Funkcje hiperboliczne odwrotne

Funkcje hiperboliczne odwrotne (funkcje polowe, funkcje area) - funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych. Definiuje się je następującymi wzorami:

(area sinus hiperboliczny) - funkcja odwrotna do sinusa hiperbolicznego

(area cosinus hiperboliczny) - funkcja odwrotna do cosinusa hiperbolicznego

(area tangens hiperboliczny) - funkcja odwrotna do tangensa hiperbolicznego

(area cotangens hiperboliczny) - funkcja odwrotna do cotangensa hiperbolicznego

(area secans hiperboliczny) - funkcja odwrotna do secansa hiperbolicznego

(area cosecans hiperboliczny) - funkcja odwrotna do cosecansa hiperbolicznego

Area sinus

Dziedziną funkcji oraz przeciwdziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych
. Funkcja w punkcie x = 0 ma punkt przegięcia, jest rosnąca na całej dziedzinie i nie ma asymptot.

Area cosinus

Area cosinus hiperboliczny, jako funkcja odwrotna do funkcji parzystej - jest niejednoznaczny. Funkcja ma dwie gałęzie, które obie są określone tylko na przedziale
. Ogólnie:

Poszczególne gałęzie są dane wzorami:

Dziedziną funkcji jest przedział
.

Area tangens

Dziedziną funkcji jest przedział
, jest nieparzysta oraz rosnąca. Ma dwie asymptoty:
.

Area cotangens

Dziedziną funkcji area cotangens jest przedział
. Funkcja nie ma ekstremów i punktów przegięcia, ma 3 asymptoty:
.

Funkcje hiperboliczne odwrotne jako całki

Związek z funkcjami cyklometrycznymi

Pochodne funkcji area

• 
  

• pochodnymi gałęzi area cosinusa hiperbolicznego są:

Właściwości analityczne

• area sinus hiperboliczny jest funkcją nieparzystą i funkcją rosnącą

• funkcją odwrotną dla pierwszej gałęzi area cosinusa hiperbolicznego jest cosinus hiperboliczny dla argumentów większych od zera; dla drugiej gałęzi cosinus hiperboliczny dla argumentów mniejszych od zera

Wykresy

Area sinus hiperboliczny:

Area sinus na przedziale [-5,5]

Area cosinus hiperboliczny - na niebiesko jest zaznaczona gałąź numer 1, na czerwono numer 2:

Area cosinus, górna gałąź krzywej

Area tangens hiperboliczny:

Area cotangens hiperboliczny:

---