1

MODELE DIAGNOSTYCZNE OBIEKTÓW

TECHNICZNYCH

 

Modele obiektów

 

W każdej działalności człowieka, szczególnie w nauce

i technice wykorzystuje się modele. Istnieje wiele

definicji

modeli.

Oto

niektóre

z nich:

1) przez model rozumie się taki dający się pomyśleć lub

materialnie zrealizować układ, który odzwierciedlając

lub odtwarzając przedmiot badania zdolny jest

zastępować go tak, że jego badanie dostarcza nam

nowej wiedzy o tym przedmiocie;

2) model jest to narzędzie, za pomocą, którego można

opisać

system

i jego zachowanie się w rożnych warunkach

zewnętrznych;

2

3) model jest teoretycznym opisem badania obiektów,

który charakteryzuje się następującymi cechami, tzn.

jest:

 pewnym uproszczeniem rzeczywistości;
 w

sensie

pewnego

kryterium

zbieżny

z

rzeczywistością;

 na tyle prosty, że możliwa jest jego analiza

dostępnymi metodami obliczeniowymi;

 źródłem informacji o obiekcie badań.

3

Budowa modeli zajmuje się dyscyplina nauki

nazywana identyfikacją.

Identyfikacją nazywamy taki złożony proces

badawczy, w którym na podstawie analizy danych a

priori

(przed

doświadczeniem)

i a posteriori (po doświadczeniu) o badanym,

istniejącym lub projektowanym obiekcie, dokonuje się

syntezy

modelu,

dobrze

(w sensie przyjętego kryterium) opisującego obiekt oraz

na tyle uproszczonego, aby jego analiza była możliwa do

przeprowadzenia

i dostarczała nowej informacji o obiekcie.

4

Proces identyfikacji układów mechanicznych składa

się z czterech podstawowych etapów (rys. 1):

 modelowania,
 eksperymentu,
 estymacji,
 weryfikacji.

Różnica

między

przedstawionymi

sposobami

poszukiwania modelu obiektu polega na zmianie

kolejności wykonywania czynności eksperymentalnych i

modelowania.

Rys. 1. Schematy podejść do praktycznej realizacji procesu

identyfikacji: a) gdy większą rolę przypisuje się wiedzy a posteriori

(po doświadczeniu), b) gdy większą rolę przypisuje się wiedzy a priori

(przed doświadczeniem)

5

6

W etapie modelowania poszukuje się struktury

modelu opisującej dany obiekt. W poszukiwaniu

struktury modelu obiektu należy wyróżnić następujące

etapy jego budowy:

 nominalny (fenomenologiczny),
 fizyczny (empiryczny),
 matematyczny (analityczny).

7

Model nominalny opisuje zasadnicze cechy i

zjawiska, występujące w badanym obiekcie. Przykładowo

model nominalny układu mechanicznego obejmuje zbiór

cech i elementów tego układu, które wpływają na jego

ruch (np. łańcuch kinematyczny układu napędowego

obrabiarki). Na podstawie modelu nominalnego można

zbudować model fizyczny obiektu.

Model fizyczny w układach mechanicznych określa

sposób obciążenia układu i reakcję, jakie to obciążenie

wywołuje (np. belka, płytę). Modele fizyczne dyskretne

układów

mechanicznych

stanowią

kombinacje

elementów masowych, sprężystych i tłumiących.

8

Każdy

model

fizyczny

ma

wiele

modeli

matematycznych. Model matematyczny obiektu to

analityczny operator, który przekształca dany sygnał

wejściowy w sygnał wyjściowy obiektu.

Modelem matematycznym układów mechanicznych

jest najczęściej układ równań różniczkowych lub

algebraicznych, które można wyprowadzić na podstawie

praw dynamiki Newtona, zasad wariacyjnych mechaniki,

praw ciągłości itp.

9

Ze względu na zastosowanie modele układów

mechanicznych dzielą się następująco:

 funkcjonalne, które opisują własności transmisyjne

układu,

bez

uwzględniania

jego

struktury

wewnętrznej (np. charakterystyki częstotliwościowe i

czasowe);

 strukturalne, w których organizacja wewnętrzna

jest podobna do organizacji wewnętrznej badanego

układu przy czym zachodzi odpowiedzialność

elementów modelu i elementów układu oraz

zbieżność relacji wejście-wyjście dla układu i modelu.

10

Eksperyment w identyfikacji jest podstawowym

źródłem informacji a posteriori o obiekcie badań.

Podkreślić należy, że stanowi on podstawowe

ograniczenie identyfikacji obiektów technicznych,

z uwagi na trudność jego zrealizowania dla obiektów

złożonych.

Estymacja parametrów zawiera wyznaczenie

wartości parametrów modelu dla jego przyjętej

struktury, na podstawie uzyskanych wyników badań

eksperymentalnych.

Weryfikacja modelu polega na badaniu rozbieżności

między modelem a układem rzeczywistym. Inaczej

mówiąc to konfrontacja wyników uzyskanych z modelu z

danymi rzeczywistymi.

11

Można zatem powiedzieć, że model reprezentuje trzy

rodzaje wiedzy o obiekcie, a mianowicie o:

–strukturze,
–wartościach parametrów,
–stanie układu w pewnej chwili.

12

Modele diagnostyczne obiektów

 

Model diagnostyczny to relacja przyczynowo-

skutkowa pomiędzy cechami stanu obiektu, a

parametrami

diagnostycznymi,

zorientowanymi

uszkodzeniowo, odwzorowująca zmieniający się stan

techniczny badanego obiektu.

13

Uszczegółowiając pojęcie modelu diagnostycznego

obiektu, można powiedzieć, że przedstawia on związki

zależności pomiędzy:

 parametrami sygnałów i parametrami stanów,
 parametrami stanów i parametrami sygnałów,
 parametrami sygnałów i miarą eksploatacji,
 miarą eksploatacji i parametrami sygnałów,
 parametrami sygnałów i stanami,
 stanami i parametrami stanów,
 parametrami diagnostycznymi, wymuszeniami i

masami, elementami sprężystymi i tłumiącymi.

14

Nie ma przepisu na dobry model diagnostyczny

konkretnego obiektu. Często opracowuje się kilka modeli

o odmiennej strukturze i złożoności i następnie wybiera

się najdogodniejszy z punktu widzenia stosowania w

praktyce.

Jednak

znajomość

praw

rządzących

zjawiskami, dane doświadczalne i inne informacje

powinny pozwolić na ustalenie struktury modelu

diagnostycznego, tzn. postaci zależności, o których

sadzimy, że będą mogły poprawnie wyrazić związki

pomiędzy zmiennymi.

15

W diagnostyce można wyróżnić następujące cele

tworzenia modeli:

 diagnozowanie, czyli model jest podstawą ustalenia

algorytmu

diagnozowania

i

określenia

stanu

przedmiotu diagnozy (systemu);

 prognozowanie, czyli model służy do przewidywania

rozwoju zmian stanu;

 genezowanie, czyli model służy do ustalenia

przyczyn stanu zaistniałego;

 projektowanie, czyli model służy optymalizacji

struktury

i parametrów projektowanego obiektu (systemu);

 sterowanie, czyli model służy do podejmowania

decyzji

w działającym systemie (np. w podsystemie

obsługiwania).

16

Biorąc pod uwagę powyższe informacje w aspekcie

relacji zachodzących pomiędzy modelami, można

stwierdzić, że modele funkcjonalne i strukturalne

obiektów, są również ich modelami diagnostycznymi. Z

drugiej strony modele diagnostyczne obiektów są

istotnym uzupełnieniem wiedzy dotyczącej ich budowy

i funkcjonowania.

17

Ogólne modele diagnostyczne

 

Wychodząc z podstawowych pojęć systemów, a w

szczególności z definicji obserwowalności w obiekcie

technicznym

jako

przedmiocie

diagnozy

możemy

wyróżnić następujące relacje (rys. 2):

Rys. 2. Obiekt techniczny (przedmiot diagnozowania) jako system: X -

zbiór parametrów stanu; Y - zbiór parametrów diagnostycznych; U - zbiór

wymuszeń; Z - zbiór zakłóceń

18

gdzie:

U



—zbiór zmiennych wejściowych (sygnałów

wejściowych),
X



—zbiór zmiennych wyjściowych (sygnałów

diagnostycznych),
Y



—zbiór zmiennych stanu,

x

—produkt kartezjański,



—zbiór uporządkowanych chwil.

 

R

1

: U



x   X



R

2

: U



x   Y



R

3

: U



x X



x   Y



R

4

: X



x   Y



19

Podkreślić należy, że obiekt jest obserwowalny, jeżeli

na podstawie pomiarów parametrów sygnałów można
wyznaczyć jego stan.

 
Relacje R

1

-R

4

można zapisać w postaci następujących

modeli:

 

W()=H



[U(),]

(1)

Y()=



[U(),]

(2)

Y()=G



[U(),W(),]

(3)

Y()=F



[W(),]

(4)

gdzie:

W()

— wektor stanu,

U()

— wektor wejścia,

Y()

— wektor wyjścia,

H



, 



, G



, U



— operatory odwzorowujące

wielkości
w zależnościach 1-4.

20

R

1

: U



x   X



W()=H



[U(),]

Relacja R

1

, stanowi odwzorowanie zbioru U



wielkości

zmiennych wejściowych w zbiór zmiennych stanu X



obiektu. Oznacza to, że mając wektor W(

0

) stanu w

dowolnej chwili początkowej 

0

oraz wektor U() w

przedziale [

0

, ), można wyznaczyć wartości W() w

dowolnej chwili końcowej . Opis obiektu za pomocą

wyrażenia (1) nazywa się modelem w przestrzeni stanu.

21

R

2

: U



x   Y



Y()=



[U(),]

Relacja R

2

oznacza badania wyjścia Y



obiektu, w

zależności od wejścia U



. Zatem wyrażenie (2) podaje

opis obiektu typu wejście-wyjście (model wejściowo-

wyjściowy)— czarna skrzynka.

W opisie tym nie wprowadza się w sposób jawny

zmiennych stanu, lecz formułuje równania uzależniające

od siebie wejście i wyjście przedmiotu diagnozowania.

22

R

3

: U



x X



x   Y



Y()=G



[U(),W(),]

Relacja R

3

i zależność (3) oznaczają, badania wyjścia

przedmiotu diagnozy dla zmieniającego się wejścia i

stanu, stanowi kompleksowy jakościowy model

diagnostyczny obiektu technicznego. Obiekt jest

opisany równaniem wyjścia.

23

 R

4

: X



x   Y



Y()=F



[W(),]

Dla

zachowania

jednoznaczności

operacji

diagnozowania

i zredukowania liczby niewiadomych, zakłada się

niezmienność wektora wejścia U(). W tym przypadku

relacja R

4

i wyrażenie (4), wiążące wyjście przedmiotu

diagnozy w zależności od jego stanu, jest typowym

modelem diagnostycznym obiektu.

24

Podkreślić należy, że wszystkie relacje (1-4) można

wykorzystać

w diagnostyce technicznej obiektów, mając ich

odpowiednie zależności, czyli konkretne modele.

W dotychczasowych rozważaniach na temat modeli

diagnostycznych nie uwzględniono zbioru zmiennych

zakłóceń Z



. Wszystkie badania diagnostyczne odbywają

się w określonych warunkach, których dokładne

ustalenie nie jest możliwe. Stan systemu opisany jest

tylko przez wybrane zmienne stanu. Niemożliwe jest

zatem pełne określenie klas stanów i może zdarzyć się

zaliczenie stanu przedmiotu diagnozy do klasy, do której

ten stan nie należy.

25

Sygnał diagnostyczny podlega również zakłóceniom w

urządzeniach pomiarowych. Wymienione czynniki są

źródłem zakłóceń Z() (6), powodujących błędy diagnozy

(7):

 

Y()=F



[W(),Z(),]

(6)

 

W()+W()=F



-1

[F(),Y(),Z(),]

(7)

 gdzie:

Z()

-

wektor zakłóceń,

Y()

-

nieznana

składowa

sygnału

diagnostycznego związana z wektorem

zakłóceń Z(),

W()

-

błąd w określeniu stanu zależy od

składowej Z(),

F



-1

-

operator odwrotny operatora F



.

26

Wyrażenia (1-4) są ogólnymi jakościowymi modelami

diagnostycznymi obiektów technicznych. Określanie

diagnostycznych modeli jakościowych obiektów wbrew

swojej prostocie, jest czynnością o decydującym

znaczeniu w badaniach doświadczalnych. Wynika to

z faktu, że tylko te wielkości, które uwzględniono w

modelu jakościowym, będą badane doświadczalnie.

Należy wiec poprzez analizę diagnostyczną obiektu

dążyć do tego, aby obiekt był opisany zbiorem

niezależnych

i

zupełnych

parametrów

stanu

i

parametrów diagnostycznych.

Ogólne diagnostyczne modele jakościowe obiektów

technicznych

stanowią

zbiór

diagnostycznych

szczegółowych modeli.

Modele te można podzielić na:

 symptomowe,
 analityczne.

27

4. DIAGNOSTYCZNE MODELE SYMPTOMOWE
4.1 . Modele regresyjne
 
Regresja − metoda

statystyczna

pozwalająca na

badanie związku pomiędzy wielkościami danych i
przewidywanie na tej podstawie nieznanych wartości
jednych wielkości na podstawie znanych wartości
innych.
 
Złożoność obiektów technicznych oraz ich procesów
eksploatacji sprawia, że zarówno zmiany stanów, jak
też emisji sygnałów diagnostycznych są procesami
losowymi. W praktyce rzadko występują zależności
funkcyjne (8) (rys. 3a, c) z uwagi na niemierzalność
zakłóceń podlegających ciągłym i nieprzewidzianym
zmianom:

Y

1

=F

1

(x

1

,x

2

, .... x

m

, z

1

, z

2

, ..., z

p

)

(8)

28

Rys. 3. Obiekt

techniczny jako system i

model obiektu:

a - system prosty, b -

model prosty; c -

system złożony,

d - model złożony

Z reguły występujące zależności są zależnościami

stachostycznymi, tzn. niejednoznacznymi. W związku z
czym model (8) (rys. 3b, d) przyjmujemy w postaci
zależności funkcyjnej:

(9)

 
W modelu (rys. 3b, d) w odróżnieniu od systemu (rys.

3a, c) nie ma zakłóceń z

p

, ponieważ nie dysponujemy ich

wartościami.

Uzyskanie modelu (9) umożliwia metoda analizy

regresyjnej. Podstawowe diagnostyczne modele regresyjne
przedmiotu diagnozy są następujące.

 

29

1. Parametry sygnałów - parametry stanu

 

(10)

 2. Parametry stanu - parametry sygnałów

 

(11)

 3. Parametry sygnałów - miara eksploatacji

 

(12)

 4. Miara eksploatacji — parametry sygnałów

 

(13)

 gdzie:
y

1

, y

2

,…,y

n

- parametry sygnałów diagnostycznych,

x

1

, x

2

,…,x

n

- parametry stanu przedmiotu diagnozy,

a

j

, b

K

, c

L

, h

v

- współczynniki (parametry) równań

regresji,
l

p

- miara eksploatacji (czas, km).

 

30

Niżej podano możliwe, przykładowe, diagnostyczne

modele regresyjne parametry sygnałów - parametry
stanu:
 jednowymiarowy model liniowy o jednym wejściu x i

jednym wyjściu y (rys. 3b), uzyskany na podstawie i
obserwacji x

i

i y

i

systemu (rys. 3a),przy czym i=1,

2,...,I;

 

(14)

 
 wielowymiarowy model liniowy o M wejściach x

i1

, x

i2

,…,

x

iM

, i jednym wyjściu systemu, przy czym i = 1, 2, ..., I;

 

(15)

 

 

31

 modele jednowymiarowe nieliniowe sprowadzone do

modeli liniowych jednym wejściu x

i

i jednym wyjściu ,

uzyskane na podstawie I obserwacji x

i

, y

i

systemu, przy

czym i = 1, 2,... , I;

 

- wykładniczy

(16)

- potęgowy

(17)

 
gdzie: a, ,  - parametry modelu;
 
 modele nieliniowe o M wejściach x

i1

, x

i2

,…, x

iM

, i jednym

wyjściu uzyskane na podstawie I obserwacji x

i1

, x

i2

,…,

x

iM

, y

i

systemu, przy czym i=1, 2,..., I:

 

(18)

 

32

Zaznaczyć należy, że istnieją metody wyboru

najlepszego

równania

regresji.

Wyróżnia

się

następujące metody automatycznego doboru funkcji
regresji:
 metoda odrzucania (a posteriori) usuwa z

funkcji regresji o największej liczbie członów, po
jednym członie najmniej istotnym, aż do chwili, w
której wszystkie pozostałe człony są istotne;

 metoda dołączania (a priori) wprowadza do

funkcji regresji kolejno jeden człon. Szacowania
istotności danego członu dokonuje się na podstawie
wartości

współczynnika

korelacji

cząstkowej.

Zmienną o największym współczynniku korelacji
cząstkowej wprowadza się do funkcji regresji. Jest to
metoda

bardziej

ekonomiczna

od

metody,

poprzedniej ze względu na czas obliczeń. Jedną z
wad tej metody jest możliwość doprowadzenia do
funkcji regresji o członach nieistotnych;

33

 metoda dołączania i odrzucania (krokowa)

rozpoczyna się od najprostszej funkcji regresji, którą
stopniowo rozszerza się. Istotą metody jest badanie
istotności członów już występujących w funkcji
regresji. Jeżeli wprowadzenie nowego członu obniża
istotność członu już znajdującego się w funkcji
regresji, wówczas zostaje on z niej usunięty.

 

Należy wyraźnie podkreślić, że otrzymanie modelu

istotnego nie świadczy o tym, że wartość wyjścia
systemu zależy od wartości wielkości wejściowej.
Istotność otrzymanego modelu świadczy tylko o
korelacji między tymi wielkościami, lecz nie dowodzi
istnienia związku przyczynowego, aczkolwiek go nie
wyklucza.

34

Reasumując rozpatrzone zagadnienia można powiedzieć,

że w budowie diagnostycznego modelu regresyjnego można
wyróżnić następujące etapy:
 sformułowanie problemu;
 wykonanie

diagnostycznych

badań

eksperymentalnych;

 wybór niezależnych parametrów stanu;
 wybór niezależnych parametrów diagnostycznych;
 ustalenie wartości granicznych parametrów stanu;
 ustalenie

wartości

granicznych

parametrów

diagnostycznych;

 wybór struktury modelu;
 ustalenie (estymacja) parametrów modelu;
 weryfikacja modelu.
 

Należy podkreślić, że wynikiem procesu weryfikacji

modelu powinno być ustalenie stanu obiektu technicznego.
Dlatego też po uzyskaniu modelu, należy na jego podstawie
opracować algorytm diagnozowania obiektu i wykonać serię
badań eksperymentalnych. Uzyskanie pozytywnych wyników
rozpoznania klas stanów obiektów, weryfikuje algorytm
diagnozowania, zatem i opracowany regresyjny model
diagnostyczny.

35

4.2. Probabilistyczna macierz diagnostyczna
 

Diagnostyczne modele regresyjne (10), (11), (12) i

(13) są możliwe do uzyskania przy małym poziomie
zakłóceń diagnostycznych w eksperymencie czynnym,
bierno-czynnym i biernym. Przy wysokim poziomie
zakłóceń sygnałów diagnostycznych, podjęcie decyzji o
stanie przedmiotu diagnozy jest możliwe w kategoriach
prawdopodobieństwa. Do podjęcia decyzji jest celowe
wtedy

wykorzystanie

probabilistycznej

macierzy

diagnostycznej (19).

36

Probabilistyczna macierz diagnostyczna (19) jest:
 

(19)

 
opisana zbiorem stanów W={w

i

}; i=1,l, zbiorem

parametrów diagnostycznych Y={y

n

}; n=1,N, zbiorem

prawdopodobieństw {p(w

i

)} wystąpienia stanów oraz

zbiorem

prawdopodobieństw

{p(y

n

/w

i

)}.

Prawdopodobieństwo

warunkowe

oznacza,

że

zaobserwowanej wartości parametru diagnostycznego y

n

odpowiada stan w

i

.

 

37

Identyfikacje

tego

typu

modelu

można

sprowadzić do:

 ustalenia zbioru stanów W={w

i

}; i=1,l;

 ustalenia prawdopodobieństw wystąpienia

stanów {p(w

i

)};

 ustalenia prawdopodobieństw warunkowych

{p(y

n

/w

i

)};

 wyboru

najlepszych

parametrów

diagnostycznych;

 ustalenie wartości granicznych parametrów

diagnostycznych;

 ustalenie macierzy sprzężeń (19);
 weryfikacji modelu.

38

4.3. Binarna macierz diagnostyczna
 Binarna (zero-jedynkowa) macierz diagnostyczna obiektu
(20) jest określona:
 zbiorem stanów W={w

i

}; i=1,I,

 zbiorem parametrów diagnostycznych Y={y

n

}; n=1,N.

 Sprzężenia między stanami i parametrami sygnałów
diagnostycznych przyjmują wartości:
1

-

gdy zmiana stanu w

i

obiektu nie powoduje

zmiany wartości parametru diagnostycznego y

j

;

0

-

gdy zmiana stanu w

i

obiektu powoduje zmiany

wartości parametru diagnostycznego.

 

(20)

 

39

W binarnej macierzy diagnostycznej y

n

jest sumą

logiczną parametrów stanu x

m

:

 

y

n

= x

1

x

2

,...,x

m

(21)

 
a parametr stanu x

m

iloczynem logicznym parametrów

diagnostycznych y

n

:

 

x

m

= y

1

y

2

,...,y

n

(22)

 
Identyfikację modelu diagnostycznego obiektu
typu binarna macierz diagnostyczna można
sprowadzić do:
 ustalenia zbioru stanów;
 wyboru

najlepszych

parametrów

diagnostycznych;

 ustalenie wartości granicznych parametrów

diagnostycznych;

 ustalenie sprzężeń (0,1): stany - parametry

diagnostyczne (20);

 weryfikacji modelu.

40

4.4. Model topologiczny
 
Modelem topologicznym obiektu nazwiemy abstrakcyjny
opis obiektu rzeczywistego, dokonany za pomocą
kategorii pojęciowych z topologii. Model topologiczny
można opisać następująco:
 

M

T

= <K,Ł,P>

(23)

gdzie:

K={k

i

}-

zbiór wierzchołków,

Ł={ł

ij

} -

zbiór łuków,

P

-

predykat - symbolizujący „następstwo”

pewnych wielkości po innych; można go
interpretować jako funkcję logiczną wyrażającą
w zapisie analitycznym istnienie (P=1) lub brak
(P=0) ukierunkowanego oddziaływania między
wierzchołkami.

 
Wierzchołki k

i

K odwzorowują bądź określone wielkości

strukturalne obiektu (np. elementy, zespoły, bloki), bądź
też określone cechy, charakterystyki, właściwości (rys.
4).

43

5. DIAGNOSTYCZNE MODELE ANALITYCZNE
5.1. Model strukturalny
 

Układ mechaniczny można opisać za pomocą

modelu strukturalnego, w którym jego organizacja
wewnętrzna jest podobna do organizacji wewnętrznej
badanego obiektu. Model ten przedstawia zależności
między masami, elementami sprężystymi i tłumiącymi
oraz wymuszeniami w postaci równań różniczkowych
zwyczajnych, czy równań różniczkowych cząstkowych.

Opis

związków

miedzy

odpowiedzią

układu

mechanicznego y(t), jego własnościami i wymuszeniem
p(t) może być przedstawiony w dwóch dziedzinach (rys.
6). W dziedzinie czasu jest to splot charakterystyki
czasowej układu h(), zwanej również charakterystyką
impulsów z wymuszeniem. W dziedzinie częstotliwości
jest to iloczyn transformaty Fouriera tych wielkości.

44

Rys. 6. Ilustracja związków przyczynowo-skutkowych w

dowolnym układzie dynamicznym i ich opis w dziedzinie

czasu i częstotliwości

 

Rozwój

metod

komputerowych

i

technik

pomiarowych

umożliwia

obecnie

syntetyczne

przedstawienie własności dynamicznych urządzeń
technicznych w formie częstości i postaci drgań
własnych oraz charakterystyk częstotliwościowych i
czasowych.

Najczęściej

stosowanymi

obecnie

charakterystykami własności dynamicznych są:
a) częstości i postaci drgań własnych układu;

45

a) charakterystyka

częstotliwościowa

zwana

podatnością

dynamiczną,

przedstawiająca

zależność amplitudy i fazy drgań punktu układu od
częstotliwości jednostkowej siły wymuszającej
harmonicznie zmiennej przyłożonej w wybranym
punkcie układu i działającej wzdłuż wybranego
kierunku (lub sztywność dynamiczna rozumiana
jako zależność odwrotna względem podatności);
podatność dynamiczna bywa nazywana również
charakterystyką

amplitudowo-fazowo-

czestotliwościową

lub

charakterystyką

rezonansową układu, gdyż przedstawia zjawisko
wzmocnienia drgań w obszarze rezonansu, tzn. w
obszarze zbliżania się częstości zmian siły
wymuszającej do częstości drgań własnych układu;

b) charakterystyki czasowe przedstawiające ruch

układu pobudzonego do drgań siłą o przebiegu
skoku jednostkowego, zwaną funkcją Heaviside'a
lub o charakterze impulsowym, zwaną delta Diraca
(d- Diraca)- rys. 7.

46

Rys. 7. Teoretyczne przebiegi nieokresowych sił

wymuszających: a) funkcja skoku jednostkowego, b)

funkcja impulsowa - Diraca

47

5.2. Model modalny
 

Do opisu dynamiki układów mechanicznych z reguły

wykorzystuje się modele strukturalne, które buduje się
zgodnie z zasadami metody elementów skończonych.

Metoda ta polega na dyskretyzacji układu, o ciągłym

rozkładzie

parametrów,

przy

przyjęciu

założeń

upraszczających. Zbudowane w ten sposób modele dają
wyniki przybliżone. Modele te wymagają dostrojenia,
które musi uwzględniać własności zmierzone na
obiekcie rzeczywistym. Model strukturalny można
wykorzystać do wyznaczenia modelu modalnego.

Model modalny to zbiór częstości własnych,

współczynników tłumienia dla tych częstości oraz
postaci drgań.

Układ mechaniczny o n stopniach swobody ma n

częstości drgań własnych określonych stosunkami
amplitud drgań mas układu.

48

Analiza modalna może być stosowana, jeżeli są

spełnione następujące założenia:
 układ jest liniowy i jego dynamika może być opisana

za pomocą liniowego układu równań różniczkowych
zwyczajnych lub cząstkowych;

 współczynniki równań opisujących dynamikę są stałe

w czasie pomiarów;

 układ jest obserwowalny i istnieje możliwość pomiaru

wszystkich charakterystyk, których znajomość jest
niezbędna do identyfikacji modelu;

 układ spełnia zasadę wzajemności Maxwella;
 tłumienie w układzie jest małe lub proporcjonalne.

 

Założenie pierwsze to zasada superpozycji, która

mówi, że odpowiedź układu na dowolną kombinację
wymuszeń jest równa kombinacji odpowiedzi na
poszczególne wymuszenia. Zasada ta dotyczy zarówno
częstotliwości, jak i amplitud.

49

Założenie o stałości parametrów układu jest

spełnione, gdyż w czasie jednej sesji pomiarowej
zmiany parametrów są mało istotne i nie mają
zasadniczego wpływu na wyniki parametrów.

Zasada wzajemności Maxwella jest spełniona, jeżeli

odpowiedź w punkcie tym układu spowodowana
wymuszeniem w punkcie j-tym jest równa odpowiedzi
w punkcie j-tym na to samo wymuszenie działające w
punkcie i-tym. Spełnienie tego założenia powoduje, że
macierze mas, sztywności i tłumienia charakterystyk
częstościowych są symetryczne.

Założenie o występowaniu w układzie małego

tłumienia lub tłumienia proporcjonalnego do masy lub/i
sprężystości jest istotne wówczas, gdy są badane
postacie rzeczywiste lub gdy stosuje się metody do
jednego stopnia swobody.

50

Analiza modalna może być zrealizowana dwoma
sposobami (rys. 9):
a) teoretycznie,
b) eksperymentalnie.

Rys. 9. Sposoby

budowy modelu

modalnego

układu

mechanicznego

51

Pierwszy sposób uzyskania modelu modalnego układu

mechanicznego polega na rozwiązaniu dla modelu
strukturalnego zagadnienia własnego.

 
Drugi sposób uzyskiwania modelu modalnego układu

mechanicznego jest związany z wykorzystaniem badań
eksperymentalnych.

Istota

badań

eksperymentalnych

polega

na

wymuszeniu ruchu badanego układu oraz pomiarze
odpowiedzi. Na podstawie zmierzonych wartości
wielkości jest dokonywana estymacja charakterystyk
układu mechanicznego. Rozróżnia się dwie metody
badań eksperymentalnych:
 wymuszenia ruchu układu wieloma wzbudnikami w

celu wzbudzenia jednej z postaci drgań własnych;

 wymuszenia ruchu układu w jednym lub wielu

punktach w celu pomiaru funkcji przejścia.

52

Typowy zestaw pomiarowy do realizacji badań

eksperymentalnych w analizie modalnej obejmuje
następujące układy (rys. 10):
 pomiary wymuszenia ruchu i pomiaru odpowiedzi;
 kondycjonowania

sygnałów

(wstępnego

przetwarzania);

 przetwarzania i zbierania sygnałów;
 generowania sygnału wymuszającego;
 wzbudzania drgań.

Rys. 10.

Schemat

układu

pomiarowego

do wykonania

eksperyment

u w analizie

modalnej

układów

mechanicznyc

h

53

Najczęściej

układy

pomiarowe

to

systemy

wielokanałowe umożliwiające jednocześnie pomiar

zarówno wymuszenia, jak i odpowiedzi.

W analizie, modalnej najczęściej stosowanymi

charakterystykami

układów

mechanicznych

są

charakterystyki czasowe w postaci odpowiedzi

impulsowej układu. Zarówno charakterystyka h(), jak

i charakterystyka H(jw) mogą być wykorzystywane do

estymacji parametrów modelu modalnego.

54

Wyróżnia się trzy sposoby zastosowania analizy

modalnej do diagnozowania układów mechanicznych:

1. Wyznacza się parametry modelu modalnego

eksploatowanego obiektu, tzn. częstości, postaci drgań i
współczynniki tłumienia i śledzi się ich zmiany w czasie
jego użytkowania. Metoda ta jest powszechnie stosowana
do diagnozowania konstrukcji kratowych jak maszty,
anteny, dźwigi itp. turbozespołów i mostów.

W metodzie tej zakłada się, że na skutek uszkodzenia

zmieniają się lokalnie sztywność konstrukcji, co wpływa
na zmianę wartości parametrów modelu modalnego. Za
pomocą śledzenia zmian postaci drgań własnych można
określić obszar, w którym następuje uszkodzenie.

2. Dostrojenie, na bazie modelu modalnego, modelu

strukturalnego (elementów skończonych) konstrukcji w
stanie zdatności oraz śledzenie zmian tego modelu w
czasie eksploatacji. Metoda jest stosowana w przemyśle
lotniczym, kosmicznym i naftowym (platformy wiertnicze).
Idea tej metody polega na znajomości modelu układu, bez
uszkodzenia, a następnie śledzenie zmian modelu.

55

Jednym

z

podstawowych

modeli

układów

mechanicznych, który może być wykorzystany do ich

diagnozowania, jest model elementów skończonych.

Dane otrzymane z symulacji dostrojonego modelu są

porównywane z danymi pomiarowymi otrzymanymi z

badań eksperymentalnych. Jeżeli korelacja miedzy

wynikami symulacji modelu układu zdatnego a

wynikami eksperymentów jest bliska jedności, to

oznacza, że układ znajduje się w stanie zdatności. W

przypadku niskiej korelacji można wnioskować o

uszkodzeniu konstrukcji.

Dostrajanie modelu do pomiarów prowadzonych na

obiekcie niezdatnym, umożliwia wykrycie uszkodzenia.

Najczęściej w procesie diagnozowania układów bada się

zmiany

elementów

macierzy

sztywności

lub

sprężystości.

56

3. Wyznaczenie na bazie znajomości modelu

modalnego i pomiaru odpowiedzi układu wymuszeń
działających na układ, a w szczególności ich widm
częstotliwościowych.

 
W czasie eksploatacji układów mechanicznych

ulegają zmianie ich własności dynamiczne. Te zmiany
właściwości dynamicznych są symptomami zmiany
stanu

diagnozowanego

obiektu.

Zmiany

w

dynamicznym zachowaniu się obiektu mierzone jako
zmiana przebiegu odpowiedzi układu mogą być
spowodowane zmianą samej struktury układu lub
zmianą wymuszenia ruchu. Znając model modalny
układu, mierząc jego odpowiedź i rozwiązując
zagadnienie odwrotne przy założeniu niezmienności
parametrów modelu, można określić rodzaj i wartość
działającego na konstrukcję wymuszenia (np. pęknięcie
wału, niewyważenia, rozosiowania osi wałów).

Z punktu widzenia zastosowań analizy modalnej

bardzo ważne jest również określenie wrażliwości zmian
przebiegu charakterystyk układu spowodowane zmianą
parametrów układu.

57

6. Diagnostyczny model holistyczny
 
Uniwersalny model diagnostyczny obiektu powinien
umożliwiać:
 przewidywanie zachowania się obiektu od chwili

opracowania jego koncepcji w procesie: projektowo-
konstrukcyjnym

poprzez

procesy

wywarzania

i

eksploatacji, aż do chwili jego likwidacji;

 przewidywanie zmian stanu obiektu technicznego w

całym przedziale jego istnienia;

 wybór zbioru symptomów koniecznych do śledzenia

degradacji stanu obiektu;

 opracowanie algorytmów kontroli stanu i lokalizacji

uszkodzeń obiektów technicznych.

 
W powyższy sposób określony model diagnostyczny
obiektu został nazwany modelem holistycznym.

58

Z powyższych stwierdzeń wynika, że model holistyczny

uwzględnia

wszelkie

zmiany

procesów

fizyczno-

chemicznych, zachodzących w obiekcie od chwili jego
powstania na etapie projektowania, konstruowania,
poprzez etap wytwarzania, eksploatacji i procesy
recyrkulacji, w czasie jego likwidacji. Zatem jest to
całościowe,

inaczej

kompleksowe

lub

holistyczne

podejście do zmian stanu obiektu technicznego. Ogólny
model holistyczny obiektu technicznego opisuje równanie
(3).

 
Diagnozowanie obiektu technicznego w oparciu o

zaprezentowany holistyczny model diagnostyczny obiektu
umożliwia:
 wydłużenie czasu jego eksploatacji,
 uniknięcie awarii obiektu,
 obniżenie kosztów eksploatacji,
 symulację zachowania się obiektu w całym cyklu jego

życia.

59

7. Diagnostyczny model symulacyjny
 

Diagnostyczne badania eksperymentalne obiektów

technicznych są doskonałym źródłem wiedzy o ich
stanie, jednak maja poważne ograniczenia:
 z reguły nie można przeprowadzić eksperymentów

czynnych, a głównie na dużych obiektach;

 konieczna jest duża liczba obiektów, w celu

uzyskania

wiarygodności

i

wystarczających

informacji dotyczących zbiorów stanów i zbiorów
parametrów

sygnałów

diagnostycznych

(symptomów stanu technicznego);

 ograniczenie możliwości eksperymentowania na

obiektach pojedynczych (np. turbinach);

 długi czas badań eksperymentalnych;
 wysokie koszty badań.
 

60

W tej sytuacji istnieje konieczność zastępowania

diagnostycznych

badań

eksperymentalnych,

badaniami

symulacyjnymi

(eksperymentem

symulacyjnym), w których wykorzystuje się model
diagnostyczny

obiektu.

Eksperymentowanie

z

modelem

nie

różni

się

w

zasadzie

od

eksperymentowania z obiektem, dlatego też stosuje
się tu wszystkie metody planowania eksperymentu
(bierny, bierno-czynny, czynny).

Wyniki

eksperymentu

symulacyjnego

są

bezwartościowe, jeżeli nie można nic powiedzieć o ich
wiarygodności.

Sposobem

analizy

wiarygodności

modeli

symulacyjnych jest analiza wrażliwości (wrażliwość na
strukturę i wartości parametrów modeli). Z reguły
stosuje się dodatkowe eksperymenty przy zaburzeniu
wartości parametrów modelu i modyfikację struktury
modelu. Pamiętać należy, że konkretyzacja struktury i
parametrów modelu musi odbywać się na podstawie
rzeczywistego materiału eksperymentalnego.

Podstawą eksperymentu symulacyjnego są modele

symulacyjne, zaś bazą modeli symulacyjnych są
modele diagnostyczne obiektów.

61

Mając opracowany diagnostyczny model obiektu

technicznego sporządza się jego algorytm, a
następnie program komputerowy, który winien
funkcjonować zgodnie z modelem formalnym (np.
regresyjnym,

bierną

macierzą

diagnostyczną,

diagnostyczno-niezawodnościowym, holistycznym).

Utworzony program komputerowy nazywa się

diagnostycznym

modelem

symulacyjnym

lub

modelem komputerowym obiektu technicznego.
Model

ten

jest

podstawą

przeprowadzenia

eksperymentów

symulacyjnych

i

w

efekcie

opracowania modeli wnioskowania diagnostycznego,
czyli algorytmów diagnozowania, prognozowania i
genezowania stanów obiektu technicznego (rys. 13).

Można powiedzieć, że diagnostyczny model

symulacyjny i badania symulacyjne to istotne
narzędzia

badań

i

oceny

stanów

obiektów

technicznych.

62

Rys. 13. Ilustracja

graficzna

diagnostycznego

modelu

symulacyjnego

jako narzędzia

badań i oceny

stanów obiektów

technicznych

63

8. Podsumowanie

 

Model jest narzędziem, za pomocą którego można

opisać obiekt techniczny i jego zachowanie się w

różnych warunkach.

Budową modeli zajmuje się dyscyplina nauki

nazywana identyfikacją.

Model diagnostyczny obiektu technicznego określa

zależności między jego stanami (cechami stanu) a

parametrami diagnostycznymi.

Można wyróżnić cztery ogólne modele diagnostyczne

obiektów technicznych opisane wzorami (1) do (4).

Wyróżnia

się

dwie

grupy

diagnostycznych

szczegółowych modeli diagnostycznych obiektów

technicznych, a mianowicie:

 symptomowe,
 analityczne.

64

Do diagnostycznych modeli symptomowych należą

modele:

regresyjne,

probabilistyczna

macierz

diagnostyczna,

binarna

macierz

diagnostyczna,

topologiczny,

diagnostyczno-niezawodnościowy,

rozpoznawania obrazów i inne.

Do diagnostycznych modeli analitycznych należą

modele: strukturalny, modalny, holistyczny, odwrotny i

inne.

Diagnostyczny

model

obiektu

technicznego,

umożliwiający śledzenie i przedstawienie zmian stanu w

czasie jego starzenia, nazywa się modelem holistycznym.

65

Utworzony program komputerowy na bazie modeli

diagnostycznych nazywa się diagnostycznym modelem

komputerowym. Model ten jest istotnym narzędziem

badań i oceny stanów obiektów technicznych.

Model diagnostyczny zawiera zasadnicze informacje o

stanie obiektu technicznego, dlatego jest podstawową

jego racjonalnej eksploatacji. Aby to wymaganie było

spełnione, już na etapie projektowania i konstruowania

obiektu technicznego powinien być opracowany jego

model diagnostyczny, z którego wynika algorytm

diagnozowania, metody i urządzenia diagnostyczne, a

także określona podatność diagnostyczna, obsługowa i

naprawcza obiektu technicznego.