POLITECHNIKA ŚLĄSKA

WYDZIAŁ GÓRNICTWA I GEOLOGII

MECHANIKA I WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

REFERAT

Kratownice płaskie

Referat opracował:

Mateusz Fliegert

Górnictwo i Geologia

Studia Stacjonarne

CKI Rybnik

Sem. II

Rok Akademicki 2013/2014

Kratownicą nazywamy układ prętów sztywnych połączonych przegubowo. W rzeczywistości połączenia prętów nie są przegubowe. Uproszczenie to ułatwia obliczenia i podwyższa współczynnik bezpieczeństwa układu. Pręty z których zbudowane są kratownice, mogą być rozciągane albo ściskane. Jeżeli osie prętów leżą na jednej płaszczyźnie, to mamy do czynienia z kratownicą płaską.

Obciążenie kratownic przyłożone jest w węzłach. Każdy węzeł traktujemy jako punkt zbieżności płaskiego układu sił.

Na Rysunku widzimy kratownice płaską składającą się z 6 węzłów i 9 prętów i jednego pręta dwuprzegubowego.

Kratownicę nazywamy statycznie wyznaczalną, jeżeli równania równowagi umożliwiają określenie sił we wszystkich jej prętach oraz reakcje więzów. Aby kratownica była układem statycznie wyznaczalnym, musi być spełniony pewien warunek między jej liczbą prętów a liczbą węzłów:

P=2w-3

Gdzie:

p- liczba prętów w kratownicy

w-liczba węzłów w kratownicy

Obliczanie kratownic polega na wyznaczeniu reakcji podpór(więzów), na jakich zamocowana jest cała kratownica oraz sił w poszczególnych jej prętach. Istnieje wiele metod rozwiązywania kratownic. Do najbardziej rozpowszechnionych metod obliczania zaliczamy:

• Metodę węzłów(analityczna)

• Metoda Cremony(wykreślna)

• Metoda przecięć Rittera(analityczna)

• Metoda Culmana(wykreślna)

1. Analityczna metoda węzłów:

Metoda ta polega na oddzielnej analizie każdego węzła kratownicy. Układ sił działających na dany węzeł stanowi płaski zbieżny układ sił. Korzystając z warunków równowagi dla płaskiego zbieżnego układu sił postaci:

możemy dla każdego węzła obliczyć maksymalnie dwie wielkości niewiadome(siły w prętach).

W celu poprawnego stosowania metody węzłów konieczne jest zachowanie określonych zasad metodycznych.

Metodyka rozwiązywania typowych zadań przy stosowaniu metody węzłów.

1. Oznaczamy wszystkie węzły i pręty kratownicy oraz reakcje.

2. Sprawdzamy, czy kratownica jest układem statycznie wyznaczalnym.

3. Wyznaczamy reakcje podporowe dla kratownicy.

4. Wyznaczamy siły w prętach kratownicy poprzez analizę równowagi poszczególnych węzłów kratownicy. Węzły do analizy dobieramy w takiej kolejności ażeby ilość niewiadomych sił w węźle nie przekraczała dwóch.

5. Sprawdzamy czy poprawnie została przeprowadzona analiza w ostatnich dwóch węzłach.

Podczas analizy równowagi poszczególnych węzłów, przyjmujemy, że wszystkie pręty są rozciągane.

Zwroty sił w prętach w danym węźle przyjmujemy „od węzła”

Metoda wykreślna Cremony:

Metoda ta jest również zwana jako metoda Maxwella - Bowa - Cremony i należy do grupy metod wykreślnych, które są o wiele rzadziej stosowane.

Metoda ta pozwala wyznaczyć siły we wszystkich prętach kratownicy dzięki konstrukcji tzw. Planu sił Cremony

Metodyka rozwiązywania zadań przy zastosowaniu metody Cremony:

1. Oznaczamy wszystkie węzły i pręty kratownicy oraz jej reakcje.

2. Sprawdzamy, czy kratownica jest układem statycznie wyznaczalnym.

3. Wyznaczamy reakcje podporowe dla kratownicy (zewnętrzne siły bierne).

4. Budujemy wieloboki, nanosząc je w takiej kolejności, w jakiej napotykamy je obchodząc kratownicę w określonym kierunku (np.: zgodnie lub przeciwnie ze wskazówkami zegara).

5. Wykreślamy wieloboki sił dla poszczególnych węzłów.

6. Każda siła zewnętrzna oraz siła w pręcie może wystąpić na planie sił Cremony tylko jeden raz.

Analityczna metoda Rittera:

Analityczna metoda przecięć Rittera służy do wyznaczania sił w prętach kratownicy, których osie nie przecinają się w jednym punkcie i nie są do siebie równoległe. Metodę Rittera stosujemy, kiedy nie chcemy wyznaczać sił we wszystkich prętach kratownicy lecz tylko w wybranych.

Metoda ta polega na przecięciu kratownicy przez trzy interesujące nas pręty, a następnie wyznaczeniu sił w tych prętach przez rozpatrzenie równowagi jednej z części kratownicy.

Metoda wykreślna Culmanna:

Metoda ta jest graficzną interpretacją metody Rittera. Pozwala wykreślnie wyznaczyć siły w trzech niezbieżnych i nierównoległych prętach kratownicy.

Przy stosowaniu tejże metody siły wewnętrzne występujące w myślowo przeciętych prętach są nieznanymi siłami, natomiast siły zewnętrzne (zarówno czynne i bierne) odciętej częsci kratownicy po redukcji ich do wypadkowej spełniają w tym przypadku rolę znanej siły.

W ten sposób powstaje układ 4 sił, z których trzy są nieznane (siły w prętach), a jedna znana (zewnętrzna). Metoda ta opiera się na następującej zasadzie:

Jeżeli cztery siły tworzące układ płaski nie są do siebie równoległe, to wypadkowa dowolnych dwóch z tych sił przechodzi przez punkt przecięcia się linii działania dwóch pozostałych sił.

Metodyka rozwiązywania typowych zadań przu użyczy metody Culmanna:

1. Oznaczamy wszystkie pręty, węzły oraz reakcje kratownicy.

2. Sprawdzamy czy kratownica jest układem statycznie wyznaczalnym.

3. Wyznaczamy reakcje podporowe dla kratownicy (zewnętrzne siły bierne)

4. Przecinamy kratownicę przez interesujące nas pręty, uzewnętrzniamy siły w tych prętach po jednej stronie przeciętej części, a drugą część odrzucamy (zwroty zaleca się przyjmować od węzła, zakładając, że pręty są rozciągane).

5. Dokonujemy redukcji sił zewnętrznych (czynnych i biernych).

6. Znając kierunek, wartość i zwrot wypadkowej W oraz kierunki działania wyznaczonych sił w prętach stosujemy metodę Culmanna. Wyznaczamy wartości oraz zwroty sił w trzech rozpatrywanych prętach.

Bibliografia:

1) Jarosław Brodny: „Podstawy statyki: zbiór zadań z rozwiązaniami”- Wydawnictwo Politechniki Śląskiej. ISBN 978-83-7335-581-1

---