1

MODELE  DIAGNOSTYCZNE  OBIEKTÓW  

TECHNICZNYCH

 

Modele obiektów

 

W każdej działalności człowieka, szczególnie w nauce 

i  technice  wykorzystuje  się  modele.  Istnieje  wiele 

definicji 

modeli. 

Oto 

niektóre 

z nich:

1) przez model rozumie się taki dający się pomyśleć lub 

materialnie  zrealizować  układ,  który  odzwierciedlając 

lub  odtwarzając  przedmiot  badania  zdolny  jest 

zastępować  go  tak,  że  jego  badanie  dostarcza  nam 

nowej wiedzy o tym przedmiocie;

2) model  jest  to  narzędzie,  za  pomocą,  którego  można 

opisać 

system 

i  jego  zachowanie  się  w  rożnych  warunkach 

zewnętrznych;

2

3) model  jest  teoretycznym  opisem  badania  obiektów, 

który  charakteryzuje  się  następującymi  cechami,  tzn. 

jest:

 pewnym uproszczeniem rzeczywistości;
 w 

sensie 

pewnego 

kryterium 

zbieżny 

z 

rzeczywistością;

 na  tyle  prosty,  że  możliwa  jest  jego  analiza 

dostępnymi metodami obliczeniowymi;

 źródłem informacji o obiekcie badań.

3

Budowa  modeli  zajmuje  się  dyscyplina  nauki 

nazywana identyfikacją.

Identyfikacją  nazywamy  taki  złożony  proces 

badawczy,  w  którym  na  podstawie  analizy  danych  a 

priori 

(przed 

doświadczeniem) 

i  a  posteriori  (po  doświadczeniu)  o  badanym, 

istniejącym  lub  projektowanym  obiekcie,  dokonuje  się 

syntezy 

modelu, 

dobrze 

(w sensie przyjętego kryterium) opisującego obiekt oraz 

na tyle uproszczonego, aby jego analiza była możliwa do 

przeprowadzenia 

i dostarczała nowej informacji o obiekcie.

4

Proces  identyfikacji  układów  mechanicznych  składa 

się z czterech podstawowych etapów (rys. 1):

 modelowania,
 eksperymentu,
 estymacji,
 weryfikacji.

Różnica 

między 

przedstawionymi 

sposobami 

poszukiwania  modelu  obiektu  polega  na  zmianie 

kolejności  wykonywania  czynności  eksperymentalnych  i 

modelowania.

Rys. 1. Schematy podejść do praktycznej realizacji procesu 

identyfikacji: a) gdy większą rolę przypisuje się wiedzy a posteriori 

(po doświadczeniu), b) gdy większą rolę przypisuje się wiedzy a priori 

(przed doświadczeniem)

5

6

W  etapie  modelowania  poszukuje  się  struktury 

modelu  opisującej  dany  obiekt.  W  poszukiwaniu 

struktury  modelu  obiektu  należy  wyróżnić  następujące 

etapy jego budowy:

 nominalny (fenomenologiczny),
 fizyczny (empiryczny),
 matematyczny (analityczny).

7

Model  nominalny  opisuje  zasadnicze  cechy  i 

zjawiska, występujące w badanym obiekcie. Przykładowo 

model nominalny układu mechanicznego obejmuje zbiór 

cech  i  elementów  tego  układu,  które  wpływają  na  jego 

ruch  (np.  łańcuch  kinematyczny  układu  napędowego 

obrabiarki).  Na  podstawie  modelu  nominalnego  można 

zbudować model fizyczny obiektu.

Model  fizyczny  w  układach  mechanicznych  określa 

sposób  obciążenia  układu  i  reakcję,  jakie  to  obciążenie 

wywołuje  (np.  belka,  płytę).  Modele  fizyczne  dyskretne 

układów 

mechanicznych 

stanowią 

kombinacje 

elementów masowych, sprężystych i tłumiących.

8

Każdy 

model 

fizyczny 

ma 

wiele 

modeli 

matematycznych.  Model  matematyczny  obiektu  to 

analityczny  operator,  który  przekształca  dany  sygnał 

wejściowy w sygnał wyjściowy obiektu.

Modelem  matematycznym  układów  mechanicznych 

jest  najczęściej  układ  równań  różniczkowych  lub 

algebraicznych, które można wyprowadzić na podstawie 

praw dynamiki Newtona, zasad wariacyjnych mechaniki, 

praw ciągłości itp.

9

Ze  względu  na  zastosowanie  modele  układów 

mechanicznych dzielą się następująco:

 funkcjonalne,  które  opisują  własności  transmisyjne 

układu, 

bez 

uwzględniania 

jego 

struktury 

wewnętrznej  (np.  charakterystyki  częstotliwościowe  i 

czasowe);

 strukturalne,  w  których  organizacja  wewnętrzna 

jest  podobna  do  organizacji  wewnętrznej  badanego 

układu  przy  czym  zachodzi  odpowiedzialność 

elementów  modelu  i  elementów  układu  oraz 

zbieżność relacji wejście-wyjście dla układu i modelu.

10

Eksperyment  w  identyfikacji  jest  podstawowym 

źródłem  informacji  a  posteriori  o  obiekcie  badań. 

Podkreślić  należy,  że  stanowi  on  podstawowe 

ograniczenie  identyfikacji  obiektów  technicznych, 

z  uwagi  na  trudność  jego  zrealizowania  dla  obiektów 

złożonych.

Estymacja  parametrów  zawiera  wyznaczenie 

wartości  parametrów  modelu  dla  jego  przyjętej 

struktury,  na  podstawie  uzyskanych  wyników  badań 

eksperymentalnych.

Weryfikacja modelu polega na badaniu rozbieżności 

między  modelem  a  układem  rzeczywistym.  Inaczej 

mówiąc to konfrontacja wyników uzyskanych z modelu z 

danymi rzeczywistymi.

11

Można zatem powiedzieć, że model reprezentuje trzy 

rodzaje wiedzy o obiekcie, a mianowicie o: 

–strukturze, 
–wartościach parametrów, 
–stanie układu w pewnej chwili.

12

Modele diagnostyczne obiektów

 

Model  diagnostyczny  to  relacja  przyczynowo-

skutkowa  pomiędzy  cechami  stanu  obiektu,  a 

parametrami 

diagnostycznymi, 

zorientowanymi 

uszkodzeniowo,  odwzorowująca  zmieniający  się  stan 

techniczny badanego obiektu.

13

Uszczegółowiając  pojęcie  modelu  diagnostycznego 

obiektu,  można  powiedzieć,  że  przedstawia  on  związki 

zależności pomiędzy:

 parametrami sygnałów i parametrami stanów,
 parametrami stanów i parametrami sygnałów,
 parametrami sygnałów i miarą eksploatacji,
 miarą eksploatacji i parametrami sygnałów,
 parametrami sygnałów i stanami,
 stanami i parametrami stanów,
 parametrami  diagnostycznymi,  wymuszeniami  i 

masami, elementami sprężystymi i tłumiącymi.

14

Nie  ma  przepisu  na  dobry  model  diagnostyczny 

konkretnego obiektu. Często opracowuje się kilka modeli 

o odmiennej strukturze i złożoności i następnie wybiera 

się  najdogodniejszy  z  punktu  widzenia  stosowania  w 

praktyce. 

Jednak 

znajomość 

praw 

rządzących 

zjawiskami,  dane  doświadczalne  i  inne  informacje 

powinny  pozwolić  na  ustalenie  struktury  modelu 

diagnostycznego,  tzn.  postaci  zależności,  o  których 

sadzimy,  że  będą  mogły  poprawnie  wyrazić  związki 

pomiędzy zmiennymi.

15

W  diagnostyce  można  wyróżnić  następujące  cele 

tworzenia modeli:

 diagnozowanie, czyli model jest podstawą ustalenia 

algorytmu 

diagnozowania 

i 

określenia 

stanu 

przedmiotu diagnozy (systemu);

 prognozowanie, czyli model służy do przewidywania 

rozwoju zmian stanu;

 genezowanie,  czyli  model  służy  do  ustalenia 

przyczyn stanu zaistniałego;

 projektowanie,  czyli  model  służy  optymalizacji 

struktury 

i parametrów projektowanego obiektu (systemu);

 sterowanie,  czyli  model  służy  do  podejmowania 

decyzji 

w  działającym  systemie  (np.  w  podsystemie 

obsługiwania).

16

Biorąc  pod  uwagę  powyższe  informacje  w  aspekcie 

relacji  zachodzących  pomiędzy  modelami,  można 

stwierdzić,  że  modele  funkcjonalne  i  strukturalne 

obiektów,  są  również  ich  modelami  diagnostycznymi.  Z 

drugiej  strony  modele  diagnostyczne  obiektów  są 

istotnym  uzupełnieniem  wiedzy  dotyczącej  ich  budowy 

i funkcjonowania.

17

Ogólne modele diagnostyczne

 

Wychodząc  z  podstawowych  pojęć  systemów,  a  w 

szczególności  z  definicji  obserwowalności  w  obiekcie 

technicznym 

jako 

przedmiocie 

diagnozy 

możemy 

wyróżnić następujące relacje (rys. 2):

Rys. 2. Obiekt techniczny (przedmiot diagnozowania) jako system: X - 

zbiór parametrów stanu; Y - zbiór parametrów diagnostycznych; U - zbiór 

wymuszeń; Z - zbiór zakłóceń

18

gdzie:

U



—zbiór  zmiennych  wejściowych  (sygnałów 

wejściowych),
X



—zbiór  zmiennych  wyjściowych  (sygnałów 

diagnostycznych),
Y



—zbiór zmiennych stanu,

x

—produkt kartezjański,



—zbiór uporządkowanych chwil.

 

R

1

: U

 

x   X



R

2

: U

 

x   Y



R

3

: U

 

x X



 x   Y



R

4

: X



 x   Y



19

Podkreślić  należy,  że  obiekt  jest  obserwowalny,  jeżeli 

na  podstawie  pomiarów  parametrów  sygnałów  można 
wyznaczyć jego stan.

 
Relacje  R

1

-R

4

  można  zapisać  w  postaci  następujących 

modeli:

 

W()=H



 [U(),]

(1)

Y()=



 [U(),]

(2)

Y()=G



 [U(),W(),]

(3)

Y()=F



 [W(),]

(4)

gdzie:

W()

— wektor stanu,

U()

— wektor wejścia,

Y()

— wektor wyjścia,

H



,  



,  G



,  U



 

— operatory  odwzorowujące 

wielkości 
w zależnościach 1-4.

20

R

1

: U

 

x   X



W()=H



 [U(),]

Relacja  R

1

,  stanowi  odwzorowanie  zbioru  U



  wielkości 

zmiennych  wejściowych  w  zbiór  zmiennych  stanu  X



 

obiektu.  Oznacza  to,  że  mając  wektor  W(

0

)  stanu  w 

dowolnej  chwili  początkowej  

0

  oraz  wektor  U()  w 

przedziale  [

0

,  ),  można  wyznaczyć  wartości  W()  w 

dowolnej  chwili  końcowej  .  Opis  obiektu  za  pomocą 

wyrażenia (1) nazywa się modelem w przestrzeni stanu.

21

R

2

: U

 

x   Y



Y()=



 [U(),]

Relacja  R

2

  oznacza  badania  wyjścia  Y



  obiektu,  w 

zależności  od  wejścia  U



.  Zatem  wyrażenie  (2)  podaje 

opis  obiektu  typu  wejście-wyjście  (model  wejściowo-

wyjściowy)— czarna skrzynka.

W  opisie  tym  nie  wprowadza  się  w  sposób  jawny 

zmiennych  stanu,  lecz  formułuje  równania  uzależniające 

od siebie wejście i wyjście przedmiotu diagnozowania.

22

R

3

: U

 

x X



 x   Y



Y()=G



 [U(),W(),]

Relacja  R

3

  i  zależność  (3)  oznaczają,  badania  wyjścia 

przedmiotu  diagnozy  dla  zmieniającego  się  wejścia  i 

stanu,  stanowi  kompleksowy  jakościowy  model 

diagnostyczny  obiektu  technicznego.  Obiekt  jest 

opisany równaniem wyjścia.

23

 R

4

: X



 x   Y



Y()=F



 [W(),]

Dla 

zachowania 

jednoznaczności 

operacji 

diagnozowania 

i  zredukowania  liczby  niewiadomych,  zakłada  się 

niezmienność  wektora  wejścia  U().  W  tym  przypadku 

relacja  R

4

  i  wyrażenie  (4),  wiążące  wyjście  przedmiotu 

diagnozy  w  zależności  od  jego  stanu,  jest  typowym 

modelem diagnostycznym obiektu.

24

Podkreślić  należy,  że  wszystkie  relacje  (1-4)  można 

wykorzystać 

w  diagnostyce  technicznej  obiektów,  mając  ich 

odpowiednie zależności, czyli konkretne modele.

W  dotychczasowych  rozważaniach  na  temat  modeli 

diagnostycznych  nie  uwzględniono  zbioru  zmiennych 

zakłóceń Z



. Wszystkie badania diagnostyczne odbywają 

się  w  określonych  warunkach,  których  dokładne 

ustalenie  nie  jest  możliwe.  Stan  systemu  opisany  jest 

tylko  przez  wybrane  zmienne  stanu.  Niemożliwe  jest 

zatem  pełne  określenie  klas  stanów  i  może  zdarzyć  się 

zaliczenie stanu przedmiotu diagnozy do klasy, do której 

ten stan nie należy. 

25

Sygnał diagnostyczny podlega również zakłóceniom w 

urządzeniach  pomiarowych.  Wymienione  czynniki  są 

źródłem zakłóceń Z() (6), powodujących błędy diagnozy 

(7):

 

Y()=F



 [W(),Z(),]

(6)

 

W()+W()=F



-1

 [F(),Y(),Z(),]

(7)

 gdzie:

Z() 

-

wektor zakłóceń,

Y() 

-

nieznana 

składowa 

sygnału 

diagnostycznego  związana  z  wektorem 

zakłóceń Z(),

W() 

-

błąd  w  określeniu  stanu  zależy  od 

składowej Z(),

F



-1

-

operator odwrotny operatora F



.

26

Wyrażenia  (1-4)  są  ogólnymi  jakościowymi  modelami 

diagnostycznymi  obiektów  technicznych.  Określanie 

diagnostycznych  modeli  jakościowych  obiektów  wbrew 

swojej  prostocie,  jest  czynnością  o  decydującym 

znaczeniu  w  badaniach  doświadczalnych.  Wynika  to 

z  faktu,  że  tylko  te  wielkości,  które  uwzględniono  w 

modelu  jakościowym,  będą  badane  doświadczalnie. 

Należy  wiec  poprzez  analizę  diagnostyczną  obiektu 

dążyć  do  tego,  aby  obiekt  był  opisany  zbiorem 

niezależnych 

i 

zupełnych 

parametrów 

stanu 

i 

parametrów diagnostycznych.

Ogólne  diagnostyczne  modele  jakościowe  obiektów 

technicznych 

stanowią 

zbiór 

diagnostycznych 

szczegółowych modeli.

Modele te można podzielić na:

 symptomowe,
 analityczne.

27

4. DIAGNOSTYCZNE MODELE SYMPTOMOWE
4.1 . Modele regresyjne
 
Regresja  −  metoda 

statystyczna

  pozwalająca  na 

badanie  związku  pomiędzy  wielkościami  danych  i 
przewidywanie  na  tej  podstawie  nieznanych  wartości 
jednych  wielkości  na  podstawie  znanych  wartości 
innych.
 
Złożoność  obiektów  technicznych  oraz  ich  procesów 
eksploatacji  sprawia,  że  zarówno  zmiany  stanów,  jak 
też  emisji  sygnałów  diagnostycznych  są  procesami 
losowymi.  W  praktyce  rzadko  występują  zależności 
funkcyjne  (8)  (rys.  3a,  c)  z  uwagi  na  niemierzalność 
zakłóceń  podlegających  ciągłym  i  nieprzewidzianym 
zmianom:

Y

1

=F

1

(x

1

,x

2

, .... x

m

, z

1

, z

2

, ..., z

p

)

(8)

28

Rys. 3. Obiekt 

techniczny jako system i 

model obiektu: 

a - system prosty, b - 

model prosty; c - 

system złożony, 

d - model złożony

Z  reguły  występujące  zależności  są  zależnościami 

stachostycznymi,  tzn.  niejednoznacznymi.  W  związku  z 
czym  model  (8)  (rys.  3b,  d)  przyjmujemy  w  postaci 
zależności funkcyjnej:

(9)

 
W  modelu  (rys.  3b,  d)  w  odróżnieniu  od  systemu  (rys. 

3a,  c)  nie  ma  zakłóceń  z

p

,  ponieważ  nie  dysponujemy  ich 

wartościami.

Uzyskanie  modelu  (9)  umożliwia  metoda  analizy 

regresyjnej. Podstawowe diagnostyczne modele regresyjne 
przedmiotu diagnozy są następujące.

 

29

1. Parametry sygnałów - parametry stanu

 

(10)

 2. Parametry stanu - parametry sygnałów

 

(11)

 3. Parametry sygnałów - miara eksploatacji

 

(12)

 4. Miara eksploatacji — parametry sygnałów

 

(13)

 gdzie:
y

1

, y

2

,…,y

n

- parametry sygnałów diagnostycznych,

x

1

, x

2

,…,x

n

- parametry stanu przedmiotu diagnozy,

a

j

,  b

K

,  c

L

,  h

v

- współczynniki  (parametry)  równań 

regresji,
l

p

- miara eksploatacji (czas, km).

 

30

Niżej  podano  możliwe,  przykładowe,  diagnostyczne 

modele  regresyjne  parametry  sygnałów  -  parametry 
stanu:
 jednowymiarowy  model  liniowy  o  jednym  wejściu  x  i 

jednym  wyjściu  y  (rys.  3b),  uzyskany  na  podstawie  i 
obserwacji  x

i

  i  y

i

  systemu  (rys.  3a),przy  czym  i=1, 

2,...,I;

 

(14)

 
 wielowymiarowy model liniowy o M wejściach x

i1

, x

i2

,…, 

x

iM

, i jednym wyjściu  systemu, przy czym i = 1, 2, ..., I;

 

(15)

 

 

31

 modele  jednowymiarowe  nieliniowe  sprowadzone  do 

modeli  liniowych  jednym  wejściu  x

i

  i  jednym  wyjściu  , 

uzyskane na podstawie I obserwacji x

i

, y

i

 systemu, przy 

czym i = 1, 2,... , I;

 

 - wykładniczy

(16)

- potęgowy

(17)

 
gdzie: a, ,  - parametry modelu;
 
 modele nieliniowe o M wejściach x

i1

, x

i2

,…, x

iM

, i jednym 

wyjściu   uzyskane na podstawie I obserwacji x

i1

, x

i2

,…, 

x

iM

, y

i

 systemu, przy czym i=1, 2,..., I:

 

(18)

 

32

Zaznaczyć  należy,  że  istnieją  metody  wyboru 

najlepszego 

równania 

regresji. 

Wyróżnia 

się 

następujące  metody  automatycznego  doboru  funkcji 
regresji:
 metoda  odrzucania  (a  posteriori)  usuwa  z 

funkcji  regresji  o  największej  liczbie  członów,  po 
jednym  członie  najmniej  istotnym,  aż  do  chwili,  w 
której wszystkie pozostałe człony są istotne;

 metoda  dołączania  (a  priori)  wprowadza  do 

funkcji  regresji  kolejno  jeden  człon.  Szacowania 
istotności danego członu dokonuje się na podstawie 
wartości 

współczynnika 

korelacji 

cząstkowej. 

Zmienną  o  największym  współczynniku  korelacji 
cząstkowej wprowadza się do funkcji regresji. Jest to 
metoda 

bardziej 

ekonomiczna 

od 

metody, 

poprzedniej  ze  względu  na  czas  obliczeń.  Jedną  z 
wad  tej  metody  jest  możliwość  doprowadzenia  do 
funkcji regresji o członach nieistotnych;

33

 metoda  dołączania  i  odrzucania  (krokowa) 

rozpoczyna się od najprostszej funkcji regresji, którą 
stopniowo rozszerza się. Istotą metody jest badanie 
istotności  członów  już  występujących  w  funkcji 
regresji.  Jeżeli  wprowadzenie  nowego  członu  obniża 
istotność  członu  już  znajdującego  się  w  funkcji 
regresji, wówczas zostaje on z niej usunięty.

 

Należy  wyraźnie  podkreślić,  że  otrzymanie  modelu 

istotnego  nie  świadczy  o  tym,  że  wartość  wyjścia 
systemu  zależy  od  wartości  wielkości  wejściowej. 
Istotność  otrzymanego  modelu  świadczy  tylko  o 
korelacji  między  tymi  wielkościami,  lecz  nie  dowodzi 
istnienia  związku  przyczynowego,  aczkolwiek  go  nie 
wyklucza.

34

Reasumując  rozpatrzone  zagadnienia  można  powiedzieć, 

że w budowie diagnostycznego modelu regresyjnego można 
wyróżnić następujące etapy:
 sformułowanie problemu;
 wykonanie 

diagnostycznych 

badań 

eksperymentalnych;

 wybór niezależnych parametrów stanu;
 wybór niezależnych parametrów diagnostycznych;
 ustalenie wartości granicznych parametrów stanu;
 ustalenie 

wartości 

granicznych 

parametrów 

diagnostycznych;

 wybór struktury modelu;
 ustalenie (estymacja) parametrów modelu;
 weryfikacja modelu.
 

Należy  podkreślić,  że  wynikiem  procesu  weryfikacji 

modelu  powinno  być  ustalenie  stanu  obiektu  technicznego. 
Dlatego też po uzyskaniu modelu, należy na jego podstawie 
opracować algorytm diagnozowania obiektu i wykonać serię 
badań eksperymentalnych. Uzyskanie pozytywnych wyników 
rozpoznania  klas  stanów  obiektów,  weryfikuje  algorytm 
diagnozowania,  zatem  i  opracowany  regresyjny  model 
diagnostyczny.

35

4.2. Probabilistyczna macierz diagnostyczna
 

Diagnostyczne  modele  regresyjne  (10),  (11),  (12)  i 

(13)  są  możliwe  do  uzyskania  przy  małym  poziomie 
zakłóceń  diagnostycznych  w  eksperymencie  czynnym, 
bierno-czynnym  i  biernym.  Przy  wysokim  poziomie 
zakłóceń sygnałów diagnostycznych, podjęcie decyzji o 
stanie przedmiotu diagnozy jest możliwe w kategoriach 
prawdopodobieństwa.  Do  podjęcia  decyzji  jest  celowe 
wtedy 

wykorzystanie 

probabilistycznej 

macierzy 

diagnostycznej (19). 

36

Probabilistyczna macierz diagnostyczna (19) jest:
 

(19)

 
opisana  zbiorem  stanów  W={w

i

};  i=1,l,  zbiorem 

parametrów  diagnostycznych  Y={y

n

};  n=1,N,  zbiorem 

prawdopodobieństw  {p(w

i

)}  wystąpienia  stanów  oraz 

zbiorem 

prawdopodobieństw 

{p(y

n

/w

i

)}. 

Prawdopodobieństwo 

warunkowe 

oznacza, 

że 

zaobserwowanej  wartości  parametru  diagnostycznego  y

n

 

odpowiada stan w

i

.

 

37

Identyfikacje 

tego 

typu 

modelu 

można 

sprowadzić do:

 ustalenia zbioru stanów W={w

i

}; i=1,l;

 ustalenia  prawdopodobieństw  wystąpienia 

stanów {p(w

i

)};

 ustalenia  prawdopodobieństw  warunkowych 

{p(y

n

/w

i

)};

 wyboru 

najlepszych 

parametrów 

diagnostycznych;

 ustalenie  wartości  granicznych  parametrów 

diagnostycznych;

 ustalenie macierzy sprzężeń (19);
 weryfikacji modelu.

38

4.3. Binarna macierz diagnostyczna
 Binarna (zero-jedynkowa) macierz diagnostyczna obiektu 
(20) jest określona:
 zbiorem stanów W={w

i

}; i=1,I,

 zbiorem parametrów diagnostycznych Y={y

n

}; n=1,N.

 Sprzężenia  między  stanami  i  parametrami  sygnałów 
diagnostycznych przyjmują wartości:
1

-

gdy  zmiana  stanu  w

i

  obiektu  nie  powoduje 

zmiany wartości parametru diagnostycznego y

j

;

0

-

gdy  zmiana  stanu  w

i

  obiektu  powoduje  zmiany 

wartości parametru diagnostycznego.

 

(20)

 

39

W  binarnej  macierzy  diagnostycznej  y

n

  jest  sumą 

logiczną parametrów stanu x

m

:

 

y

n

 = x

1

x

2

,...,x

m

(21)

 
a  parametr  stanu  x

m

  iloczynem  logicznym  parametrów 

diagnostycznych y

n

:

 

x

m

 = y

1

y

2

,...,y

n

(22)

 
Identyfikację  modelu  diagnostycznego  obiektu 
typu  binarna  macierz  diagnostyczna  można 
sprowadzić do:
 ustalenia zbioru stanów;
 wyboru 

najlepszych 

parametrów 

diagnostycznych;

 ustalenie  wartości  granicznych  parametrów 

diagnostycznych;

 ustalenie  sprzężeń  (0,1):  stany  -  parametry 

diagnostyczne (20);

 weryfikacji modelu.

40

4.4. Model topologiczny
 
Modelem topologicznym obiektu nazwiemy abstrakcyjny 
opis  obiektu  rzeczywistego,  dokonany  za  pomocą 
kategorii  pojęciowych  z  topologii.  Model  topologiczny 
można opisać następująco:
 

M

T

 = <K,Ł,P>

(23)

gdzie:

K={k

i

}-

zbiór wierzchołków, 

Ł={ł

ij

} -

zbiór łuków,

P

-

predykat  -  symbolizujący  „następstwo” 

pewnych  wielkości  po  innych;  można  go 
interpretować jako funkcję logiczną wyrażającą 
w zapisie analitycznym istnienie (P=1) lub brak 
(P=0)  ukierunkowanego  oddziaływania  między 
wierzchołkami. 

 
Wierzchołki  k

i

K  odwzorowują  bądź  określone  wielkości 

strukturalne obiektu (np. elementy, zespoły, bloki), bądź 
też  określone  cechy,  charakterystyki,  właściwości  (rys. 
4).

43

5. DIAGNOSTYCZNE MODELE ANALITYCZNE
5.1. Model strukturalny
 

Układ  mechaniczny  można  opisać  za  pomocą 

modelu  strukturalnego,  w  którym  jego  organizacja 
wewnętrzna  jest  podobna  do  organizacji  wewnętrznej 
badanego  obiektu.  Model  ten  przedstawia  zależności 
między  masami,  elementami  sprężystymi  i  tłumiącymi 
oraz  wymuszeniami  w  postaci  równań  różniczkowych 
zwyczajnych, czy równań różniczkowych cząstkowych.

Opis 

związków 

miedzy 

odpowiedzią 

układu 

mechanicznego y(t), jego własnościami i wymuszeniem 
p(t) może być przedstawiony w dwóch dziedzinach (rys. 
6).  W  dziedzinie  czasu  jest  to  splot  charakterystyki 
czasowej  układu  h(),  zwanej  również  charakterystyką 
impulsów  z  wymuszeniem.  W  dziedzinie  częstotliwości 
jest to iloczyn transformaty Fouriera tych wielkości.

44

Rys. 6. Ilustracja związków przyczynowo-skutkowych w 

dowolnym układzie dynamicznym i ich opis w dziedzinie 

czasu i częstotliwości

 

Rozwój 

metod 

komputerowych 

i 

technik 

pomiarowych 

umożliwia 

obecnie 

syntetyczne 

przedstawienie  własności  dynamicznych  urządzeń 
technicznych  w  formie  częstości  i  postaci  drgań 
własnych  oraz  charakterystyk  częstotliwościowych  i 
czasowych. 

Najczęściej 

stosowanymi 

obecnie 

charakterystykami własności dynamicznych są:
a) częstości i postaci drgań własnych układu;

45

a) charakterystyka 

częstotliwościowa 

zwana 

podatnością 

dynamiczną, 

przedstawiająca 

zależność amplitudy i fazy drgań punktu układu od 
częstotliwości  jednostkowej  siły  wymuszającej 
harmonicznie  zmiennej  przyłożonej  w  wybranym 
punkcie  układu  i  działającej  wzdłuż  wybranego 
kierunku  (lub  sztywność  dynamiczna  rozumiana 
jako  zależność  odwrotna  względem  podatności); 
podatność  dynamiczna  bywa  nazywana  również 
charakterystyką 

amplitudowo-fazowo-

czestotliwościową 

lub 

charakterystyką 

rezonansową  układu,  gdyż  przedstawia  zjawisko 
wzmocnienia  drgań  w  obszarze  rezonansu,  tzn.  w 
obszarze  zbliżania  się  częstości  zmian  siły 
wymuszającej do częstości drgań własnych układu;

b) charakterystyki  czasowe  przedstawiające  ruch 

układu  pobudzonego  do  drgań  siłą  o  przebiegu 
skoku  jednostkowego,  zwaną  funkcją  Heaviside'a 
lub o charakterze impulsowym, zwaną delta Diraca 
(d- Diraca)- rys. 7.

46

Rys. 7. Teoretyczne przebiegi nieokresowych sił 

wymuszających: a) funkcja skoku jednostkowego, b) 

funkcja impulsowa - Diraca

47

5.2. Model modalny
 

Do  opisu  dynamiki  układów  mechanicznych  z  reguły 

wykorzystuje  się  modele  strukturalne,  które  buduje  się 
zgodnie z zasadami metody elementów skończonych.

Metoda ta polega na dyskretyzacji układu, o ciągłym 

rozkładzie 

parametrów, 

przy 

przyjęciu 

założeń 

upraszczających. Zbudowane w ten sposób modele dają 
wyniki  przybliżone.  Modele  te  wymagają  dostrojenia, 
które  musi  uwzględniać  własności  zmierzone  na 
obiekcie  rzeczywistym.  Model  strukturalny  można 
wykorzystać do wyznaczenia modelu modalnego.

Model  modalny  to  zbiór  częstości  własnych, 

współczynników  tłumienia  dla  tych  częstości  oraz 
postaci drgań.

Układ  mechaniczny  o  n  stopniach  swobody  ma  n 

częstości  drgań  własnych  określonych  stosunkami 
amplitud drgań mas układu.

48

Analiza  modalna  może  być  stosowana,  jeżeli  są 

spełnione następujące założenia:
 układ  jest  liniowy  i  jego  dynamika  może  być  opisana 

za  pomocą  liniowego  układu  równań  różniczkowych 
zwyczajnych lub cząstkowych;

 współczynniki  równań  opisujących  dynamikę  są  stałe 

w czasie pomiarów;

 układ jest obserwowalny i istnieje możliwość pomiaru 

wszystkich  charakterystyk,  których  znajomość  jest 
niezbędna do identyfikacji modelu;

 układ spełnia zasadę wzajemności Maxwella;
 tłumienie w układzie jest małe lub proporcjonalne.

 

Założenie  pierwsze  to  zasada  superpozycji,  która 

mówi,  że  odpowiedź  układu  na  dowolną  kombinację 
wymuszeń  jest  równa  kombinacji  odpowiedzi  na 
poszczególne  wymuszenia.  Zasada  ta  dotyczy  zarówno 
częstotliwości, jak i amplitud.

49

Założenie  o  stałości  parametrów  układu  jest 

spełnione,  gdyż  w  czasie  jednej  sesji  pomiarowej 
zmiany  parametrów  są  mało  istotne  i  nie  mają 
zasadniczego wpływu na wyniki parametrów.

Zasada wzajemności Maxwella jest spełniona, jeżeli 

odpowiedź  w  punkcie  tym  układu  spowodowana 
wymuszeniem  w  punkcie  j-tym  jest  równa  odpowiedzi 
w  punkcie  j-tym  na  to  samo  wymuszenie  działające  w 
punkcie i-tym. Spełnienie tego założenia powoduje, że 
macierze  mas,  sztywności  i  tłumienia  charakterystyk 
częstościowych są symetryczne.

Założenie  o  występowaniu  w  układzie  małego 

tłumienia lub tłumienia proporcjonalnego do masy lub/i 
sprężystości  jest  istotne  wówczas,  gdy  są  badane 
postacie  rzeczywiste  lub  gdy  stosuje  się  metody  do 
jednego stopnia swobody.

50

Analiza  modalna  może  być  zrealizowana  dwoma 
sposobami (rys. 9): 
a) teoretycznie, 
b) eksperymentalnie.

Rys. 9. Sposoby 

budowy modelu 

modalnego 

układu 

mechanicznego

51

Pierwszy sposób uzyskania modelu modalnego układu 

mechanicznego  polega  na  rozwiązaniu  dla  modelu 
strukturalnego zagadnienia własnego.

 
Drugi  sposób  uzyskiwania  modelu  modalnego  układu 

mechanicznego  jest  związany  z  wykorzystaniem  badań 
eksperymentalnych.

Istota 

badań 

eksperymentalnych 

polega 

na 

wymuszeniu  ruchu  badanego  układu  oraz  pomiarze 
odpowiedzi.  Na  podstawie  zmierzonych  wartości 
wielkości  jest  dokonywana  estymacja  charakterystyk 
układu  mechanicznego.  Rozróżnia  się  dwie  metody 
badań eksperymentalnych:
 wymuszenia  ruchu  układu  wieloma  wzbudnikami  w 

celu wzbudzenia jednej z postaci drgań własnych;

 wymuszenia  ruchu  układu  w  jednym  lub  wielu 

punktach w celu pomiaru funkcji przejścia.

52

Typowy  zestaw  pomiarowy  do  realizacji  badań 

eksperymentalnych  w  analizie  modalnej  obejmuje 
następujące układy (rys. 10):
 pomiary wymuszenia ruchu i pomiaru odpowiedzi;
 kondycjonowania 

sygnałów 

(wstępnego 

przetwarzania);

 przetwarzania i zbierania sygnałów;
 generowania sygnału wymuszającego;
 wzbudzania drgań.

Rys. 10. 

Schemat 

układu 

pomiarowego 

do wykonania 

eksperyment

u w analizie 

modalnej 

układów 

mechanicznyc

h

53

Najczęściej 

układy 

pomiarowe 

to 

systemy 

wielokanałowe  umożliwiające  jednocześnie  pomiar 

zarówno wymuszenia, jak i odpowiedzi.

W  analizie,  modalnej  najczęściej  stosowanymi 

charakterystykami 

układów 

mechanicznych 

są 

charakterystyki  czasowe  w  postaci  odpowiedzi 

impulsowej układu. Zarówno charakterystyka h(), jak 

i charakterystyka H(jw) mogą być wykorzystywane do 

estymacji parametrów modelu modalnego.

54

Wyróżnia  się  trzy  sposoby  zastosowania  analizy 

modalnej do diagnozowania układów mechanicznych:

1.  Wyznacza  się  parametry  modelu  modalnego 

eksploatowanego  obiektu,  tzn.  częstości,  postaci  drgań  i 
współczynniki  tłumienia  i  śledzi  się  ich  zmiany  w  czasie 
jego użytkowania. Metoda ta jest powszechnie stosowana 
do  diagnozowania  konstrukcji  kratowych  jak  maszty, 
anteny, dźwigi itp. turbozespołów i mostów.

W  metodzie  tej  zakłada  się,  że  na  skutek  uszkodzenia 

zmieniają  się  lokalnie  sztywność  konstrukcji,  co  wpływa 
na  zmianę  wartości  parametrów  modelu  modalnego.  Za 
pomocą  śledzenia  zmian  postaci  drgań  własnych  można 
określić obszar, w którym następuje uszkodzenie.

2.  Dostrojenie,  na  bazie  modelu  modalnego,  modelu 

strukturalnego  (elementów  skończonych)  konstrukcji  w 
stanie  zdatności  oraz  śledzenie  zmian  tego  modelu  w 
czasie  eksploatacji.  Metoda  jest  stosowana  w  przemyśle 
lotniczym, kosmicznym i naftowym (platformy wiertnicze). 
Idea tej metody polega na znajomości modelu układu, bez 
uszkodzenia, a następnie śledzenie zmian modelu.

55

Jednym 

z 

podstawowych 

modeli 

układów 

mechanicznych,  który  może  być  wykorzystany  do  ich 

diagnozowania,  jest  model  elementów  skończonych. 

Dane  otrzymane  z  symulacji  dostrojonego  modelu  są 

porównywane  z  danymi  pomiarowymi  otrzymanymi  z 

badań  eksperymentalnych.  Jeżeli  korelacja  miedzy 

wynikami  symulacji  modelu  układu  zdatnego  a 

wynikami  eksperymentów  jest  bliska  jedności,  to 

oznacza,  że  układ  znajduje  się  w  stanie  zdatności.  W 

przypadku  niskiej  korelacji  można  wnioskować  o 

uszkodzeniu konstrukcji.

Dostrajanie  modelu  do  pomiarów  prowadzonych  na 

obiekcie  niezdatnym,  umożliwia  wykrycie  uszkodzenia. 

Najczęściej w procesie diagnozowania układów bada się 

zmiany 

elementów 

macierzy 

sztywności 

lub 

sprężystości. 

56

3.  Wyznaczenie  na  bazie  znajomości  modelu 

modalnego  i  pomiaru  odpowiedzi  układu  wymuszeń 
działających  na  układ,  a  w  szczególności  ich  widm 
częstotliwościowych.

 
W  czasie  eksploatacji  układów  mechanicznych 

ulegają  zmianie  ich  własności  dynamiczne.  Te  zmiany 
właściwości  dynamicznych  są  symptomami  zmiany 
stanu 

diagnozowanego 

obiektu. 

Zmiany 

w 

dynamicznym  zachowaniu  się  obiektu  mierzone  jako 
zmiana  przebiegu  odpowiedzi  układu  mogą  być 
spowodowane  zmianą  samej  struktury  układu  lub 
zmianą  wymuszenia  ruchu.  Znając  model  modalny 
układu,  mierząc  jego  odpowiedź  i  rozwiązując 
zagadnienie  odwrotne  przy  założeniu  niezmienności 
parametrów  modelu,  można  określić  rodzaj  i  wartość 
działającego  na  konstrukcję  wymuszenia  (np.  pęknięcie 
wału, niewyważenia, rozosiowania osi wałów).

Z  punktu  widzenia  zastosowań  analizy  modalnej 

bardzo ważne jest również określenie wrażliwości zmian 
przebiegu  charakterystyk  układu  spowodowane  zmianą 
parametrów układu.

57

6. Diagnostyczny model holistyczny
 
Uniwersalny  model  diagnostyczny  obiektu  powinien 
umożliwiać:
 przewidywanie  zachowania  się  obiektu  od  chwili 

opracowania  jego  koncepcji  w  procesie:  projektowo-
konstrukcyjnym 

poprzez 

procesy 

wywarzania 

i 

eksploatacji, aż do chwili jego likwidacji;

 przewidywanie  zmian  stanu  obiektu  technicznego  w 

całym przedziale jego istnienia;

 wybór  zbioru  symptomów  koniecznych  do  śledzenia 

degradacji stanu obiektu;

 opracowanie  algorytmów  kontroli  stanu  i  lokalizacji 

uszkodzeń obiektów technicznych.

 
W  powyższy  sposób  określony  model  diagnostyczny 
obiektu został nazwany modelem holistycznym.

58

Z powyższych stwierdzeń wynika, że model holistyczny 

uwzględnia 

wszelkie 

zmiany 

procesów 

fizyczno-

chemicznych,  zachodzących  w  obiekcie  od  chwili  jego 
powstania  na  etapie  projektowania,  konstruowania, 
poprzez  etap  wytwarzania,  eksploatacji  i  procesy 
recyrkulacji,  w  czasie  jego  likwidacji.  Zatem  jest  to 
całościowe, 

inaczej 

kompleksowe 

lub 

holistyczne 

podejście  do  zmian  stanu  obiektu  technicznego.  Ogólny 
model holistyczny obiektu technicznego opisuje równanie 
(3).

 
Diagnozowanie  obiektu  technicznego  w  oparciu  o 

zaprezentowany holistyczny model diagnostyczny obiektu 
umożliwia:
 wydłużenie czasu jego eksploatacji,
 uniknięcie awarii obiektu,
 obniżenie kosztów eksploatacji,
 symulację  zachowania  się  obiektu  w  całym  cyklu  jego 

życia.

59

7. Diagnostyczny model symulacyjny
 

Diagnostyczne  badania  eksperymentalne  obiektów 

technicznych  są  doskonałym  źródłem  wiedzy  o  ich 
stanie, jednak maja poważne ograniczenia:
 z  reguły  nie  można  przeprowadzić  eksperymentów 

czynnych, a głównie na dużych obiektach;

 konieczna  jest  duża  liczba  obiektów,  w  celu 

uzyskania 

wiarygodności 

i 

wystarczających 

informacji  dotyczących  zbiorów  stanów  i  zbiorów 
parametrów 

sygnałów 

diagnostycznych 

(symptomów stanu technicznego);

 ograniczenie  możliwości  eksperymentowania  na 

obiektach pojedynczych (np. turbinach);

 długi czas badań eksperymentalnych;
 wysokie koszty badań.
 

60

W  tej  sytuacji  istnieje  konieczność  zastępowania 

diagnostycznych 

badań 

eksperymentalnych, 

badaniami 

symulacyjnymi 

(eksperymentem 

symulacyjnym),  w  których  wykorzystuje  się  model 
diagnostyczny 

obiektu. 

Eksperymentowanie 

z 

modelem 

nie 

różni 

się 

w 

zasadzie 

od 

eksperymentowania  z  obiektem,  dlatego  też  stosuje 
się  tu  wszystkie  metody  planowania  eksperymentu 
(bierny, bierno-czynny, czynny).

Wyniki 

eksperymentu 

symulacyjnego 

są 

bezwartościowe, jeżeli nie można nic powiedzieć o ich 
wiarygodności.

Sposobem 

analizy 

wiarygodności 

modeli 

symulacyjnych jest analiza wrażliwości (wrażliwość na 
strukturę  i  wartości  parametrów  modeli).  Z  reguły 
stosuje  się  dodatkowe  eksperymenty  przy  zaburzeniu 
wartości  parametrów  modelu  i  modyfikację  struktury 
modelu. Pamiętać należy, że konkretyzacja struktury i 
parametrów  modelu  musi  odbywać  się  na  podstawie 
rzeczywistego materiału eksperymentalnego.

Podstawą  eksperymentu  symulacyjnego  są  modele 

symulacyjne,  zaś  bazą  modeli  symulacyjnych  są 
modele diagnostyczne obiektów.

61

Mając  opracowany  diagnostyczny  model  obiektu 

technicznego  sporządza  się  jego  algorytm,  a 
następnie  program  komputerowy,  który  winien 
funkcjonować  zgodnie  z  modelem  formalnym  (np. 
regresyjnym, 

bierną 

macierzą 

diagnostyczną, 

diagnostyczno-niezawodnościowym, holistycznym).

Utworzony  program  komputerowy  nazywa  się 

diagnostycznym 

modelem 

symulacyjnym 

lub 

modelem  komputerowym  obiektu  technicznego. 
Model 

ten 

jest 

podstawą 

przeprowadzenia 

eksperymentów 

symulacyjnych 

i 

w 

efekcie 

opracowania  modeli  wnioskowania  diagnostycznego, 
czyli  algorytmów  diagnozowania,  prognozowania  i 
genezowania stanów obiektu technicznego (rys. 13).

Można  powiedzieć,  że  diagnostyczny  model 

symulacyjny  i  badania  symulacyjne  to  istotne 
narzędzia 

badań 

i 

oceny 

stanów 

obiektów 

technicznych.

62

Rys. 13. Ilustracja 

graficzna 

diagnostycznego 

modelu 

symulacyjnego 

jako narzędzia 

badań i oceny 

stanów obiektów 

technicznych

63

8. Podsumowanie

 

Model  jest  narzędziem,  za  pomocą  którego  można 

opisać  obiekt  techniczny  i  jego  zachowanie  się  w 

różnych warunkach.

Budową  modeli  zajmuje  się  dyscyplina  nauki 

nazywana identyfikacją.

Model  diagnostyczny  obiektu  technicznego  określa 

zależności  między  jego  stanami  (cechami  stanu)  a 

parametrami diagnostycznymi.

Można wyróżnić cztery ogólne modele diagnostyczne 

obiektów technicznych opisane wzorami (1) do (4).

Wyróżnia 

się 

dwie 

grupy 

diagnostycznych 

szczegółowych  modeli  diagnostycznych  obiektów 

technicznych, a mianowicie:

 symptomowe,
 analityczne.

64

Do  diagnostycznych  modeli  symptomowych  należą 

modele: 

regresyjne, 

probabilistyczna 

macierz 

diagnostyczna, 

binarna 

macierz 

diagnostyczna, 

topologiczny, 

diagnostyczno-niezawodnościowy, 

rozpoznawania obrazów i inne.

Do  diagnostycznych  modeli  analitycznych  należą 

modele:  strukturalny,  modalny,  holistyczny,  odwrotny  i 

inne.

Diagnostyczny 

model 

obiektu 

technicznego, 

umożliwiający  śledzenie  i  przedstawienie  zmian  stanu  w 

czasie jego starzenia, nazywa się modelem holistycznym.

65

Utworzony  program  komputerowy  na  bazie  modeli 

diagnostycznych  nazywa  się  diagnostycznym  modelem 

komputerowym.  Model  ten  jest  istotnym  narzędziem 

badań i oceny stanów obiektów technicznych.

Model diagnostyczny zawiera zasadnicze informacje o 

stanie  obiektu  technicznego,  dlatego  jest  podstawową 

jego  racjonalnej  eksploatacji.  Aby  to  wymaganie  było 

spełnione,  już  na  etapie  projektowania  i  konstruowania 

obiektu  technicznego  powinien  być  opracowany  jego 

model  diagnostyczny,  z  którego  wynika  algorytm 

diagnozowania,  metody  i  urządzenia  diagnostyczne,  a 

także  określona  podatność  diagnostyczna,  obsługowa  i 

naprawcza obiektu technicznego.