Dominik Sadowski

Wydział Mechaniczny

Kierunek : Mechanika i Budowa Maszyn

Rok studiów : I

Ćw. prowadzi : dr hab. H.Pykacz

Ćw. wykonano dnia : 12.04.2000

SPRAWOZDANIE

Z przeprowadzonego ćwiczenia nr 1 :

„Wyznaczenie momentu bezwładności i sprawdzenie twierdzenia Steinera”

Celem wykonanego ćwiczenia było :

- Stwierdzenie zależności okresu drgań wahadła od momentu bezwładności.

- Doświadczalne potwierdzenie twierdzenia Steinera.

- Wyznaczenie momentu bezwładności ciał względem osi przechodzącej przez

środek masy (tzw. osi środkowej).

Część teoretyczna - Układ pomiarowy zastosowany w ćwiczeniu i zasada pomiaru.

Istotą układu pomiarowego jest podstawa z poziomą pryzmatyczną belką na której zawiesza się tarczę z symetrycznie wyciętymi otworami (w ten sposób że możemy uzyskać różne osie obrotu przechodzące przez różne otwory w tarczy) , lub metalowy pierścień. Takie połączenie podstawy z drgającej nań tarczy lub pierścienia wyznacza wahadło fizyczne.

Następnie korzystając z wzoru na okres małych drgań wahadła :

wyprowadzamy osiowy moment bezwładności (z powyższego wzoru)

wprowadzając oś środkową, możemy korzystając z tw. Steinera wyznaczyć różnicę momentów bezwładności ciała względem dwóch różnych osi równoległych do osi środkowej :

(d₁,d₂ - odległości obu osi od osi środkowej)

wyrażając momenty bezwładności ciała przez okresy drgań odpowiednich wahadeł fizycznych otrzymujemy :

stwierdza się w ten sposób że wyrażenie :

jest stałe.

Ponadto dla małych wychyleń z położenia równowagi powyższe wyrażenie nie zależy od odległości osi wahadła od osi środkowej ciała.

Wyznaczając więc okresy drgań T dla różnych odległości d wahadeł fizycznych i obliczając stała C potwierdzę doświadczalnie twierdzenie Steinera.

Zadania pomiarowe :

1. Zmierzyć suwmiarką podwójną odległość od osi obrotu do środka masy tarczy.

2. Zmierzyć kilkakrotnie czas trwania 50 drgań tarczy i wyznaczyć średni okres drgań.

3. Obliczyć stałą
   

4. Powtórzyć czynności 1,2,3 dla innych odległości osi obrotu od środka masy tarczy. Porównać uzyskane wyniki. Obliczyć wartość średniej stałej C.

5. Zmierzyć masę tarczy .

6. Obliczyć moment bezwładności tarczy względem osi środkowej.

7. Powtórzyć czynności 1,2,5 dla pierścienia metalowego.

8. Wyznaczyć moment bezwładności pierścienia względem osi obrotu pierścienia.

9. Korzystając z twierdzenia Steinera wyznaczyć moment bezwładności pierścienia względem osi przechodzącej przez środek osi obrotu.

10. Obliczyć moment bezwładności pierścienia względem osi środkowej na podstawie tablicowego wzoru I₀= ¹/₂ m(r²+R²).

11. Porównać ze sobą wartości momentów bezwładności uzyskane w punktach 9 i 10.

12. Ocenić dokładność pomiarów.

Część doświadczalno - obliczeniowa.

1. TARCZA

1. 2d₁ = 150mm 0,02mm

d₁ = 75mm = 0,075m 0,00001m

POMIAR	d [m]	d [m]	t[s]	nT	T [s]	T [s]	m[kg]	C [m^2]	C [m^2]	C [%]
1	0,075	0,00001	34,69	50	0,694	0,0002	1,601	0,1323	0,00055	0,42%
2	0,075	0,00001	34,6	50	0,692	0,0002	1,601	0,1303	0,00055	0,42%
3	0,075	0,00001	34,96	50	0,699	0,0002	1,601	0,1374	0,00056	0,41%
średnia					0,695			0,1333
odchylenie standardowe średniej					0,00216			0,00211

Moment bezwładności wzg. osi obrotu tarczy

(okres T jest okresem średnim)

2. 2d₂ = 127,5mm 0,02mm d₂ = 63,75mm = 0,06375m 0,00001m

POMIAR	d [m]	d [m]	t[s]	nT	T [s]	T [s]	m[kg]	C [m^2]	C [m^2]	C [%]
1	0,06375	0,00001	33,93	50	0,679	0,0002	1,601	0,1275	0,00046	0,36%
2	0,06375	0,00001	33,99	50	0,680	0,0002	1,601	0,1286	0,00046	0,36%
3	0,06375	0,00001	34,07	50	0,681	0,0002	1,601	0,1299	0,00046	0,36%
średnia					0,680			0,1287
odchylenie standardowe średniej					0,00081			0,00069

Moment bezwładności wzg. osi obrotu tarczy

(okres T jest okresem średnim)

3. 2d₃ = 50mm 0,02mm d₃ = 25mm = 0,025m 0,00001m

POMIAR	d [m]	d [m]	t[s]	nT	T [s]	T [s]	m[kg]	C [m^2]	C [m^2]	C [%]
1	0,025	0,00001	39,05	50	0,781	0,0002	1,601	0,1249	0,00027	0,22%
2	0,025	0,00001	39,43	50	0,789	0,0002	1,601	0,1278	0,00027	0,21%
3	0,025	0,00001	39,13	50	0,783	0,0002	1,601	0,1255	0,00027	0,22%
średnia					0,784			0,1261
odchylenie standardowe średniej					0,00231			0,00088

Moment bezwładności wzg. osi obrotu tarczy

(okres T jest okresem średnim)

4. Wyznaczenie średniej wartości C:

Pomiar	C [m^2]
1	0,1333
2	0,1287
3	0,1261
Średnia	0,1294
Odchylenie standardowe średniej	0,00211

C_śr = 0,1294 m² ± 0,00211 m²

5. Moment bezwładności
względem osi przechodzącej przez środek masy tarczy obliczono ze wzoru:

I₀ = 1,601 ∙ 0,1294 /4∙(3,142)² =0,00525 kg∙m² ±

2. PIERŚCIEŃ METALOWY

Wyznaczanie gabarytów pierścienia metalowego
Nr pomiaru	Średnica wewnętrzna d1 [mm]	Promień wewnętrzny r [mm]	Średnica zewnętrzna d2 [mm]	Promień zewnętrzny R [mm]	Wysokość pierścienia [mm]
1	105	52,5	119,5	59,75	11
2	105	52,5	119,48	59,74	10,8
3	104,92	52,46	119,54	59,77	10,84
Średnia	104,97	52,49	119,51	59,75	10,88
Odchylenie standardowe średniej [mm]	0,02667	0,01333	0,01764	0,00882	0,06110
Średnia w [m]	0,10497	0,05249	0,11951	0,05975	0,01088
Odchylenie standardowe średniej [m]	0,00003	0,00001	0,00002	0,00001	0,00006

Pomiary drgań pierścienia

POMIAR	d=r [m]	d [m]	t[s]	nT	T [s]	T [s]	m[kg]
1	0,05249	0,00001	33,54	50	0,671	0,0002	0,2156
2	0,05249	0,00001	33,48	50	0,670	0,0002	0,2156
3	0,05249	0,00001	33,57	50	0,671	0,0002	0,2156
średnia					0,671
odchylenie standardowe średniej					0,00033

Za odległość d osi obrotu pierścienia od środka masy przyjęto średnia z pomiaru promienia r wewnętrznego pierścienia, a za błąd wyznaczenia tej odległości odchylenie standardowe tej średniej.

1. Moment bezwładności pierścienia względem jego osi obrotu :

I = (0,671) ² ∙0,2156∙9,81∙0,05249 /[4∙ (3,14) ²] =0,00127 kg∙m²±0,3∙10^-5 kg∙m²

2. Moment bezwładności względem środka masy (z twierdzenia Steinera) :

I₀ = 0,00127 - 0,2156 ∙ (0,05249) ² =0,000676 kg∙m² ±

4. Obliczenie momentu bezwładności pierścienia względem środka masy ze wzoru tablicowego:

gdzie:

r - promień wewnętrzny : 0,05249m

R - promień zewnętrzny : 0,05975m

I₀ = ½ ∙ 0,2156 ∙ [(0,05249) ²+ (0,05975) ² ]=0,000682 kg∙m² ±

5. PORÓWNANIE WYNIKÓW OBLICZEŃ MOMENTU BEZWŁADNOŚCI WZGLĘDEM OSIPRZECHODZĄCEJ PRZEZ ŚRODEK MASY PIERŚCIENIA METALOWEGO :

METODA
Z twierdz. Steinera	0,000676		0,58%
Ze wzoru tablicowego	0,000682		0,09%

Różnica wyników obu metod wynosi 0,000006
, jak widać jest ona nie duża.

6. DYSKUSJA BŁĘDÓW

• Błąd pomiaru podwójnej odległości (2d) przy pomocy suwmiarki Δ2d=0,02mm=0,00002m

natomiast błąd pomiaru odległości
, wyznaczono przy użyciu różniczki zupełnej

• Błąd pomiaru czasu drgań Δt=0,01s

• Błąd pomiaru wyznaczenia okresu
  małych wahnięć wyznaczono przy wykorzystaniu różniczki zupełnej
  

• Błąd pomiaru masy Δm=0,1g=0,0001kg

• Dla przyśpieszenia ziemskiego g=9,81m/s² przyjęto błąd Δg=0,01m/s²

• Za błąd wyznaczania średniego okresu T , przyjęto odchylenie standardowe średniej arytmetycznej ΔT - podane w tabelach powyżej

• Błędy wyznaczania stałych C i wartości średniej stałej C

Stałą C wyznacza się ze wzoru

Po zastosowaniu różniczki zupełnej , otrzymuje się wzór na błąd wyznaczenia stałej C :

błąd bezwzględny stałej C :

błąd względny stałej C :

Przy wyliczaniu średniej wartości C_śr , za błąd przyjęto odchylenie standardowe średniej arytmetycznej

ΔC_śr=0,00211 m²

• Błąd obliczania momentów bezwładności drgającej tarczy zawieszonej w różnie usytuowanych otworach , oraz drgającego pierścienia względem jego osi obrotu:

Moment bezwładności tarczy/pierścienia wzg. jej/jego osi obrotu liczy się ze wzoru :

Po skorzystaniu z różniczki zupełnej dla wielkości wyjściowej (I) która jest iloczynem potęg wielkości wejściowych, otrzymuje się wzór na błąd wyznaczenia momentu bezwładności I.

błąd bezwzględny momentu I :

błąd względny momentu I :

Obliczanie błędów momentu bezwładności I tarczy
I [kgm^2]	I [kgm^2]	I/I [%]
0,01441	0,00011	0,74%
0,01173	0,00004	0,36%
0,00611	0,00003	0,41%
Obliczanie błędu momentu bezwładności I pierścienia
I [kgm^2]	I [kgm^2]	I/I [%]
0,00127	0,000003	0,27%

• Błąd obliczania momentu bezwładności (I₀) tarczy względem osi przechodzącej przez jej środek masy :

Moment I₀ wyznacza się ze wzoru

Błąd bezwzględny momentu bezwładności I₀ wyznaczony przy użyciu różniczki zupełnej dany jest wzorem :

natomiast błąd względny :

• Błąd obliczania momentu bezwładności (I₀) pierścienia względem osi przechodzącej przez jego środek masy , przy użyciu twierdzenia STEINERA :

Moment I₀ dla pierścienia liczy się ze wzoru

Błąd obliczenia momentu I₀ wyrażony przez różniczkę zupełną ma postać :

błąd bezwzględny momentu I₀ :

błąd względny momentu I₀ :

• Błąd obliczania momentu bezwładności (I₀) pierścienia względem osi przechodzącej przez jego środek masy , przy użyciu wzoru tablicowego :

Moment I₀ dla pierścienia można obliczyć , posługując się wzorem tablicowym który ma postać :

Błąd obliczenia momentu I₀ z wzoru tablicowego wyrażony przez różniczkę zupełną ma postać :

błąd bezwzględny :

błąd względny :

Wnioski.

Na dokładność pomiarów w przypadku stałej C miały wpływ takie czynniki jak:

- pomiar odległości d (niedokładność związana z odczytem podziałki suwmiarki)

- pomiar okresu drgań T na który wpływ miała chwila uruchomienia i zatrzymania stopera, a także dokładność

odczytu jego wskazań. Ponadto mógł wystąpić błąd odczytu ilości wahnięć.

Na dokładność pomiaru I i I₀ miał dodatkowo wpływ błąd związany z pomiarem masy tarczy.

Pomiar momentu bezwładności przeprowadzony w ćwiczeniu ( część pierwsza - tarcza z otworami ) wskazuje na zależność między badanym momentem, a okresem drgań metalowej tarczy, którego wartość wiąże się z odległością osi obrotu badanego ciała od środka ciężkości. Wartości momentu wzg. osi obrotu tarczy zmniejszają się wraz ze wzrostem okresu T i pomniejszeniem odległości osi obrotu od osi środkowej.

W drugiej części ćwiczenia potwierdzono doświadczalnie prawo Steinera. Wyznaczenie momentu bezwładności pierścienia wzg. osi oddalonej o odległość d od środka ciężkości dało ( zgodnie ze sprawdzanym prawem ) możliwość wyznaczenia I₀ ( wzg. osi środkowej ). Wynik uzyskany drogą doświadczalną po zastosowaniu tw Steinera w porównaniu z wynikiem ustalonym na podstawie wzoru tablicowego okazały się bardzo bliskie (w granicach błedu), czym udowodniliśmy słuszność prawa Steinera.

D.Sadowski Strona 9 z 9

---