Politechnika Lubelska

Wydział Elektrotechniki i Informatyki

Katedra Automatyki i Metrologii

Praca dyplomowa magisterska

nt.

„SYSTEMY ADAPTACYJNEGO STEROWANIA Z MODELEM ODNIESIENIA”

Promotor: Autor pracy:

dr inż. Edward Żak Michał Romanowski

Lublin 2006

Spis treści Wstęp ..................................................................................... 1. Sterowanie adaptacyjne - wprowadzenie................................ 1.1 Sposób podejścia do zagadnienia regulacji adaptacyjnej. 1.2 Dobór wzmocnienia....................................................... 1.3 Systemy adaptacyjne z modelem odniesienia MRAC ...... 1.4 Regulatory samodostrajające STR................................. 1.5 Relacje między systemem adaptacyjnym z modelem odniesienia MRAC a regulatorem samodostrajającym STR....... 1.6 Estymacja parametrów................................................... 1.7 Ustalony regulator samodostrajający.............................. 1.7.1 Związki z innymi algorytmami............................ 1.8 Wybrane zagadnienia teoretyczne................................... 1.8.1 Stabilność............................................................. 1.8.2 Analiza zbieżności ................................................ 1.8.3 Teoria eskalacji..................................................... 1.8.4 Metody uśredniające ............................................ 1.8.5 Stochastyczna teoria regulacji ............................. 1.9 Zalety i wady technik adaptacyjnych............................... 2. Adaptacyjne systemy sterowania z modelem odniesienia ...... Metody strojenia praw adaptacji................................... Analityczne, gradientowe systemy adaptacyjne z modelem odniesienia....................................................... 3. Analiza systemów adaptacyjnych z wykorzystaniem środowiska MATLAB/Simulink .................................................. 3.1 Carakterystyka narzędzia symulacyjnego MRASLab. Opis interfejsu użytkownika ................................................. 3.2 Struktury obiektów w MRASLab-ie ............................... 3.3 Wyniki badań symulacyjnych systemów MRAC ............ Podsumowanie i wnioski ........................................................... Załączniki ................................................................................. Literatura .................................................................................

4 5 6 7 9 11 13 17 18 21 22 22 25 26 27 29 33 37 37 37 47 48 50 54 66 67 69

Wstęp

Systemy adaptacyjne są gałęzią automatyki znajdującą zastosowanie w przypadku, gdy pełna identyfikacja procesu nie jest możliwa. Pozwalają one uzyskać stabilne systemy, spełniające pożądane z punktu widzenia użytkownika parametry. Niestacjonarność niektórych procesów oraz obecność zakłóceń wymusza także rozwijanie podstaw teoretycznych, mogących wesprzeć specjalistów przy projektowaniu struktur regulatorów. Wypływa stąd bardzo silna potrzeba badań symulacyjnych, które pozwolą na zbadanie procesu bez ingerencji w już działający lub projektowany system.

Niniejsza praca poświęcona jest systemom adaptacyjnym, w których zachowanie obiektu zdeterminowane jest modelem odniesienia. Jej celem jest przedstawienie podstaw teoretycznych systemów tzw. model reference adaptive control (MRAC) oraz sposobów syntezy regulatorów adaptacyjnych. Ze względu na znikomą obecność tego zagadnienia w literaturze polskojęzycznej, większość pracy oparta została na opracowaniach anglojęzycznych.

Praca podzielona została na trzy części. W pierwszym rozdziale przedstawiona jest między innymi historia rozwoju systemów adaptacyjnych. Szczególny nacisk położony został także na ich klasyfikację i charakterystykę. Drugi rozdział przedstawia ideę systemów MRAC oraz matematyczne podstawy praw adaptacji, według których następuje synteza regulatora. Rozdział trzeci poświęcony jest narzędziu MRASLab [7]. Jest to interfejs symulatora zbudowanego w środowisku MATLAB/Simulink, który posłużył do analizy systemów MRAC pierwszego rzędu z opóźnieniami stałymi. Rozdział zawiera także wyniki symulacji systemu dla różnych wartości parametrów takich jak: współczynnik adaptacji, amplituda sygnału referencyjnego. W pracy podjęto próbę wykorzystania MRASLab-a do analizy systemów MRAC z procesami lub modelami drugiego rzędu.

ROZDZIAŁ 1

STEROWANIE ADAPTACYJNE - WPROWADZENIE

Adaptować oznacza „zmieniać w taki sposób, aby dostosować swe zachowanie do nowych lub zmienionych okoliczności”. Słowa „regulatory adaptacyjne” są w użyciu, co najmniej od początku lat pięćdziesiątych.

W ciągu tych lat czyniono wiele prób zdefiniowania regulacji. Intuicyjnie, regulator adaptacyjny powinien zmieniać swe zachowanie w odpowiedzi na zmiany dynamicznych własności obiektu regulacji oraz zakłócenia. Od czasu zastosowania w tym celu klasycznego sprzężenia zwrotnego, coraz częściej pojawia się problem różnicy między regulacją ze sprzężeniem zwrotnym a regulacją adaptacyjną. Brakuje jednak jeszcze miarodajnej definicji pozwalającej spojrzeć na regulator i arbitralnie stwierdzić, czy jest on adaptacyjny czy też nie. Panuje w każdym razie powszechna zgoda, że sprzężenie zwrotne o stałym wzmocnieniu nie stanowi systemu adaptacyjnego. Zakładamy, że regulatorem adaptacyjnym jest specjalny typ regulatora z nieliniowym sprzężeniem zwrotnym. Regulację adaptacyjną często charakteryzuje się tym, że wielkości fizyczne procesu można podzielić na dwie grupy o różnych szybkościach zmian. Te wielkości, których szybkość zmian jest mała, uważane są za parametry.

Badania nad regulatorami adaptacyjnymi prowadzone były szczególnie intensywnie we wczesnych latach pięćdziesiątych, co tłumaczone jest projektowaniem pilotów automatycznych do wielozadaniowych samolotów. Samoloty taki dysponowały bardzo dużym zakresem pułapów i prędkości. Stwierdzono wtedy, że stałe wzmocnienie i liniowe sprzężenie zwrotne zdawały egzamin we względnie ustabilizowanych warunkach pracy. W przypadkach zmian tych warunków pojawiały się trudności. Wynikła, zatem potrzeba stworzenia bardziej złożonego regulatora, który mógłby dobrze pracować w silnie zróżnicowanych warunkach środowiska pracy. Prace nad adaptacyjną regulacją lotu cechowało wiele entuzjazmu, zły sprzęt i brak teorii. Zainteresowanie zagadnieniem spadło w wyniku braku przewidywania i katastrofy podczas lotu.

W latach sześćdziesiątych poczyniono wiele wysiłków w dziedzinie teorii sterowania, mających duże znaczenie dla rozwoju regulacji adaptacyjnej. Wprowadzono pojęcie przestrzeni stanu oraz teorię stabilności. Odnotowano także duże postępy w stochastycznej teorii sterowania. W prowadzone prze Bellmana programowanie dynamiczne oraz teoria regulacji dwuwymiarowej stworzona przez Feldbauma pozwoliły bardziej zrozumieć naturę procesów adaptacyjnych. Fundamentalny był także wkład, Tsypkina, który dowiódł, że wiele schematów uczenia się i regulacji adaptacyjnej można opisać na wspólnym schemacie równań rekursywnych typu aproksymacji stochastycznej. Duże postępy osiągnięto także w identyfikacji systemów i w estymacji parametrów.

Zainteresowanie regulatorami adaptacyjnymi powróciło w latach siedemdziesiątych. Dokonany w poprzednim dziesięcioleciu postęp w dziedzinie teorii sterownia pozwolił na lepsze zrozumienie regulacji adaptacyjnej. Szybki i rewolucyjny rozwój mikroelektroniki umożliwił prosty i tani montaż regulatorów adaptacyjnych. Obecnie obserwuje się znaczny postęp w tej dziedzinie zarówno w nauce jak i przemyśle.

1.1 Sposób podejścia do zagadnienia regulacji adaptacyjnej

Poniżej opisano trzy schematy regulacji adaptacyjnej: dobór wzmocnienia, regulację z modelem odniesienia i regulatory samodostrajające. Punktem wyjścia jest klasyczna pętla sprzężenia zwrotnego z możliwością regulacji parametrów obiektu i regulatora. Kluczowym zagadnieniem jest znalezienie dogodnego sposobu zmiany parametrów regulatora w odpowiedzi na zmiany w obiekcie i w regulatorze, a także w dynamice zakłóceń. Schematy różnią się między sobą jedynie w sposobie sterowania parametrami regulatora.

1.2 Dobór wzmocnienia

Niekiedy możliwe bywa znalezienie dodatkowych zmiennych w znacznym stopniu powiązanych ze zmianami dynamiki obiektu regulacji. Możliwe jest, zatem zredukowanie wpływu zmienności czasowej parametrów przez zmianę parametrów regulatora, stanowiących funkcje zmiennych dodatkowych. Taka metoda postępowania nosi nazwę dobory wzmocnienia, ponieważ pierwotnie schemat taki był stosowany w celu dostosowania do zmienności wzmocnienia obiektu regulacji.

Koncepcja doboru wzmocnienia pojawiła się w związku z konstruowaniem systemów regulacji lotu. W takich warunkach jako zmienne regulujące (dodatkowe) były: liczba Macha i ciśnienie atmosferyczne, które można było bezpośrednio mierzyć.

Kluczowym zagadnieniem w projektowaniu systemów z doborem wzmocnienia jest znalezienie odpowiednich zmiennych regulujących. Zazwyczaj dokonuje się tego w bazując na fizycznych własnościach układu. W przypadku procesów produkcyjnych rolę zmiennej często powierza się szybkości produkcji, ponieważ wartości stałych czasowych i czasów opóźnień są zazwyczaj odwrotnie proporcjonalne do szybkości produkcji.

Po wyborze zmiennych regulujących należy określić parametry regulatora na podstawie liczby typów warunków pracy, posługując się odpowiednimi metodami projektowania. Stabilność i charakterystyki układu wyznacza się najczęściej metodą symulacji. Należy zwrócić szczególną uwagę na przejścia między poszczególnymi typami warunków pracy. W razie konieczności należy zwiększyć liczbę takich typów.

Niekiedy możliwe jest dokonanie doboru wzmocnienia przez wprowadzenie znormalizowanych parametrów bezwymiarowych w taki sposób, aby znormalizowany model nie zależał od typu warunków pracy. Korzysta się z pomiarów dodatkowych oprócz pomiarów na obiekcie w celu skalkulowania znormalizowanych zmiennych wielkości pomiarowych.

Takiego samego typu regulacji jest schemat regulacji przepływu zaproponowany przez Niemi'ego. Regulator taki może być rozpatrywany jako złożenie dwóch statycznych układów nieliniowych połączonych między sobą regulatorem liniowym. Niekiedy obliczanie zmiennych znormalizowanych opiera się na zmiennych uzyskanych przez filtrowanie Kalmana. Układ może wtedy okazać się nawet bardziej złożonym. Wadą doboru wzmocnienia jest to, że stanowi kompensację przy otwartej pętli. Nie ma sprzężenia zwrotnego, które kompensowałoby niewłaściwy dobór wzmocnienia. Można, zatem traktować dobór wzmocnienia jako układ regulacji za sprzężeniem zwrotnym gdzie wzmocnienia sprzężenia zwrotnego są regulowane przez kompensację ze sprzężeniem do przodu. Inną wadą doboru wzmocnienia jest pracochłonność projektowania. Parametry regulatora muszą zostać określone dla wielu typów warunków pracy, a jego działanie musi być sprawdzone na drodze czasochłonnych symulacji. Trudności tych można częściowo uniknąć, jeśli dobór wzmocnienia opiera się na znormalizowanych zmiennych. Zaletą doboru wzmocnienia jest możliwość bardzo szybkiej zmiany parametrów w odpowiedzi na zmiany w obiekcie regulacji. Czynnikiem ograniczającym jest to, jak szybko pomiary dodatkowe są w stanie dostosować się do zmian w obiekcie regulacji.

Kontrowersje budzi samo to, czy dobór wzmocnienia można uważać za regulację adaptacyjną czy też nie, ponieważ zmiana parametrów zachodzi w otwartej pętli. Niezależnie od tego rodzaju dyskusji dobór wzmocnienia stanowi bardzo użyteczną technikę redukowania wpływu zmian parametrów. Faktycznie jest to najważniejsza metoda kontroli zmienności parametrów w układach sterowania lotem.

Ideę regulacji adaptacyjnej z doborem wzmocnienia ilustruje Rys. 1.1

Rys. 1.1 Schemat układu, w którym zredukowano wpływ zmienności parametrów na drodze doboru wzmocnienia.

1.3 Systemy adaptacyjne z modelem odniesienia, MRAC

Na Rys. 1.2 przedstawiono inny sposób regulacji parametrów regulatora. Wymagania podawane są wraz z danymi dotyczącymi modelu odniesienia, który mówi, jak w idealny sposób sygnał wyjściowy powinien odpowiadać sygnałowi sterującemu. Należy zauważyć, że model odniesienia stanowi część układu regulacji. Regulator może być uważany za złożenie dwóch pętli. Pętla wewnętrzna jest standardową pętla regulacji złożoną z obiektu i regulatora. Parametry regulatora są dostrajane przez pętlę zewnętrzną tak, aby uchyb stanowiący różnicę między sygnałem wyjściowym modelu y_m, a sygnałem wyjściowym obiektu y pozostawał możliwie mały. Pętla zewnętrzna nosi z tej przyczyny nazwę pętli regulatora. Kluczowym zagadnieniem jest takie skonstruowanie układu dostrajającego, aby uzyskać maksymalną stabilność z możliwością zredukowania uchybu nawet do zera. Zadanie to jest nietrywialne. Można łatwo udowodnić, że nie może być ono rozwiązane za pomocą prostego liniowego sprzężenia zwrotnego od uchybu do parametrów regulatora.

Rys1.2. Schemat systemu adaptacyjnego z modelem odniesienia (MRAC)

W oryginalnym systemie MRAC stosuje się zasadę zwaną „prawo MIT” [8], która opisuje sposób dostrajania parametrów i jest wyrażana wzorem matematycznym:

(1.1)

W równaniu tym ”e” oznacza błąd modelu. Składowe wektora
są dostrajalnymi parametrami regulatora. Składowe wektora grad
e są pochodnymi czułości błędu po dostrajalnych parametrach. Pochodne czułości mogą być generowana jako sygnały wyjściowe układu liniowego sterowanego sygnałami wejściowymi i wyjściowymi obiektu. Liczba k jest parametrem określającym szybkość adaptacji.

Whitaker i jego współpracownicy uzasadnili prawo (1.1) następująco [8]: Przypuśćmy, że parametry określone wektorem zmieniają się znacznie wolniej niż pozostałe zmienne układu. W celu zawężenia zakresu błędu racjonalnym jest zmienianie parametrów w kierunku uzyskania ujemnej wartości gradientu e.

Jeśli wzór (1.1) przepiszemy w postaci:

to widać, że mechanizm dostrajania można uważać za złożony z trzech części: filaru liniowego do obliczania pochodnych czułości z sygnałów wyjściowych i wejściowych procesu, mnożnika i integratora. Konfiguracja ta jest typowa dla wielu układów adaptacyjnych.

Prawo MIT zdaje dobrze egzamin jeśli parametr k jest mały. Dopuszczalna jego wartość zależy od wielkości sygnału odniesienia. Na podstawie teorii stabilności można sprecyzować zmodyfikowane reguły dostrajania, o podobnej postaci, co prawo MIT. Pochodne czułości we wzorze (1.1) zostaną zastąpione innymi funkcjami.

System MRAC przedstawiony na Rys. 1.2 nosi nazwę bezpośredniego, ponieważ parametry regulatora są dostrajane bezpośrednio. Istnieją także inne systemy MRAC, gdzie dostrajanie parametrów regulatora odbywa się pośrednio.

1.4 Regulatory samodostrajające STR

Trzecią metodą dostrajania parametrów jest stosownie regulatora samodostrajającego. Układ taki przedstawiono na Rys. 1.3. Regulator rozpatrywać można jako złożony z dwóch pętli. Pętla wewnętrzna składa się z obiektu oraz z tradycyjnego regulatora liniowego ze sprzężeniem zwrotnym. Parametry regulatora są korygowane przez pętlę zewnętrzną, złożoną z rekursywnego estymatora parametrów oraz z elementu obliczającego projekt. W celu uzyskania dobrej estymacji może okazać się niezbędnym wprowadzenie sygnałów zakłócających. Ze względu na zamiar uproszczenia rysunku funkcji tej nie pokazano na Rys. 1.3. Prostokąt z napisem ”Projektowanie regulatora” przedstawia sobą bezpośrednie rozwiązanie zadania projektowania dla układu o znanych parametrach. Zadanie takie nosi nazwę zadania „projektowania podukładu” i może występować w większości układów sterowania adaptacyjnego. Często jednak występuje ono pośrednio. Rozwiązanie zadania projektowania podkładu jest dla skonstruowania systemów regulacji adaptacyjnej bardzo korzystne, ponieważ pozwala uzyskać charakterystyki układu w warunkach idealnych, gdy parametry są dokładnie znane.

Regulator samodostrajający został po raz pierwszy skonstruowany dla celów rozwiązania zagadnienia regulacji minimalnowariancyjnej. Ponieważ sposób podejścia do zagadnienia jest bardzo elastyczny pod względem metod projektowania podkładu, działania prowadzono w bardzo wielu kierunkach. Regulator samodostrajaący także posiada rekursywny estymator parametrów. Można stosować wiele różnorodnych schematów estymacji takich jak aproksymacja stochastyczna, metoda najmniejszych kwadratów, rozszerzona i uogólniona metoda najmniejszych kwadratów, metoda zmiennych instrumentalnych, rozszerzone filtrowanie Kalmana oraz metoda maksimium prawdopodobieństwa.

Regulator samodostrajający został po raz pierwszy skonstruowany przez Kalmana. Regulatorom samodostrajającym poświęca się ostatnio coraz więcej uwagi, ponieważ są one elastyczne, łatwe do opanowania i nadają się do wspomagania ich mikroprocesorem.

Regulator samodostrajający przedstawiony na Rys. 1.3 nosi nazwę ustalonego regulatora samodostrajającego albo regulatora samodostrajającego opartego na ustalonym modelu obiektu. Niekiedy możliwe jest dokonanie zmiany parametrów obiektu, co może być podane w danych parametrycznych regulatora. Daje to bardzo znaczne uproszczenie algorytmu, ponieważ wyeliminowane zostają obliczenia projektowe. Taki regulator samodostrajający nosi nazwę nieustalonego regulatora samodostrajającego, ponieważ bazuje on na estymacji nieustalonego modelu obiektu.

Rys. 1.3. Schemat blokowy regulatora samodostrajającego STR

1.5 Relacje między systemem adaptacyjnym z modelem odniesienia MRAC, a regulatorem samodostrajającym STR

System MRAC został skonstruowany przy okazji rozważania wyznaczalności problemu serwosterownia, a regulator samodostarjający STR - przy okazji rozważania problemu regulacji stochastycznej. Pomimo różnego rodowodu obu systemów, są one blisko pokrewne. W obu systemach występują dwie pętle sprzężenia zwrotnego. Pętla wewnętrzna jest typową pętla sprzężenia zwrotnego z obiektem regulacji i regulatorem. Regulator posiada zdolność dostrajania parametrów, co dokonywane jest poprzez pętlę zewnętrzną. Dostrajanie opiera się na sprzężeniu zwrotnym sygnałów: wejściowego i wyjściowego. Metody projektowania pętli wewnętrznej i techniki stosowane w celu dostrajania parametrów pętli zewnętrznych mogą być jednak różne.

System bezpośredni MRAC jest blisko spokrewniony z nieustalonym systemem STR, podczas gdy system pośredni MRAC - ustalonym systemem STR.

W celu lepszego wglądu w odmienne sposoby podejścia do zagadnień, poniżej zostaną podane przykłady syntezy algorytmów. Ich celem będzie również zaprezentowanie notacji niezbędnej do opisów teoretycznych w późniejszych rozdziałach. Najpierw zostanie opisany problem projektowania systemów o znanych parametrach. Następnie podane zostaną różne prawa regulacji adaptacyjnej. Do opisania problemu projektowania podkładu, wybrano projektowanie z lokalizacją bieguna [8]. Metoda ta jest bardzo użyteczna do omówienia podobieństw i różnic między regulatorami samodostrajającymi, a systemami adaptacji z modelem odniesienia. Jest to też wygodny sposób na zunifikowanie wielu algorytmów.

Przykład. 1.1

Rozważmy dyskretny układ czasowy o jednym wejściu i jednym wyjściu, opisany równaniem:

(1.2)

Gdzie „u” jest sygnałem sterującym a „y” sygnałem wyjściowym. Symbole A i B oznaczają odpowiednio pierwsze wielomiany operatora przesunięcia do przodu. Przypuśćmy, że należy znaleźć regulator, w którym związek między sygnałem sterującym, a żądanym sygnałem wyjściowym przybierałby postać:

A_my_m = B_mu_c (1.3)

Gdzie A i B są wielomianami.

Ogólne prawo regulacji liniowej zawierające w sobie sprzężenie zwrotne i sprzężenie do przodu, wyraża się wzorem:

R_u = Tu_c - S_y (1.4)

Gdzie R, S i T są wielomianami. Prawo regulacji liniowej przedstwaia ujemne sprzężenie zwrotne z funkcją przejścia -S / R oraz sprzężenie do przodu z funkcją przejścia T / R.

Eliminując „u” z równań (1.2) i (1.4) otrzymuje się następujące równanie dla układu z zamkniętą pętlą:

(AR + BS)y = BTu_c (1.5)

Zerowe wartości obiektu, występujące dla B = 0, będą wartościami zerowymi dla pętli zamkniętej, chyba że zostaną wykasowane przez odpowiednie bieguny pętli zamkniętej. Jeśli nie można wykasować zer niestabilnych lub słabo tłumionych, to wielomian B rozkłada się na czynniki w postaci:

B = B⁺B^- (1.6)

Gdzie B⁺ zawiera czynniki dające się wykasować, a B^- - pozostałe czynniki wielomianu B. Wartości zerowe wielomianu B⁺ muszą być stabilne i silnie tłumione. Aby rozkład na czynniki był jednoznaczny, wymagane jest, aby wielomian B⁺ był moniczny (o współczynnikach całkowitych i współczynniku przy najwyższej potędze równym +1) [8].

Z równania (1.5) wynika, że wielomianem charakterystycznym układu z pętlą zamkniętą jest AR + BS. Można uznać, że wielomian ten składa się z trzech grup czynników: wykasowanych zer obiektu, szukanych biegunów modelu i szukanych biegunów obserwatora. Jeśli czynniki te oznaczymy odpowiednio przez B⁺, A_m i A₀, to otrzymamy:

AR + BS = B⁺A_mA₀ (1.7)

Ponieważ B⁺ jest podzielnikiem B, to z powyższego równania wynika, że jest także podzielnikiem R. Stąd:

R = B⁺R₁ (1.8)

Równanie (1.7) można zatem napisać w postaci:

AR₁ + B^-S = A₀A_m (1.7')

Zakładając, że związek (1.5) między sygnałem sterującym, a sygnałem wyjściowym obiektu jest równoznaczny z wymaganym związkiem (1.3), otrzymujemy:

B_m = B^-B⁺_m (1.9)

T = A₀B⁺_m (1.10)

Musi istnieć więc założenie, że B^- jest podzielnikiem B_m, w przeciwnym razie nie istnieje rozwiązanie zadania projektu.

W celu uzyskania rozwiązania zadania pozostaje tylko podanie warunków gwarantujących istnienie rozwiązań równania (1.7) stanowiącego prawo regulacji, które jest przyczynowe. Funkcja przejścia sprzężenia zwrotnego S / R jest przyczynowa, jeśli

deg S ≤ deg R

Należy znaleźć takie rozwiązanie S równania (1.7), którego stopień jest możliwie jak najniższy. Zawsze istnieje rozwiązanie w postaci:

deg S ≤ deg A - 1.

Z równania (1.7) wynika zatem, że

deg R = deg A₀ + deg A_m + deg B⁺ - deg A

Warunek:

deg A₀ ≥ 2 deg A - deg A_m - deg B⁺ - 1 (1.11)

gwarantuje, że funkcja przejścia sprzężenia zwrotnego S / R jest przyczynowa. Podobnie nierówność:

deg A_m - deg B_m ≥ deg A - deg B (1.12)

pozwala wnioskować, że funkcja przejścia sprzężenia do przodu T / R jest przyczynowa.

W celu rozwiązania zadania projektowania lokalizacji bieguna, które to rozwiązanie da wybrane bieguny A_m i A₀ przy danych A i B, należy najpierw rozwiązać równanie (1.7') w celu uzyskania R₁ i S. Szukane sprzężenie zwrotne wyznaczyć można z równania (1.4) po wyznaczeniu R i T z równań (1.8) i (1.10).

Może istnieć wiele rozwiązań równania diofantycznego (1.7), spełniających warunki przyczynowości (1.11) i (1.12).

Wszystkie rozwiązania dadzą tę samą funkcję przejścia pętli zamkniętej. Różne rozwiązania dadzą jednak różne odpowiedzi na zakłócenia i uchyby pomiarów.

Z równań: (1.2), (1.3), (1.7') oraz (1.8) - (1.10) wynika, że prawo regulacji (1.4) może być zapisane w postaci:

U = G_mG_p^-1u_c - S/R (y - y_m)

Gdzie:

G_p = B / A, G_m = B_m/A_m oraz y_m = G_mu_c

Wynika stąd, że projektowanie „lokalizacji bieguna” może być zinterpretowane jako śledzenie modelu. Ma to duże znaczenie dla ustalenia związków między systemami STR i MRAC. W realizacji praktycznej częściej wykorzystuje się równanie (1.4).

1.6 Estymacja parametrów

Prawo regulacji (1.4) jest bezużyteczne jeśli parametry modelu (1.2) są nieznane. Parametry można jednak estymować, istnieje na to wiele sposobów. Wiele estymatorów można opisać w postaci równania rekursywnego:

(1.13)

gdzie składowe wektora θ są estymowanymi parametrami, wektor ϕ jest wektorem regresji, a ε jest błędem przewidywania. Wielkości ϕ i ε zależą od metody identyfikacji i struktury modelu. Dla przykładu, jeśli stosuje się metodę najmniejszych kwadratów do modelu opisanego równaniem (1.2), to błąd przewidywania jest wyrażony przez zależność

gdzie:

przy czym:

Składowe wektora ϕ są, więc opóźnionymi wartościami sygnałów: wejściowego i wyjściowego y.

Wielkość P we wzorze (1.13) zależy od konkretnej techniki estymacji. Może być wielkością stałą, co daje formułę dostrajania podobną do prawa MIT (1.1).

Inną metodę można uznać za rekursywne rozwiązanie układu równań liniowych. Metoda ta opisana została równaniem (1.13), gdzie P jest skalarem:

(1.14)

W metodzie aproksymacji stochastycznej P jest skalarem określonym wzorem:

(1.15)

W rekursywnej metodzie najmniejszych kwadratów wartość P we wzorze (1.13) wynosi:

(1.16)

W przypadkach, gdy we wzorach (1.14) i (1.15) mianownik jest równy zero, a macierz we wzorze (1.15) jest osobliwa, należy dokonać niewielkich modyfikacji.

Własności wielkości estymowanych zależą od modelu oraz zakłóceń. W przypadkach wyznaczalnych, gdy nie ma zakłóceń, estymatory wykazują zbieżność do właściwych wartości przy skończonej liczbie kroków. Np. własność taką posiadają algorytmy funkcji P wg wzoru (1.16). Algorytmy ze stałą wartością P wykazują zbieżność wykładniczą, pod warunkiem, że istnieje trwałe wzbudzenie. Jeśli układ opisany wzorem (1.2) z dodaniem niezależnej zmiennej losowej po prawej stronie równania, to niezbędne jest stosowanie algorytmu, w którym przy wzroście t, P dąży do zera, aby uzyskać estymatory zbieżne do właściwych wartości. Zachodzi to w przypadkach, gdy funkcja P jest określona wzorem (1.15) lub (1.16). Algorytmy takie nazywa się algorytmami o malejącym wzmocnieniu. Algorytmy o malejącym wzmocnieniu są jednak bezużyteczne, gdy parametry obiektu regulacji są zmienne. W takim przypadku można zastosować wzór (1.14) lub zastąpić wzór (1.16) wzorem:

(1.17)

gdzie 0 ≤ λ ≤ 1 jest współczynnikiem zapominania lub współczynnikiem obniżania. Taki dobór funkcji P koresponduje z estymacją metodą najmniejszych kwadratów z wykładniczym tłumieniem starych wartości.

1.7 Ustalony regulator samodostrajający

Poniżej opisany zostanie ustalony regulator samodostrajający, oparty na projektowaniu lokalizacji bieguna.

Zaprezentowano trzy algorytmy:

Algorytm 1.1

Krok 1. Estymować współczynniki wielomianów A i B w równaniu (1.2), rekursywnie stosując równania (1.13) oraz (1.14), (1.15), (1.16) lub (1.17).

Krok 2. W miejsce wielomianów A i B wstawić wielkości estymowane w Kroku 1. a następnie rozwiązać równanie (1.7') w celu otrzymania R₁ i S. Wyliczyć: R z równania (1.8) i T z równania (1.10).

Krok 3. Wyliczyć sygnał sterujący z równania (1.4).

Powtórzyć kroki 1-3 dla każdego okresu próbkowania.

W przypadku nieustalonego regulatora samodostrajającego obliczenia projektowe zostają wyeliminowane. A parametry regulatora są dostrajane bezpośrednio. Algorytm można sporządzić w sposób następujący. Zachodzą związki:

A_mA₀y = AR₁y + B^-Sy = BR₁u + B^-Sy = B^-(Ru + Sy) (1.18)

Gdzie pierwsza równość wynika z równania (1.7'), druga z równania (1.2), a trzecia z równania (1.8). Należy zauważyć, że równanie (1.18) może być interpretowane jako model obiektu regulacji z parametrami R, B^-, i S. Estymacja parametrów modelu (1.18) prowadzi bezpośrednio do wyznaczenia parametrów regulatora. Rozwiązanie problemu bilinearnej estymacji podał Astrom (1980r.). W szczególnym przypadku układów z minimalnofazowych, gdzie B^- = b₀, algorytm nieustalony można wyrazić następująco:

Algorytm 1.2

Krok 1. Estymować współczynniki wielomianów R i S w równaniu (1.18) rekursywnie stosując równanie (1.13), w którym:

gdzie:

przy czym:

oraz równania (1.14), (1.15), (1.16) lub (1.17).

Krok 2. Wyliczyć sygnał sterujący z równania (1.4) podstawiając

w miejsce R i S ich estymaty wyznaczone w Kroku 1.

Powtórzyć kroki 1-2 dla każdego okresu próbkowania.

Podany przez Astroma i Wittenmarka prosty regulator samodostrajający wykazuje zgodność z niniejszym algorytmem przy funkcji P określonej wzorem (1.17) [8].

Algoytm 1.3

Algorytm 1.2 opiera się na reparametryzacji modelu obiektu regulacji (1.2). Reparametryzacja taka jest nietrywialna w tym sensie, że równanie (1.18) ma więcej parametrów niż równanie (1.2). Wadą parametryzacji (1.18) jest to, że uzyskany model nie jest liniowy ze względu na parametry, co znacznie utrudnia estymację parametrów. Naturalnym jest, że należy zbadać inne metody parametryzacji. Jedną z możliwości jest napisanie równania modelu (1.18) w postaci:

A₀A_my = Ru + Jy (1.19)

Gdzie:

R = B^-R

J = B^-S

Estymowane wielomiany będą wtedy mieć wspólny czynnik B^-, który reprezentuje stany niestabilne. W celu uniknięcia wykasowania takich stanów należy wykasować ten wspólny czynnik przed dokonywaniem obliczeń na prawie regulacji. W efekcie uzyskuje się następujący algorytm regulacji:

Krok 1. Estymować współczynniki wielomianów R i J w równaniu modelu (1.19).

Krok 2. W wielomianach R i J wykasować wspólny czynnik w celu uzyskania R i S

Krok 3. Wyliczyć sygnał sterujący z równania (1.4) podstawiając za R i S wartości uzyskane w Kroku 2.

Powtórzyć kroki 1-3 dla każdego okresu próbkowania.

Powyższy algorytm w jasny sposób unika problemu estymacji nieliniowej. W algorytmie 1.3 jest jednak dużo więcej parametrów do estymowania niż w algorytmie 1.2, ponieważ parametry wielomianu B^- są estymowane dwukrotnie.

Istnieje kilka innych możliwości. W przypadku gdy B⁺ = const można postępować następująco:

Napiszmy równanie modelu (1.2) w postaci:

Az = u y = Bz (1.20)

Jeśli wielomiany A i B są względnie pierwsze, to istnieją wielomiany

U i V takie, że:

UA + VB = 1 (1.21)

z równań (1.10), (1.20) i (1.21) wynika, że:

A₀A_mz = A₀A_m(UA + VB)z = (RA + SB)z

A po podstawieniu równania (1.20):

A₀A_mUu + A₀A_mVy - Ru - Sy = 0

Albo inaczej:

U(A₀A_mu) + V(A₀A_my) - Ru - Sy = 0 (1.22)

Należy zauważyć, że ostatnie równanie jest liniowe ze względu na parametry. Opierając się na równaniu (1.22) można sporządzić algorytm adaptacyjny podobny do Algorytmu 1.3.

1.7.1 Związki z innymi algorytmami

Użyteczne jest posłużenie się prostym przykładem, ponieważ pozwala to na zunifikowanie różnych algorytmów adaptacyjnych. Prosty regulator samodostrajający oparty na estymacji metodą najmniejszych kwadratów i regulacji przy minimum wariancji, przedstawiony przez Astroma i Wittenmarka [1] stanowi szczególny przypadek Algorytmu 1.2, gdzie: A₀A_m = z^m ;B^- = b₀

Opisany przez Monopoliego algorytm adaptacyjny z modelem odniesienia stanowi szczególny przypadek Algorytmu 1.2, gdzie B^- = b₀, a estymator ma postać (1.13), przy czym P jest stałym skalarem. Regulator samodostrajający Clark'a i Gawthrop'a (1975 i 1979 r.) jest tego samego wzoru z estymacją metodą najmniejszych kwadratów.

Algorytmy regulatora samodostrajającego z regulacją lokalizacji bieguna, opisane przez Wellsteada, Pragera i Zankera są równoważne Algorytmowi 1.1.

Richalet i współpracownicy wprowadzili klasę algorytmów zwaną IDCOM. Algorytmy te opierają się na zasadzie estymacji modelu odpowiedzi obiektu regulacji na impuls i wykorzystaniu schematu regulacji zakładającego wykładnicze zanikanie zakłóceń. Prosty wariant IDCOM może być uważany za szczególny przypadek Algorytmu 1.2, gdzie

A₀A_m = z^m-1(z-a), a R = r₀z^k

1.8 Wybrane zagadnienia teoretyczne

Układy z pętlą zamkniętą uzyskiwane przy regulacji adaptacyjnej są nieliniowe. Jest to przyczyną trudności przy analizie, zwłaszcza gdy obecne są zakłócenia stochastyczne. Z tej przyczyny postępy w teorii są powolne i cząstkowe. Aktualna teoria daje wgląd w niektóre zagadnienia specjalne. Opracowanie godnej przyjęcia i kompletnej teorii wymaga jednak jeszcze wiele pracy.

1.8.1 Stabilność

Stabilność jest podstawowym wymaganiem stawianym układowi regulacji. Analizie stabilności układów regulacji adaptacyjnej poświęca się wiele wysiłków. Ważne jest pamiętanie o tym, że istnieje związek między koncepcją stabilności nieliniowych równań różniczkowych, a stabilnością rozwiązania szczegółowego. Może się zdarzyć, że jedno rozwiązanie jest stabilne, drugie zaś niestabilne.

Do regulacji adaptacyjnej szeroko stosuje się teorie stabilności Lapunova i Popowa. Silny rozwój systemów MRAC wynikł z potrzeby skonstruowania takich mechanizmów dostrajających, które dawałyby stabilne rozwiązania. Parks zastosował teorię Lapunova dla rozwiązania ogólnego zagadnienia MRAC dla układów ze sprzężeniem zwrotnym, w tym także ze sprzężeniem zwrotnym na wyjściu, gdzie funkcje przejścia są dodatnie i rzeczywiste. Landau zastosował hiperstabilność do szerokiego zakresu układów typu MRAC. Podstawowym wnioskiem z tych wszystkich prac jest to, że układ z pętlą zamkniętą może być przedstawiony w sposób uwidoczniony na rys.4. Układ taki może zatem być rozpatrywany jako złożony z układu liniowego oraz biernego układu nieliniowego. Jeśli układ liniowy jest dodatni i rzeczywisty, to z twierdzenia o pasywności wynika, że uchyb "e" dąży do zera.

W celu uzyskania żądanej charakterystyki konieczne jest takie sparametryzowanie równania modelu, aby było ono liniowe ze względu na parametry. Równanie modelu powinno zatem być postaci:

y(t) = ϕ^T(t)Q

Wymaganie powyższe silnie ogranicza dobór algorytmów nadających się do rozważania.

Ogólne zagadnienie sprzężenia zwrotnego na wyjściu stawia dodatkowe problemy, ponieważ nie jest możliwe uzyskania żądanej charakterystyki na drodze filtrowania uchybu modelu. Monopoli wykazał, że niezbędne jest powiększenie uchybu modelu. Monopoli wykazał, że niezbędne jest powiększenie uchybu przez dodanie dodatkowych sygnałów. Dla układów ze sprzężeniem zwrotnym sygnału wyjściowego takim powiększonym uchybem może być zmienna E na Rys 1.4.

W dowodach stabilności opartych na Rys 1.4. zawartych jest wiele szczegółów. W celu zagwarantowania stabilności należy wykazać, że wektor ϕ jest ograniczony. Jest to łatwe w przypadku układów posiadających tylko zmienne wzmocnienie, ponieważ wektor regresji ϕ posiada tylko jedną składową, będącą sygnałem sterującym. Ogólnie jednak, składowe wektora ϕ są funkcjami wyjściowymi i wejściowymi obiektu regulacji. Zagwarantowanie, by wektor ϕ był ograniczony, stanowi zatem zadanie nietrywialne. Należy także zauważyć, że z twierdzenia o pasywności wynika, że ε dąży do zera. Uchyb parametru nie spadnie do zera, dopóki macierz

będzie większa od określonej macierzy dodatniej.

Jeśli funkcja przejścia G(s) nie jest rzeczywista i dodatnia, to powstaje dodatkowa trudność, ponieważ sygnał ε jest powiększonym uchybem, Pozostaje zatem wykazać, że uchyb modelu również dąży do zera.

Rys. 1.4. Schemat systemu MRAC przekonstruowany w celu zastosowania teorii hiperstabilości. Zmienna ε jest filtrowanym uchybem modelu, ϕ jest wektorem zmiennych regresji, θ są dostrajalnymi parametrami, a θ₀ ich faktycznymi wartościami.[8]

W dodatku zamieszczono ważne twierdzenie (Twierdzenie 1.1). Stanowi ono prosty i rygorystyczny dowód stabilności dla zagadnienia adaptacyjnego. Wprowadzone założenia są jednak bardzo restrykcyjne.

Założenie a) Twierdzenia 1.1 oznacza dla układów dyskretnych, że zwłoka czasowa jest znana z dokładnością porównywalną w okresem próbkowania. Ma to swoje uzasadnienie. Dla układów o ciągłym przebiegu czasowym założenie a) oznacza, że znane jest nachylenie asymptoty wysokich częstotliwości na diagramie Bodego. W takim przypadku możliwe jest skonstruowanie dla takiego problemu zgrubnego regulatora o dużym wzmocnieniu.

Założenie b) Twierdzenia 1.1 jest bardzo restrykcyjne, ponieważ wynika z niego, że model musi być co najmniej tak samo skomplikowany jak układ faktyczny, który może być nieliniowy ze względu na poszczególne parametry. W rzeczywistości prawie wszystkie systemy regulacji oparte są na modelach silnie uproszczonych. Jest, więc bardzo ważne, aby metoda projektowania wykazywała zgodność z uchybami modelu. Parametry uzyskane dla modeli niskiego rzędu zależą w krytycznym stopniu od udziału częstotliwości w sygnale wejściowym. W regulacji adaptacyjnej opartej na modelach niskiego rzędu ważne jest aby parametry nie były dostrajane jeśli sygnał wejściowy nie ma dostatecznej ilości energii na odpowiednich częstotliwościach.

Założenie c) Twierdzenia 1.1 jest również bardzo surowe. Wynika ono z konieczności dysponowania modelem liniowym ze względu na parametry. Z równania (1.8) wynika, że jest to możliwe tylko wtedy gdy B^- = b₀. Innymi słowy, metoda projektowania podkładu oparta jest na wykasowaniu wszystkich zer obiektu regulacji. Takie projektowanie jest nieskuteczne nawet dla układów ze znanymi stałymi parametrami, jeśli układ posiada niestabilną odwrotność.

Należy zauważyć, że Twierdzenie 1.1 wymaga, aby nie było zakłóceń. Podano kontrprzykłady ukazujące, że w przypadku obecności zakłóceń niezbędne są modyfikacje algorytmów lub dodatkowe założenia. Jedną z możliwości jest ograniczenie, a priori estymatów parametrów np. przez wprowadzenie nasycenia do estymatora. Inną możliwością jest wprowadzenie martwej strefy w estymatorze, która powodowałaby stałość estymatora w przypadku małych wartości. Rezultaty tych działań są skuteczne także dla układów czasowych ciągłych.

1.8.2 Analiza zbieżności

Podstawowymi zagadnieniami w analizie zbieżności są: określenie warunków zbieżności i możliwych punktów zbieżności oraz szybkości zbieżności. Analiza zbieżności sprowadza się do analizy równań np. (1.13). Zagadnienia takie były szeroko omawiane w literaturze dotyczącej identyfikacji układów (Eykhoff, 1961r.). W przypadku regulacji adaptacyjnej zachodzą dwie komplikacje. Ponieważ sygnał wejściowy obiektu jest generowany przez sprzężenie zwrotne, wzbudzanie obiektu regulacji uzależnione jest od zakłóceń. Trudno jest, zatem udowodnić, że wejście jest stale wzbudzane, co jest warunkiem koniecznym zbieżności estymatu. Sygnał wejściowy jest, więc silnie skorelowany z zakłóceniami, ponieważ jest generowany przez sprzężenie zwrotne. Zatem wektor regresji ϕ w równaniu (1.13) zależeć będzie od starych wartości estymatów. Równanie (1.13) nie jest zatem prostym równaniem stanu.

Dla celów analizy, zbieżności powszechnie zakłada się, że układ jest sterowany przez zakłócenia. W takim przypadku możliwe jest określenie zbieżności niektórych układów adaptacyjnych przy wykorzystaniu rezultatów teorii ergodycznej i teorii eskalacji. Istnieją także inne metody dające większy wgląd teoretyczny.

1.8.3 Teoria eskalacji

Sternby podał bardzo ogólny dowód zbieżności algorytmu metody najmniejszych kwadratów, posługując się twierdzeniem o zbieżności eskalacji. Warunkiem zbieżności jest po prostu, aby P(t) → 0 przy t → nieskończoności. Uogólnienie tej zależności zostało zastosowane do układów adaptacyjnych. Wyniki ograniczyły się do modelu:

Ay = Bu + e

Gdzie e jest białym szumem. Zastosowano metodę Bayesa polegającą na tym, że zakłada się parametry w postaci zmiennych losowych. Daje to wiele trudności natury konceptualnej, ponieważ nic nie można powiedzieć na temat zbieżności poszczególnych wartości parametrów.

Twierdzenie 1.2 o zbieżności dla prostego regulatora samodostrajającego opartego na estymacji metodą modyfikowanej aproksymacji stochastycznej i regulacji na zasadzie minimum wariancji (patrz dodatek) zostało podane przez Goodwina. Rozpatrywane zagadnienie stanowi szczególny przypadek Algorytmu 1.2. Układ taki opisany jest poniższym modelem:

Ay = Bu + Ce (1.23)

Gdzie e jest zbadanym białym szumem.

1.8.4 Metody uśredniające

Algorytmy 1.1, 1.2, 1.3 są uzasadnione założeniem, że parametry zmieniają się wolniej niż zmienne stanu układu. Zmienne stanu układu z pętlą zamkniętą można, zatem podzielić na dwie grupy. Zmienne θ i P z równania (1.13) będą zmieniać się wolno, zaś sygnał wejściowy u i sygnał wyjściowy y będą zmieniać się szybko. Naturalną rzeczą jest, więc próba aproksymacyjnego opisania parametrów przez aproksymowanie wyrażenia P ϕ ε w równaniu (1.13). Jedną z możliwości jest np. zastąpienie wyrażenia P ϕ ε przez jego wartość średnią. Taki sposób zastosowali Kryłow i Bogoliubow w analizie wyznaczalności drgań nieliniowych.

Metodą uśrednienia zastosowali Astrom i Wittenmark w celu wyznaczenia możliwych punktów równowagi dla parametrów w zagadnieniu dostrajania. Dla prostego regulatora samodostrajającego opartego na regulacji według minimum wariancji i aproksymacji metodą najmniejszych kwadratów zostało wykazane, że stany równowagi są scharakteryzowane równaniem:

E ϕ ε = 0 (1.25)

Z równości tej wynika, że:
(1.26)

gdzie d = degA - degB. Zależności powyższe charakteryzują możliwe stany równowagi nawet, jeśli obiekt regulacji jest nieliniowy lub wysokiego rzędu. Astrom i Wittenmark [1] wykazali, że regulacja na zasadzie minimum wariancji prowadzi do równowagi nawet, jeśli C = 1 w równaniu (1.23), a estymaty uzyskane metodą najmniejszych kwadratów dały przesunięcie punktu pracy.

Metodą uśrednienia szeroko rozwinął Ljung dla celów problemu dostrajania. Ponieważ estymowane wzmocnienie P(t) dąży do zera przy czasie dążącym do nieskończoności, to należałoby oczekiwać, że rozdział funkcji na szybko i wolno zmieniające się będzie ze wzrostem upływającego czasu coraz wyraźniejszy. Ljung wykazał, że przy czasie dążącym asymtotycznie do nieskończoności estymaty opisane są równaniami różniczkowymi zwyczajnymi.

Rozważmy dla przykłądu algorytm oparty na aproksymacji stochastycznej, tj, na równości (1.13), przy czym funkcja P jest określona wzorem (1.15). Wprowadźmy pojęcie czasu przetworzonego określonego wzorem:

(1.27)

gdzie |x| oznacza normę funkcji, a c jest stałą. Ljung wykazał, że estymaty mogą być opisane w przybliżeniu rozwiązaniami równania różniczkowgo zwyczajnego:

(1.28)

gdzie

, (1.29)

a E oznacza wartość średnią wyliczoną przy założeniu, że parametr θ jest stały. Ljung wykazał też, że estymat wykazuje zbieżność do rozwiązania równania (1.28) w miarę wzrostu czasu. Opisywana metoda może być zastosowana do bardzo rozległej klasy zagadnień. Ponieważ estymaty opisywane w przybliżeniu przez równania różniczkowe zwyczajne, metoda zastała nazwana „metodą ODE”.

Opisywana metoda jest przydatna do wyznaczenia możliwych punktów równowagi i ich stabilności lokalnej jak również do wyznaczenia szybkości zbieżności. Metoda jest jednak trudna w stosowaniu, ponieważ funkcja f w równaniu (1.28) jest złożona nawet w prostych zagadnieniach. Inną wadą tej metody jest to, że opiera się ona na założeniu, że sygnały są ograniczone. Konieczne jest, zatem ustalenie tej ograniczoności przy użyciu innej metody. Ljung zastosował metodę ODE do prostego regulatora samodostrajającego opartego na aproksymacji stochastycznej i regulacji na zasadzie minimum wariancji. Twierdzenie 1.2 zostało udowodnione przy założeniu ograniczonych sygnałów. Podobna analiza regulatora samodostrajającego opartego na minimum wariancji i estymacji metodą najmniejszych kwadratów wykazała, że warunkiem spełnienia równania (1.24) jest , aby funkcja:

przybierała stałe wartości rzeczywiste i dodatnie.

Holst dokonał szczegółowej analizy lokalnego przebiegu równania (1.28) dla regulatora samodostrajającego opartego na regulacji minimum wariancji i estymacji metodą najmniejszych kwadratów. Wykazał, że punkt pracy powiązany z regulacją minimum wariancji jest lokalnie stabilny, jeśli funkcja C(z) jest dodatnia dla zerowych wartości funkcji B(z).

Metody uśredniające stosowane są także do zagadnienia śledzenia. W tym przypadku nie będzie zbieżności parametrów, ponieważ wzmocnienie P(t) estymatora nie dąży do zera. Kushner zastosował teorię słabej zbieżności do aproksymacji wyrażenia P ϕ ε w równaniu (1.13) jego wartością średnią oraz składową losową opisującą fluktuacje. Do badania równania (1.13) stosowane są także metody pojedynczej perturbacji.

1.8.5 Stochastyczna teoria regulacji

Struktury regulatorów MRAC i STR oparte są na argumentach heurystycznych. Pożądane byłoby konstruowanie regulatorów na podstawie ujednoliconych ram teoretycznych. Można tego dokonać posługując się teorią stochastyczną regulacji nieliniowej. Układ i jego otoczenie opisywane są zatem za pomocą modelu stochastycznego. Jako kryterium przyjmuje się minimalizację wartości oczekiwanej funkcji strat, która jest skalarną funkcją stanów i rozkazów.

Zadanie znalezienia rozkazu, który ma zminimalizować oczekiwaną funkcję start, jest trudne. Nie są znane warunki istnienia optymalnych rozkazów. Zakładając, że rozwiązanie istnieje, można przy pomocy programowania dynamicznego ułożyć równanie funkcjonalne dla optymalnej funkcji strat. Równanie takie, zwane równaniem Bellmanna, może być rozwiązane numerycznie tylko w prostych przypadkach. Uzyskaną strukturę optymalnego regulatora przedstawiono na rys.1.5. Regulator można uważać za złożony z dwóch części: estymatora i regulatora ze sprzężeniem zwrotnym. Estymator generuje rozkład prawdopodobieństwa warunkowego stanu z pomiarów. Rozkład taki nosi nazwę hiperstanu problemu. Regulator ze sprzężeniem zwrotnym stanowi nieliniową funkcję wprowadzającą hiperstan do przestrzeni zmiennych regulacji.

Strukturalna prostota rozwiązania uzyskiwana jest za cenę wprowadzenia hiperstanu będącego wielkością o bardzo wielu wymiarach. Należy zauważyć, że struktura regulatora jest podobna do regulatora STR na Rys. 1.3. Regulator samodostrajający może być uważany za aproksymację, gdzie rozkład prawdopodobieństwa warunkowego jest zastąpiony rozkładem całej masy na warunkowej wartości średniej.

Należy zauważyć, że nie ma różnic między parametrami, a innymi zmiennymi stanu (patrz Rys. 1.5). Oznacza to, że regulator może działać przy bardzo szybkich zmianach parametrów.

Prawo optymalnej regulacji posiada ważną własność. Rozkaz dąży do doprowadzenia sygnału wyjściowego do żądanej wartości, lecz wprowadza także perturbacje, jeśli wartości parametrów nie są właściwe. Powoduje to korektę estymatów i przyszłych rozkazów. Regulacja optymalna daje właściwą równowagę między użyteczną regulacją, a małymi błędami estymacji. Własność ta nosi nazwę regulacji dualnej. Do zilustrowania użyto prostego przykładu.

Przykład 1.2

Rozważmy układ opisany równaniem:

Y(t+1) = y(t) + bu(t) + e(t) (1.30)

Gdzie u jest rozkazem (sygnałem sterującym), y sygnałem wyjściowym, e białym szumem o rozkładzie normalnym (0, δ_e). Jako kryterium przyjmujemy minimalizację średniego odchylenia kwadratowego sygnału wyjściowego y.

Jeśli założyć, że parametr b jest zmienną losową o rozkładzie pierwotnym Gaussa, to rozkład warunkowy b, określający w funkcji czasu t sygnały wejściowe i wyjściowe jest gausowski ze średnią wartością b(t) i odchyleniem standardowym δ(t). Hiperstan można zatem scharakteryzować przez trójkę (y(t), b(t), δ(t)). Równanie korekty hiperstanu ma tę samą postać co typowe równania filtrowania Kalmana.

Wprowadźmy funkcję strat:

(1.31)

gdzie Y_t oznacza dane dostępne w czasie t, czyli {y(t), y(t-1),...}.

Po wprowadzeniu znormalizowanych zmiennych

(1.32)

można wykazać, że V_N zależy jedynie od η i β. Równanie Bellmana dla rozpatrywanego problemu może być napisane w postaci:

gdzie ϕ jest normalną gęstością prawdopodobieństwa (0,1). Po dokonaniu minimalizacji prawo regulacji przyjmuje postać funkcji μ_N(η,β). Po rozwiązaniu numerycznym równania Bellmana okazuje się, że dla bardzo dużych N prawo regulacji nie zależy od N.

Rys. 1.5. Schemat blokowy regulatora adaptacyjnego opracowanego na podstawie stochastycznej teorii regulacji

Przedstawione spostrzeżenia będą tym bardziej słuszne, czym w każdej chwili w czasie pracy układu model odniesienia będzie lepiej śledzony, co wymaga spełnienia następujących warunków:

1. System powinien mieć możliwość zmiany parametrów alfa szybciej niż niekontrolowane parametry beta,

2. Możliwa szybkość zmian parametrów alfa powinny być większe niż szybkość zmian funkcji jakości w zakresie zmian epsilon pod działaniem g.

Należy zaznaczyć, że przy spełnieniu tych warunków jest możliwe operowanie operatorami W₀.

Znane są także inne prawa aproksymacji optymalnej regulacji. Regulacja z równowagą dokładności

(1.34)

jest uzyskiwana przez rozwiązanie zadania regulacji w przypadku znanych parametrów i zastąpienia nieznanych parametrów ich estymatami. Regulator samodostrajający może być rozpatrywany jako regulacja z równowagą dokładności. Zastosowanie znormalizowanych zmiennych da w efekcie postać:

μ = 1

Prawo regulacji w postaci:

(1.35)

stanowi inną aproksymację zwaną „ostrożną regulacją”, ponieważ zachowuje ona pewną rezerwę i stosuje mniejsze wzmocnienie jeśli estymaty nie są dokładne. Przy użyciu zmiennych znormalizowanych prawo regulacji wyraża się w postaci:

(1.35')

Należy zauważyć, że wszystkie prawa regulacji mają taką samą postać dla dużych wartości β, czyli w przypadku dokładnej estymacji. Optymalne prawo regulacji jest bliskie ostrożnej regulacji w przypadku dużych uchybów. Dla estymatorów o małej dokładności i umiarkowanych uchybach regulacji, regulacja dualna daje lepszy efekt regulacyjny niż inne prawa regulacji. Można to interpretować jako wprowadzenie sygnałów próbkujących w celu uzyskania lepszych estymatów. Należy także zauważyć, że w większości przypadków regulacja z równowagą dokładności jest bliższa prawu regulacji dualnej niż ostrożna regulacja.

Jeśli równanie Bellmana da się rozwiązać, jak w powyższym przykładzie, to możliwe jest uzyskanie użytecznych aproksymacji do prawa regulacji dualnej. Trzeba jednak podkreślić, że regulacja ostrożna i regulacja z równowagą dokładności nie mają własności dualności. Niestety, rozwiązanie równania Bellmana wymaga dużego nakładu obliczeń. Nie jest możliwe dokonanie w rozsądnym czasie obliczeń z czterema i więcej parametrami. W celu przedstawienia trudności rozważmy model opisany równaniem (1.23) gdzie C = 1, a e jest białym szumem o rozkładzie Gaussa. Skoro rozkład warunkowy parametrów jest rozkładem Gaussa, to trójka (ϕ, ϑ, P), gdzie ϕ jest wektorem regresji, ϑ jest estymatami, a P jest macierzą warunkowej kowariancji, jest hiperstanem. Dla modelu drugiego rzędu ϕ i ϑ mają cztery składowe, a P ma 10 różnych elementów. Do scharakteryzowania hiperstanu potrzeba, zatem osienaście liczb rzeczywistych. Zakładając, że każda zmienna jest wyliczana na 32 poziomach, do zapisania funkcji strat potrzeba byłoby 2⁹⁰ ≈ 10⁹ komórek pamięci. Jeśli C ≠ 1 w równaniu (1.23), to złożoność problemu drastycznie rośnie z uwagi na fakt, że rozkład warunkowy nie jest już gaussowski i w celu scharakteryzowania rozkładu będzie potrzeba znacznie więcej zmiennych.

1.9 Zalety i wady technik adaptacyjnych

Poniżej podano szereg uwag do zastosowań regulacji adaptacyjnej i zalety i wady wykorzystania technik adaptacyjnych.

Regulatory o 3-4 parametrach mogą być dostrajane ręcznie o ile nie zachodzi zbyt silne wzajemne oddziaływanie między korektami różnych parametrów. W przypadku bardziej skomplikowanych regulatorów konieczne jest jednak dysponowanie odpowiednimi urządzeniami do dostrajania. Tradycyjnie, bardziej skomplikowane regulatory były dostrajane na drodze modelowania lub identyfikacji i projektowania regulatora. Procedura taka jest zazwyczaj czasochłonna i kosztowna, dlatego może być stosowana w bardzo ważnych układach lub w systemach regulacji produkowanych w dużych seriach.

Zarówno MRAC jak i STR są regulatorami ze sprzężeniem zwrotnym o stałym wzmocnieniu, o ile estymowane parametry są stałe. Pętla adaptacyjna może być zatem stosowana w charakterze sterownika pętli regulującej. Regulator adaptacyjny pracuje dotąd, aż jakość pracy stanie się zadowalająca. Następnie pętla adaptacyjna zostaje odłączona i układ pracuje z ustalonymi parametrami regulatora. Samodostrajanie może być uważane za wygodny sposób wprowadzania automatycznego modelowania i projektowania do pracy regulatora. Daje to w efekcie rozszerzenie klasy zagadnień, w których można w ekonomiczny sposób stosować metody systematycznego projektowania. Samodostrajanie jest szczególnie przydatne do takich metod projektowania jak sprzężenie do przodu silnie uzależnione od dobrego modelu.

Dostrajanie automatyczne może być stosowane do prostych regulatorów PID jak również i do regulatorów bardziej skomplikowanych. Korzystnym jest połączenie regulacji samodostrajającej z urządzeniami diagnostycznymi, co daje możliwość sprawdzania działania pętli sterującej. W przypadku regulacji z minimum wariancji obliczenia charakterystyki dokonać można tego po prostu na drodze obserwacji kowariancji sygnałów wejściowych i wyjściowych. Dostrajanie może zostać rozpoczęte po uzyskaniu wskaźników, że pętla jest źle sterowana.

Bardzo wygodne jest wprowadzenie samoczynnego dostrajania do pakietu bezpośredniego sterowania cyfrowego DDC. Jeden algorytm dostrajania samoczynnego może wtedy obsługiwać wiele pętli. Ponieważ dobry algorytm dostrajania zajmuje niewiele pamięci komputera sterującego, jest to bardzo korzystne rozwiązanie. Halme opisuje algorytm dostrajania oparty na estymacji metodą najmniejszych kwadratów i regulacji na zasadzie minimum wariancji, zintegrowany z powszechnie stosowanym pakietem DDC.

Samodostrajanie może być także wbudowywane w regulatory z jedną pętlą. Możliwe jest przykładowo skonstruowanie regulatorów z trójpołożeniowym przełącznikiem reżimów pracy: ręcznej, automatycznej i z dostrajaniem. Algorytm dostrajania stanowi jednak większość oprogramowania regulatora z jedną pętlą. Zazwyczaj wprowadzenie samoczynnego dostrajania wymaga podwojenia pojemności pamięci.

Pętla regulacji adaptacyjnej może być wykorzystywana także do uzyskiwania doboru wzmocnienia. Parametry uzyskiwane podczas pracy układu zostają zarejestrowane w tablicy. Dobór wzmocnienia może być dokonany, jeśli układ pracował w zakresie zgodnym z zakresem możliwości regulatora.

Istnieją także inne sposoby powiązania doboru wzmocnienia z adaptacją. Dobór wzmocnienia może być zastosowany w celu szybkiego sprowadzenia parametrów do właściwego zakresu, po czym dokładne dostrojenie dokonane na drodze adaptacji.

Techniki adaptacyjne mogą naturalnie być stosowane do autentycznej regulacji adaptacyjnej układów o parametrach zmiennych w czasie. Niezbędne jest stosowanie przystawki operacyjnej, ponieważ w regulatorach adaptacyjnych również należy dokonać doboru parametrów. Regulatory bez możliwości nastawiania parametrów z zewnątrz mogą być konstruowane dla specjalnych celów, gdzie cel regulacji może być ustalony a priori. Takim przykładem jest autopilot urządzeń sterowych statku. W wielu przypadkach nie jest jednak możliwe ustalenie a priori celu regulacji. W takim przypadku należy przynajmniej podać ogólne założenia. Można tego dokonać przez wprowadzenie czujników, pozwalających uzyskać żądane własności układu z pętlą zamkniętą. Wykorzystując tę koncepcję można konstruować nowe, różnorodne typy regulatorów. Możliwe jest, np. stosowanie regulatora z jednym czujnikiem etykietowanym na żądaną szerokość pasma pętli zamkniętej. Inną możliwością jest regulator z czujnikiem, dokonującym korekcji między odchyleniem stanu, a działaniem sterującym w zagadnieniu LQG. Jeszcze inne możliwości daje stosowanie czujnika z zapasem fazy lub amplitudy.

Regulator adaptacyjny, z natury rzeczy nieliniowy, jest bardziej skomplikowany od regulatora za stałym wzmocnieniem. Przed podjęciem próby stosowania regulacji adaptacyjnej należy, najpierw zbadać, czy problemu regulacji nie da się rozwiązać przy pomocy sprzężenia zwrotnego ze stałym wzmocnieniem. Badań takich dokonuje się bardzo rzadko. W znanej literaturze na temat regulacji adaptacyjnej podano wiele przypadków, gdzie sprzężenie zwrotne ze stałym wzmocnieniem może funkcjonować równie dobrze jak regulator adaptacyjny. Istniej pogląd i przykłady z praktyki, że nie jest możliwe rozstrzygnięcie potrzeby stosowania regulacji adaptacyjnej na podstawie zmienności wariacji dynamiki układów z pętlą otwartą w zakresie pracy. Znanych jest wiele przypadków, gdzie sprzężenie zwrotne ze stałym wzmocnieniem „daje sobie radę” z odpowiednią zmiennością dynamiki układu. Istnieją także techniki projektowania sprzężenia zwrotnego ze stałym wzmocnieniem, które mogą być użyteczne dla odpowiednich zmian wzmocnienia.

Wobec braku kompletnej teorii sterowania adaptacyjnego w praktycznych zastosowaniach wiele zagadnień musi być rozwiązywanych intuicyjnie z pomocą symulacji.

ROZDZIAŁ 2

ADAPTACYJNE SYSTEMY STEROWANIA Z MODELEM ODNIESIENIA

Systemy adaptacyjne z modelem odniesienia (MRAS) są jednymi z ważniejszych i popularniejszych systemów adaptacyjnych. Mogą być one postrzegane jako „serwomechanizmy”, których oczekiwane odpowiedzi na zadane wymuszenie wyrażone są w postaci modelu odniesienia. Systemy MRAC są typowym przykładem systemów z regulacją bezpośrednią, gdzie synteza regulatora odbywa się bezpośrednio przez prawo adaptacji.

2.1 Metody syntezy praw adaptacji

Prawo adaptacji ma za zadanie doprowadzić w sposób asymptotyczny do zgodności sygnału wyjściowego procesu z sygnałem wyjściowym modelu. Spośród wielu metod poszukiwania praw (gradientowe, oparte na stabilności Lapunova, oparte na stabilności przez ograniczenie wejścia wyjścia), poniżej przedstawiono i scharakteryzowano jedno szczególnie interesujące.

2.2 Analityczne, gradientowe systemy adaptacyjne z modelem odniesienia

W odróżnieniu od systemów kompensacyjnych, algorytm dostrajania formułowany jest na bazie pojęcia gradientu.

Wektor funkcji Q od zmiennych wielkości α_i (i-0, 1, ... 2 ...) wyraża się jak wiadomo (2.1)

(2.1)

gdzie k_i - wzajemne ortogonalne wektory jednostkowe

Jeżeli zastosuje się pojęcie gradientu w adaptacyjnych systemach sterowania, to funkcje Q należy rozpatrywać jako jakieś kryterium, będące funkcją nastrajanych parametrów α_i systemu.

Wtedy zgodnie z metodą gradientu, wektor - funkcja szybkości zmian nastrajanych parametrów będzie

gdzie λ - dodatni skalarny współczynnik

znak ” + ” odnosi się do funkcji Q z ekstremum w maksimum;

znak ” - ” odnosi się do funkcji Q z ekstremum w minimum

Jeżeli funkcjonalna zależność Q od parametrów α_i nie jest wcześniej dokładnie znana, to do wyznaczenia gradientu funkcji Q i jej pochodnych
niezbędne są specjalne próbne ruchy.

Ogromną liczbę systemów automatycznego sterowania stanowi klasa systemów ze znaną strukturą. Te i inne dane mogą być wykorzystane dla określenia wielkości porównywanej kryterium sterowania Q od nastrajanych parametrów α_i i dla określenia wartości jego gradientu na drodze ciągłego obliczania pochodnych
w czasie funkcjonowania systemu.

Należy jednak podkreślić, że analityczny sposób dotyczy całego procesu samostrojenia w formie zależności kryterium Q nie tylko od znanych nastrajanych parametrów α_i, ale i od wolno zmieniających się i nieznanych parametrów p_i. Przy tym proces samostrojenia jest zbieżny w czasie. W literaturze [9] badano możliwość wprowadzania do systemu modelu odniesienia tj. przejście do analitycznej, gradientowej metody samosterowania z modelem odniesienia.

W celu wyjaśnienia tej metody określimy algorytm samostrojenia dla ogólnego schematu systemu samodostrajającego się z modelem odniesienia wykorzystującego pojęcie „wspomagającego operatora” - Rys. 2.1.

Równanie układu regulacji zapiszemy w postaci:

(2.2)

gdzie φ = φ(α, β) - operator głównego układu, zależący od wolno zmieniających się parametrów β (niekontrolowane zmiany)

Rys 2.1 Ogólny schemat systemu samodostrajającego się z modelem odniesienia.

i parametrów α, które mogą być wykorzystywane w charakterze nastrajanych (kontrolowane parametry).

Niech model odniesienia będzie opisany zależnością

(2.3)

gdzie φ_e - stacjonarny operator o strukturze zgodnej ze strukturą operatora φ systemu

Przyjmiemy jako kryterium nastrajania ekstremalną funkcję Q(ε₁), gdzie:

ε₁ = x_e - x (2.4)

jest błędem między sygnałem wyjściowym modelu odniesienia i systemu głównego x, które zależy od parametrów α i β.

Zgodnie z metodą gradientu na bazie równania (2.1) szybkość zmian nastrajanego parametru α_i będzie

(2.5)

Wyrażenie to pokazuje, że chwilową szybkość jednego nastrajanego parametru można wyliczyć mnożąc czynniki
i
(λ_i - stały dodatni współczynnik).

Ponieważ kryterium dostrajania Q jest funkcją odchylenia ε₁, to czynnik

można łatwo zrealizować w odpowiednim układzie obliczeń, na wejście którego podaje się ε_1.

W celu otrzymania czynnika
można wykorzystać np. metodę tzw. „wspomagającego operatora”. Ten czynnik może być wyznaczony z równania (2.4) z pomocą (2.2).

Ponieważ sygnał x_e nie zależy od parametrów systemu głównego to:

Pochodna cząstkowa może być wyliczona nie bezpośrednio przez różniczkowanie po α_i równania (2.2)

Ponieważ sygnał zadany ”g” nie zależy od parametrów systemu głównego, to:

Tym sposobem mamy:

Pochodna cząstkowa
reprezentuje sobą wspomagający operator, który może być realizowany przez układ realizujący operator:

i w konsekwencji czynnik
będzie realizowany jako sygnał wyjściowy tego układu na wejście, którego podano g_.

Równanie (2.5) przyjmie więc postać:

Struktura układu wyliczającego (filtra) W_i jest znana, jeżeli znana jest struktura i funkcjonalna zależność od parametrów operatora φ. Nieznane natomisat pozostają aktualne wartości parametrów α i β.

Jednak bieżące wartości parametrów α mogą być generowane za pomocą znanej techniki sprzężeń zwrotnych, (wymaga to znajomości zmian), ale przy wykorzystaniu modelu odniesienia konieczność takiej ingerencji odpada.

Zilustrujmy to na przykładzie systemu, którego struktura dana jest na Rys. 2.2

Rys 2.2 Schemat realizacji struktury algorytmu obliczeń

Transmitancja układu dana jest zależnością:

(2.6)

Zakładamy że, w tym wyrażeniu operator W₀ zależy od wolno zmieniających się parametrów β tj.

W₀ = W₀(β_μ) μ(0,1,...,2...),

Pozostałe operatory od β_μ nie zależą i są funkcjami odpowiednich nastrajanych parametrów:

W_φ = W_φ(α_φi); W₁ = W₁(α_1i); W_c = W_c(α_ci); i = (1, 2, ...)

Wyliczając pochodne cząstkowe po strojonych parametrach α_φi, α_1i, α_oi operatora φ uzyskamy wyrażenie dla operatorów algorytmu w formie:

(2.7)

Ponieważ celem strojenia jest zapewnienie równości

x = x_e

na podstawie równania (2.2) i (2.3) tak równość może być spełniona przy spełnieniu

φ = φ_e (2.8)

w równaniach (2.7) można zamienić operator φ operatorem φ_e.

Jeśli z drugiego równania (2.7) wyruguje się operator W₀ zamieniając wyrażeniem (2.6)

otrzymamy wyrażenie wspomagających operatorów postaci:

(2.9)

Tym sposobem otrzymane operatory (2.9) algorytmu, zależą tylko od nastrajanych parametrów i nie zależą od zmieniających się wolno parametrów β.

Przedstawione spostrzeżenia będą tym bardziej słuszne, czym dokładniej w każdej chwili czasu w czasie pracy układu model odniesienia będzie lepiej śledzony przez układ (φ = φ_e).

Wymaga to `spełnienia następujących warunków:

1. system powinien mieć możliwość zmiany parametrów

α szybciej niż niekontrolowane parametry β,

2. możliwe szybkości zmian parametrów α powinny być większe niż szybkość zmian funkcji jakości Q(ε₁) w związku ze zmianami ε₁ pod działaniem g.

Przy spełnieniu tych warunków jest możliwe operowanie operatorami W₀, W_φ, W₁, W₀ jako funkcjami przejścia.

Rozpatrzmy układ regulacji z Rys. 2.3:

Rys. 2.3 Przykład głównego konturu regulacji.

Potrzebujemy, żeby ten układ miał charakterystykę wyrażoną przez funkcję przejścia

(2.10)

Współczynniki a₀, a₁ - są zadane i stałe

Zgodnie ze schematem przedstawionym na rys 2.3 funkcja przejścia jest

(2.11)

To wyrażenie matematyczne jest poprawne tylko w tym przypadku kiedy współczynniki α₀, α₁, β₀, β₁ są stałe. Tylko w takich warunkach można rozpatrywać funkcję przejścia jako stosunek sygnału wyjściowego i wejściowego (wg Laplace'a).

Współczynniki β₀, β₁ mogą zmieniać się w nieznaczny sposób w czasie, a współczynniki α₀, α₁ powinny zmieniać się w celu kompensacji zmian β₀, β₁. Wyrażenie (2.11) można uważać za poprawne, jeżeli spełnia podane wcześniej warunki. Cel samonastrajania polega na tym, aby zapewnić spełnienie warunku (2.8), tzn.

φ = φ_e

Dla osiągnięcia tego celu parametry α₀ i α₁ powinny dostrajać się tak aby w każdej chwili czasowej w procesie pracy układu spełnione były równania:

(2.12)

Te równania będą spełnione tym dokładniej im rygorystyczniej będą przestrzegane podane warunki. Jednak współczynniki α₀, α₁ są stałe, stąd stałe są również współczynniki w wyrażeniu (2.11), i które może być rozpatrywane jak funkcja przejścia systemu.

Różniczkując wyrażenie (2.11) (po α₀, α₁) otrzymamy

Otrzymane wyrażenia użyte z odwrotnym znakiem są funkcjami przejścia algorytmów (filtrów) W_α0 i W_α1. Po uwzględnieniu (2.12) będą one nstępujące:

(2.13)

Te wyrażenia można otrzymać jeżeli operatory W₀, W_c (rys. 2.3) będą rozpatrywane jak funkcje przejścia tj. jeżeli założyć, że na równaniach obiektu i elementu sprzężenia zwrotnego:

(p² + β₁p + β₀)x = ε

y = (α₁p + α₀)x

które są liniowymi równaniami ze zmiennymi współczynnikami, można dokonać transformacji Laplace'a, przyjmując współczynniki jako stałe. Wtedy formalnie można zapisać transmitancje w postaci:

i na podstawie trzeciej zależności z (2.9) (po wzięciu pod uwagę , że W_φ = W₁ = 1) i uwzględniając (2.10) otrzymamy to wyrażenie (2.13) dla transmitancji algorytmu.

W danym przykładzie wszystkie współczynniki wyrażenia (2.13) są stałe i dlatego mogą być rozpatrywane jako odpowiednie operatory różniczkowania ze stałymi współczynnikami.

Wyrażenia (2.9) są charakterystykami (operatorami, funkcjami przejścia) algorytmów (generatorów) na wejście których podany jest sygnał ”g” taki sam jak na model odniesienia i układ główny.

W charakterze sygnałów wejściowych mogą być do obliczeń wykorzystane inne sygnały. W szczególności sygnał uchybu ε i sygnał wyjściowy x, a także sygnał z modelem odniesienia x_e. W takim przypadku oczywiście operatory algorytmów będą się różniły od wcześniej określonych wyrażeniem (2.9).

W celu otrzymania równań tych operatorów musimy wykorzystać następujące związki pomiędzy ukazanymi sygnałami:

x = φ g

stąd:

(2.14)

Dalej

oprócz tego

co po uwzględnieniu (2.8) może być napisane jako

(2.15)

Tym sposobem operatory algorytmów obliczeń sprzężeń zwrotnych przy sygnale wejściowym x otrzymamy na drodze przemnożenia operatorów (2.9) na operator przy zmiennej x wyrażenia (2.14). Mamy więc:

(2.16)

Operatory algorytmu obliczeń przy wejściowym sygnale ε otrzymamy na drodze przemnożenia operatorów (2.9) na operator przy zmiennej ε wyrażenia (2.15), co daje

(2.17)

Operatory dla wejścia x_e będą takie same jak (2.16).

Wybór operatora pomocniczego zależeć będzie od prostoty jego realizacji i celowości wykorzystania tego lub innego sygnału wejściowego. Tak jak przejście od analitycznych wyrażeń przy jednym wejściowym sygnale do analitycznych wyrażeń przy drugim wejściowym sygnale.

ROZDZIAŁ 3

ANALIZA SYSTEMÓW ADAPTACYJNYCH PRZY POMOCY ŚRODOWISKA MATLAB

MATLAB jest zintegrowanym środowiskiem symulacyjnym wyprodukowanym przez MathWorks, Inc. Charakteryzuje się przyjaznym użytkownikowi zestawem narzędzi oraz otwartą architekturą, oraz zawiera profesjonalne biblioteki matematyczne i graficzne. Simulink jest natomiast interaktywnym narzędziem przeznaczonym do modelowania i symulacji procesów ciągłych i dyskretnych modeli dynamicznych [11]. Prostota jego użytkowania została osiągnięta przez technologię „przeciągnij i upuść” (ang. drag and drop) - schematy buduje się z bloczków pobieranych z biblioteki. Do pakietu MATLAB-a należy także kilkanaście przyborników (ang. toolbox), poszerzających jego zastosowanie do wielu dziedzin automatyki, przetwarzania obrazów i sygnałów lub inżynierii finansowej. MATLAB wspomaga projektowanie aplikacji w językach C oraz C++ oraz udostępnia aplikacje w infrastrukturze klient-serwer. Tworzenie graficznej strony aplikacji wspomaga natomiast przybornik GUIDE (ang. Graphic User Interface Design Environment). W niniejszej pracy skorzystano z aplikacji Simulinka zrealizowanej w ramach [7].

3.1 Charakterystyka narzędzia symulacyjnego MRASLab. Opis interfejsu użytkownika

MRASLab jest narzędziem wspomagającym symulację i analizę modeli ciągłych, liniowych pierwszego rzędu. Został zrealizowany i opisany w pracy dyplomowej [7]. Narzędzie było testowane na komputerze klasy PC (Athlon 2000+ XP, 256MB DDR RAM) i wersji MATLABa 6.5.0.180913a.

Interfejs użytkownika przedstawiony jest na Rys 3.1.

Rys 3. 1 MRASLab - interfejs użytkownika

Narzędzie umożliwia podanie transmitancji operatorowej modelu i obiektu regulowanego oraz ustawienie ich opóźnienia transportowego (ramki Model i Obiekt interfejsu). Łatwy dostęp do parametrów generatorów sygnałów wejściowych zapewnia ramka Sygnał wejściowy - r. Parametry nastawialne to:

a) dla sygnału prostokątnego - amplituda, okres (szerokość impulsu jest połową okresu), opóźnienie włączenia generatora oraz przemienność sygnału;

b) dla sygnału sinusoidalnego - amplituda, częstotliwość (w radianach na sekundę) oraz przesunięcie fazowe fali;

c) dla skoku jednostkowego - wartość skoku oraz opóźnienie włączenia generatora skoku.

Ramka Prawo adaptacji umożliwia wybranie prawa adaptacji, według którego odbywa się dobór parametrów regulatora, a także stopnia adaptacji. Do wyboru jest gradientowe prawo adaptacji oparte na nieznormalizowanej regule MIT oraz prawo oparte na teorii stabilności Lapunowa. Dodatkową możliwością jest porównanie wyników symulacji dla różnych praw adaptacji. Przeprowadzane są wtedy dwie symulacje dla tych samych parametrów i wyniki prezentowane są na wykresach, osobnych dla każdego mierzonego sygnału. Okno porównawcze przedstawione jest na Rys 3.2, jednak omówione zostanie ono później.

Rys 3. 2 Okno porównawcze praw adaptacji

W ramce Przebiegi czasowe, za pomocą checkboxów, można otwierać lub zamykać oscyloskopy, przedstawiające opisany sygnał. W ramce Symulacja określana jest długość czasu symulacji oraz rozpoczyna się jej proces. Istnieje także możliwość przerwania symulacji przed jej końcem, z pomocą klawisza Zatrzymaj. Dodatkowe przyciski w interfejsie użytkownika otwierają bądź zamykają model systemu w Simulinku, a także zamykają MRASLab-a.

Menu Plik w pasku menu umożliwia zapisanie zmian w modelu Simulinka, a także wyjście z MRASLab-a. Rozbudowane jest natomiast menu Opcje (Rys 3.3), gdzie istnieje możliwość wykreślenia charakterystyk Nyquista dla modelu i obiektu (bez opóźnienia transportowego), a także wyboru jednej ze zmiennokrokowych metod całkowania. Do wyboru są trzy algorytmy numerycznego całkowania:

a) ode45 - w oparciu o metodę Runge-Kutty, Dormand-Price - przyjmowany domyślnie,

b) ode23 - jednokrokowa metoda Runge-Kutty, Bogacki-Shampine,

c) ode113 - metoda wielokrokowa o zmiennym rzędzie Adams-Bashforth-Moultona (PECE).

Rys 3. 3 Menu Opcje w MRASLab-ie

MRASLab ma możliwość porównywania wyników symulacji przeprowadzonych w oparciu o metodę gradientową i teorię stabilności Lapunowa. Wykresy przedstawiane są dla odpowiadających sobie sygnałów w jednym oknie (Rys 3.2). Poprzez rozwijane menu istnieje możliwość porównania:

a) sygnałów wyjściowych modelu y_m i obiektu y,

b) sygnałów błędu e,

c) sygnałów sterujących u,

d) parametrów θ₁,

e) parametrów θ₂.

Skalowanie wykresu odbywa się przez nadanie wartości parametrów Xmin, Xmax, Ymin oraz Ymax oraz naciśnięcie przycisku Rysuj. Przycisk Reset przywraca wykres do stanu początkowego.

3.2 Struktury obiektów w MRASLab-ie

Struktura MRASLab-a pokazana jest na Rys 3.4. System ten ma strukturę podstawowego systemu MRAC, uzyskaną przez zamaskowanie Modelu, Obiektu, Regulatora i Wejścia. Sygnał referencyjny r generowany jest przez Wejście i podawany na Model oraz Regulator. Regulator steruje Obiektem przez sygnał u, powstający przez przetworzenie sygnałów r, e oraz y. Sygnały wyjściowe Modelu - y_m i Obiektu - y, po odjęciu stanowią sygnał e. Do wyjść Obiektu oraz Modelu podpięty jest oscyloskop ymyscope oraz blok przekazania danych do przestrzeni roboczej MATLAB-a (Wyjscie_y_ym). Dodatkowo w przestrzeni roboczej zachowywana jest tablica z chwilami czasu, dla których przeprowadzona jest symulacja (Wyjscie_t).

Rys 3. 4 Schemat blokowy MRASLab-a w Simulinku

Blok Wejście przedstawiony jest na Rys 3.5. Znajdują się tam cztery generatory sygnałów (sygnał sinusoidalny Sin1Gen, dwa sygnały prostokątne PulseGen oraz PulseSyn i skok jednostkowy StepGen). Sygnały te mogą być sumowane dając jeden sygnał referencyjny r. Parametry generatora PulseSyn są ustawiane na podstawie generatora PulseGen tak, by uzyskać sygnał prostokątny przemienny.

Rys 3. 5 Schemat blokowy podsystemu bloku Wejście

Model i Obiekt mają podobne struktury, co pokazują Rys 3.6 i Rys 3.7.

Rys 3. 6 Schemat blokowy podsystemu Obiekt

Rys 3. 7 Schemat blokowy podsystemu Model

Zmienna OP wyłącza opóźnienie transportowe w przypadku, gdy jest ono równe 0.

Strukturę podsystemu Regulator przedstawia Rys 3.8.

Rys 3. 8 Schemat blokowy podsystemu Regulator

Bloki th1blk i th2blk nastrajają parametry θ₁ i θ₂ regulatora. Blok Wybor wprowadza zmiany w blokach th1blk i th2blk tak, aby praca regulatora przebiegała według nieznormalizowanej metody MIT lub na podstawie teorii stabilności Lapunowa. Wyjscie_e_th1_th2 przekazuje do przestrzeni roboczej MATLAB-a tablicę z kolejnymi wartościami sygnałów e, theta1 oraz theta2 w każdej mierzonej chwili czasu. Blok Wyjsie_u zapisuje do przestrzeni tablicę z wartościami sygnału sterującego u. W schemacie umieszczone zostały dodatkowo cztery oscyloskopy (thscope, escope, uscope i rscope), umożliwiające obserwowanie przebiegów wartości odpowiadających nazwie sygnałów podczas symulacji.

Bloki th1blk i th2blk mają podobną strukturę, zaprezentowaną na Rys 3.9 i Rys 3.10. Bloki filt1 i filtr2 są implementacją równania dla prawa MIT. Jeśli regulator pracuje wykorzystując kryterium stabilności Lapunowa, filtry te są zwarte. Przełączanie odbywa się za pomocą nadrzędnego bloku Wybor.

Rys 3. 9 Schemat blokowy podsystemu th1blk

Rys 3. 10 Schemat blokowy podsystemu th2blk

3.3 Wyniki badań symulacyjnych systemów MRAC

Wyniki symulacji przeprowadzone przy użyciu narzędzia MRASLab, w środowisku MATLAB-a zaprezentowane zostały na przykładach. Przykład 3.1 jest swego rodzaju weryfikacją poprawności zbudowania narzędzia, przez przeprowadzenie symulacji i porównanie jej wyników z wykresami przedstawionymi w części teoretycznej. Kolejne przykłady pokazują jak na zachowanie systemu wpływają takie parametry jak: współczynnik adaptacji γ, amplituda sygnału referencyjnego, wartość opóźnienia, metoda numerycznego całkowania oraz rzędy modelu i obiektu oraz porównanie wyników metody gradientowej (MIT) z wynikami dla syntezy prawa adaptacji wg teorii Lapunowa.

Przykład 3.1 Weryfikacja wyników otrzymywanych przy użyciu narzędzia MRASLab.

Rozpatrzono system, który opisany był równaniem

natomiast model równaniem

Prawo adaptacji dla reguły MIT wyznaczono z zależności

Wartości zmiennych systemu i modelu wynosiły odpowiednio: a=1; b=0,5; a_m=b_m=2, γ=1.

Wyniki symulacji przedstawia Rys 3.11.

Rys 3. 11 Wyniki symulacji uzyskane z MRASLaba dla prawa MIT

Można zauważyć, że wartości wszystkich sygnałów przebiegają w identyczny sposób jak przebiegi teoretyczne. Wskazywałoby to na poprawność działania narzędzia dla prawa MIT.

Przebiegi sygnałów przy wykorzystaniu teorii stabilności Lapunowa zaprezentowano na Rys 3.12.

Rys 3. 12 Wyniki symulacji narzędziem MRASLab z wykorzystaniem teorii stabilności Lapunowa

Podobnie jak w poprzednim przypadku, przebiegi sygnałów teoretycznych i uzyskanych z symulacji są bardzo zbliżone do siebie. Na ich podstawie przypuszczać można, iż narzędzie MRASLab działa poprawnie również dla prawa opartego na teorii stabilności Lapunowa.

Kolejne rysunki przedstawiają różnice w sterowaniu przy wykorzystaniu wspomnianych praw adaptacji. Uzyskano je przez zaznaczenie opcji „porównanie praw” w MRASLab-ie. Rys 3.13 prezentuje przebiegi sygnałów wyjściowych dla dwóch przypadków. Sterowanie daje lepsze efekty przy użyciu gradientowej metody doboru parametrów.

Rys 3. 13 Przebiegi sygnału wyjściowego modelu i sygnałów wyjściowych obiektu dla dwóch praw adaptacji

Rys 3.14 prezentuje przebieg sygnału sterującego dla dwóch praw adaptacji. Można zauważyć, iż już po drugim okresie fali sygnału sterującego regulacja przy zastosowaniu prawa gradientowego wymaga nieco wyższej wartości sygnału, niż przy zastosowaniu regulacji opartej na stabilności systemu.

Rys 3. 14 Przebiegi sygnałów sterujących dla dwóch praw adaptacji.

Przykład 3.2 Symulacja systemu liniowego pierwszego rzędu.

Rozpatrzono system regulacji adaptacyjnej obiektu o transmitancji

i opóźnieniu T_op=0,01. Model referencyjny miał transmitancję operatorową

i opóźnienie równe zeru. Sygnałem referencyjnym była fala prostokątna o amplitudzie A=1 i okresie T=20, a stopień adaptacji wynosił 2. Wyniki symulacji uzyskane z MRASLab-a dla metody gradientowej użytej do syntezy prawa adaptacji przedstawia Rys 3.15. Wyniki symulacji przy wykorzystaniu teorii stabilności Lapunowa przedstawia Rys 3.16.

Rys 3. 15 Wyniki symulacji z Przykładu 3.2, prawo adaptacji - reguła MIT

Rys 3. 16 Wyniki symulacji z Przykładu 3.2, prawo adaptacji na podstawie teorii stabilności Lapunowa

Powyższe symulacje wskazują, iż między metodą gradientową oraz metodę, opartą na teorii stabilności Lapunowa nie ma dużych różnic. Parametry θ osiągają podobne końcowe wartości, podobny jest również przebieg sygnału sterującego u. W obu przypadkach również błąd e został sprowadzony do wartości bliskiej zeru. Zauważyć należy zbieżność w obu przypadkach wartości parametrów kontrolera do ich prawidłowych wartości równych:

Przykład 3.3 Badanie wpływu współczynnika adaptacji γ na jakość regulacji

Rozpatrzono system regulacji adaptacyjnej jak w Przykładzie 3.1. Do badań przyjęto współczynniki γ=0,1; γ=1; γ=10; γ=100, oraz sprawdzono zachowanie systemu dla dwóch praw adaptacji. Wyniki symulacji dla reguły MIT przedstawia Rys 3.17.

Można zauważyć, iż jakość regulacji wzrasta wraz ze wzrostem współczynnika adaptacji. Bardzo dobre dopasowanie osiągnięto dla γ=10. Zastosowanie wyższych wartości współczynnika γ grozić może jednakże pogorszeniem sterowania. Przedstawia to Rys 3.18, gdzie współczynnik adaptacji ma wartość 100. Sygnał wyjściowy obiektu osiąga tam wartości o wiele większe, niż wyjście modelu. Podobnie sygnał regulujący u osiąga wartości wielokrotnie większe niż amplituda sygnału referencyjnego.

Rys 3. 17 Wpływ współczynnika adaptacji na jakość sterowania: a) sygnały wyjściowe dla różnych wartości wsp. adaptacji b) sygnał błędu dla γ=10, c) sygnał parametrów regulatora dla γ=10, d) sygnał regulujący dla γ=10

Rys 3. 18 Wpływ wartości współczynnika adaptacji na jakość regulacji dla γ=100

W porównaniu z regułą MIT, system oparty na teorii stabilności Lapunowa osiąga znacznie lepsze parametry. O ile przebiegi sygnałów wyjściowych modelu i obiektu w tym przypadku są podobne (Rys3.19), to przy zwiększeniu wartości współczynnika adaptacji do 100, jakość regulacji wzrasta, co zostało przedstawione na Rys 3.20.

Rys 3. 19 Przebiegi wartości sygnałów wyjściowych modelu i obiektu dla różnych wartości współczynnika adaptacji

Rys 3. 20 Regulacja adaptacyjna dla γ=100

W powyższym przykładzie regulacja adaptacyjna oparta na teorii stabilności Lapunowa daje lepsze efekty dla dużych wartości współczynnika adaptacji. Jeśli γ jest małe, prawa adaptacji mogą być stosowane wymiennie.

Przykład 3.4 Badanie wpływu amplitudy sygnału referencyjnego na jakość regulacji

Rozpatrzono system z Przykładu 3.1. W poprzednich przykładach, gdzie amplituda sygnału referencyjnego była równa 1, symulacje przebiegały w sposób poprawny, dając spodziewane wyniki. W tym przykładzie amplituda sygnału referencyjnego wynosiła 0,1 oraz 10. Przebiegi sygnałów wyjściowych modelu i obiektu, będących wynikiem symulacji przy zastosowaniu reguły MIT przedstawia Rys 3.21 oraz Rys 3.22.

Rys 3. 21 Przebiegi sygnałów wyjściowych modelu i obiektu dla amplitudy sygnału referencyjnego równej 0.1

Rys 3. 22 Przebiegi sygnałów wyjściowych modelu i obiektu dla amplitudy sygnału referencyjnego równej 10

Zauważyć można wrażliwość systemu opartego na regule MIT na wartość amplitudy sygnału referencyjnego. O ile dla sygnału o amplitudzie 1 regulacja jest poprawna, to przy małych sygnałach wejściowych adaptacja obiektu do modelu przebiega w sposób bardzo powolny. Natomiast dla większych sygnałów pojawiają się bardzo duże wartości sygnałów błędu (Rys 3.22 c) ) oraz sygnału sterującego (Rys 3.22 d) ). Cechy tej nie wykazuje system oparty o stabilność Lapunowa. Dla sygnału referencyjnego o wartości 0,1 i 1 przebiegi są podobne do przedstawionych powyżej, jednakże dla dużych sygnałów nie następuje utrata jakości sterowania. Zilustrowane jest to Rys 3.23

Rys 3. 23 Przebiegi sygnałów wyjściowych obiektu i modelu dla sygnału referencyjnego o amplitudzie 10

Jak wynika z powyższego przykładu systemy oparte na teorii stabilności Lapunowa dają lepsze efekty regulacji dla dużych sygnałów, niż systemy korzystające z reguły MIT.

MRASLab przeznaczony jest w zasadzie do analizy systemów, w których struktury modeli są takie same. Sprawdzono przypadki, gdy jeden z modeli będzie drugiego rzędu. W Przykładzie 3.6 badane jest zachowanie systemu MRAC, gdy proces będzie rzędu drugiego, a model odniesienia pierwszego. W Przykładzie 3.7 drugi rząd wprowadzony został do transmitancji modelu odniesienia. Założono brak opóźnienia transportowego.

Przykład 3.5 Analiza systemu adaptacyjnego z modelem odniesienia pierwszego rzędu dla przypadku procesu drugiego rzędu

Rozpatrzono system, którego model odniesienia ma transmitancję

,

natomiast proces opisany jest modelem drugiego rzędu

.

Wyniki symulacji (prawo gradientowe MIT) przedstawiono na Rys 3.25.

W chwili zmiany znaku sygnału wyjściowego modelu, sygnał wyjściowy procesu osiąga wartości będące dwukrotnością amplitudy sygnału modelu. To przeregulowanie wynika z różnego charakteru procesu i modelu. Zauważyć można, iż amplituda błędu oscyluje w granicach (-1, 1), nie dążąc do zera w czasie. Przebiegi parametrów regulatora θ również oscylują, jednak w pobliżu właściwych, z punktu widzenia modelu, wartości.

Rys 3. 24 Przebiegi regulacji dla procesu drugiego rzędu (metoda gradientowa)

Na Rys 3.26 przedstawiono zachowanie systemu w symulacji przy użyciu teorii stabilności Lapunowa. Daje ona podobne wyniki, choć różnice w sygnałach wyjściowych nie są tak duże, jak dla prawa gradientowego.

Rys 3. 25 Przebiegi regulacji dla procesu drugiego rzędu - kryterium Lapunowa

Przykład 3.6 Analiza systemu adaptacyjnego z modelem odniesienia drugiego rzędu i obiektem pierwszego rzędu

Rozpatrzono system, którego model ma transmitancję:

,

natomiast proces jest pierwszego rzędu:

.

Wyniki symulacji przy użyciu gradientowego prawa adaptacji zaprezentowano na Rys 3.27. Widać na nim dobre podążanie procesu za modelem, pomimo, iż model jest rząd wyższy niż proces. W miarę stabilizacji wartości parametrów regulatora, przebieg sygnału wyjściowego procesu przyjmuje coraz bardziej kształt sygnału prostokątnego. Sygnał błędu oscyluje w stałych granicach, nie dążąc do zera.

Rys 3. 26 Przebiegi regulacji dla modelu odniesienia drugiego rzędu - metoda gradientowa

Zastosowanie prawa adaptacji opartego na stabilności Lapunowa daje bardzo zbliżone efekty. Ze względu na syntezę regulatora dla systemów pierwszego rzędu, wprowadzenie drugiego rzędu do systemu nie daję zadowalających wyników.

Na podstawie przeprowadzonych badań można stwierdzić, iż systemy regulacji adaptacyjnej oparte na nieznormalizowanej regule MIT są bardziej wrażliwe na zmiany amplitudy sygnału referencyjnego oraz na dobór współczynnika adaptacji. Systemy oparte na teorii stabilności Lapunowa wykazywały większą odporność. MRACLab może również służyć do badań procesów

i modeli rzędów wyższych, jednakże możliwości adaptacji są wtedy ograniczone.

Podsumowanie, uwagi i wnioski

Systemu i urządzenia realizujące sterowanie adaptacyjne znajduje coraz szersze zastosowanie. Głównym obszarem zastosowań tego typu sterownia wydaje się być robotyka. Systemy sterowania adaptacyjnego z modelem odniesienia stanowią ważną ich.

Przeprowadzone badania potwierdzają przydatność środowiska MATLAB / Simulink oraz interesujące cechy systemów adaptacyjnych MRAC. Badania przeprowadzono dla dwóch praw adaptacji - opartego na regule MIT, oraz drugiego, wykorzystującego teorię stabilności Lapunowa. Zbadano wpływ następujących parametrów i czynników na działanie systemu: współczynnika adaptacji, amplitudy sygnału referencyjnego. Dzięki możliwości łatwej zmiany parametrów układu, można było zaobserwować jak szybko dany obiekt potrafi się dostosować do zmieniających się warunków pracy.

Użyte narzędzie MRASLab zostało stworzone głównie z myślą o systemach pierwszego rzędu. Dokonano jednak również próby symulacji systemów rzędu drugiego i stwierdzono, że narzędzie MRASLAB również umożliwia badanie takich systemów.

Badania symulacyjne stanowią ważną i niezbędną część procesu projektowania regulatorów adaptacyjnych.

Pewną szansę na analityczną możliwość systemu dają algorytmy opisane w rozdziale 2.2. Problemy stabilności systemów MRAC powinny być w dalszym ciągu badane. Metoda Lapunowa daje w tym względzie szanse rozwoju.

Załączniki

Załącznik 1.1 - Twierdzenie 1.1

Niech układ opisany równaniem (1.2) będzie regulowany adaptacyjnym algorytmem 1.2, gdzie A₀A_m = z^m, B^- = b₀, i niech stosowana będzie metoda estymacji parametrów, tj. wzór (1.14).

Zakładamy, że:

a) przesunięcie bieguna d = degA - degB jest znane

b) estymowany model jest przynajmniej tego samego rzędu co obiekt regulacji

c) wszystkie wartości zerowe wielomianu B zawierają się w otoczeniu jednostkowym.

Wtedy sygnały u i y są ograniczone, a sygnał y(t) dąży do wartości sygnału sterującego y₀(t) przy czasie t dążącym do nieskończoności.

Dowód Twierdzenia 1.1 nie jest oparty na teorii hiperstabilności. Stanowi on analizę opartą na szczególnej strukturze problemu. Należy zauważyć, że Twierdzenie 1.1 nie mówi, że estymaty parametrów są zbieżne do ich faktycznych wartości.

Załącznik 1.2 - Twierdzenie 1.2

Niech obiekt regulacji opisany równaniem (1.23) będzie sterowany przez Algorytm 2, w którym: A₀A_m = z^m, B^- = b₀ i d = 1, przy użyciu identyfikacji metodą aproskymacji stochastycznej, tj. wg równania (1.13), w którym:

Niech nadal obowiązują założenia a), b), c) z Twierdzenia 1.1 i niech obowiązuje dodatkowe założenie, że funkcja:

(1.24)

przybiera stałe wartości rzeczywiste i dodatnie.

Wtedy sygnały wejściowe i wyjściowe są ograniczone średnim odchyleniem kwadratowym, a regulator adaptacyjny wykazuje zbieżność do regulatora z minimum wariancji opisanego równaniem (1.23).

Podano różne rozszerzenia na większe przesunięcie bieguna oraz różne modyfikacje estymacji metodą najmniejszych kwadratów. Nie ma jednak dotychczas dowodu zbieżności dla ogólnej postaci Algorytmu 1.2 dla estymacji metodą najmniejszych kwadratów.

Literatura

1. Åström K.J., Wittenmark B., Adaptive Control, Addison-Wesley 1998

2. Ioannou P.A., Sun J., Robust Adaptive Control, Prentice Hall, 1996

3. Horla D., Sterowanie adaptacyjne, wyd. I, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2003

4. Królikowski A., Sterowanie adaptacyjne z ograniczeniami sygnału sterującego, Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 2004

1. Niederliński A., Mościński J., Ogonowski Z., Regulacja adaptacyjna, PWN, Warszawa 1995

2. Tsakalis K., Ioannou P., Adaptive Control of Linear Time-varying Plants, Automatica, vol. 23 No. 4, IFAC 1987

3. Kalinowski K., Badania symulacyjne systemów MRAC, Politechnika Lubelska, Lublin 2005

4. Åström K. J., Sterowanie i zastosowanie regulatorów adaptacyjnych, Automatica vol. 19. No 5

5. Solodovnikow W., Szramko L., Obliczanie i projektowanie analitycznych systemów samonastrajających się z modelami odniesienia, Moskwa 1972

żródła internetowe:

6. http://www.impa.tuwien.ac.at/uploads/tx_publikationen/ ifac99_mrac.pdf

7. http://www.mathworks.com/

8. http://mathworld.wolfram.com/

9. http://www.control.lth.se/people/personal/rjdir/ RiceUniversty/ RiceUniversity2001sc.htm

10. http://planetmath.org/encyclopedia/

66

---