Szumilas Mariusz dr A. Kolarz

14.12.2013 r. sobota 15¹⁵

Ćwiczenie nr 1: Wyznaczanie momentu bezwładności ciał metodą wahadła fizycznego grawitacyjnego i sprawdzanie twierdzenia Steinera.

1. Cel ćwiczenia: stwierdzenie, że okres małych drgań fizycznego wahadła grawitacyjnego zależy od momentu bezwładności ciała. Doświadczalne sprawdzenie twierdzenia Steinera. Wyznaczenie momentu bezwładności ciała względem osi środkowej.

2. Opis teoretyczny.

Środek masy ciała - jest punktem, w którym skupiona jest cała masa. Punkt w przestrzeni, wokół którego dane ciało będzie się obracać, jeżeli będzie zawieszony w przestrzeni bez innych ciał ograniczających jego ruch. Położenie przestrzenne środka masy ciała określamy posługując się wektorem wodzącym r masy elementarnej dm. W odpowiednim układzie odniesienia mamy

$\text{\ r}_{c} = \frac{\int_{}^{}\text{rdm}}{m} = \frac{\int_{}^{}\text{prdV}}{m}$ (1)

gdzie – r_c ≡ (x_c, y_c, z_c) wektor położenia środka masy ciała.

ρ - gęstość (masa właściwa).

Zgodnie z definicją

$p = \operatorname{}{\frac{\Delta m}{\Delta V} = \frac{\text{dm}}{\text{dV}}}$ (2)

gdzie: dm - masa elementarna, dV - odpowiednia elementarna objętość w małym otoczeniu punktu P ciała. Dla ciał jednorodnych Vmconst/==ρ w całej objętości ciała.

Ruch drgający jest to każdy ruch lub zmiana stanu, które charakteryzuje się powtarzalnością w czasie wartości wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan.

Ruchem okresowym nazywamy każdy ruch powtarzający się w określonych odstępach czasu.

Drgania harmoniczne są najprostszym rodzajem ruchu okresowego.

Przykładem drgań harmonicznych może być wahanie wahadła fizycznego.

Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna wykonująca pod działaniem siły ciężkości wahania wokół poziomej osi obrotu nieprzechodzącej przez środek masy bryły.

Okres drgań wahadła dla małych drgań

, (3)

• d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,

• g - przyspieszenie ziemskie,

• I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,

• m - masa ciała.

Twierdzenie Steinera – różnica momentów bezwładności ciała względem dwu równoległych osi, z których jedna przechodzi przez środek masy, równa jest iloczynowi masy ciała m i kwadratu odległości d między osiami

I - I₀ = md² (4)

Wzór na moment bezwładności wyznaczamy w wzoru na okres drgań,

$I = \frac{T^{2}\text{mgd}}{4\pi^{2}}$ (5)

Z twierdzenia Steinera wynika, że dla dwóch różnych odległości d₁ i d₂ od osi przechodzącej przez środek masy ciała mamy: a podstawiając wzór na I otrzymujemy:

(6)

Powyższa zależność oraz wynikająca z niej stała wartość C posłuży mi, jako dowód twierdzenia Steinera. Korzystając z tej stałej możemy w łatwy sposób obliczyć moment bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy:

. (7)

1. Wyniki pomiarów pierścienia

m = 175,4 ±0,1 g = 0,1754 kg

Δm = 0,0001 kg

Tabela 1. Wyniki pomiarów średnicy pierścienia.

2d – średnica wewnętrzna; 2D – średnica zewnętrzna

2d=130,14 mm=0,13014 m; Δd=0,02 mm = 0,00002 m

d=65,07 mm = 0,06507 m; 2D=139,74 mm = 0,13974 m

ΔD=0,02 mm = 0,00002 m; D=69,87 mm = 0,06987 m

Tabela 2. Wyniki pomiarów wahnięć pierścienia

1. Wyniki pomiarów tarczy

m = 975,4 ±0,1 g = 0,9754 kg

Δm = 0,0001 kg

1. Pomiary dla otworu nr 1:

2d = 150,1 ±0,02 mm

d = 75,05 ±0,02 mm = 0,07505 m

Δd = 0,00002 m

Tabela 3. Wyniki pomiarów dla otworu nr 1

1. Pomiary dla otworu nr 3:

2d = 50,04 ±0,02 mm

d = 25,02 ±0,02 mm = 0,02502 m

Δd = 0,00002 m

Tabela 4. Wyniki pomiarów dla otworu nr 3

1. Pomiary dla otworu nr 4:

2d = 90,04 ±0,02 mm

d = 45,02 ±0,02 mm = 0,04502 m

Δd = 0,00002 m

Tabela 5. Wyniki pomiarów dla otworu nr 4

1. Pomiary dla otworu nr 5:

2d = 127,70 ±0,02 mm

d = 63,85 ±0,02 mm = 0,06385 m

Δd = 0,00002 m

Tabela nr 6. Wyniki pomiarów dla otworu nr 5

1. Przebieg pomiarów.

Pomiary polegały na zmierzeniu 30 (dla pierścienia wykonano omyłkowo pomiary dla 100) wahnięć pierścienia i tarczy. Pomiary dla tarczy wykonano na czterech różnych otworach.

1. Opracowanie wyników.

   1. Obliczenia dla pierścienia

Moment bezwładności pierścienia obliczamy ze wzoru (5):

$$I = \frac{T^{2}\text{mgd}}{4\pi^{2}} = x = \frac{{0,7340}^{2} \bullet 0,1754 \bullet 9,8115 \bullet 0,06507}{4{\bullet 3,1415}^{2}} = 0,001528\ kg \bullet m^{2}$$

Moment bezwładności względem środka masy (z twierdzenia Steinera) obliczamy z wzoru (4):

Błąd bezwzględny:

I₀ = I + 2dmd + d²m

I₀ = 0, 0032 + 2 • 0, 06407 • 0, 1754 • 0, 00002 + 0, 06407²∙0,0001=0,032 kg∙m²

Moment bezwładności pierścienia względem środka masy z wzory tablicowego:

,

gdzie – r – promień wewnętrzny

R – promień zewnętrzny

m – masa pierścienia

$$I = \frac{1}{4 \bullet {3,1415}^{2}}\left( 2 \bullet 0,7344 \bullet 0,1754 \bullet 9,8115 \bullet 0,06507 \bullet 0,0078 + {0,7344}^{2} \bullet 9,8115 \bullet 0,06507 \bullet 0,0001 + {0,7344}^{2} \bullet 0,1754 \bullet 9,8115 \bullet 0,00002 \right) = 0,000033\ \ kg\ \bullet \ m^{2}$$

Tabela 6. Porównanie wyników obliczeń dla pierścienia

Metoda	I0 [kg∙m^2]	ΔI0 [kg∙m^2]	ε [%]
Twierdzenie Steinera		0,000033	4,2
Wzór tablicowy		0,00000093	0,2

1. Obliczenia dla tarczy

   1. Otwór nr 1

Moment bezwładności obliczamy ze wzoru (5):

$$I = \frac{T^{2}\text{mgd}}{4\pi^{2}} = x = \frac{{0,685}^{2} \bullet 0,9754 \bullet 9,8115 \bullet 0,07505}{4{\bullet 3,1415}^{2}} = 0,008537\ kg \bullet m^{2}$$

Stała C z wzoru (6):

Momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości (7):

1. Otwór nr 3

Moment bezwładności obliczamy ze wzoru (5):

$$I = \frac{T^{2}\text{mgd}}{4\pi^{2}} = x = \frac{{0,7747}^{2} \bullet 0,9754 \bullet 9,8115 \bullet 0,02502}{4{\bullet 3,1415}^{2}} = 0,003640\ kg \bullet m^{2}$$

Stała C z wzoru (6):

Momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości (7):

1. Otwór nr 4

Moment bezwładności obliczamy ze wzoru (5):

$$I = \frac{T^{2}\text{mgd}}{4\pi^{2}} = \frac{{0,6843}^{2} \bullet 0,9754 \bullet 9,8115 \bullet 0,04502}{4{\bullet 3,1415}^{2}} = 0,00511\ kg \bullet m^{2}$$

Stała C z wzoru (6):

Momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości (7):

1. Otwór nr 5

Moment bezwładności obliczamy ze wzoru (5):

$$I = \frac{T^{2}\text{mgd}}{4\pi^{2}} = x = \frac{{0,677}^{2} \bullet 0,9754 \bullet 9,8115 \bullet 0,06385}{4{\bullet 3,1415}^{2}} = 0,007095\ kg \bullet m^{2}$$

Stała C z wzoru (6):

$$\frac{\delta_{\text{CS}}}{C_{S}}100\% = \frac{0,00726 + 0,00259 + 0,00126 + 0,00005}{0,1247}100\% = 0,0895\%$$

Momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez środek ciężkości (7):

Średnia wartość stałej C_S:

$C_{S} = \frac{C_{1} + C_{3} + C_{4} + C_{5}}{4} = \frac{0,1232 + 0,1226 + 0,1268 + 0,1262}{4} = 0,1247\ m^{2}\ \pm C_{S}$

Tabela 7. Zestawienie wyników pomiarów dla tarczy.

Nr otworu	d [mm]	I [kg∙m^2]	C [m^2]	ΔC [m^2]	I0
1	75,05	0,008537	0,1232	0,0072	0,00304
3	25,02	0,003640	0,1226	0,0069	0,00303
4	45,02	0,00511	0,1268	0,00126	0,00313
5	63,85	0,007095	0,1262	0,00005	0,00312

1. Wnioski

Czynnikiem mającym największy wpływ na dokładność pomiarów było ludzkie oko i związany z tym dość trudny do wychwycenia moment maksymalnego wychylenia badanego przedmiotu. Jednak analizując tabele nr 7 można zauważyć jak wraz z kolejnymi pomiarami znacząco zmniejszał się błąd pomiaru (ΔC). Co wykazało, jaki wpływ ma „doświadczenie” w dokonywaniu ww. pomiarów. Innym dość istotnym czynnikiem mogącym mieć znaczący wpływ na wyniki pomiarów były poślizgi tarczy i pierścienia, które należało wyeliminować poprzez małe wychylenie badanych przedmiotów. Inne czynniki takie jak dokładność suwmiarki czy wagi nie były już tak istotne jak ww. Rozbieżności przy pomiarze średnic pierścienia wykazały iż jego kształt znacząco odbiegał od okręgu. Pokazuje to tabela nr 1 , gdzie błąd pomiaru wynosił odpowiednio 1,27 i 0,83 [mm] przy dokładności suwmiarki 0,02 mm. Jednak porównanie wyników w tabeli nr 7 pokazuje, że nie miało to istotnego znaczenia na końcowy wynik. Tabela ta także potwierdza teorię Steinera i dokładność wykonanych pomiarów, moment bezwładności został obliczony w wzoru tablicowego i twierdzenia Steinera.

Kolejnym potwierdzenie teorii Steinera, jest stała C która została obliczona dla różnych okresów i różnych odległości od osi przechodzącej przez środek masy ciała. Jest ona stała w granicach błędu i jej średnia wartość wynosi 0,1247 [m²].

Inną zależnością, którą można zauważyć (tabela 7) jest wpływ odległości od środka masy na moment bezwładności. Wraz ze wzrostem odległości (d) proporcjonalnie rośnie moment co wynika z wzoru (5).