METODY ITERACYJNE - są to metody rozwiązywania układów równań liniowych, które stosowane są przede wszystkim w przypadku dużej ilości równań w układzie. Wyróżniamy metody: Prostą, Jacobiego, Gaussa-Seidla, Nadrelaksacji. Wzór Xi+1= WXi +Z ; Xi+1- wektor szukany; W- macierz współczynników układu; Xi- wektor danych; Z- wektor wyrazów wolnych. Kolejne kroki obliczeniowe czyli kolejne wektory szukane(Xi+1,Xi+2,Xi+3…) zbliżają nas do coraz bardziej dokładnego wyniku X (jest granicą) jeśli te wektory są zbierzne, wówczas każdy kolejny wektor obarczony jest mniejszym błędem a metoda jest efektywna. ITERACJA PROSTA- Xi+1+WXi+Z; i=0,1,2,…n Dla uproszczenia przyjęto oznaczać Xi+1=U oraz Xi=X czyli U=WX+Z kolejne (Xi+1) kroki obliczeniowe Możemy dokonać dopiero po obliczeniu poprzedniego (Xi) wykorzystujemy te obliczenia aż do momentu akceptowanej wartości błędu. METODA GAUSSA-SEIDLA- W tej metodzie macierz W przedstawia się jako 2 macierze trójkątne W=Wu+Wl; W- macierz współczynników układu; Wu-upper- macierz trójkątna górna; Wl-lower- macierz trójkątna dolna. Xi+1=Wuxi+Wli+1+Z; i+0,1,2…n Metoda Gaussa-Seidla stanowi modyfikacje iteracji prostej i polega na tym, że przy k-pierwszych (Xi+1) wykorzystuje się już obliczone (i+1)-sze przybliżenia zmiennych oraz i-te przybliżenia pozostałych zmiennych czyli (k+1)-szych. METODA NADRELAKSACJI (SOR)- Jest to modyfikacja metody Gaussa-Seidla nazywana również SOR przyśpiesza ona zbieżność konstruowanego ciągu. Istota tej metody poplega na wprowadzaniu w miejsce składowych Ui po prawej stronie układu wartości Xi +α(Ui-Xi) gdzie α to współczynnik nadrelaksacji: w praktyce: Xi+1= WuXi+ WlXi+1 +Z (Gaussa-seidla) Xi+1= WuXi+ Wl[Xi + α(Xi+1-Xi)] +Z Parametr α €<1,2> gdy α=1- tożsamość metody Gaussa-Seidla; optymalne α=1,8 Jeżeli α nienależny <1,2> to metoda może nie być zbieżna.ROŻNICA POMIEDZY ELIMINACJA GAUSSA A METODAMI ITERACI- metoda eliminacji Gaussa stosowana do obliczeń małych, nie rozbudowanych układów równań, metoda ta dokładna bo nie obarczona żadnym błędem, lecz jest czasochłonna i pamięciożerna gdyż wymaga wykonania i zapamiętania dużej ilości operacji, pierwiastki obliczamy zaczynając od końca (Xn) i po kolejnych przekształceniach dochodzimy do pierwszego pierwiastka (X1). Metody iteracyjne- są obarczone błędem w związku z tym że wartości pierwiastków są jedynie przybliżone z pewną dokładnością a nie obliczone, stosowane do obszernych układów równań, metoda polega na ciągłym zmniejszaniu błędu iteracji, ważną zaletą tej metody jest czas. Metoda jest tak czasochłonna na ile dokładny wynik nas interesuje.PRZEJŚCIE Z UKŁADU RÓWNAŃ DO UKŁADU POSTACI PRZYDATNEJ DO OBLICZEŃ ITERACYJNYCH- Ogólny schemat obliczeń iteracyjnych przedstawia metoda iteracji prostych za jej pomocą można rozwiązać układ równań o n niewiadomych. Dany Układ równań możemy zapisać w postaci macierzowej.Ax=B (D+R)x=B Dx +Rx=B Dx= -Rx+B jeżeli det D różny jest 0. D-1 Dx= -D-1 Rx+D-1 B X=[-D-1 Rx] + {D-1 B} [W],{Z} Postać ta jest tak ważna ponieważ macierz D jest diagonalna łatwo ją odwrócić co upraszcza obliczenia. Wystarczy zapisać odwrotność elementów na diagonali.
Interpolacja wielomianowa(rysunek_) Interpolacja liniowa -> Interpolacja wielomianowa polega na przybliżaniu funkcji za pomocą wielomianów. Metoda ta była rozwinięta przez Josepha Lagrange'a a jej podstawą jest twierdzenie, że Dla danych n + 1 punktów pomiarowych istnieje jedyny wielomian stopnia co najwyżej n interpolujący te punkty. Zwykle zakłada się o funkcji interpolowanej, że jest ciągła, choć często dodaje się warunki różniczkowalności, które umożliwiają dokładniejsze oszacowania błędów przybliżeń. Najprostszym przypadkiem jest interpolacja liniowa, zadanie interpolacji dla dwóch węzłów x0 i x1. Rozwiązaniem w klasie wielomianów pierwszego stopnia jest wtedy funkcja liniowa, której wykres przechodzi przez punkty (x0,f (x0)) i (x1,f (x1)
|
|