Bartosz Nowak, gr5, IA, WIMiR

Sprawozdanie 2

Metoda Eulera

1. Wzór równania:

$$\frac{\mathbf{\text{dy}}}{\mathbf{\text{dx}}}\mathbf{= x}\mathbf{y}^{\mathbf{2}}$$

2. Kod:

clear all

kolor=['b','g','r','c','m','y','k',];

disp('1<=k<=7');

k=input('Podaj ilosc wykresow, k= ');

for j=1:k

a=0;

b=1;

n=input('Podaj ilosc przedzialow: ');

h=(b-a)/n;

x=a:h:b;

y(1)=2;

for i=1:n

y(i+1)=y(i)+h.*x(i).*y(i).^2;

end

if j <= 7

subplot(2,1,1);

plot(x,y,kolor(j));

hold on

else

subplot(2,1,1);

plot(x,y,kolor(j-7));

hold on

end

end

x1=0:1/n:1;

f=-1./(((x1.^2)./2)-0.5);

subplot(2,1,2);

plot(x1,f,'r');

3. Analitycznie:

$$\frac{\mathbf{\text{dy}}}{\mathbf{\text{dx}}}\mathbf{= x}\mathbf{y}^{\mathbf{2}}$$

$$\int_{}^{}\frac{\mathbf{\text{dy}}}{\mathbf{y}^{\mathbf{2}}}\mathbf{=}\int_{}^{}\mathbf{\text{xdx}}$$

$$\frac{\mathbf{- 1}}{\mathbf{y}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{x}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{+ C}$$

$$\mathbf{y =}\frac{\mathbf{- 1}}{\frac{\mathbf{x}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{+ C}}$$

Warunki początkowe y(0)=2

$$\mathbf{2 =}\frac{\mathbf{- 1}}{\mathbf{C}}\mathbf{\rightarrow C = -}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$$

$$\mathbf{y =}\frac{\mathbf{- 1}}{\frac{\mathbf{x}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$$

4. Wnioski

Metoda Eulera jest prostym sposobem na wyliczenie równań różniczkowych. Można w łatwy sposób dobierać ilość przedziałów (lub skok) i w ten sposób wybrać ten najbardziej nam odpowiadający. W moim przypadku jest to n=1000 (kolor czarny).