---

Overview

Macierze
M_ćwicz
Zmienne_Los_Ciagle
Hipotezy

---

Sheet 1: Macierze

Zadanie 1
Wykonaj transpozycję macierzy wykorzystując funkcję TRANSPONUJ
	2	23	11
A=	3	5	5			2	3	4	6			Funkcje tablicowe Excela należy zakończyć naciśnięciem klawiszy CTRL+SHIFT+ENTER						2	3	4	6
	4	4	8		AT=	23	5	4	9									23	5	4	9
	6	9	4			11	5	8	4									11	5	8	4
Zadanie 2
Dodaj do siebie dwie macierze
	2	23	11			3	77	12
A=	3	5	5		B=	6	5	8
	4	4	8			7	9	7
	6	9	4			8	23	3
	5	100	23
A+B=	9	10	13
	11	13	15
	14	32	7
Zadanie 3
Oblicz iloczyn macierzy A i B wykorzystując funkcję MACIERZ.ILOCZYN
	2	4	3							38	59
A=	3	6	6			3	4		AB=	63	102
	5	8	2		B=	5	6			63	86
	1	2	3			4	9			25	43
Zadanie 4
Oblicz wyznacznik macierzy A wykorzystując funkcję WYZNACZNIK.MACIERZY
	2	23	11
A=	4	4	8		det(A)=	756		jak 0 to nie da się obliczyc macierzy odwrotnej
	6	9	4
Zadanie 5
Oblicz macierz odwrotną do macierzy A wykorzystując funkcję MACIERZ.ODW
	0	23	11			-0,06	0,01	0,16
A=	4	4	8		A-1=	0,04	-0,08	0,05
	6	9	4			0,01	0,16	-0,11

---

Sheet 2: M_ćwicz

Zadanie 1
Dana jest macierz prostokątna A, oblicz (AAT) i (AAT)-1
A=	10	1	2	3
	2	5	12	1
						(AAT)=	114	52
	10	2					52	174
AT=	1	5
	2	12				(AAT)-1=	0,01	0,00
	3	1					0,00	0,01
Zadanie 2
Oblicz Ax
	10	1	2	3			1			16
A=	1	3	2	9		x=	-3		Ax=	-5
	2	5	12	1			6			58
							-1
Zadanie 3
Oblicz xTAx dla macierzy symetrycznej A i dowolnego wektora x jak poniżej.
										xT	*	Ax		xTAx =
	10	1	2			-9						-71
A=	1	3	5		x=	5			-9	5	7	41	=	1481
	2	5	12			7						91
Zadanie 4
Oblicz iloczyn macierzy A i B								AB=	44	18
									-14	-21
	3	5	2						12	24
A=	1	-4	2			2	-3		-10	-6
	-5	1	4		B=	6	5		24	20
	3	2	-7			4	1
	-2	2	4
Zadanie 5
Sprawdź, czy można odwrócić macierz A i B. Jeśli tak oblicz macierze odwrotne względem A i B.
	0	4	2	5	det(a)=	18	A^-1	2,22222222222222	0,222222222222222	-3,22222222222223	0,555555555555556
A=	4	3	4	-2				-5,55555555555556	-0,555555555555556	7,55555555555556	-0,888888888888889
	1	4	2	4				3,55555555555556	0,555555555555556	-4,55555555555556	0,388888888888889
	6	6	2	4				3,22222222222223	0,222222222222223	-4,22222222222223	0,555555555555556
	2	3	1			0
B=	4	5	-1
	4	6	2
Zadanie 6
Oblicz (Ax)TB .
	3	5	4	Ax	23		(Ax)^T	23	16	35
A=	2	4	3		16
	4	1	5		35
	4
x=	-1						(Ax)^T*B	299	244
	4
	8	7
B=	5	3
	1	1
Zadanie 7
Oblicz (AB)-1C+D .
	1	2	5			AB=	17	11
A=	5	4	2				32	15
B=	2	3				AB^-1	-0,154639175257732	0,11340206185567
	5	-1					0,329896907216495	-0,175257731958763
	1	2
						AB^-1*C	0,030927835051546	-0,505154639175258	-0,010309278350516
	2	4	3				0,134020618556701	1,14432989690722	0,288659793814433
C=	3	1	4
	1	5	6			AB^-1*C+D	1,03092783505155	4,49484536082474	5,98969072164948
D=	4	2	2				4,1340206185567	3,14432989690722	2,28865979381443

---

Sheet 3: Zmienne_Los_Ciagle

f(x)=0,17

ZADANIA A:

1. Wyznacz wartość funkcji gestości oraz wartość dystrybuanty zmiennej losowej

o rozkładzie normalnym, o średniej 2 i odchyleniu standardowym 2,3

w punkcie 2,1

f(x)

0,173289298455239

F(x)

0,517339853275389

dystrybuanta

f(2,1)=0,17

wartość funkcji

F(2,1)=0,52

2. Wyznacz prawdopodobieństwo, że wartość zmiennej losowej

o rozkładzie t dla 25 stopni swobody jest wieksza od 1.

m=2

P

0,163445956345921

0,836554043654079

tu możemy liczyc dystrybuantę

0,163445956345921

3. Wyznacz prawdopodobieństwo, że bezwzględna wartość zmiennej losowej

dystrubuanta pole powierzchni na lewo od wartości

o rozkładzie t dla 25 stopni swobody jest wieksza od 1.

F(x) - prawdopodobieństwo że zmienna losowa przyjmuje wartości mniejsze lub rózne od x

1 sopsób

P

0,326891912691842

P(|t|)>1)

t>1 lub t<-1

F(x)= P(X<=x)

2 sposób

0,326891912691842

> rozkład jest symetryczny względem osi y dlatego możemy pomnożyć razy 2

np.. F(2)=P(X<=2)=0,5

4. Wyznacz prawdopodobieństwo, że wartość zmiennej losowej

F(2,1)=P(X<=2,1)=0,52

o rozkładzie F dla 25 stopni swobody licznika i 11 mianownika jest większa 1.

P

0,473334253450898

0,526665746549102

ZADANIA B:

rozkład t studenta - specjalny normalny, oś symetrii przechodzi przez oś y

1. Wyznacz wartość x zmiennej losowej X

1b) znaleźć x taki że:

o rozkładzie normalnym, ze średnią 2 i odchyleniu standardowym 2,3

P(X>=x)=0,2

1a)

dla której P(X<=x)=0,3

x

0,793878820771507

x

3,9357288372177

2. Wyznacz wartość x zmiennej losowej T

o rozkładzie t dla 25 stopni swobody, dla której P(|T|>=x)=0,3

1sp

x

1,05838439261091

2 sp

1,05838439261091

0,15

0,15

-1,05838439261091

1,05838439261091

0,3

zawsze w takiej sytuacji wychodzi dodatni x

3. Wyznacz wartość x zmiennej losowej T

0,2

o rozkładzie t dla 25 stopni swobody, dla której P(T>=x)=0,3

1 sp

x

0,531153789581929

zawsze wpisujemy lewą stronę

2 sp

0,531153789581929

Uwaga: P(|T|³x)=2×P(T³x)

0,3

4. Wyznacz wartość x zmiennej losowej F

o rozkładzie F dla 25 stopni swobody licznika i 11 mianownika

dla której P(F>=x)=0,3

x

1,36863623315344

1,36863623315344

---

Sheet 4: Hipotezy

	ZADANIA:
	1. Na podstawie podanych informacji zweryfikuj na poziomie istotności α=0,05 hipotezę,
	że średni kurs dolara (USD) względem złotego wynosił w badanym okresie 3,00 zł.
	Kurs sprzedaży USD (w PLN)
	w losowo wybranych dniach miesiąca:
	3,023
	2,987				Hipotezy	H0: m=3
	3,121					H1: m≠3
	2,899
	2,964
	3,058				test t-Studenta					0,05/2					0,05/2
	2,961
	3,218
	3,034				tobl	0,9273
	średnia próby	3,02944444444444								-t α,v				t α,v
	s	0,095261628044968			tα,v	2,30600413520417				-2,30600413520417				2,30600413520417
	n	9
					porównanie tobl i tα,v	Moduł |tobl|< tα,v czyli t obl nie należy do obszaru krytycznego
					decyzja weryfikacyjna	Hipoteza zerowa pozostaje w mocy. Można stwierdzić ze średni kurs dolara równy jest 3 zł.
	2. Na podstawie podanych informacji zweryfikuj na poziomie istotności α=0,05 hipotezę,
	że średni kurs dolara (USD) względem złotego był w obu miesiącach taki sam.
	Kurs sprzedaży USD (w PLN)
	w losowo wybranych dniach miesiąca:
	miesiąc 1.	miesiąc 2.
	3,023	2,982			Hipotezy	H0: m1=m2
	2,987	3,124				H1: m1≠m2
	3,121	2,989		1 sp									2 sp
	2,899	3,124												Test t: z dwiema próbami zakładający równe wariancje
	2,964	2,994			test t-Studenta
	3,058	2,954													miesiąc 1.	miesiąc 2.					3 sposób
	2,961	3,159												Średnia	3,02944444444444	3,06055555555555					P(T<=t)
	3,218	2,956												Wariancja	0,009074777777778	0,012091527777778
	3,034	3,263												Obserwacje	9	9					jeśli p > α to H0 pozostaje w mocy
					tobl	-0,64152597587301	-0,641525975873019							Wariancja sumaryczna	0,010583152777778
średnia	3,02944444444444	3,06055555555556												Różnica średnich wg hipotezy	0
s	0,095261628044968	0,109961483155593												df	16
n	9	9			tα,v	2,11990529922125	2,11990529922125							t Stat	-0,64152597587301
														P(T<=t) jednostronny	0,265132356384138
					porównanie tobl i tα,v	|t obl|< 2,12 więc H 0 pozostaje w mocy.								Test T jednostronny (wartoś krytyczna)	1,74588367627625	gdy > ( obszar krytyczny prawostronny)
														P(T<=t) dwustronny	0,530264712768276
					decyzja weryfikacyjna	Na poziomie istotności 0,05 średni kurs dolara w obu miesiącach jest taki sam ( nie różni się istotnie w obu miesiącach)								Test t dwustronny	2,11990529922125
													0,05/2			0,05/2
	3. Na podstawie podanych informacji zweryfikuj na poziomie istotności α=0,05 hipotezę,
	że zmienność kursu dolara (USD) względem złotego była w obu miesiącach taka sama.
	Kurs sprzedaży USD (w PLN)
	w losowo wybranych dniach miesiąca:
	miesiąc 1.	miesiąc 2.
	3,023	2,982			Hipotezy	H0: s1=s2
	2,987	3,124				H1: s1≠ s2
	3,121	2,989
	2,899	3,124
	2,964	2,994			test F-Snedecora
	3,058	2,954
	2,961	3,159
	3,218	2,956
	3,034	3,263
					Fobl	0,750507127350418
s	0,095261628044968	0,109961483155593
wariancja	0,009074777777778	0,012091527777778
					Fα,v1,v2	0,290858218569349	3,43810123337316
													K(zbior krytyczny)= (0;0,29)U(3,44;niesk)
					porównanie Fobl i Fα,v1,v2	Fobl nie należy do zbioru krytycznego, więc brak jet podstaw do odrzucenia H0
					decyzja weryfikacyjna	Na poziomie istotności 0,05 średni kurs dolara względem złotego w obu miesiącach był taki sam.
	4. Na podstawie podanych informacji zweryfikuj na poziomie istotności α=0,05 hipotezę,
	o braku korelacji między miesięcznymi wydatkami na kulturę, sport i wypoczynek (zł/1 osobę) a dochodem rozporządzalnym (zł/1 osobę)
	Osoba	Dochód xi	Wydatki yi
	1	536	32,7			Hipotezy	r=0
	2	417	13,5				r≠0
	3	469	20,8
	4	475	24,5
	5	507	30,9			test t-Studenta
	6	429	19,7
	7	435	17,7
	8	484	23,4
	9	459	17,9			tobl	7,97377703719174
	10	490	27,9
						tα,v	2,30600413520417				K=(niesk;-2,306)U(2,306;niesk)
	r	0,942464156758834
						porównanie tobl i tα,v	t obl należy do zbioru krytycznego K, H0 odrzucamy.
						decyzja weryfikacyjna	Na poziomie istotności 0,05 można stwierdzić że istnieje korelacja mięszy miesięcznymi wydatkami a dochodem rozporządzalnym