Semantyczna teoria prawdy (Alfred Tarski, 1933)

Celem Tarskiego było zrehabilitowanie klasycznej definicji prawdy. Toteż teoria prawdy, według niego, powinna zawierać twierdzenia mówiące o tym, że zdanie jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy rzeczywiście jest tak, jak to zdanie mówi. Jeżeli jednak ten warunek zapisać w postaci schematu

 p jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy p

to podstawienie do tego schematu zdania, które o sobie samym mówi, że jest fałszywe, na przykład zdania o nazwie @, które mówi, że @ jest fałszywe, prowadzi do współczesnej wersji paradoksu kłamcy:

 @ jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy @ jest fałszywe.

(Oryginalna, starożytna wersja paradoksu kłamcy brzmi: Epimenides, Kreteńczyk, powiedział, że wszyscy Kreteńczycy kłamią. Zatem jeżeli powiedział prawdę, to skłamał).

Tarski udowodnił, że paradoks kłamcy powstaje w każdym języku, w którym występuje własny predykat prawdziwości, tj. predykat „…jest prawdą” orzekany o zdaniach tego języka. Zatem aby uniknąć paradoksu kłamcy należy

• definicję prawdy budować dla zdań języka, w którym nie występuje własny predykat prawdziwości oraz

• budować ją w innym języku (bo mówić o prawdziwości zdań danego języka, bez popadania w paradoksy, można tylko w innym języku).

Język, dla którego zdań buduje się definicję prawdy, nazywa się językiem przedmiotowym, zaś język, w którym buduje się definicję prawdy dla zdań języka przedmiotowego, nazywa się metajęzykiem.

Dzięki rozróżnieniu między językiem przedmiotowym a metajęzykiem warunek trafności (adekwatności) teorii prawdy można sformułować następująco:

Każde podstawienie do schematu:

(T)                                          X jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy s

gdzie X jest nazwą zdania języka przedmiotowego, a s przekładem tego zdania na metajęzyk, jest twierdzeniem tej teorii (tzn. jest wyprowadzalne z jej aksjomatów). Wtedy bowiem teoria będzie definiować pojęcie prawdy dla każdego zdania języka przedmiotowego.

Aby ten warunek mógł być spełniony, metajęzyk musi mieć następujące własności:

• zawierać predykat prawdziwości orzekany o zdaniach języka przedmiotowego;

• zawierać nazwy wszystkich wyrażeń języka przedmiotowego;

• zawierać przekłady wszystkich zdań języka przedmiotowego.

Pytanie kontrolne: wyjaśnij, dlaczego metajęzyk musi mieć takie własności.

Jeżeli język przedmiotowy nie jest ułomny, można zbudować w nim nieskończenie wiele zdań. Zatem podstawień do schematu (T) jest nieskończenie wiele. Czyli teoria prawdy dla tego języka musi mieć nieskończenie wiele twierdzeń, które muszą być wyprowadzalne ze skończonej liczby aksjomatów. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy układ aksjomatów będzie rekurencyjną definicją prawdy. Definicja nazywa się rekurencyjna (albo indukcyjna) wtedy i tylko wtedy, gdy składa się z kilku zdań, z których jedno, zwane warunkiem wyjściowym, określa pewien podzbiór zakresu definiowanego pojęcia, a pozostałe, zwane warunkami indukcyjnymi, rozszerzają ten podzbiór do pełnego zakresu pojęcia. Tzn. mówią, jakie elementy należą do zakresu definiowanego pojęcia (są jego desygnatami), przy założeniu, że pewne elementy już do niego należą.

Sformułowanie takiej definicji prawdy jest możliwe tylko wtedy, gdy prawdziwość (lub fałszywość) dowolnego zdania zależy wyłącznie od relacji logicznych między tym zdaniem a zdaniami z pewnego wyróżnionego zbioru zdań i prawdziwości lub fałszywości tych zdań. W szczególności, gdy prawdziwość zdania złożonego zależy wyłącznie od prawdziwości jego składników i rodzaju złożenia. Taka własność języka nazywa się ekstensjonalnością. Dla języka ekstensjonalnego wystarczy zatem zdefiniować pojęcie prawdy dla zdań prostych, a następnie podać zależność między prawdziwością zdań prostych i prawdziwością zdań z nich złożonych. Taka jest główna idea teorii Tarskiego.

W skrócie, teoria przedstawia się następująco. Trzeba założyć, że język przedmiotowy jest ekstensjonalny. Taką własność ma, na przykład, język klasycznego rachunku predykatów. Następnie trzeba założyć, że język przedmiotowy jest zinterpretowany. To znaczy, istnieje funkcja interpretacji, która każdej stałej indywiduowej a języka przedmiotowego przypisuje pewien przedmiot [a] z pewnego zbioru U zwanego uniwersum tego języka, zaś każdemu symbolowi predykatowemu P przypisuje relację [P] określoną na zbiorze U o liczbie członów równej liczbie argumentów P. Formalnie rzecz biorąc, n-argumentową relację można utożsamić z n-wyrazowym ciągiem przedmiotów uniwersum. Na przykład relacja [„…jest ojcem…”] określona na uniwersum złożonym ze wszystkich ludzi jest zbiorem par takich, że pierwszy jej człon jest ojcem drugiego. Ponadto trzeba przyjąć pewien zbiór wartościowań, tj. funkcji, które przypisują zmiennym indywiduowym przedmioty uniwersum.

Przy tych założeniach warunek wyjściowy definicji prawdy brzmi:

• P(t₁, …, t_n) jest prawdziwe (w danej interpretacji) wtedy i tylko wtedy, gdy P(t₁, …, t_n) jest spełnione w każdym wartościowaniu, tzn. gdy [P]([t₁], …, [t_n]) w każdym wartościowaniu,

gdzie P jest predykatem n-argumentowym, zaś t₁, …, t_n są stałymi lub zmiennymi indywiduowymi (jeżeli dla uproszczenia pominąć symbole funkcyjne, w przeciwnym razie t_i mogą również być tzw. termami, tj. wyrażeniami utworzonymi ze stałych i zmiennych indywiduowych za pomocą symboli funkcyjnych).

Warunek ten mówi, że zdanie proste jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy między przedmiotami, których nazwy występują w tym zdaniu, zachodzi relacja oznaczona predykatem występującym w tym zdaniu. Na przykład „Adam jest ojcem Barbary” jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy między przedmiotami zwanymi, odpowiednio, Adamem i Barbarą, zachodzi relacja oznaczona predykatem „…jest ojcem…”. (Definicja jest zrelatywizowana do interpretacji: w różnych interpretacjach języka nazwy Adam i Barbara mogą oznaczać różne przedmioty, a predykat „…jest ojcem…” różne relacje dwuargumentowe).

Warunki indukcyjne określają prawdziwość zdań złożonych zgodnie ze znanymi funkcjami prawdziwościowymi:

• ¬A jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy A nie jest prawdziwe, gdzie A jest dowolnym,  poprawnie zbudowanym wyrażeniem języka przedmiotowego;

• A & B jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy A jest prawdziwe i B jest prawdziwe;

• itd. analogicznie dla pozostałych spójników.

Nieco bardziej skomplikowany jest warunek indukcyjny dla kwantyfikatorów:

• xA jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy jest spełnione w każdym wartościowaniu, zaś jest spełnione w danym wartościowaniu w wtedy i tylko wtedy, gdy A jest spełnione w każdym wartościowaniu, które różni się od w co najwyżej dla zmiennej x. Analogicznie dla innych kwantyfikatorów.

Najbardziej znany w świecie artykuł Tarskiego:
http://www.ditext.com/tarski/tarski.html

 

---