Zagadnienia teoretyczne

Lepkoœć cieczy jest wynikiem “zjawisk transportu” zachodzących w cieczach, i jest tą cechą cieczy, która spowalnia jej przepływ. Lepkoœć jest proporcjonalna do siły tarcia pomiędzy dwoma sąsiednimi warstwami cieczy poruszającymi się wględem siebie. Siła ta jest zdefiniowana jako:

gdzie dv/dl oznacza gradient prędkoœci, S powierzchnię tarcia, zaœ  jest współczynnikiem lepkoœci. Ciecze o wysokim wsólczynniku lepkoœci płyną wolniej niż te o niskim. Jednostką SI współczynnika lepkoœci jest niutono-sekunda na metr kwadratowy (N"s/m2=Pa"s=kg/(m"s) ). Bardziej obrazowo, jednostką lepkoœci jest siła w niutonach potrzebna do przesunięcia metra kwadratowego powierzchni cieczy głębokiej na metr, przy stałej prędkoœci 1 m/sec. Dawniej (w praktycznie nieużywanym już systemie cgs) mierzono lepkoœć w puazach [g/(cm"s)]. (1 Pa"s = 10 puazów).

Dodatkowym faktem, z którego należy sobie zdawać sprawę przy badaniu lepkoœci cieczy, jest prawo Bernoulliego, z którego wynika, że w każdym miejscu przewodu, przez który płynie ciecz, suma ciœnień statycznego i dynamicznego jest wielkoœcią stałą:

W 1846 r. George Stokes wyprowadził następujący wzór na siłę oporu, działającą na przedmiot w oœrodku ciekłym:

siła oporu " (prędkoœć) " (lepkoœć) " (rozmiary przedmiotu)

Dla kuli ten wzór sprowadza się do:

siła oporu = FT = 6rv,

gdzie r jest promieniem kuli, v ­- jej prędkoœcią, a  - współczynnikiem lepkoœci oœrodka, w którym kula się porusza. Kulka w spadająca w cieczy początkowo się porusza ruchem przyspieszonym, po czym osiąga stałą prędkoœć, tzw. prędkoœć graniczną. Gdyby nie istniała siła oporu powodowana lepkoœcią cieczy, kulka poruszała by się ze stałym przyspieszeniem ziemskim g, gdyż działała by na nią stała siła mg, gdzie m jest masą. Jednakże siła oporu w cieczy, która jest proporcjonalna do prędkoœci, zwiększa się, dopóki nie zrównoważy siły ciążenia, po czym spadający przedmiot porusza się już ze stałą prędkoœcią (zgodnie z pierwszą zasadą dynamiki Newtona, gdyż wypadkowa wszystkich sił działających na ten przedmiot równa się zero). W przypadku kulki następuje to, gdy

m g=6rv

gdzie m g jest ciężarem kulki w cieczy, mniejszym niż w powietrzu z powodu siły wyporu:

m = m-V

gdzie V jest objętoœcią przedmiotu, a  gęstoœcią cieczy. Po kilku prostych przekształceniach otrzymujemy wzór na współczynnik lepkoœci cieczy przy użyciu kulki:

gdzie r jest promieniem zastosowanej kulki,  jej gęstoœcią,  gęstoœcią cieczy, v maksymalną prędkoœcią spadającej kulki, a g ziemskim przyspieszeniem grawitacyjnym.

Powyższy wzór jest prawdziwy jedynie dla kuli spadającej w oœrodku o nieograniczonej szerokoœci. Zwykle jednak naczynie to ma kształt cylindra którego œcianki spowalniają ruch kulki. Jeżeli kulka spada w rurze cylindrycznej o promieniu R, występujące wówczas wpływy œcianek zmniejszają prędkoœć spadania tyle razy, ile wynosi wartoœć ułamka

Wówczas wzór na współczynnik lepkoœci przyjmuje postać

Rozpatrzmy teraz cylinder o promieniu z i długoœci l. Różnica ciœnień p1-p2 powoduje ruch płynu działąjąc na cylinder z siłą F=z2(p1-p2). W przypadku, gdy FT+F=0, wystąpi przepływ stacjonarny. Podstawiając siłę do wzoru oraz przyjmując S=2zl do powyższego warunku, całkując i porządkując otrzymamy

Z uwagi na warunki brzegowe prędkoœć v(z) musi być największa dla z=0, a v(r)=0 dla z=r. Stąd poprawna postać ostatecznego wyrażenia jest następująca:

Objętoœć cieczy, która przepływa przez nasz cylinder w czasie t można okreœlić wzorem

Po kilku przekształceniach i podstawieniach otrzymujemy równanie Poiseuille'a, z którego wynika, że prędkoœć przepływu laminarnego przez rurkę jest proporcjonalna do różnicy ciœnień i czwartej potęgi promienia rurki, a odwrotnie proporcjonalna do jej długoœci:

Opis doœwiadczenia

Doœwiadczenie składało się z dwóch częœci. W pierwszej mierzono względny współczynnik lepkoœci wody, acetonu i alkoholu za pomocą wiskozymetru kapilarnego. W tym celu napełniano zbiornik znajdujący się nad kapilarą badaną cieczą i mierzono czas przepływu stałej objętoœci cieczy przez kapilarę.

W drugiej częœci mierzono lepkoœć gliceryny korzystając z metody Stokesa, mierząc czas spadania kulek o różnym ciężarze i œrednicy w szklanym cylindrze napełnionym gliceryną.

Dodatkowo badano czy kulki poruszają się ruchem jednostajnym, mierząc czas spadania kulki nr. 2 pomiędzy pierœcieniami pierwszym a drugim i drugim a trzecim, uprzednio mierząc odstępy między pierœcieniami.

Opracowanie wyników pomiarów

Dla metody Poiseuille'a, korzystamy ze wzoru . Ponieważ ciœnienie hydrostatyczne cieczy p1-p2=gh, podstawiamy tę wartoœć do równania i otrzymujemy

Mając zmierzony czas przepływu objętoœci wody przez kapilarę, woda będzie naszą cieczą wzorcową. Dla wody powyższe równanie będzie miało postać:

Dzieląc oba powyższe równania stronami otrzymujemy:

Sprawdzając w tablicach wartoœci współczynnika lepkoœci i gęstoœci wody w temperaturze pokojowej widzimy, że wynoszą one odpowiednio 1.002 mPa"s i 0.99821 g/cm3. Postawiając je, jak również czas przepływu wody, do powyższego wzoru otrzymujemy sposób na obliczenie gęstoœci pozostałych płynów:

Sprawdzamy w tablicach gęstoœci pozostałych płynów (Gęstoœć acetonu w temperaturze pokojowej wynosi 0.7856 g/cm3, a gęstoœć alkoholu 0.7873 g/cm3). Stąd według naszych pomiarów współczynnik lepkoœci acetonu wynosi

=0.59 mPa"s

zaœ alkoholu:

=2.10 mPa"s

Natomiast wg tablic fizycznych współczynniki lepkoœci acetonu i alkoholu etylowego powinny wynosić odpowiednio 0.316 i 1.200 mPa"s.

Dla drugiej metody najpierw obliczamy œrednią wartoœć œrednicy dla każdej z kulek, a póŸniej œredni czas spadania tychże, co nam daje:

kulka

œr. œrednica [mm]

œr. promień [mm]

œr. czas spadania [s]

1 (stal)

11.83

5.92

0.62

2 (szkło)

7.81

3.90

4.22

3 (alu.)

11.80

5.90

2.02

4 (alu.)

5.11

2.55

5.89

5 (szkło)

6.48

3.23

5.92

Korzystając ze wzoru , obliczamy lepkoœć gliceryny dla każdej kulki z osobna (Gęstoœć gliceryny wynosi 1.2567 103"kg/m3, zaœ szkła, aluminium i stali odpowiednio 2.6, 2.70, 7.87 103"kg/m3).

Dla kulki nr. 1 lepkoœć gliceryny wynosi ==0.572 kg/(m"s)

a dla kolejnych:

kulka

lepkoœć [kg/(m"s)]

2 (szkło)

0.345

3 (alu.)

0.406

4 (alu.)

0.222

5 (szkło)

0.334

Œrednia wartoœć lepkoœci gliceryny w tym przypadku wynosi 0.376 kg/(m"s).

Porównując otrzymany wynik z wartoœcią lepkoœci uzyskaną z tablic (0.494 kg/(m"s) ) widzimy niewielką rozbieżnoœć.

By uwzględnić rozmiary cylindra i ich wpływ na wyznaczony współczynnik lepkoœci należałoby skorzystać ze zmodyfikowanego wzoru Stokesa:

gdzie R jest œrednicą naczynia. Obliczając wartoœć współczynnika dla np. kulki nr. 2 otrzymujemy różnicę rzędu niecałych 4%. Po ocenie błędu przekonamy się o celowoœci wprowadzania takiej poprawki.

Ocena błędu

Błąd tak dla metody Stokesa jak i Poiseuille'a policzymy metodą różniczki zupełnej. Dla metody Stokesa i wzoru , błąd wynosi

Obliczając przykładowy błąd dla kulki 1 otrzymujemy następujący błąd:

Pa"s

=0.00194+0.0927=0.0947 kg/(m"s), co daje błąd względny rzędu 17%.

Dla pozostałych kulek błędy wynoszą:

kulka

błąd [kg/(m"s)]

błąd względny [%]

2 (szkło)

0.00995

2.9

3 (alu.)

0.0215

5.3

4 (alu.)

0.00551

2.5

5 (szkło)

0.00770

2.3

Jak widać, najdokładniejsze pomiary uzyskano dla kulek spadających najdłużej, a więc w największym stopniu na błąd współczynnika lepkoœci w naszym przypadku wpłynął błąd pomiaru czasu spadania kulek. Dodatkowo widać, że błąd pomiaru jest tutaj kilka razy większy od błędu wynikającego z nieuwzględnienia poprawki na œciany cylindra (dla kulki 1 błędy te wynoszą odpowiednio 17% i 4%) i wprowadzanie takiej poprawki byłoby celowe jedynie w przypadku œrednicy kulki bardziej zbliżonej do œrednicy cylindra.

W przypadku metody Poiseuille'a, pomiar czasu jest jedyną mierzoną bezpoœrednio wielkoœcią. Licząc przykładową różniczkę zupełną dla pomiaru lepkoœci acetonu wg. wzoru otrzymujemy błąd:

=

=0.00178+0.000136=0.00192 mPa"s, co w wypadku wyliczonej wartoœci współczynnika lepkoœci acetonu (0.59 mPa"s) daje błąd względny równy 0.3%.

Wnioski

Pomimo doœć małego wyliczonego błędu przy metodzie Poiseuille'a, obliczone wartoœci współczynnika lepkoœci tak acetonu jak i alkoholu są większe od spodziewanych o około 45%. Może to wynikać z zabrudzenia kapilary przez poprzednich użytkowników, jak również z niewiadomej jakoœci tych cieczy. Ogólnie jednak, uzyskane wyniki pozwalają na podzielenie cieczy na bardziej i mniej lepkie i jak na szkolne warunki doœć dobrze pokrywają się z rzeczywistoœcią.

W przypadku metody Stokesa wyliczona lepkoœć gliceryny wynosi 0.376kg/(m"s), a powinna wynosić 0.494 kg/(m"s), czyli różni się od spodziewanej o niecałe 25%. Głównym powodem tej rozbieżnoœci z pewnoœcią była wątpliwa jakoœć gliceryny - podczas eksperymentu np. zauważono obce ciała pływające w glicerynie. Dodatkowo należy wspomnieć o kulkach zdeformowanych przez porzednich użytkowników poprzez zbyt mocne dokręcanie œruby mikrometrycznej. Oczywiœcie nie można zapominać o czynniku ludzkim: kulki mogły być spuszczane z nieco różniących się wysokoœci, a błąd paralaksy i opóŸnione reakcje osoby obsługującej stoper mogły również mieć pewien wpływ na przebieg eksperymentu, aczkolwiek uzyskany wynik należy uważać za całkiem niezły.