem z silnika hydraulicznego,
η
mh
– sprawność mechaniczno
hydrauliczna
mk
s
st
2
p
q
M
Równania sił i momentów
• moment obrotowy jaki trzeba
doprowadzić do wału pompy aby
otrzymać jej pracę
gdzie: q
p
– wydajność właściwa pompy,
η
mh
– sprawność mechaniczno
hydrauliczna, Δp – różnica ciśnień
pomiędzy króćcem ssawnym a
tłocznym
mk
p
p
p
2
q
M
Równania natężenia przepływu
Równania natężenia przepływu wyrażają
zasadę zachowania masy. Wśród nich można
wyróżnić następujące przepływy wywołane:
• natężeniem przepływu wywołane ruchem
tłoka siłownika
• gdzie: A – powierzchnia tłoka, dx/dt –
prędkość wysuwu tłoka
dt
dx
A
Q
t
Równania natężenia
przepływu
• natężeniem przepływu wywołane
różnicą ciśnień
• gdzie: ξ – współczynnik strat
miejscowych, d – średnica rury
(dyszy)
p
2
4
d
Q
2
p
Równania natężenia
przepływu
natężeniem przepływu wywołane
ściśliwością cieczy roboczej
gdzie: V – objętość cieczy, B – moduł
ściśliwości cieczy
dt
dp
B
V
Q
sc
Równania natężenia
przepływu
natężenie przepływu przez kapilarę
gdzie: G- przewodność kapilary
określona zależnością:
gdzie: d- średnica kapilary, l – długość
kapilary, µ - współczynnik lepkości
dynamicznej cieczy.
2
1
k
p
p
G
Q
l
1
128
d
G
4
Równania natężenia
przepływu
wydajność pompy określona jest
zależnością:
gdzie: ε
p
- nastawa wydajności pompy,
q
p
– wydajność właściwa pompy
cm
3
/obrót, η
v vol –
sprawność
objętościowa pompy, n – obroty
pompy.
vol
v
g
p
pnom
.
n
q
Q
Równania natężenia
przepływu
natężenie przepływu przez zawór bezpieczeństwa – przy układaniu
równań opisujących działanie układu napędu hydraulicznego
wystarczy opisać jego działanie członem bezinercyjnym lub
inercyjnym pierwszego rzędu. Stąd postać równania:
gdzie: Q
zb
– ilość cieczy wypływająca przez zawór przelewowy, p
zb
–
wartość ciśnienia nastawiona na zaworze bezpieczeństwa, k –
współczynnik wzmocnienia wyznaczany z charakterystyk
statycznej zaworu bezpieczeństwa.
zb
p
zb
p
zb
p
zb
p
p
dla
p
p
k
p
p
dla
0
Q
zb
o
p
zb
Q
p
p
k
dt
dQ
Założenia upraszczające
• charakter przepływu – w elementach
oporowych układu można określić
metodami
doświadczalnymi
lub
analitycznymi. Stworzenie modelu
matematycznego
modelu
strefy
przejściowej między przepływem
turbulentnym
a
laminarnym
nastręcza szereg trudności. Dlatego
najczęściej przyjmuje się jeden
rodzaj
przepływu
przez
dany
element oporowy w całym zakresie
pracy układu.
Założenia upraszczające
• zjawisko kawitacji – na ogół przyjmuje się, że
zjawisko kawitacji w układzie hydraulicznym
nie występuje. Uwzględnienie kawitacji jest
trudne ze względu na skomplikowany opis
tego zjawiska,
• sprężystość ścianek – możliwość pominięcia
sprężystości ścianek elementów
hydraulicznych stosuje się przy średnich
ciśnieniach i stosunkowo małych
objętościach układu,
Założenia upraszczające
• przecieki – dla ogromnej większości
przypadków zakłada się laminarny
przepływ
przez
szczeliny.
W
przypadku
pomp
i
silników
hydraulicznych są proporcjonalne do
ciśnienia oraz zależą od częstości
obrotów,
• dla
silników
hydraulicznych
–
przyjmuje się, że straty tarcia są
proporcjonalne
do
prędkości
obrotowej i ciśnienia tłoczenia,
Założenia upraszczające
• w
modelu
pomp
i
silników
hydraulicznych – pomija się pulsację
wydajności,
tym
samym
nie
uwzględnia się wahań natężenia
przepływu i wywołanych tym pulsacji
ciśnienia w instalacji,
• w
pompach
i
silnikach
hydraulicznych
–
pomija
się
niestateczność charakterystyk przy
małych prędkościach kątowych.
Schemat układu
napędowego
Założenia upraszczające
•ciśnienie w układzie jest zawsze wyższe od ciśnienia
atmosferycznego,
•przyjęto, że gęstość, lepkość i moduł sprężystości
cieczy nie zmieniają się w czasie pracy układu,
•założono, że pomiędzy powierzchniami ruchomymi nie
występuje tarcie suche,
•założono, że w układzie nie występuje kawitacja,
•pominięto odkształcenia przewodów i elementów
hydraulicznych,
•pominięto wpływ skończonej prędkości rozchodzenia
się zaburzeń w ukła dzie,
•sprawność przeniesienia napędu pomiędzy silnikiem
spalinowym a pompą wynosi 100%
•ciśnienie w lini zlewowej ma wartość stałą p
3
=const.
Wykres momentu silnika Cummis
y = 9E-07x
3
- 0,0049x
2
+ 7,7684x - 2154,5
R
2
= 0,9862
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0
500
1000
1500
2000
2500
Obroty silnika (obr/min)
M
o
m
e
n
t
(k
W
)
Wykres
momentu
Wielom.
(Wykres
momentu)
2154
7684
,
7
0049
,
0
10
9
2
3
7
n
n
n
M
s
Wykres mocy silnika Cummins
y = -0,0001x
2
+ 0,5239x - 206,42
R
2
= 0,9921
0
50
100
150
200
250
300
0
500
1000
1500
2000
2500
Obroty silnika (obr/min)
M
o
c
s
iln
ik
a
(
k
W
)
wykres mocy
Wielomian trendu
42
,
206
5239
,
0
0001
,
0
2
n
n
N
Moment dyspozycyjny na wyjściu z pompy
określony jest następującą zależnością
vol
p
p
p
p
p
q
M
2
Moc pompy określona jest zależnością
mh
vol
p
p
p
p
p
p
n
q
N
.
.
Zainstalowana pompa posiada regulator stałej
mocy, to wydajność pompy dostosowuje się
samoczynnie do obciążenia w ten sposób, żeby
moc dyspozycyjna pompy była stała.
const
p
Q
N
nom
pnom
np
p
const
Q
p
p
Równania matematyczne opisujące
przyjęty model
Równania momentów
hydrostatycznego silnika
obrotowego
Siły działające na gąsienicę podczas jazdy
2
1
1
0
2
sin
2
1
d
d
M
d
R
mg
M
R
N
Silę oporu ruchu R
o
oblicza się jako iloczyn siły
ciężkości transportera i współczynnika f oporu
ruchu
cos
0
mgf
R
ψ- kąt nachylenia płaszczyzny poślizgu ścinanego gruntu,
przyjmuje wartość od 10
o
do 45
o
L
p
Rodzaj podłoża
Współczynnik
oporu
ruchu f
1
droga gruntowa sucha – gleba
gliniasta
0,06
2
droga gruntowa sucha – gleba
piaszczysta
0,07
3
droga gruntowa błotnista o
wilgotności 20%
0,12-0,15
4
suchy piasek
0,15 -0,20
5
wilgotny piasek
0,10
Tabela 1. Wartości współczynników oporu ruchu
układu gąsienicowego f
Równania matematyczne opisujące
przyjęty model
M
sk
- moment oporu skrętu
gąsienicy
M
sk
= M
t
+M
c
Moment oporu tarcia w czasie skrętu
gąsienicy opisany jest zależnością
b
b
L
L
b
L
b
L
b
L
b
L
Lb
p
M
śr
s
t
2
2
3
2
2
3
2
2
ln
ln
2
24
tg
e
4
L
h
M
2
x
2
c
g
c
Równania matematyczne opisujące
przyjęty model
pompa – trójnik przed hydraulicznymi silnikami
obrotowymi
1
0
p
p
G
dt
dp
B
V
Q
Q
p
p
p
zb
pn
dt
dp
B
V
dt
dp
B
V
Q
Q
p
p
G
s
s
p
p
1
2
1
1
2
1
1
.
1
1
1
1
1
vols
s
s
s
s
q
n
Q
2
2
2
1
2
vols
s
s
s
s
q
n
Q