Praca zaliczeniowa

Portfel inwestycyjny banku

prof. dr hab. Jerzy Nowakowski

Grzegorz Skrzypczyński

nr albumu 31939

Semestr zimowy 2005/06

Studia dzienne

Zadanie 1

Dane są 3 obligacje:

• Obligacja A: 3-letnia o nominale 1000 zł, odsetki stałe płatne raz w roku na koniec roku, rentowność obligacji jest równa Y_A a odsetki równe są rentowności 52-tygodniowych bonów skarbowych.

• Obligacja B: 2-letnia o nominale 100 zł, odsetki stałe płatne co pół roku w wysokości p>0, rentowność obligacji wynosi Y_B.

• Obligacja C: 2-letnia o nominale 100 zł, odsetki płatne co pół roku, przy czym oprocentowanie równe jest rentowności 26-tygodniowych bonów skarbowych. Rentowność obligacji wynosi Y_C.

Dla wybranych Y_A, Y_B, Y_C, p oraz rentowności bonów, jak też parametru r wykonaj poniższe polecenia:

1. Oblicz Duration i Convexity obligacji A oraz C. Otrzymane rezultaty skomentuj.

2. Jak zmieni się cena obligacji C, jeżeli jej rentowność wzrośnie o 2 % (punkty procentowe)

3. Skonstruuj uodporniony portfel uwzględniając Convexity, jeżeli wiadomo, że jego wartość po 2 latach ma wynieść 20 mln zł

4. Jak zarządzać portfelem z punktu c), jeżeli wiadomo, że rentowność dla obligacji A wzrosła o r%, rentowność dla obligacji B o 2/3r%, a rentowność dla obligacji C spadła o 1/2r%. Zmiana rentowności nastąpiła po roku.

Podpunkt a)

Przyjmuję następujące wartości parametrów:

Y_A = 5,13%

r₅₂ = 4,083%

Y_B = 6,77%

Y_C = 7,11%

p = 5%

r = 1,5%

r₂₆ = 3,867% (rentowność 26-tygodniowych bonów skarbowych)

W celu znalezienia duracji obligacji należy najpierw obliczyć ich wartości bieżące wg wzoru:

Liczę teraz wartość bieżąca obligacji C, przy czym YTMC = Y_C­­­­/2 = 3,555% (ponieważ kupony wypłacane są co pół roku):

Znając wartości bieżące możemy policzyć duracje obu obligacji:

Duracja pokazuje, jaki jest rzeczywisty okres zwrotu zainwestowanego kapitału. W przypadku obligacji A zwrot kapitału nastąpi po 2,88 roku, a w przypadku obligacji C 3,78*0,5=1,89 roku (ponieważ liczyliśmy dla okresów półrocznych).

Wypukłość (convexity) obligacji obliczam ze wzoru:

Wypukłość obligacji jest podawana w latach do kwadratu. Ponieważ dla obligacji C liczyliśmy ten współczynnik dla okresów półrocznych, więc w latach do kwadratu wynosi on 8,65*(1/2*rok)² = 2,16 lat². Parametr wypukłości uwzględnia jest wskaźnikiem korygującym durację, uwzględniającym fakt, że zależność ceny obligacji od stopy procentowej nie jest zależnością liniową i jest miarą wypukłości wykresu powyższej zależności.

Podpunkt b)

Aby dowiedzieć się, jak zmieni się cena obligacji C, jeśli jej rentowność wzrośnie o 2%, możemy wykorzystać policzone w poprzednim podpunkcie durację i wypunkłość. Procentową zmianę ceny liczymy wg wzoru (należy pamiętać o użyciu duracji i wypukłość wyrażonych w latach):

Tak więc cena obligacji spadnie o 3,36% do wartości 97,75. Obliczenie nowej wartości bieżącej dla stopy wyższej o 2% pokazuje, że wynosi ona 97,53, co potwierdza, że wcześniejsze obliczenia były z dokładnością do błędu zaokrąglenia prawidłowe.

Podpunkt c)

Aby skonstruować uodporniony portfel, złożony z 3 obligacji konieczne jest obliczenie duracji i wypukłości dla obligacji B.

D_B = 1,87

C_B = 2,13

Skonstruowanie uodpornionego portfela polega na znalezieniu takich wartościowych udziałów poszczególnych obligacji, że duracja portfela
jest równa okresowi po którym portfel ma osiągnąć pewną określoną wartość, czyli dwóm latom. Ponieważ mamy 3 obligacje, więc portfeli takich można znaleźć wiele. Do wyboru optymalnego korzystam z kryterium wypukłości, które mówi, iż do portfela należy wybierać obligacje o największej wypukłości. Do znalezienia portfela korzystam z dodatku Solver, rozwiązując poniższy problem:

Wynikiem jest portfel, którego 13,19% wartości stanowią obligacje A, 86,81% obligacje B, a 0% obligacje C. Inwestor powinien zakupić więc 2715,23 obligacji A o łącznej wartości 2,638 mln zł oraz 163872,38 obligacji B o łącznej wartości 17,362 mln zł

Podpunkt d)

Po zmianie rentowności stopa zwrotu z obligacji A będzie wynosiła 6,63%, obligacji B - 7,77%, obligacji C - 7,86%. Dla nowych rentowności oraz terminu zapadalności krótszego o rok obliczam wartości bieżące, duracje oraz wypukłości (wszystkie w latach):

PV_A = 953,71 D_A = 1,96 C_A = 2,568

PV_B = 102,11 D_B = 0,981 C_B = 0,673

PV_C = 99,88 D_C = 0,986 C_C = 0,677

Postępując tak, jak w podpunkcie b) tym razem jednak nakładając warunek
, otrzymujemy portfel, którego 2,4% będzie stanowić obligacja A, a 97,6% obligacja B. Odpowiada to 503,3 obligacjom A, o łącznej wartości 480 tys. zł, i 191172,94 obligacjom B, o łącznej wartości 19520 tys. zł. Inwestor powinien zatem sprzedać 2211,93 obligacji A i zakupić za uzyskane środki 27300,56 obligacji B.

Zadanie 2.

Dane są następujące obligacje skarbowe z kuponem płatnym co pół roku:

Obligacja	PV	Roczny kupon	Termin do wykupu
1	101,30	6,125	0,5
2	102,85	6,25	1
3	102,87	5,25	1,5
4	102,65	4,75	2
5	108,42	7,25	2,5
6	110,17	7,5	3
7	121,48	10,75	3,5
8	118,61	9,38	4
9	110,33	7	4,5
10	107,70	6,25	5

Ponadto wiadomo, że cena 2-tygodniowych bonów skarbowych wynosi 99,83

Na podstawie powyższych cen wyznacz natychmiastową zerokuponową krzywą dochodowości, dla terminu zapadalności do lat 5

Aby wyznaczyć zerokuponową krzywą dochodowości należy obliczyć rentowności powyższych instrumentów finansowych. Zadanie polega więc na znalezieniu takich stóp YTM_x, że zdyskontowana wartość kuponów oraz wartości nominalnej równej 100 jest równa wartości PV. Należy więc znaleźć takie YTM_x, aby poniższa równość była spełniona:

gdzie:

n - termin do wykupu,

k = 1 dla obligacji z terminem wyrażonym w pełnych latach, k = 2 w przeciwnym wypadku

Do znalezienia tych wartości możemy wykorzystać dodatek solver. Wynik jest przedstawiony w poniższej tabelce

termin zapadalności	rentowność
2 tyg	4,43%
0,5	3,48%
1	3,31%
1,5	3,27%
2	3,36%
2,5	3,69%
3	3,85%
3,5	4,10%
4	4,23%
4,5	4,44%
5	4,50%

Rentowność 2-tygodniowego bonu skarbowego została policzona ze wzoru

Wyniki nanoszę na wykres i otrzymuję krzywą dochodowości:

Krzywa dochodowości ma nietypowy kształt dla obligacji z terminem zapadalności do 2 lat. Jest ona opadająca, co może oznaczać na przykład, że rynki oczekują obniżenia stóp procentowych przez bank centralny w okresie najbliższych 2 lat.

7

---