Zagadnienia teoretyczne

Lepkoœ� cieczy jest wynikiem “zjawisk transportu” zachodz�cych w cieczach, i jest t� cech� cieczy, kt�ra spowalnia jej przep�yw. Lepkoœ� jest proporcjonalna do si�y tarcia pomi�dzy dwoma s�siednimi warstwami cieczy poruszaj�cymi si� wgl�dem siebie. Si�a ta jest zdefiniowana jako:

gdzie dv/dl oznacza gradient pr�dkoœci, S powierzchni� tarcia, zaœ  jest wsp�czynnikiem lepkoœci. Ciecze o wysokim ws�lczynniku lepkoœci p�yn� wolniej ni� te o niskim. Jednostk� SI wsp�czynnika lepkoœci jest niutono-sekunda na metr kwadratowy (N"s/m²=Pa"s=kg/(m"s) ). Bardziej obrazowo, jednostk� lepkoœci jest si�a w niutonach potrzebna do przesuni�cia metra kwadratowego powierzchni cieczy g��bokiej na metr, przy sta�ej pr�dkoœci 1 m/sec. Dawniej (w praktycznie nieu�ywanym ju� systemie cgs) mierzono lepkoœ� w puazach [g/(cm"s)]. (1 Pa"s = 10 puaz�w).

Dodatkowym faktem, z kt�rego nale�y sobie zdawa� spraw� przy badaniu lepkoœci cieczy, jest prawo Bernoulliego, z kt�rego wynika, �e w ka�dym miejscu przewodu, przez kt�ry p�ynie ciecz, suma ciœnie� statycznego i dynamicznego jest wielkoœci� sta��:

W 1846 r. George Stokes wyprowadzi� nast�puj�cy wz�r na si�� oporu, dzia�aj�c� na przedmiot w oœrodku ciek�ym:

si�a oporu " (pr�dkoœ�) " (lepkoœ�) " (rozmiary przedmiotu)

Dla kuli ten wz�r sprowadza si� do:

si�a oporu = F_T = 6rv,

gdzie r jest promieniem kuli, v ­- jej pr�dkoœci�, a  - wsp�czynnikiem lepkoœci oœrodka, w kt�rym kula si� porusza. Kulka w spadaj�ca w cieczy pocz�tkowo si� porusza ruchem przyspieszonym, po czym osi�ga sta�� pr�dkoœ�, tzw. pr�dkoœ� graniczn�. Gdyby nie istnia�a si�a oporu powodowana lepkoœci� cieczy, kulka porusza�a by si� ze sta�ym przyspieszeniem ziemskim g, gdy� dzia�a�a by na ni� sta�a si�a mg, gdzie m jest mas�. Jednak�e si�a oporu w cieczy, kt�ra jest proporcjonalna do pr�dkoœci, zwi�ksza si�, dop�ki nie zr�wnowa�y si�y ci��enia, po czym spadaj�cy przedmiot porusza si� ju� ze sta�� pr�dkoœci� (zgodnie z pierwsz� zasad� dynamiki Newtona, gdy� wypadkowa wszystkich si� dzia�aj�cych na ten przedmiot r�wna si� zero). W przypadku kulki nast�puje to, gdy

m g=6rv

gdzie m g jest ci�arem kulki w cieczy, mniejszym ni� w powietrzu z powodu si�y wyporu:

m = m-V

gdzie V jest obj�toœci� przedmiotu, a  g�stoœci� cieczy. Po kilku prostych przekszta�ceniach otrzymujemy wz�r na wsp�czynnik lepkoœci cieczy przy u�yciu kulki:

gdzie r jest promieniem zastosowanej kulki,  jej g�stoœci�,  g�stoœci� cieczy, v maksymaln� pr�dkoœci� spadaj�cej kulki, a g ziemskim przyspieszeniem grawitacyjnym.

Powy�szy wz�r jest prawdziwy jedynie dla kuli spadaj�cej w oœrodku o nieograniczonej szerokoœci. Zwykle jednak naczynie to ma kszta�t cylindra kt�rego œcianki spowalniaj� ruch kulki. Je�eli kulka spada w rurze cylindrycznej o promieniu R, wyst�puj�ce w�wczas wp�ywy œcianek zmniejszaj� pr�dkoœ� spadania tyle razy, ile wynosi wartoœ� u�amka

W�wczas wz�r na wsp�czynnik lepkoœci przyjmuje posta�

Rozpatrzmy teraz cylinder o promieniu z i d�ugoœci l. R�nica ciœnie� p₁-p₂ powoduje ruch p�ynu dzia��j�c na cylinder z si�� F=z²(p₁-p₂). W przypadku, gdy F_T+F=0, wyst�pi przep�yw stacjonarny. Podstawiaj�c si�� do wzoru oraz przyjmuj�c S=2zl do powy�szego warunku, ca�kuj�c i porz�dkuj�c otrzymamy

Z uwagi na warunki brzegowe pr�dkoœ� v(z) musi by� najwi�ksza dla z=0, a v(r)=0 dla z=r. St�d poprawna posta� ostatecznego wyra�enia jest nast�puj�ca:

Obj�toœ� cieczy, kt�ra przep�ywa przez nasz cylinder w czasie t mo�na okreœli� wzorem

Po kilku przekszta�ceniach i podstawieniach otrzymujemy r�wnanie Poiseuille'a, z kt�rego wynika, �e pr�dkoœ� przep�ywu laminarnego przez rurk� jest proporcjonalna do r�nicy ciœnie� i czwartej pot�gi promienia rurki, a odwrotnie proporcjonalna do jej d�ugoœci:

Opis doœwiadczenia

Doœwiadczenie sk�ada�o si� z dw�ch cz�œci. W pierwszej mierzono wzgl�dny wsp�czynnik lepkoœci wody, acetonu i alkoholu za pomoc� wiskozymetru kapilarnego. W tym celu nape�niano zbiornik znajduj�cy si� nad kapilar� badan� ciecz� i mierzono czas przep�ywu sta�ej obj�toœci cieczy przez kapilar�.

W drugiej cz�œci mierzono lepkoœ� gliceryny korzystaj�c z metody Stokesa, mierz�c czas spadania kulek o r�nym ci�arze i œrednicy w szklanym cylindrze nape�nionym gliceryn�.

Dodatkowo badano czy kulki poruszaj� si� ruchem jednostajnym, mierz�c czas spadania kulki nr. 2 pomi�dzy pierœcieniami pierwszym a drugim i drugim a trzecim, uprzednio mierz�c odst�py mi�dzy pierœcieniami.

Opracowanie wynik�w pomiar�w

Dla metody Poiseuille'a, korzystamy ze wzoru . Poniewa� ciœnienie hydrostatyczne cieczy p₁-p₂=gh, podstawiamy t� wartoœ� do r�wnania i otrzymujemy

Maj�c zmierzony czas przep�ywu obj�toœci wody przez kapilar�, woda b�dzie nasz� ciecz� wzorcow�. Dla wody powy�sze r�wnanie b�dzie mia�o posta�:

Dziel�c oba powy�sze r�wnania stronami otrzymujemy:

Sprawdzaj�c w tablicach wartoœci wsp�czynnika lepkoœci i g�stoœci wody w temperaturze pokojowej widzimy, �e wynosz� one odpowiednio 1.002 mPa"s i 0.99821 g/cm³. Postawiaj�c je, jak r�wnie� czas przep�ywu wody, do powy�szego wzoru otrzymujemy spos�b na obliczenie g�stoœci pozosta�ych p�yn�w:

Sprawdzamy w tablicach g�stoœci pozosta�ych p�yn�w (G�stoœ� acetonu w temperaturze pokojowej wynosi 0.7856 g/cm³, a g�stoœ� alkoholu 0.7873 g/cm³). St�d wed�ug naszych pomiar�w wsp�czynnik lepkoœci acetonu wynosi

=0.59 mPa"s

zaœ alkoholu:

=2.10 mPa"s

Natomiast wg tablic fizycznych wsp�czynniki lepkoœci acetonu i alkoholu etylowego powinny wynosi� odpowiednio 0.316 i 1.200 mPa"s.

Dla drugiej metody najpierw obliczamy œredni� wartoœ� œrednicy dla ka�dej z kulek, a p�Ÿniej œredni czas spadania tych�e, co nam daje:

kulka	œr. œrednica [mm]	œr. promie� [mm]	œr. czas spadania [s]
1 (stal)	11.83	5.92	0.62
2 (szk�o)	7.81	3.90	4.22
3 (alu.)	11.80	5.90	2.02
4 (alu.)	5.11	2.55	5.89
5 (szk�o)	6.48	3.23	5.92

Korzystaj�c ze wzoru , obliczamy lepkoœ� gliceryny dla ka�dej kulki z osobna (G�stoœ� gliceryny wynosi 1.2567 10³"kg/m³, zaœ szk�a, aluminium i stali odpowiednio 2.6, 2.70, 7.87 10³"kg/m³).

Dla kulki nr. 1 lepkoœ� gliceryny wynosi ==0.572 kg/(m"s)

a dla kolejnych:

kulka	lepkoœ� [kg/(m"s)]
2 (szk�o)	0.345
3 (alu.)	0.406
4 (alu.)	0.222
5 (szk�o)	0.334

Œrednia wartoœ� lepkoœci gliceryny w tym przypadku wynosi 0.376 kg/(m"s).

Por�wnuj�c otrzymany wynik z wartoœci� lepkoœci uzyskan� z tablic (0.494 kg/(m"s) ) widzimy niewielk� rozbie�noœ�.

By uwzgl�dni� rozmiary cylindra i ich wp�yw na wyznaczony wsp�czynnik lepkoœci nale�a�oby skorzysta� ze zmodyfikowanego wzoru Stokesa:

gdzie R jest œrednic� naczynia. Obliczaj�c wartoœ� wsp�czynnika dla np. kulki nr. 2 otrzymujemy r�nic� rz�du nieca�ych 4%. Po ocenie b��du przekonamy si� o celowoœci wprowadzania takiej poprawki.

Ocena b��du

B��d tak dla metody Stokesa jak i Poiseuille'a policzymy metod� r�niczki zupe�nej. Dla metody Stokesa i wzoru , b��d wynosi

Obliczaj�c przyk�adowy b��d dla kulki 1 otrzymujemy nast�puj�cy b��d:

Pa"s

=0.00194+0.0927=0.0947 kg/(m"s), co daje b��d wzgl�dny rz�du 17%.

Dla pozosta�ych kulek b��dy wynosz�:

kulka	b��d [kg/(m"s)]	b��d wzgl�dny [%]
2 (szk�o)	0.00995	2.9
3 (alu.)	0.0215	5.3
4 (alu.)	0.00551	2.5
5 (szk�o)	0.00770	2.3

Jak wida�, najdok�adniejsze pomiary uzyskano dla kulek spadaj�cych najd�u�ej, a wi�c w najwi�kszym stopniu na b��d wsp�czynnika lepkoœci w naszym przypadku wp�yn�� b��d pomiaru czasu spadania kulek. Dodatkowo wida�, �e b��d pomiaru jest tutaj kilka razy wi�kszy od b��du wynikaj�cego z nieuwzgl�dnienia poprawki na œciany cylindra (dla kulki 1 b��dy te wynosz� odpowiednio 17% i 4%) i wprowadzanie takiej poprawki by�oby celowe jedynie w przypadku œrednicy kulki bardziej zbli�onej do œrednicy cylindra.

W przypadku metody Poiseuille'a, pomiar czasu jest jedyn� mierzon� bezpoœrednio wielkoœci�. Licz�c przyk�adow� r�niczk� zupe�n� dla pomiaru lepkoœci acetonu wg. wzoru otrzymujemy b��d:

=

=0.00178+0.000136=0.00192 mPa"s, co w wypadku wyliczonej wartoœci wsp�czynnika lepkoœci acetonu (0.59 mPa"s) daje b��d wzgl�dny r�wny 0.3%.

Wnioski

Pomimo doœ� ma�ego wyliczonego b��du przy metodzie Poiseuille'a, obliczone wartoœci wsp�czynnika lepkoœci tak acetonu jak i alkoholu s� wi�ksze od spodziewanych o oko�o 45%. Mo�e to wynika� z zabrudzenia kapilary przez poprzednich u�ytkownik�w, jak r�wnie� z niewiadomej jakoœci tych cieczy. Og�lnie jednak, uzyskane wyniki pozwalaj� na podzielenie cieczy na bardziej i mniej lepkie i jak na szkolne warunki doœ� dobrze pokrywaj� si� z rzeczywistoœci�.

W przypadku metody Stokesa wyliczona lepkoœ� gliceryny wynosi 0.376kg/(m"s), a powinna wynosi� 0.494 kg/(m"s), czyli r�ni si� od spodziewanej o nieca�e 25%. G��wnym powodem tej rozbie�noœci z pewnoœci� by�a w�tpliwa jakoœ� gliceryny - podczas eksperymentu np. zauwa�ono obce cia�a p�ywaj�ce w glicerynie. Dodatkowo nale�y wspomnie� o kulkach zdeformowanych przez porzednich u�ytkownik�w poprzez zbyt mocne dokr�canie œruby mikrometrycznej. Oczywiœcie nie mo�na zapomina� o czynniku ludzkim: kulki mog�y by� spuszczane z nieco r�ni�cych si� wysokoœci, a b��d paralaksy i op�Ÿnione reakcje osoby obs�uguj�cej stoper mog�y r�wnie� mie� pewien wp�yw na przebieg eksperymentu, aczkolwiek uzyskany wynik nale�y uwa�a� za ca�kiem niez�y.

---