Funkcja ciągła na przedziale [a,b] osiąga w nim swoje kresy.

Dowód:

f - ciągła na [a,b] więc ograniczona na [a,b], zatem f([a,b]) - ograniczony.

A = f([a,b]) ma kres dolny s = inf f(x), kres górny S = sup f(x).

Pokażemy ze istn. x_o∈ [a,b] iż f(x_o) = S.

Wiemy, że * x ∈ [a,b], f(x) * S. Oraz * * * 0 * x^' ∈ [a,b], S < f(x') + *.

Biorąc * = 1/n (n=1,2…) mamy ciąg x_n taki że x_n∈ [a,b]

oraz S-1/n < f(x_n) * S < S+1/n.

Czyli *n, |f(x_n)-S| < 1/n. Stąd lim n** f(x_n) = S.

x_n jest ograniczony więc zawiera x_kn* x_o Lim f(x_kn)=S więc f(x_o)=S

---