ZASADY STATYKI

1. Zasada równoległoboku - dwie siły przyłożone do jednego punktu możemy zastąpić jedną siłą wypadkową, która jest przekątną równoległoboku zbudowanego na tych wektorach

2. Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego są w równowadze gdy działają wzdłuż jednej prostej i mają te same wartości, ale przeciwne zwroty. Układ taki nazywamy zerowym.

3. Działanie układu sił nie ulegnie zmianie, gdy do układu tego dodamy układ wzajemnie równoważących się sił.

4. Zasada zesztywnienia działanie układu sił nie ulegnie zmianie przez zesztywnienie ciała na które działają te siły.

5. Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości o przeciwnym zwrocie i leżące na tej samej prostej przeciwdziałanie.

6. Zasada oswobodzenia z więzów - każde ciało nieswobodne można oswobodzić z więzów zastępując je reakcjami. Wówczas można rozpatrywać takie ciało jako swobodne znajdujące się pod działaniem sił sztywnych i biernych.

Momentem siły P względem punktu 0 nazywamy iloczyn wektorowy tej siły przez promień - wektor łączący 0 z dowolnym punktem na linii działania tej siły.

Momentem siły P względem osi l nazywamy rzut wektora momentu siły obliczonego względem dowolnego punktu na osi l na kierunek tej siły.

Para sił to układ sił równoległych o tych samych wartościach liczbowych lecz zwrotach przeciwnych.

Własności

-moment pary sił nie zależy od wyboru bieguna względem którego wyznaczamy i jest wartością stałą.

-każdą parę sił działającą w dowolnej płaszczyźnie możemy zastąpić inną parą sił działającą w tej samej płaszczyźnie o momencie równym momentowi pierwotnemu.

-pary sił działające w jednej płaszczyźnie możemy zastąpić jedną parą sił o momencie równym sumie momentów poszczególnych par sił

-pary sił działające w różnych płaszczyznach możemy zastąpić parą o momencie równym sumie geometrycznej momentów sił.

REDUKCJA DOWOLNEGO UKŁADU SIŁ

M_o=Σ_a=1ⁿM_a - moment główny układu sił

S=Σ_k=1ⁿP_k - wektor główny układu sił

M₀₁=M_0­-r×s - wzór Bosma (moment siły S względem bieguna O gdzie r = OO₁)

M_O1•S= M_OS=k=const Iloczyn momentu głównego względem dowolnego punktu ciała i wektora głównego układu jest równy iloczynowi mom. gł. układu względem bieguna redukcji O i jest stały = k.

S jest pierwszym niezmiennikiem układu sił.

k - parametr układu jest drugim niezmiennikiem układu sił.

Skrętnik - wynik redukcji dla którego wektor momentu głównego M._O jest wektorem równoległym do wektora głównego S

Oś centralna układu - prosta równoległa do wektora głównego S, na której leżą wszystkie bieguny redukcji, względem których układ redukuje się do skrętnika.

Równanie parametryczne osi centralnej

(M_x-(yS_z-zS­y))/S_x= (M_y-(zS_x-xS_z))/S_y= (M_z-(xS_y-yS­_x))/S_z

TABLICA REDUKCJI

S	M.O	K	Wynik
S≠0	M.O≠0	K≠0	Skrętnik lub 2 siły równoległe
S≠0	M.O≠0	K=0	Wypadkowa
S≠0	M.O=0	K=0	Wypadkowa
S=0	M.O≠0	K=0	Para sił
S=0	M.O=0	K=0	Równowaga układu sił

SZCZEGÓLNE UKŁADY SIŁ

Zbieżny układ sił - układ sił których linie działania przecinają się w jednym punkcie. Jeżeli wszystkie siły układu zbieżnego leżą w jednej płaszczyźnie układ taki nazywamy płaskim zbieżnym układem sił.

Każdy płaski układ sił można zredukować do wypadkowej

M₀-(xΣ_i=1ⁿP_iy-P_ix)=0 - równanie prostej działania wypadkowej

Warunki równowagi płaskiego układu sił M._O=0 , S=0

Układ sił równoległych - układ sił których linie działania są do siebie równoległe. Układ sił da się zredukować do wypadkowej k=0 lub pary sił gdy S=0. Środek sił równoległych to punkt zaczepienia ich wypadkowej

Środek sił równoległych - określa się jako współrzędne x_s, y_s, z_s x_s=(Σx_iP_i)/ ΣP_i; y_s==(Σy_iP_i)/ ΣP_i; z_s=(Σz_iP_i)/ ΣP_i;

Moment statyczny punktu materialnego względem dowolnej płaszczyzny to iloczyn masy tego punktu i jego odległości od płaszczyzny.

Środek ciężkości to punkt w którym skupiona masa układu ma względem dowolnej płaszczyzny lub osi taki sam moment statyczny jak cały układ materialny

TWIERDZENIA DOTYCZĄCE ŚRODKA MASY:

1)środek masy układu płaskiego leży w płaszczyźnie tego układu

2)środek masy linii prostej leży na tej linii

3)środek masy dwóch punktów materialnych leży na prostej łączącej te punkty i dzieli ją na odcinki o długościach odwrotnie proporcjonalnych do ich mas.

4)Środek masy układu mającego środek symetrii leży w tym środku. Jeżeli układ ma 2 lub więcej osi symetrii to środek leży w punkcie przecięcia się tych osi

5)Rzut środka ciężkości figury płaskiej na dowolną płaszczyznę jest środkiem ciężkości rzutu tej figury na dowolną płaszczyznę.

6)Moment statyczny względem osi lub płaszczyzny przechodzącej przez środek ciężkości jest zawsze równy 0.

7)Moment statyczny nie zmieni się jeżeli zamiast części układu wprowadzimy punkt materialny o masie równej masie danej części leżący w środku ciężkości tej części masy.

TARCIE KINETYCZNE

Q_GR=μG; T_MAX=μT; 0≤Q≤ Q_GR; 0≤T≤T_GR

tgϕ_gr= T_GR/N=μN/N=μ ; ϕ_gr=arctgμ ; 0≤ϕ≤ϕ_GR

Tarcie na równi pochyłej

Suma P_X=0 Gsinα-T=0

Suma P_Y=0 N-Gcosα=0

T_MAX=μT; T_MAX= Gsinα_max; tgα_max=μ

α_max=arctgμ warunek samohamowalności równi

Tarcie przy toczeniu

QR=NT f- współ. tarcia przy toczeniu

Nf_Max=M_T moment tarcia przy toczeniu

0≤ M_T≤QR=Nf

Tarcie pasów o koła

S=S₁e^αμ; α- kąt opasania; S,S₁ - siła naciągu pasa

PRĘT

Pręt - bryła której jeden wymiar wyraźnie dominuje nad pozostałymi. Pręt powstaje w wyniku przesuwania figury płaskiej A wzdłuż krzywej k, tak że figura pozostaje zawsze prostopadła do krzywej k, a jej środek ciężkości zawsze znajduje się na krzywej k. Figurę płaską nazywamy przekrojem normalnym pręta a krzywą k - osią pręta.

T- siła poprzeczna

N - siła normalna

M_s - moment skręcający

M_g - moment gnący

Siłą normalną w przekroju aa nazywamy sumę rzutów wszystkich sił znajdujących się po jednej stronie przekroju na kierunek normalny do przekroju (dodatnia jeżeli powoduje rozciąganie).

Siłą poprzeczną w przekroju aa nazywamy sumę wszystkich sił znajdujących się po jednej stronie przekroju (względem jego środka ciężkości) na kierunek prostopadły do osi przekroju.

Moment zginający przekroju aa nazywamy rzut wektora momentu będącego sumą momentów wszystkich sił znajdujących się po jednej stronie przekroju na kierunek styczny do przekroju (dodatni gdy powoduje wygięcie wypukłe w dół).

Tw. Schwedlera. pochodna momentu gnącego względem współrzędnej pokrywającej się z osią pręta jest równa sile poprzecznej dM_g/ds.=T; d²M._g/dx²=dT/dx=-q; q - gęstość obciążenia

KRATOWNICE

Pręt prosty nieobciążony na długości i zakończony przegubami to pręt przegubowy

Kratownica to układ prętów przegubowych połączonych ze sobą przegubami. Kratownica jest płaska jeśli pręty i obciążenia leżą w jednej płaszczyźnie

Warunek konieczny na to aby kratownica była geometrycznie niezmienna - P=2W-3; P- pręty; W - węzły (przeguby)

Metody wyznaczania sił w prętach kratownicy

analogiczne

1)równoważenia węzłów - wycinamy węzły w kratownicach i piszemy warunki równowagi dla każdego z osobna

2)przecięć Rittera - piszemy 3 warunki momentów (tylko 1 niewiadoma)

wykreślne

1)Cremana

2)Cluman

KINEMATYKA

Prędkości i przyspieszenia

V=dr/dt=dr/ds. * ds./dt=ds./dt * τ

|V|=ds./dt V=V*τ

a=dV/dt=d/dt(V*τ)=dV/dt * τ + V*dτ/dt

a= d²s/dt² * τ + V²/r * n

Stopnie swobody - liczba niezależnych parametrów potrzebnych do określenia położenia ciała sztywnego w przestrzeni.

Ciało swobodne (nie poddawane działaniu więzów posiada 6 stopni swobody) n = 6 - w . Funkcje określające położenie ciała nazywamy równaniami ruchu ciała sztywnego (ich ilość równa jest ilości stopni swobody)

Ruch kulisty - taki ruch ciała sztywnego, podczas którego jeden jego punkt pozostaje nieruchomy (środek ruchu kulistego). W ruchu kulistym torami punktu ciała są krzywe, które leżą na powierzchniach kul o promieniach równych odległościom tych punktów od punktu nieruchomego.

v = ω × r ; a = ε × r

Ruch obrotowy - ruch wokół prostej łączącej dwa nieruchome punkty ciała sztywnego. Prostą nazywamy osią obrotu.

ω = dϕ/dt ; |a_τ| = ε*r = [d²ϕ/dt²]*r |a_n| = ω²*r ; v = ω × r

Ruch postępowy - ruch, w którym dowolna prosta sztywno związana z poruszającym się ciałem pozostaje stale równoległa do położenia, jakie zajmowała w dowolnie obranej chwili czasu t, na przykład w chwili początkowej.

Ruch płaski - ruch, w którym wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej płaszczyzny zwanej płaszczyzną kierującą.

V_B = V_A + ω × AB ; V_B = V_A + V_BA ; a_B = a_A + a_BA ; a_B = a_A + a^s_BA + aⁿ_BA

Chwilowy środek prędkości w ruchu płaskim - jeżeli chwilowa prędkość kątowa jest niezerowa to musi istnieć taki punkt, którego prędkość jest równa zero.

Chwilowy środek przyśpieszeń - w ruchu płaskim jeżeli ω i ε nie są jednocześnie równe zero istnieje punkt, którego przyśpieszenie jest równe zero.

Ruch unoszenia - ruch układu ruchomego względem nieruchomego układu odniesienia.

Ruch względny - ruch punktu względem układu ruchomego.

Ruch bezwzględny - ruch punktu względem układu nieruchomego.

Prędkość bezwzględna - jest równa wektorowej sumie prędkości względnej i unoszenia V_b = V_w + V_u

Przyśpieszenie bezwzględne - jest wektorową sumą przyśpieszenia względnego, unoszenia i Coriolisa

a_b = a_w + a_u + a_c

gdzie a_w - przyśpieszenie punktu względem ruchomego układu odniesienia

a_u - przyśpieszenie punktu układu ruchomego pokrywającego się z danym punktem

a_c = 2ω×V_w przyśp. Coriolisa

D Y N A M I K A

Zasada pędu - pochodna wektora pędu względem czasu t jest równa sile działającej na punkt materialny

F = dp/dt

Zasada zachowania pędu - jeżeli na ciało nie działają żadne siły lub działające pozostają w równowadze (P = 0) to pęd ciała jest stały p = const.

Prawa dynamiki Newtona

1)Jeżeli na punkt materialny w pewnym okresie czasu nie działają żadne siły lub siły działające wzajemnie się równoważą, to punkt pozostaje w spoczynku, lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej.

2)Przyśpieszenie punktu materialnego ma wartość wprost proporcjonalną do wartości działającej siły i ma jej kierunek i zwrot F = ma

3)Jeżeli na punkt materialny A działa punkt materialny B to również punkt materialny B działa na punkt materialny A siłą równą co do wartości i kierunku o zwrocie przeciwnym. Siły te leżą na prostej łączącej oba te punkty.

Prawo powszechnego ciążenia - dwa punkty materialne oddziaływują na siebie siłami ≈ (m₁m₂)/r² ; |P| = k*(m₁m₂)/r²

Siła bezwładności. Zasada d'Alamberta: P + B = 0 Siły działające na ciało są w równowadze z siłą bezwładności.

Prawo superpozycji: ma = P₁ + P ₂ + ... + P_n przyśpieszenie punktu materialnego na który działają siły P₁...P_n równe jest sumie geometrycznej przyśpieszeń, które miałby ten punkt gdyby każda siła działała z osobna

Bezwładnościowy układ odniesienia - układ względem którego obowiązują prawa dynamiki Newtona. Każdy układ odniesienia poruszający się względem układu bezwładnościowego jednostajnym ruchem postępowym jest także układem bezwładnościowym.

Zasada krętu - pochodna wektora krętu względem czasu t jest równa momentowi siły działającej na punkt materialny obliczanego względem tego samego punktu co kręt.

dK₀/dt = M₀

Zasada zachowania krętu - jeżeli w pewnym okresie czasu moment siły działającej na punkt materialny jest stale równy 0, wówczas kręt jest stały.

Zasada względności mechaniki klasycznej - Za pomocą żadnych zjawisk mechanicznych nie możemy wykazać istnienia prostoliniowego jednostajnego ruchu postępowego układu odniesienia.

PRACA, MOC, ENERGIA

Praca mechaniczna - praca siły stałej na drodze prostoliniowej, kierunek działania siły pokrywa się z drogą.

Przesunięcie elementarne - nieskończenie mały wektor ds o wielkości równej różniczce łuku drogi.

ds = d_xi +d_yj + d_zk

Elementarną praca siły zmiennej P na elementarnym przesunięciu ds nazywamy iloczyn skalarny tej siły przez przesunięcie.

δL = P•ds ; δL =P_xdx + P_ydy + P_zdz ; L_AB = ∫_AB(δL) = ∫_AB(P_xdx + P_ydy + P_zdz)

dla toru kołowego: δL = M₀dϕ ; L_AB = ∫_ϕA^ϕB(M₀dϕ)

Moc - praca odniesiona do jednostki czasu

N = dW/dt = P*(dr/dt) = P•v

dla ruchu obrotowego: N = (M₀dϕ)/dt = M₀ω

Sprawność - stosunek pracy użytecznej do pracy włożonej

L_c = L_μ + L_st - straty

η = (L_μ/L_c) < 1

Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej: Skończony przyrost energii kinetycznej układu mechanicznego ciał materialnych z położenia o konfiguracji elementów A do położenia o konfiguracji elementów B jest równy sumie prac całkowitych układów sił zewnętrznych i zewnętrznych na tym przemieszczeniu

mV_B²/2 - mV_A²/2 = L_AB ; E_kB - E_kA = L_AB

Przyrost E_k w czasie od t₁ do t₂ jest równy pracy wykonanej przez siłę działającą na punkt materialny w tym samym czasie.

P O L A P O T E N C J A L N E

Pole wektorowe - ograniczony obszar w którym każdemu punktowi przyporządkowano wektor.

Pole wirowe niezachowawcze, niepotencjalne - pola, w których praca zależy od kształtu toru.

L_AB = ∫_AB(P_xdx + P_ydy + P_zdz)

Pole potencjalne - to pole sił, w którym praca nie zależy od drogi przejścia, lecz tylko od położenia punktu początkowego i końcowego. Praca po linii zamkniętej w polu potencjalnym wynosi 0. Jeżeli istnieje funkcja pola F(x,y,z), z której różniczka: dF = (∂F/∂x)dx + (∂F/∂y)dy + (∂F/∂z)dz , to pole nazywamy potencjalnym.

Potencjał pola sił - taka skalowana funkcja położenia V(x,y,z), której pochodne cząstkowe podług odpowiednich kierunków są równe składowym siły pola w tych kierunkach wziętych ze znakiem „-”. Miejsce geometryczne punktów, w których funkcja V przyjmuje jednakową wartość, nazywamy powierzchnią izoskalarną, lub ekwipotencjalną. Aby pole było potencjalne to: rotP = 0 ; rotP = (∂P_z/∂y - ∂P_y/∂z)i + (∂P_x/∂z - ∂P_z/∂x)j + (∂P_y/∂x - ∂P_x/∂y)k

Zasada zachowania energii mechanicznej - w polu potencjalnym suma energii kinetycznych i potencjalnej jest wartością stałą.

E_kA + V_A = E_kB + V_B

Wnioski dotyczące pól potencjalnych:

1)Potencjał jest to skalarna funkcja położenia, określona jako: gradV = -P

2)Potencjał istnieje w polu, w którym: rotP = 0

3)W polu potencjalnym praca elementarna jest równa różniczce zupełnej potencjału ze znakiem „-” δL = -dV

4)Praca całkowita w polu potencjalnym jest równa różnicy potencjałów i nie zależy od kształtu drogi

5)Praca całkowita w polu potencjalnym po torze zamkniętym jest równa 0

6)Siły pola są prostopadłe do powierzchni izoskalarnych

7)Siły pola są zwrócone od powierzchni wyższego potencjału do powierzchni niższego potencjału.

Pole stałe - pole, w którym siła jest stała co do kierunku, zwrotu i wartości.

Pole centralne (środkowe) - wielkość siły w dowolnym punkcie pola zależy tylko od odległości od jego środka.

Moment bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny, osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy punktu przez kwadrat odległości tego punktu od danej płaszczyzny osi, czy bieguna.

Promień bezwładności - taka odległość od płaszczyzny, osi lub bieguna, której kwadrat pomnożony przez masę układu da nam jego moment bezwładności.

Masa zredukowana - masa, która pomnożona przez kwadrat odległości od osi, płaszczyzny lub bieguna da nam moment bezwładności.

Momentem zboczenia (dewiacji) układu punktów materialnych względem dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyzn nazywamy sumę iloczynów mas tych punktów przez odległości od tych płaszczyzn.

I_xy = Σ_i=1^m(m_ix_iy_i) ; I_yz = Σ_i=1^m(m_iy_iz_i) ; I_zx = Σ_i=1^m(m_iz_ix_i) ; I_xy = ∫_m(xy)dm ...

Twierdzenie Steinera - moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi osi równoległej i przechodzącej przez środek masy układu powiększonemu o iloczyn masy całkowitej i kwadratu odległości między tymi osiami. I = I₀ + md²

Główne momenty bezwładności - pierwiastki równania sekularnego

I₁>I₂>I₃ , gdzie I₁ = I_max, I₃ = I_min

1)Każda oś symetrii jest osią główną.

2)Każda prosta prostopadła do płaszczyzny symetrii jest też osią główną.

3)Każda prosta, na której leżą środki mas warstw elementarnych otrzymywanych przez podział ciała płaszczyznami prostopadłymi do tej prostej też jest osią główną.

4)Momenty dewiacji względem głównych osi bezwładności są równe zero.

5)Jeżeli główne osie bezwładności przechodzą przez środek masy układu to nazywamy je centralnymi.

Ruch i własności dynamiczne środka masy

6)Pęd ogólny układu punktów materialnych równa się pędowi masy całkowitej układu umieszczonej w środku masy.

7)Środek masy układu punktów materialnych porusza się tak jakby była w nim skupiona całkowita masa układu poddana działaniu sumy wszystkich sił.

8)Pochodna pędu głównego układu punktów materialnych równa się sumie wszystkich sił działających na układ.

Twierdzenie Kóniga - energia kinetyczna ciała sztywnego równa się sumie energii kinetycznej ruchu postępowego całej masy skupionej w środku masy oraz energii kinetycznej ruchu obrotowego ciała sztywnego dookoła osi przechodzącej przez środek masy.

E_k = mu²/2 + I_kω²

Reakcje dynamiczne łożysk osi obrotu

R_Az = (-ω²/l)I_yz ; R_Ax = (-ω²/l)I_xy ; R_Ox = (ω²/l)I_xy - ω²x_sm ; R_Oz = (ω²/l)I_yz - ω²z_sm

Jeżeli reakcje dynamiczne są niezerowe układ jest dynamicznie nie wyważony. Reakcje dynamiczne będą zerowe jeżeli oś obrotu będzie jedną z głównych centralnych osi bezwładności wirującego ciała.

Żyroskop - ciało symetryczne obracające się dookoła materialnej osi symetrii, przy czym jeden z punktów osi jest nieruchomy.

Precesja - ruch, jaki powstaje jeżeli ciało wprowadzimy w obrót z prędkością kątową wokół materialnej osi symetrii, a równocześnie osi symetrii nadamy ruch obrotowy dookoła osi w ustalonej przestrzeni.

TEORIA UDERZENIOWA

Siły chwilowe - siły które działając na ciało materialne w ciągu bardzo krótkiego czasu osiągają bardzo duże wartości w porównaniu z siłami np. ciężkości.

Impuls - ∫₀^τ Pdt = s

Przyrost krętu ciała materialnego względem dowolnego bieguna wywołamy działaniem siły chwilowej jest równy momentowi jej impulsu względem przyjętego bieguna.

Uderzenie proste - przypadek w którym prędkości punktów stykających się ciał leżą na jednej prostej normalnej do powierzchni obu ciał.

Uderzenie środkowe - jeżeli normalna uderzeniowa przechodzi przez środek mas uderzających o siebie ciał.

Hipoteza Poissona - Impuls s'' odpowiadający drugiemu okresowi uderzenia (prędkości są sobie równe siła wzajemnego oddziaływania maleje do 0) związany jest z impulsem s' odpowiadającemu pierwszemu okresowi uderzenia (rozpoczynającym się w momencie zetknięcia, aż do momentu w którym prędkości na skutek odkształceniom nie zrównają się) związkiem:

s'' = k * s' k - współczynnik restytucji wyznaczmy na podstawie doświadczeń

k=1 dla ciał doskonale sprężystych

Więzy - czynniki ograniczające ruch ciała

Reakcje - siły oddziaływania więzów

Klasyfikacja więzów :

Geometryczne - równanie więzów zawiera tylko współrzędne punktów

Kinematyczne - równanie więzów zależy od prędkości

Reonomicze, niestacjonarne - zależy od czasu

Skleronomiczne, stacjonarne - niezależne od czasu

Auholonomiczne - zależne od prędkości

Gładkie, idealne - więzy w których nie występują reakcje sztywne

Obustronne φ_j(x, y, z ... x_n, y_n, z_n) = 0

Jednostronne φ_j(x, y, z ... x_n, y_n, z_n) =< 0, >= 0

Holonomiczne - niezależne od prędkości

Współrzędne uogólnione - odpowiednio dobrane niezależne parametry pozwalające określić położenie nieswobodnego układu materialnego. Ilość współrzędnych uogólnionych jest równa liczbie swobody układu.

Przesunięcia możliwe - zgodne z więzami

Przesunięcia przygotowane (wirtualne) - przesunięcia proporcjonalne do prędkości możliwych (zgodnych z więzami).

Praca przygotowana - elementarna praca siły P na przygotowanym przesunięciu jej punktu przyłożenia

Zasada Lagrange'a-d'Alemberta (prac przygotowanych) - WKW równowagi układu materialnego jest, aby suma prac przygotowanych z wszystkich sił czynnych i reakcji więzów przy dowolnym przesunięciu przygotowanym była równa zero.

Σ_i=1ⁿP_iδr_i = 0

Siły uogólnione - siły wykonujące pracę elementarną na odpowiadającej współrzędnej uogólnionej

δL = Σ_k=1^LQ_kδq_k Q_j = d/dt(∂E_k/∂q_j) - ∂E_k/∂q_j

Siła uogólniona jest równa zmianie w czasie pochodnej E_k układu względem odpowiedniej prędkości uogólnionej, pomniejszonej o pochodną E_k względem współrzędnej uogólnionej.

Równanie Lagrange'a I rodzaju:

R_ix = Σ_j=1^fλ_j*(∂F_j/∂x_j) = m_ix''_i - x_i

R_iy = Σ_j=1^fλ_j*(∂F_j/∂y_j) = m_iy''_i - y_i

R_iz = Σ_j=1^fλ_j*(∂F_j/∂z_j) = m_iz''_i - z_i

Równanie Lagrange'a II rodzaju:

Q_j = d/dt(∂E_k/∂q_j) - ∂E_k/∂q_j j=1,2,,....,k

Twierdzenie Vorginiona - moment siły wypadkowej dowolnego układu sił względem dowolnego punktu równy jest sumie momentów wszystkich sił składowych tego układu względem tego punktu.

Kręt k=r×p; k=r ×mV

---