S E M A N T Y C Z N A K O N C E P C J A P R A W D Y

i P O D S T A W Y S E M A N T Y K I

Podstaw a:

T he semcmtic conccption o f truth a n d thc Jo w \d a lio n s o f

sem antics, „P h ilo so p h y

a n d

P h c n o m e n o lo g ic a l R esearch”, t. 4 (1944),

n r

3, s. 341 -3 7 5 .

C opyright J944, U n iversity o f B uffalo. By kind p crm ission.

'

N o ta redakcyjna. N in iejsza pub lik acja jest przekładem artykułu [4 4 a ] ,

uw zględniającym kilka d ro b n y ch zm ian redakcyjnych p o ch o d zą cy ch

z francuskojęzycznej edycji teg o a rtyk u łu tj. [ 4 4 a ] (12).

Niniejszy arty k u ł s k ła d a się z d w ó c h części: pierwsza m a

c h a r a k te r wykładu, d r u g a je s t raczej polem iką.

W pierwszej części chcę streścić w sp o só b nieform alny

głów ne wyniki moich b a d a ń d o ty czących definicji p ra w d y
i zag ad n ien ia ogólniejszego: p o d s ta w sem antyki. W yniki te

za w a rte s,: w pracy, k tó r a u k a z a ła się d ru k iem kilkanaście

lat t e m u 1. O k a z u je się je d n a k , że ch o ciaż moje b a d a n ia

do ty c zą pojęć ro zw ażan y ch przez klasyczną filozofię, to

w kręgach filozoficznych są o ne s to s u n k o w o m ało znane,

zap ew n e z p o w o d u ich ściśle technicznego ch a ra k te ru .

1

Por. [3 5 b ] [s. 1 3 - 1 7 2 w nin iejszym to m ie ]. D o pracy tej m ożn a

sięgn ąć po bardziej szcz e g ó ło w ą i form alną prezentację tem atu n iniej­

szego artykułu, zw łaszcza m ateriału zaw artego w punktach 6 i 9 - 1 3 .

Z aw iera ona rów n ież o d w o ła n ia d o m o ich w cześniejszych publikacji

S e m a n ty c z n a ko n cep cja p ra w d y i p o d s ta w y s e m a n ty k i

229

D la te g o m a m nadzieję, że zostan ie mi w y b aczon e p onow ne
podjęcie tego te m a t u 2.

P o o p u b lik o w a n iu w sp o m n ian ej pracy przeciw ko mym

b a d a n io m p o d n ie sio n o różne zarzu ty - zresztą nierównej

wartości; n ie k tó re z nich u k aza ły się drukiem , inne zgłasza­
no w publicznych i p ry w a tn y c h d y skusjach, w których
uczestniczyłem 3. M o je p o g lą d y w obec tych zarzu tó w

chciałbym w yrazić w drugiej części arty k u łu . M a m n ad zie­

ję, że u w ag w tym k o n te k ście poczynionych nie będzie się

tr a k to w a ć w yłącznie j a k o polemiki, ale dostrzeże się

w nich pew ne k o n s tr u k ty w n e przyczynki d o rozw ażanego

tem atu.

W drugiej części arty k u łu w ykorzystałem w dużej mierze

materiał, który łaskawie o d d ała mi do dyspozycji D r M a ria

K o k o sz y ń sk a (Uniw ersytet Lwrowski). Jestem szczególnie

zo b o w iązan y i wdzięczny Profesorom: Ernestow i Nagelowi

( C o lu m b ia Univcrsity) i D aw idow i Ryninowi (University of

o zagad n ien iach sem a n ty czn y ch (k o m u n ik a t p o p olsk u z roku 1930;

a rty k u ł p o francusku [3 1 ] z ro k u 1931; k om u n ik at p o n iem ieck u z roku

1932 oraz k siążk a p o p o lsk u z rok u 1933). [ W niniejszym tom ie pierw sza

z tych publikacji znajduje się na s. 3 - 8 , tłu m aczenie drugiej - s. 9 - 1 2 ,

czw arta - s. 13-158.]] P ierw sza część n in iejszego artykułu co d o ch arak ­

teru p o d o b n a jest d o [3 6 f]. M oje badania nad pojęciem praw dy i teorety­

czn ą sem an tyk ą z o s ta ły zrcccn zo w a n e lub o m ó w io n e w H ofstadtcr 1938,

v o n J u h o s 1937, K o k o sz y ń sk a 1936 i 1936a, K otarb iń sk i 1934, S ch o lz

1937, W einbcrg 1939

et aJ.

2 M ożn a m ieć nadzieję, że w skutek o p u b lik ow an ia n ied aw n o w aż­

nej pracy C arn ap 1937 w zro śn ie teraz za in teresow an ie sem an tyk ą n a u ­

k o w ą .

3 D o t y c z y t o z w ła s z c z a p u b lic z n y c h d y sk u sji na P ierw szy m M ię­

d z y n a r o d o w y m K o n g r e s ie J e d n o śc i N a u k i (P a ry ż 1935) i K on feren cji

M ię d z y n a r o d o w y c h K o n g r e s ó w J e d n o ś c i N a u k i (P a r y ż 1937); por. np.

N e u r a th 1935, G o n s e th 1938. [P o r . też s. 2 0 6 - 2 1 3 w n in iejszym

to m ie .]

230

P ism a, to m l; Praw do

California, Berkeley) za ich pomoc w przygotowaniu ostate­

cznej wersji tekstu oraz za różne uwagi krytyczne.

I. Przedstawienie wyników’

1.

P r o b l ł m g ł ó w n y

z a d o w a l a j ą c a d e f i n i c j a p r a w d y .

Rozważania nasze będą się skupiać wokół pojęcia4 prawdy.
Problem główny to podanie zadowalającej definicji tego

pojęcia, ^tzn. definicji m erytorycznie trafnej i formalnie po-

prawnej. Takie jednak sformułowanie problemu, ze wzglę­
du na jego ogólność, nic może być uważane za jednoznacz­
ne i wymaga dodatkowego komentarza.

Aby uniknąć wieloznaczności, musimy najpierw określić

warunki merytorycznej trafności definicji prawdy. Celem

poszukiwanej dcTmTcji nie jest sprecyzowanie znaczenia

znanego słowa w taki sposób, aby oznaczało ono nowe

pojęcie; wprost przeciwnie - jej celem jest uchwycenie

rzeczywistego znaczenia pojęcia starego. Musimy więc

scharakteryzować to pojęcie na tyle dokładnie, aby każdy

mógł stwierdzić, czy definicja ta rzeczywiście spełnia swoje

zadanie.

Po drugie

.musimy o k reślić, od czego zależy formalna

poprawność definicji. ’ł ak więc musTmv wyszczególnić sło-"

wa luo p ojęcia, których pragniemy użyć, definiując pojęcie

4

Słów

jio tio n " i „conceptM {tłum aczonych tutaj jak o „pojęcie”] używa

się w niniejszym artykule z całą niejasności;} i w ieloznacznością, z jaką

występują one wr literaturze filozoficznej. I tak. czasem odnoszą się one po

prostu do terminu, czasem do tego, co termin znaczy, a kiedy indziej d o

tego. co termin oznacza. Niekiedy jest bez znaczenia, którą interpretację

m am y na myśli; a w pewnych przypadkach chyba żadna z nich nic jest

trafna. C hoć z zasady podzielam pogląd, że w ścisłych rozważaniach słów

tych należy unikać, nic uważałem jednak za konieczne, by tak p ostęp o­

wać w niniejszym nieformalnym wykładzie.

prawdy; musimy też podać formalne reguły, do których

definicja ta pow inna się stosować. Mówiąc ogólniej, m usi- ^

my opisać formalną strukturę iezvka. w którym definicja >
prawdy zostanie podaiyi.

Omówienie tych zagadnień w znacznej mierze wypełni

pierwszą część pracy.

2.

Z a k r e s t e r m i n u ..p r a w d z iw y * .

Zaczynamy od pew­

nych uwag dotyczących zakresu pojęcia prawdy, które

mamy tu na myśli.

Predykatu „prawdziwy" używa się czasem w odniesieniu

do zjawisk psychologicznych jak sądy lub przekonania,
czasem do pewnych przedmiotów fizycznych, mianowicie

- wyrażeń językowych, zwłaszcza zdań, a czasem - do

pewnych tw orów idealnych zwanych „sądami". Za „zda­
nie” uważamy tutaj to, co wf gramatyce zwykle rozumie się

przez „zdanie oznajmujące”. Jeśli chodzi o termin „sąd”, to

jego znaczenie jest notorycznie przedmiotem niekoń­

czących się dysput różnych filozofów i logików i nie w yda­

je się, aby kiedykolwiek uczyniono je całkowicie jasnym

i jednoznacznym. Z kilku względów najwygodniejsze oka-

zuje się stosowanie terminu „prawdziwy" do zdań - i tę

drogę właśnie obierzemy5.

Dlatego więc musimy zawsze odnosić pojęcie prawdy,

.

podobnie jak pojęcie zdania, do określonego ic z y k a .J est
bowiem jasne, że to samo wyrażenie, które jest zdaniem

prawdziwym w jednym języku, w innym może być fałszywe
lub bezsensowne.

5

Dla naszych obecnych celów nieco wygodniej jest uważać za „wyra­

żenia”, „zdania** itd. nie pojedyncze napisy, ale klasy napisów o p o­

dobnej postaci (a więc nic pojedyncze rzeczy fizyczne, ale klasy takich

rzeczy).

S e m a n tyczn a koncepcja praw dy i podstaw y sem a n tyki

2.11

Pisma, tom /. Prawda

Oczywiście ten fakt, że interesuje nas tutaj przede wszys­

tkim pojęcie prawdy w odniesieniu do zdań, nie wyklucza

możliwości późniejszego rozszerzenia tego pojęcia na inne

rodzaje przedmiotów.

3.

Z

n a c z e n i e

t e r m i n u

..

pr a w dz iw y

". D

użo

p o w a ż n i e j s z e

t r u d n o ś c i w i ą ż ą się z p r o b l e m e m z n a c z e n i a (czyli treści)

p o ję c ia p r a w d y .

Słowo „prawdziwy", podobnie jak inne słowa z naszego

języka codziennego, na pewno nie jest jednoznaczne. Nie

wydaje mi się też, aby filozofowie rozważający to pojęcie

przyczynili się do zmniejszenia jego wieloznaczności.
W pracach i rozważaniach filozofów spotykamy wiele

różnych koncepcji prawdy i fałszu, musimy więc wskazać,
która koncepcja będzie podstawą naszych rozważań.

.Chcielibyśmy, aby nasza definicja oddała sprawiedliwość

intuicjom związanym z klasyczna Arystotelcsowską kjńicep- .

cją prawdy - intuicjom wyrażonym w następujących, po­
wszechnie znanych słowach z M etafizyki Arystotelesa.

Jest fałszem pow iedzieć o tym, co jest, że nie jest, lub
o tym, co nie jest, że jest; jest prawdą pow iedzieć
o tym, co jest, ze jest, lub o tym, co nie jest, że nie jest.

Gdybyśmy chcieli dostosować się do współczesnej ter­

minologii filozoficznej, to moglibyśmy chyba wyrazić tę
koncepcję następującą znaną formułką:

Prawdziwość zdania polega na jego zgodności (lub

korespondencji) z rzeczywistością.

(Dla teorii prawdy opartej na powyższym sformułowaniu,

zaproponowano termin: korespondencyjna teoria prawdy").

Z drugiej strony, jeśli postanowilibyśmy rozszerzyć pq-

toczny sposób używania terminu „oznaczać", stosując go

Semantyczna koncepcja prawiły i podstawy semantyki

233

nic tylko do nazw, ale i do zdań, i jeśli zgodzilibyśmy się
mowie o „stanach rzeczy" jako desygnatach zdań, to mog­
libyśmy chyba w t ym .samym celu użyć .następ u jącego

^zwrotu:

_ Zdanie jest praw dziwe, jeśli oznacza istniejący stan

Każde z tych sformułowań może jednak prowadzić do

różnych nieporozumień, ponieważ żadne z nich nie jest

dostatecznie dokładne i jasne (aczkolwiek odnosi się to

w mniejszym stopniu do pierwotnego, Arystotelesowskie-
go sformułowania niż do każdego z pozostałych): w każ­

dym razie żadnego z nich nie można uważać za zadowa­

lającą definicję prawdy. Poszukaniem dokładniejszego
sposobu wyrażenia naszych intuicji zajmiemy się właśnie

teraz.

4.

K r y t e r i u m m e r y t o r y c z n e j

t r a f n o ś c i

d e f i n i c j i

p r a w

-

d y 7.

Rozpocznijmy konkretnym przykładem. Weźmy pod

uwagę zdanie „śnieg jest biały”. Stawiamy pytanie, w jakich

warunkach zdanie to jest prawdziwe bądź fałszywe. Wydaje
się oczywiste, że jeśli oprzemy się na klasycznej koncepcji

prawdy, to powiemy, że zdanie to jest prawdziwe, jeśli

6 W sprawie sformułowania Arystotelesowego zobacz Arystoteles 1908,

T, 7, 27. Dwa pozostałe sformułowania występują w literaturze bardzo

często, ale nic wiem, od kogo pochodź;*. Krytyczne omówienie różnych

koncepcji prawdy można znaleźć np. w Kotarbiński 1929 (jak na razie

dostępne tylko w języku polskim) s. 123 i n. oraz Russell 1940, s. 362 i n.

[angielskie tłumaczenie drugiego wydania

Elementów Kotarbińskiego ukaza­

ło się jako Kotarbiński 1966].

7 Większość uwag zawartych w punktach 4 i 8 zawdzięczam nie­

odżałowanej pamięci S. Leśniewskiemu, który je rozwinął w nie opub­

likowanych wykładach na Uniwcrsytccic Warszawskim (w roku 1919

i później). Leśniewski nic przewidział jednak możliwości zbudowania

234

P ism a , to m I: P raw da

śnieg jest biały, o raz fałszywe, jeśli śnieg nie jest biały. Jeśli

zatem definicja p raw d y m a być zgodna z naszą koncepcją,

to musi o n a pociągać n astępującą równoważność:

Z d a n ie „śnieg jest biały" jest prawdziwe w tedy i ty lk o

w tedy, g d y śnieg jest biały.

P o zw o lę sobie zw rócić uwagę, że zw rot „śnieg jest

biały" w ystępuje po lewej s tro n ie tej ró w n o w a ż n o śc i

w cudzysłow ie, po p raw ej zaś - bez cudzysłow-u. P o

prawej stronie m am y s am o zdanie, a po lewej nazwę tego

,zdania. P osługując się średniowieczną terminologią logicz­

ną, możemy również powiedzieć, że po prawej stronie słowa

„śnieg je s t biały" występują w suppositio fo rm a lis, a' po lewej

- w suppositio m aterialis. N ie trzeba chyba wyjaśniać,

dlaczego po lewej stron ie równoważności m usim y mieć

nazwę zdania, a nie s am o zdanie. P o pierwsze bowiem,

z p u n k tu widzenia g ram a ty k i naszego języka, w yrażenie

postaci „ X je s t praw dziw e" nie stanie się zdaniem sen so w ­

nym, jeśli zastąpim y w nim „X ” ja k im ś zdaniem lub c z y m ­

kolwiek innym niż nazwa, poniew aż p o d m io tem z d an ia

może być tylko rzeczownik lub wyrażenie funkcjon u jące

ja k rzeczownik. Po dru gie zaś, pod staw ow e konw encje

doty czące posługiw ania się jak im k o lw iek językiem w y m a ­

gają, aby w dow olnej wypowiedzi o ja k im ś przedm iocie

uż>wać nazwy tego p rzed m iotu , a nie samego p rzed m io tu .

Jeśli więc chcemy powiedzieć coś o zdaniu, na przykład,

teorii p raw dy w sp o só b ścisły , a tym bardziej definicji te g o p ojęcia.

I d la te g o , c h o ć w sk azyw ał na r ó w n o w a żn o ści p o sta ci (T) ja k o prze­

słan k i a n ty n o m ii kłam cy, nic w id zia ł w nich w aru n k ów w y sta rcza ją cy ch

trafnego sp o s o b u użycia (lu b trafnej definicji) pojęcia praw dy. N ic

p o c h o d z ą też o d n ieg o u w agi w p u n k cie 8 d o ty czą ce o b e c n o śc i p rze­

słan k i em p iryczn ej w a n ty n o m ii k łam cy i m o żliw o ści w y e lim in o w a n ia

tej przestanki.

Semantyczna koncepcja prawdy i podstawy semantyki

235

że jest p rawdziwe, to m usirąy - u ż y ć nazw y tego zdania,

a nie sam eg o z d a n i a 8.

M o ż n a d o d ać, że ujęcie zd an ia w' cudzysłów wcale nic

jest je d y n y m sp o so b e m tw orzenia je g o nazwy. P rzyjm ując

np. zwykły p o rząd e k liter w naszym alfabecie, możemy

użyć n astępu jąceg o w yrażenia ja k o nazw y (deskrypcji) z d a ­

nia „śnieg je s t biały":

zdanie utw orzone z trzech sló \\\ z któ ryc h pierw sze

składa się z 26, 18, 12,7 / 10 litery, drugie z 13, 7, 25

i 27 litery, trzecie za ś z 3, 12, 1, 16 / 31 litery
alfabetu ję z y k a polskiego.

Z a s t o s o w a n a wyżej p ro ced u rę teraz uogólnim y. Weźmy

^ p o d uw agę d o w o ln e zdanie; i aedzk m y ie zastepowaćTileTa"

7

T w o rz y m y nazwę tego z d an ia i zastępujem y ją inną

literąT powiedzmy ' X \ P y tam y sic teraz, jaka relacja logicz­

na zacho d zi m iędzy d w o m a zdaniam i: „ X jest p ra w d ziw e'

o r a z 'p \ J asn e iesL że z p u n k tu widzenia naszej po dstaw o -

wej koncepcji pr aw dy zdan ia te są rów now ażne. Innymi

«§łowy - zachodzi n a s t ę p ^ g u ^ ^

( m

Z

X je s t praw dziw e w tedy i ty lk o w tedy, g d y p.

K a ż d ą ta k ą ró w n o w aż n o ść (gdzie 'p' z a s tą p io n o d o w o l­

n ym zd aniem języka, d o któ reg o słowo „prawdziwy" się

o dnosi, "X ' zaś za s tą p io n o nazw ą tego zdania) nazywać

b ęd ziem ^ J Ó ^ 'tto w a żn o śc ią p o sta ci (T)"T^

T era z d o p ie ro możemy sprecyzowac warunki, w których

sp o só b użycia term inu „prawdziwy" oraz jego definicję uw a­

żać będziemy za trafne z m erytorycznego p u n k tu widzenia:

pragniem y używać term inu „prawdziwy" w taki sposób,

aby m ożna było stwierdzić wszystkie równoważności

p o -

H W sp raw ie różnych logiczn ych i m e to d o lo g icz n y c h p rob lem ów zw ią ­

za n y ch z niniejszym artykułem czytelnik m o że zajrzeć d o [ 4 l m],

C

\

«

i

i

)

C

c

j

5

j

236

Pism a, tom /: Prawda

staci (T). definicje prawdy zaś będziemy nazywać „trafną",

jeśli wszystkie te równoważności z niej wynikają. _

Podkreślić trzeba, że ani samego wyrażenia (T) (które

nie jest zdaniem, lecz tylko schematem zdania), ani żad^

jieg o poszczególnego podstawienia schemam (.Tl nie mo?.

na uważać za definicje prawdy. Możemy jedynie powie­

dzieć, że każdą r ó wnoważność postaci (T) uzyskani} przez

zastąpienie

7/ określonym zdaniem, a ‘A’* nazwa teeo .

.zdania, uważam y za cząstkową definicje prawdy, wyjaś­

niającą, na czym polega prawdziwość tego konkretnego,

zdania..O pólna definicja musi być w pewnym o k reślo n y ^
sensie logiczng k o n iu nkcją wszystkich takich cząstko­
wych definicji.

(Ostatnia uwaga wymaga pewnego komentarza. Są języ­

ki, które dopuszczają możliwość budowania nieskończenie

wielu zdań, a zatem liczba cząstkowych definicji prawdy
odnoszących się do zdań takich jeżyków będzie również
nieskończona. Aby więc nadać naszej uwadze dokładny

sens, musielibyśmy wyjaśnić, co znaczy wyrażenie - „logi­
czna koniunkcją nieskończenie wielu zdań"; to jednak
zaprowadziłoby nas zbyt daleko w techniczne zagadnienia

współczesnej logiki).

5.

P r a w d a

j a k o

p o j ę c i e

s e m a n t y c z n e

.

Dla rozważanemu

koncepcji prawdy chciałbym zaproponować nazwę \ s e ^

( jn a n ty c zn a koncepcja prawdy

Jśem antyka jest dyscyplinaTktóra - luźno mówiąc - zaj­

muje się pewnymi relacjami miedzy wyrażeniami języka'
a przedmiotand (bądź „stanami rzeczy"), do których te

~w±m ż a iia ...v;V odnoszą”.^ Jako typowe pTTyk h d y pojęć

semantycznych możemy wymienić poj^c\ ^ - ^ 9*Hu^gjiia J

_spelniania i definiowania, tak jak one występują w poniż-

szych przykładach:

S en tan ty c im i koncepcja pra w d y i p o t/sia u y se m a n ty k i

237

wyrażenie „the Jat/ter o f his country" oznacza Geor-

ge V/ Washington a:
śnieg spełnia fu n k cję zdaniową (warunek) „a jest

białe":
równanie „

2 *.v= V' definiuje (wyznacza jednoznacz­

nie) liczbę

3.

Podczas gdy słowa „oznacza", „spełnia" i „definiuje"

wyrażają relacje (między pewnymi wyrażeniami a przed­
miotami, do których te wyrażenia się odnoszą), słowo
„prawdziwy" ma inną naturę logiczną; wyraża własność

(inaczej: oznacza klasę) pewnych wyrażeń, mianowicie
zdań. Łatwo jednak dostrzec, że wszystkie sformułowania

podane wcześniej w celu wyjaśnienia znaczenia tego słowa

(por. punkty 3 i 4) odnosiły się nie tylko do samych zdań.

ale i do przedmiotów,

,.0 których była mowa" w tych

zdaniach, czy też ewentualnie do opisywanych przez nie
„stanów rzeczy". Co więcej, okazuje się. że ścisłą definicję
p rawdy można najprościej i n ajnaturalniej uzyskać k o r z y s ^
tając z innych pojęć semantycznych, np. poiecia spełniania.
Z tych właśnie powodów rozważane tu pojęcie prawdy
zaliczamy do pojęć semantyki, zagadnienie zdefiniowania

prawdy okazuje się ściśle związane z ogólniejszym zagad­
nieniem zbudowania podstaw semantyki teoretycznej.

W arto może nadmienić, że w niniejszym artykule (i wcze­

śniejszych pracach autora) semantykę pojmuje się jako trze­

źwą i skromną dyscyplinę, która nie rości sobie pretensji do
bycia uniwersalnym lekarstwem na wszystkie nieszczęścia
i choroby ludzkości - wyimaginowane czy też rzeczywiste.

W semantyce nie znajdzie się żadnego panaceum na zepsute

zęby, manię wielkości lub konflikty klasowe. Semantyka nie

jest również środkiem do wykazania, że wszyscy - z wyjąt­

kiem mówcy i jego przyjaciół - mówią bez sensu.

1

* . i

* ___ I

:

i

i____i

i____i

».

2 3 8

Pism a, tam ł: Prawda

Od starożytności do czasów współczesnych pojęcia se­

mantyczne odgrywały ważną rolę w rozważaniach filozo­

fów, logików i filologów. Lecz pojęcia te traktow ano
przez dfcugi czas z pewna doza podejrzliwości. Z histo­
rycznego punktu widzenia podejrzliwość taką można

uważać za w pełni usprawiedliwiona. Bo chociaż znacze­
nie pojęć semantycznych, tak jak się ich używa w języku

potocznym, jest raczej jasne i zrozumiałe, to jednak wszy­

stkie próby określenia tego znaczenia w sposób ogólny

i ścisły były chybione. Co gorsza, różne rozumowania,

w których pojęcia te występowały, i które poza tym
wydawały się całkiem popraw ne i oparte na pozornie

oczywistych przesłankach, prowadziły często do p a r a d o k ­
sów i antynomii. Wystarczy tu wymienić antynomię kła m ­
cy, R icharda antynom ię definiowcilności (za pomocą s k o ń ­

czonej ilości słów) i antynom ię wyrazów heterologicznych

Grellinga - N elsona9.

Jestem przekonany, że m eto d a naszkicowana w niniej­

szej pracy pom aga przezwyciężyć te trudności i zapewnia

możliwość niesprzecznego posługiwania się pojęciami se­
mantycznymi.

6.

J ę z y k i o o k r e ś l o n e j s t r u k t u r z e .

Ze względu na m o ­

żliwość pojawienia się antynom ii problem określenia for­

malnej s tru k tu ry i słownika języka, w którym mają być
p odane definicje pojęć semantycznych, staje się szczegól­
nie palący - dlatego teraz ten problem podejmujemy.

9 A n ty n o m ię k ła m c y (p rz y p is y w a n ą E u b u lid c s o w i lu b E p im e n id e so -

wi) o m a w ia m y tu w p u n k ta c h 7 i 8. W s p ra w ie a n ty n o m ii d e fin io w a łn o ś c i

( p o c h o d z ą c e j o d J. R ic h a rd a ) zo b . n p . H ilb e rt B e rn ay s 1 9 3 4 -3 9 , t. 2*

s. 263 i n.; w s p ra w ie a n ty n o m ii w y ra z ó w h e te ro lo g ic z n y c h z o b . G re l-

Im g N e ls o n 1908, s. 307. [ W y m ie n io n e a n ty n o m ie p rz e d s ta w io n e są

ró w n ie ż w p r a c a c h M o s to w s k i 1946 i 1948, p o k tó r e w a rto się g n ą ć .]

S*t9kmłyc:iHł konccpcfti prawiły i pwhittwy sentnapyki

2 W

Są pewne ogólne warunki, pą_spełnieniu których strnlf.

turę języka uważa się za ściśle określona. Aby więc określić

strukturę języka, trzeba jednoznacznie scharakteryzować

klasę slow i wyrażeń, które będa uważane za .sensowne.
W szczególności n ależy wskazać ws7ystkie słowa, których
decydujemy się używać bez icli definiowania: nazywają się*^

~one terminami „ntedejiniowajiymi (lub pierwotnymi)". Trzetw

też podać tzw. reguły definiowania, aby wprowadzać terminy

nowe, czyli zdefiniowane. Trzeba nadto ustalić z.ts.irly

w y ­

różniania spośród pgólu wyrażeń tych wyrażeń, które nazy­

wamy „zdaniomT. Trzeba"w końcu sformułować w arunki,
pod którymi dowolne zdanie naszego jeżyka m n/e hyć
uznane. W szczególności należy wskazać ws/vstk-jp nksinawi- .

j y (czyli zdania pierwotne), tzn. zdania, które postanawiamy

uznać bez dowodu: należy też podać tzw. reguły w n i o . " .

kowania (czyli reguły dowodzenia), za pomocą których może­
my wyprowadzać nowe zdania uznane z innych /rl.-ni imi.)-

jiy ch wcześniej. Zarów no aksjomaty, jak i zdania

7

nirh

wyprowadzone za pomocą reguł wnioskowania nazywamy
„twierdzeniami' bądź zdaniami dowodliwymi".

Jeśli przy określaniu s tru ktury języka odwołujemy się

wyłącznie do form y wr.hnHy^ęych w grę wyrażeń, wtedy,

język nazywamy sformalizowanym. W takim języku zda-
nia m iu z n a n y m i mogą być tylko twierdzenia.

Obecnie jedynymi językami o określonej strukturze są

sformalizowane języki różnych systemów logiki dedukcyj­

nej, czasem wzbogacone przez wprowadzenie pewnych ter­
minów pozalogicznych. Niemniej jednak zakres zasto­

sowań tych języków jest dość szeroki. Teoretycznie rzecz

biorąc, możemy w nich rozwijać różne gałęzie nauki, np.
matematykę i fizykę teoretyczną.

{Z d ru giej strony, można sobie wyobrazić konstrukcję

języków

7~które mają ściśle określoną strukuTręTalc nic s;j

240

Pismu, toni i : Prawdo

sformalizowane. W takich językach uznawanie zdań mo/e

np. nie zawsze zależeć od ich formy, ale czasem od innych,

poza)ę/.ykowych czynników. Skonstruow anie języka tego

typu - a zwłaszcza jeżyka. którv bv sie okazał wystąpi.

~czający dla szerokiej dziedziny nauk empirycznych - było­

by napraw dę rzeczą ciekawą i ważną. Uzasadniałoby b a­

wieni nadzieję, ze w dyskursie naukowym jeżyki o okreś-
lonej strukturze mogą u końcu zastąpić język potoczny.)

robieni zdefiniowania prawdy zyskuje jednoznaczny sens

i może być rozwiązany w sposób ścisły jedynie dla jeżyków.

których struktura została ściśle określona. Dla innych języ­

ków - a więc dla wszystkich języków naturalnych, „m ó­
wionych” - sens tego problemu jest mniej łub bardziej
mętny, jego rozwiązanie zaś może byc jedynie przybliżone.

JZ grubsza mówiąc, przybliżenie t o n o l e g a na zastąpieniu

języka naturalnego (lub tej jego części, która nas interesu­

je), językiem o ściśle określone) strukturzeJctónL^możliwTe'

najm niej rożni się od danego j ę z y k a ^ "

7. A

n t y n o m i a

k ł a m c y

.

W

ce lu

z n a l e z i e n i a

b a r d z ie j

s z c z e g ó ł o w y c h w a r u n k ó w , j a k i e m u s z ą s p e ł n i a ć j ę z y k i ,

w k t ó r y c h ( lu b d la k t ó r y c h ) m a b y ć p o d a n a d e f i n i c j a

p r a w d y , r o z s ą d n i e j e s t z a c z ą ć o d o m ó w i e n i a a n t y n o m i i

b e z p o ś r e d n i o d o t y c z ą c e j p o j ę c i a p raw'd y, m i a n o w i c i e a n t y ­

n o m i i k ł a m c y .

Aby otrzymać tę antynomię w przejrzystej formie10,

rozważmy następujące zdanie:

Zdanie wydrukowane w niniejszy ni artykule na s. 240

w wierszu 3 i 4 od dołu nie jest prawdziwe.

Dla zwięzłości powyższe zdanie zastąpimy literą V.

Pochodzącej od prof. J. Łukasicwicza (Uniwersytet Warszawski).

Semantyczna koncepcja prawdy i podstawy semantyki

2-ł!

Zgodnie z nasza umowa dotyczącą trafnego sposobu

użycia terminu „prawdziwy' stwierdzamy następującą rów­
noważność postaci (T):

(

1)

Y je st prawdziwe wtedy i tylko wtedw gdy zdunie

wydrukowane »r niniejszej pracy na s. 240 w wierszu

3 i 4 od do/u nie je st prawdziwe.

Z drugiej strony, mając na uwadze znaczenie symbolu Y

ustalmy empirycznie następujący fakt:

(

2)

V je st identyczne ze zdaniem wydrukowanym ir ni­
niejszej pracy na s. 240 w wierszu 3 i 4 o d dołu.

O tóż na mocy znanego prawa z teorii identyczności

(prawo Leibniza) z (2) wynika, iż w (1) możemy zastąpić
wyrażenie „zdanie wydrukowane na s. 240 w wierszu 3 i 4 od
dołu" symbolem Y. Otrzymujemy zatem, co następuje:

(3)

V je st prawdziwe wtedy i tylko w tedy, gdy Y nie je st

prawdziwe.

W ten sposób doszliśmy do oczywistej sprzeczności.

Uważam, że z punktu widzenia postępu nauki byłoby

rzeczą błędną i niebezpieczną, gdybyśmy deprecjonowali

znaczenie tej i innych antynomii, traktując je ja k o żarty
lub sofizmaty. Jest faktem, że mamy przed sobą absurd, że
zostaliśmy zmuszeni do uznania fałszywego zdania (ponie­
waż (3) - jako równoważność dwóch zdań sprzecznych
- j e s t z konieczności fałszywe). Z tym faktem nie możemy

się pogodzić, jeśli swoją prace traktujemy poważnie. M usi­

my znaleźć jego przyczynę, tzn. musimy przeanalizować
przesłanki, na których opiera się ta antynomia: musimy
następnie odrzucić przynajmniej jedną z tych przesłanek
i zbadać, jakie są tego konsekwencje dla całej dziedziny
naszych badań.

142

Pisma. toni /: Prawda

Należy podkreślić, że antynomie odegrały pierwszopla­

nowa rolę w ustanowieniu podstaw współczesnych nauk

dedukcyjnych. Podobnie jak antynomie teorii klas, a szcze­
gólnie antynomia Russella (klasy wszystkich klas, które nic
są własnymi elementami), były punktem wyjścia udanych
prób niesprzecznej formalizacji logiki i matematyki, tak

antynomia kłamcy i inne antynomie semantyczne przyczy­
niają się do zbudowania semantyki teoretycznej.

8.

S

p r z e c z n o ś ć

j ę z y k ó w

s e m a n t y c z n i e

z a m k n i ę t y c h

*.

Jeśli przeanalizujemy teraz założenia, które doprowadziły

do antynomii kłamcy, to zauważymy, co następuje:

(I) Założyliśmy jiiilcząco, że język, w którym skonstruo­

wana jest antynomia kłamcy, poza swoimi wyrażenTanTP

zawiera również ich nazwy, a także terminy semantyczne
- takie, iak termin „prawdziwy"* odnoszące się do zdań
tego jeżyka: założyliśmy też, że wszystkie zdania okreś­
lające trafny sposób użycia tego terminu mogą bvć uznane

.w tym języku. Język o tych własnościach nazwiemy ..se­

mantycznie zamkniętym

(II) Założyliśmy, że w tym języku obowiązują zwykłe

prawa logiki.

(III) Założyliśmy, że w naszym języku możemy formuło­

wać i uznawać emipryczne przesłanki - takie jak zdanie (

2h^

które wystąpiło w naszym rozumowaniu.

Okazuje się, że założenie (III) nie iest istotne, bo możliwa

jest rekonstrukcja antynomii kłamcy bez jego pomocy

1 *.

ł Zob. przypis 7.

11

M ożna tego d o k o n a ć

grosso modo

jak następuje: Niech

S

będzie

dow olnym zdaniem zaczynającym się od słów:

MKażde zdanie".

Z daniu

S

przyporządkow ujem y nowe zdanie

poddając 5 następującym dw u

m odyfikacjom : usuw am y z

S

pierwsze słow o

„Kaide"

i po drugim sło ­

wie „

zdanie

" w staw iam y całe zdanie 5 ujęte w cudzysłów. U m ów m y się

Semantyczna koncepcja prawdy i podstawy semantyki

243

JSą natomiast istotne założenia (1) i MI) Ponieważ każdv

język spełniający oba te założenia jest sprzeczny, przynaj­

mniej jedno z nich musimy odrzuę|ćT

Zbedne byłoby tu oodkreślanie konsekwencji odrzuce­

nia założenia (II). tj. zmiany naszej logiki (przyjmując, że
byłoby to możliwre) choćby w iej najbardziej elementarnych^
i podstawowych fragmentach. Bierzemy więc pod uwaee

b

jedynie możliwość odrzucenia założenia (I)j Postanawiamy

'_zatem nie używać języków, które są semantycznie zamknięte

w podanym wyżej sensie)

Ograniczenie to byłoby, oczywiście, nie do przyjęcia dla

tych, którzy z niejasnych dla mnie powodów uważają, że

jest tylko jeden „prawdziwy" język (lub, przynajmniej, że

wszystkie „prawdziwe" języki sa nawzajem przekładalne).
Jednakże ograniczenie to nie ma istotnego znaczenia dla
potrzeb czy zainteresowań nauki. Języki używane w roz­
ważaniach naukowych (zarówno języki sformalizowane, jak
i - co się częściej zdarza - fragmenty języka codziennego)
nie muszą być semantycznie zamknięte. Jest to oczywiste,

gdy zjawiska językowe, a zwłaszcza pojęcia semantyczne, nie

wchodzą w jakikolwiek sposób w zakres przedmiotu danej
nauki; w takim bowiem przypadku język nauki nie musi być

wyposażony w ogóle w terminy semantyczne. W punkcie
następnym zobaczymy, jak można się obyć bez języków

nazywać

S

„(sam o)stosow a)nynr bądź ,.nic(sam o)stosow ałnynr w zależno­

ści od tego, czy przyporządkow ane mu zdanie

S*

jest prawdziwe, czy

fałszywe. Rozważmy teraz następujące zdanie:

Każde zdanie jest nie stosowalne.

Łatw o m ożna wykazać, żc zdanie właśnie napisane musi być zarów no

stosow alne, jak i niestosowalne; a więc sprzeczność! M oże nic być całkiem

jasne, w jakim sensie to sform ułowanie antynom ii nie zawiera przesłanek

empirycznych; szczegółów jednak wyłuszczać nic będę.

244

Pisim i. tom l : Prawda

semantycznie zamkniętych nawet w tych rozważaniach

naukowych, które w istotny sposób wiążą się z pojęciami

semantycznymi.

Powstaje pytanie, ja k a jest pod tym względem sytuacja

jeżyka codziennego. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że
język len spełnia obydwa założenia (F) i (II), a zatem musi

być sprzeczny. W rzeczy samej jednak sprawa nie jest aż

tak prosta. Nasz język codzienny z pewnością nie jest

językiem o ściśle określonej strukturze. Nic wiemy dokład­

nie, które wyrażenia są zdaniami, a tym bardziej nie

wiemy, które zdania należy uważać za uznawalne. Dlatego
w odniesieniu do tego języka problem niesprzecznościN

nie

ma jednoznacznego sensu. W najlepszym razie możemy

jedynie zaryzykować przypuszczenie, że sprzeczny byłby
język, którego struktura została ściśle określona i który
jest możliwie najbardziej podobny do naszego języka co­

dziennego.

9.

J

ę z y k

p r z e d m i o t o w y

a

m e t a j ę z y k

.

Skoro postanowili­

śmy nie używać języków semantycznie zamkniętych, to

- rozważając zagadnienie definicji prawdy i - ogólniej

- jakiekolwiek zagadnienie z dziedziny semantyki - musi-

^my używać dwóch rożnych języków. Pierwszy z nich jest

językiem. ^

7o którym się mówi" i który jest przedmiotem

całości rozważań; poszukiwana przez nas definicja prawdy

stosuje się do zdań tego właśnie ip/ylra Prupi / nirh jml

ję z y k ie m , w k tó ry n a m ó w i m y

pierwszym jeżyku i w ter­

minach ktorego pragniemy w szczególności skonstruować ^

^dgfinicję prawdy dla iezvka pierwszego. Pierwszy język

będziemy nazywać J ęzykiem przedmiotowymi drugi zaś

- „metajęzykiem' _

Należy zauważyć, że terminy Język przedmiotowy"'

i „metajęzyk” mają jedynie sens względny. Jeśli np. zainte-

Sem antyczna koncepcja praw dy i p o d sta w y sem a n tyki

245

rcsuje nas pojęcie prawdy stosujące się do zdań nie nasze­

go pierwotnego języka przedmiotowego, lecz jego metaję­

zyka, to ten ostatni staje się językiem przedmiotowym

naszych rozważań; w celu zaś zdefiniowania prawdy dla
tego języka musimy przejść do nowego metajęzyka, by tak
rzec - do metajęzyka wyższego rzędu. W ten sposób

dochodzimy do całej hierarchii języków.

Słownik metajęzyka jest w dużym stopniu wyznaczony

przez podane wcześniej warunki, w których definicja praw ­

dy uważana będzie za merytorycznie trafna. Jak pam ięta­

my, definicja ta ma implikować wszystkie równoważności
postaci (T):

(T)

X jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy; gd y /;.

Sama definicja i wszystkie implikowane przezJiia-r.ów— •

nowaznosci mają być sformułowane w metajęzyku. Z d r u ­

giej strony, symbol

w (T) zastępuje dowolne zdaniu..

naszego języka przedmiotowego. Wynika stąd, że każde ^

zdanie występujące w języku przedmiotowym musi rów.-

mez występować w metajęzyku. Innymi słowy, metajęzyk ,

jriusi zawierać język przedmiotowy jako swoja część

W każdym razie jest to konieczne dla dow odu trafności

definicji, chociaż sama definicja może być niekiedy sfor­
mułowana w mniej obszernym języku, który nie spełnia

tego wymogu.

(Wymóg, o którym mowa, można nieco zmodyfikować,

wystarczy bowiem założyć, że język przedmiotowy można
przełożyć na metajęzyk; to sprawia, że konieczna jest

zmiana interpretacji symbolu %

p występującego w (T). M o ­

żliwości takiej modyfikacji nie będziemy uwzględniać

wf dalszej części pracy.)

Ponadto symbol 'X ' w (T) reprezentuje nazwę zdania )

zastępowanego przez 'p \ Widzimy więc, że metajęzyk musi J

246

Pisnuł. tom 1: Prawda

być dostatecznie bogaty, aby umożliwić skonstruowanie

' nazwy każdego zdania języka przedmiotowego.

Poza tym metajęzyk musi oczywiście zawierać terminy

ogolnologiczne - takie jak wyrażenie „wtedy i tylko wtedy.

j* d y " 12.

Pożądane iest. abv metaiezyk nie zawiera! żadnych nie-

zdefiniowanych terminów oprócz tych, których e.\plicite_
bądź implicite dotyczą powyższe uwagi, tzn. terminów języ-

Tća przedmiotowego, terminów odnoszących się do kształtu

^wyrażeń jeży k a przedmiotowego i używanych do budowy

n'A7\v rvrh

terminów logicznych. W szczegól­

ności pragniemy, aby terminy semantyczne (odnoszące się do
języka przedmiotowego) bvJv wprowadzone do metajęzyka

jedynie na m ocy definicji. Jeśli bowiem ten postulat jest
spełniony, to definicja praw'dy lub jakiegokolwiek innego

pojęcia semantycznego będzie spełniać to, czego intuicyjnie

oczekujemy od każdej definicji, tzn. będzie wyjaśniać zna­
czenie terminu definiowanego za pomocą terminów, których
znaczenie wydaje się całkowicie jasne i jednoznaczne. P o ­

nadto mamy wrówczas coś w rodzaju gwarancji, że używanie
pojęć semantycznych nie uwikła nas w sprzeczności.

Co d o formalnej stru k tury języka przedmiotowego

i m etajęzyka nie mamy żadnych dodatkow ych wymagań;

zakładam y, że jest o n a p o dobna do stru k tu ry innych,

znanych obecnie języków sformalizowanych. W szczegól­

12

W niniejszym artykule term inów „logika” i „logiczny” używa się

w szerokim sensie, który w ostatnich dekadach stal się niemal tradycyjny.

Zakłada się tu, że logika obejmuje cah| teorię klas i relacji (tzn. m atem aty­

c z n ą

teorię zbiorów ([inaczej: teorię m nogości}). Z wielu rozmaitych

pow odów sam jestem skłonny używ ać terminu „logika"* w znacznie
węższym sensie, o d n osząc go jedynie do tego, co czasem nazywane jest
„logiki] clcmcntarn»|*\ tzn. do rachunku zdań i (węższego) rachunku
p red) katów .

S c iH iin t y i :

i u i

k o H c c p c ja

/J/y/m

t/y i p o c /s it iu y w m a n iy k i

247

ności zakładamy, że w metajęzyku obowiązują zwykłe,

formalne reguły definiowania.

10* W

a r u n k i

p o z y t y w n e g o

r o z w i ą z a n i a

g ł ó w n e g o

p r o

­

b l e m u

.

Mamy więc już dobre rozeznanie zarów no w aru n ­

ków merytorycznej trafności, które definicja praw dy ma

spełniać, jak i formalnej struktury języka, w k tórym ta
definicja ma być skonstruowana.

W

tej sytuacji probjein

definicji prawdy nabiera cech problemu jednoznacznego
o charakterze czystó~3edukcyjnvm.

Rozwiązanie tego problemu w'cale nie jest je d n ak oczy­

wiste i nie podjąłbym się go szczegółowo przedstawić bez
uciekania się do całej aparatury współczesnej logiki.

W

ni­

niejszej pracy ograniczę się do pobieżnego naszkicowania
rozwiązania oraz do omówienia paru spraw ogólniejszej

natury, które się z nim wiążą.

Rozwiązanie, jak się okazuje, czasem jest pozytywne,

czasem - negatywne. Zależy to od pewnych formalnych

relacji języka przedmiotowego do jego metajęzyka, czyli

- dokładnie rzecz biorąc - od tego, czy metajęzyk w swej

logicznej części jest, czy też nie jest „istotnie bogatszy" od

języka przedmiotowego. Niełatwo jest dodać ogólną i ścis­

łą definicję pojęcia „istotnego bogactw a”. Jeśli ograniczy­
my się do języków opartych na logicznej teorii typów, to

warunkiem tego, aby metajęzyk był „istotnie bogatszy" od

języka przedmiotowego, jest to, iż zawierać on będzie

zmienne wyższych typów logicznych niż zmienne języka

przedmiotowego.

Jeśli warunek „istotnego bogactwa" nie jest spełniony, to

zazwyczaj potrafimy pokazać, że istnieje interpretacja metaję­
zyka w języku przedmiotowym, tzn. że dowolnie ustalonemu

terminowi metajęzyka można przyporządkować pewien d o b ­
rze określony termin języka przedmiotowego w( ten sposób.

►

w

k

i

#

^

>

Ł- — Ł

248

Pisma, tam

/.

Praw da

że zdania uznawalno jednego jeżyka będą przyporządko­

wane zdaniom uznawalnym drugiego jeżyka. Jeśli uwzględ­

nimy tę interpretację, to okazuje się, że przypuszczenie, iż
w metajęzyku została sformułowana zadowalająca defini­

cja prawdy, implikuje możliwość zrekonstruowania w me­

tajęzyku antynomii kłamcy; to zaś z kolei zmusza nas do

odrzucenia tego przypuszczenia.

(Fakt, że metajęzyk - w swej części pozalogicznej - jest

zwykle obszerniejszy niż język przedmiotowy, nie wyklucza

możliwości interpretacji pierwszego języka w drugim.
W metajęzyku, na przykład, występują nazwy wyrążeń

języka przedmiotowego, choć na ogół nie występują one

w samym języku przedmiotowym; niemniej jednak nazwy
te dają się zinterpretować w terminach języka przedmioto­

wego.)

Widzimy zatem, że warunek ..istotnego bogactwa" iest_

konieczny, aby w metajęzyku można było podać zadowa­

lającą definicję prawdy. Jeśli chcemy rozwijać teorię pr;iw:

dv w metajęzyku, który nie spełnia te^o warunku, to

musimy porzucić zamysł zdefiniowania prawdy wyłącznie,

za pomocą terminów, które zostały wyżej wyszczególnione
(w punkcie

8). W tym wypadku do listy niezdefiniowanych

terminów metajęzyka należy dołączyć termin „prawdziwy"
lub jakiś inny termin semantyczny, a podstawowe pojęcia
prawdy wyrazić szeregiem aksjomirToW^y^laTim podejściu

aksjomatycznym nie ma zasadniczo nic złego i może ono^

być pożyteczne dla roznychcelów* J~

^Okazuje się jednak, że podejścia aksjomatyczne^o da sie ^

^miknąc, ponieważ warunek „istotnego bogactwa" m eta­
języka jest nie tylko konieczny, ale i wystarczający dla

skonstruowania zadowalającej definicji prawdp t^p. ieśli

13 Por. tu przede wszystkim [36f], s. 5 i n.

Sem antyczna koncepcja prawdy i podstawy sem antyki

249

metajęzyk spełnia ów warunek, to można w nim zdefinio­

wać pojęcie prawdy. Pokażemy teraz w ogólnym zarysie,

jak taką konstrukcję można przeprowadzić.

11.

K

o n s t r u k c j a

i s z k i o

d e k i m c j i

14.

Definicję prawdy _

można otrzymać w bardzo prosty sposób z innego pojęcia
semantycznego - mianowicie pojęcia spełniania-

Spełnianie jest relacją zachodzącą między dow^olnj/mj.

przedmiotami a pewnymi wyrażeniami zwanymi „funk­

cja m i:d a n io w yn u \ Są to wyrażenia jak: „.v jest białe”, „.y

jest większe niż y ” itp. Pod względem struktury formalnej

są one podobne dó zdań, ale mogą zawierać tak zwane

zmienne wolne (np. V oraz V w ,,.v jest większe niż v”),

które w zdaniach występować nie mogą.

Kiedy definiujemy pojęcie funkcji zdaniowej języka sfor­

malizowanego, stosujemy zwykle tak zwaną „procedurę re-
kurencyjną”; tzn. najpierw opisujemy funkcje zdaniowe
o strukturze najprostszej (co zazwyczaj nie przedstawia
żadnej trudności), a następnie opisujemy operacje, za pomo­

cą których z prostszych funkcji buduje się funkcje złożone.
Takie operacje mogą polegać np. na tworzeniu alternatywy

bądź koniunkcji dwóch funkcji, tj. połączeniu ich słowem
Jub” bądź J ”. Zdanie definiuje się teraz po prostu ja k o
funkcję zdaniową nie zawierającą zmiciTnycTTwoIdycIl— „

^~jeslTchodzi o pojęcie spełniarmT, to można by próbować

je zdefiniować w ten sposób: dane p o d m ioty spełniają

daną funkcję, jeśli staje się ona zdaniem prawdziwym po

zastąpieniu w mei zmiennych wolnych nazwami tych

14 M e t o d a k o n stru k cji , k t ó r ą z a ra z nasz kic uje m y, d a je się z a s to s o w a ć

- z o d p o w ie d n im i z m i a n a m i - d o wszystkich z n a n y c h o b ccnic j ę z y k ó w

sfo rm ali zo w an ych; ale nic w y n ik a stąd, iż nic m o ż n a s k o n s t r u o w a ć

jęz yka, d o k tó r eg o ta m e t o d a by się nic s to so w ała.

250

Pism a, to m / : P raw da

przed m io tó w . W tym sensie np. śnieg spełnia funkcie z d a ­

niowa ...v jest białe",

ponieważ zdanie „śnieg je st biały"

jest

prawdziwe. Pomijając inne trudności,.z metody tej jednak
nie możemy skorzystać, ponieważ pojęcia spełniania chce-

j n y u żilć Ho y^pfiniowania prawd y T ^

Aby otrzymać definicję spełniania, musimy raczej zasto ­

sować raz jeszcze „procedurę rckurencyjna". Wskazujemy.

jakie przr.rirninty spełniają najprostsze funkcje zdaniowe,

a następnie podajem y w arunki określające, kiedy dane
przedmioty spełniają złożone funkcje zdaniowe - przy

założeniu, że wiadomo, jakie przedm ioty spełniają prośtsze
funkcje zdaniowe, z których rozwazane funkcje złożone

zostały zbudow ane. I tak np. mówimy, że dane liczby
spełniają logiczną alternatywę

„a*

je s t większe niż y lub

x je st równe y*\

jeśli spełniają co najmniej jed n ą z tych

funkcji „x je s t w iększe niż y "

lub ,,.v je st równe y \

Kiedy

iuż

m am y ogólną definicje, sp ełniani;!, z a u w a ż a -^

my? że stosuje się o n a autom atycznie r ó m i i ^

ty rh_

szczególnych funkcji zdaniowych, które nie zawierara ż a d ­

nych zmiennych wolnych, tzn. zdań. O kazuje się, że dla

zdań możłiwc są tylko dwa przypadki: albo zdanie |est

spełnione przez wszystkie przedmioty, albo nie jest speł­

nione przez żaden przedmiot. P o c h o d z im y wiec do defini-

cji prawdy

i

fałszu

m ó w i ą c

do

prostu,

ż e

|zdanie jest

praw dziw e, gdy je s t spełnione przez w szystkie przedm ioty.

fa łszyw e zaś - w przeciwnym w yp a dku 1 s[

15 Przy realizacji tego pom ysłu wyłaniają się pewne I n n o ś c i tech­

niczne. hunkcja zdaniow a m oże zawierać d ow oln y liczbę zm iennych

wolnych, a wraz z tą liczbą zmienia się logiczna natura pojęcia spełniania.

I

tak, pojęcie to zastosowani!"

do funKcji

z jedną zm ienny jest dwuar-

gum entow ą relacja m iedzy lym i funkcjami a pojedynczym i przedmiotami:

.jó islosow an c d o funkcji z dw iem a zm iennym i staje się trójargum cninw:|

-relacją między funkcjami a parami przedm iotów - i tak dalej. Dla tego.

Sem ant yczna konccpcja praw dy i p o d sta w y se m a n ty k i

(Może to wydawać sie dziwne, że zamiast próbow ać

zastosować np. bezpośrednią procedurę rekurencyjrui, w y­

braliśmy okrężny drogę definiowania prawdziwości zdań.

Spowodowane jest to tym, że zdania złożone, choć z b u d o ­
wane z prostszych funkcji zdaniowych, nie zawsze są z b u ­

dow ane z prostszych zdań; dlatego nie jest zn an a ogólna

metoda rekurencyjna, która stosuje się wyłącznie d o zdań.)

Z tego pobieżnego szkicu nie wynika jasno, gdzie i ja k

w naszych rozważaniach wykorzystane jest założenie o „is­

totnym bogactwie" metajęzyka. Staje się to jasne d o p iero

wtedy, gdy powyższą konstrukcję przeprow adzimy w s p o ­

sób szczegółowy i fo rm alny 16.

ściśle m ów iąc, mamy, d o czyn ienia nic z jednym poieciem spełniania, ale

z nieskończenie w ielom a poiecitnTTiTbinizujc się, że pojęć tych nic można_

zdefiniow ać niezależnie od siebie, lecz trzeba je w szystkie w prow adzić

jcd n o czcśnic.

Aby tę trud n o ść pokonać, korzystam y z m atem atycznego pojęcia

ciągu nieskonczoncgo (lub ew entualnie ciągu sk oń czon ego o dow olnej

liczbie wyrazów). Przyjmujemy umowę, że spełnianie nie jest w icloar-

tzumcnlow ii relacji| m iędzy funkcjami zdaniow ym i i nieokreślony liczba

przedm iotow , lecz dw uargum entow ą relacją między funkcjami i ciąganiL

.p rzed m iotów . Przy tym założeniu sform ułow anie ogólnej i ścisłej definicji

spełniania nic przedstawia już trudności, a zdanie prawdziw e m ożna teraz

zdefiniow ać jak o zdanie spełnione przez każdy ciąg.

Aby zdefiniow ać rckurencyjnie pojęcie spełniania, m usim y za sto ­

sow ać pewną postać definicji rckurencyjncj. która nic jest d op uszczalna

w języku przedm iotow ym . D latego też ..istotne bogactw o" m etajęzyka

m oże po prostu polegać na dopuszczeniu lego rodzaju definicji. Z drugiej

strony, znana jest ogólna metoda pozwalająca w yelim inow ać w szystkie

definicje rekurencyjnc i zastąpić je norm alnym i definicjam i, w yraźnym i.
Jeśli próbujemy tę m etodę zastosow ać d o definicji spełniania, w idzim y, że

trzeba albo w prow adzić d o metajęzyka zm ienne w yższych typów logicz­

nych niż zm ienne w ystępujące w języku przedm iotow ym , a lb o leż przyjąć

aksjom a tycznie w m etajęzyku istnienie klas szerszych niż w szystkie klasy,

których istnienie daje się ustalić w języku przedm iotow ym . Z ob. [3 5 b ]

s. ,W i n. oraz [3 9 c], s. 110 "w niniejszym tom ie s. 159 i n. oraz s. 223].

i I

t /ii

iUl

12.

K

o n s e k w e n c j e

z

d e f i n i c j i

.

N aszkicow ana powyżej

definicja praw dy ma wiele interesujących wniosków.

Przede wszystkim okazuje się, żc definicja J est nic tylko

formalnie p o praw n a, ale też merytorycznie trafna (w sen­

sie ustalonym w punkcie 4); innymi słowy, implikuje

wszystkie równoważności postaci (T). W związku z tym

należy zauważyć, że warunki merytorycznej trafności

definicji określają jednoznacznie zakres terminu „prawdzi­

wy

A zatem każda definicja prawdy, k tó ra jest m e­

rytorycznie trafna, z konieczności byłaby równoważne
tej, k tó rą skonstruow aliśm y) Sem antyczna koncepcja

praw dy nic daje nam, by tak rzec, żadnej możliwości

w yboru między różnymi nierów now ażnym i definicjami
tego pojęcia.

P o n a d to z naszej definicji możemy wyprowadzić wiele

praw ogólnej natury. W szczególności za jej pomocą może­

my udowodnić prawa niesprzeczności i wyłączonego środka,
które

są

tak

charakterystyczne

dla

Arystotelesow-

skiej koncepcji prawdy; tzn. możemy wykazać, że d o k ła d ­

nie je d n o z dwóch dowolnych zdań sprzecznych jest p raw ­

dziwe. Tych praw semantycznych nie należy utożsamiać
z pokrewnymi, logicznymi prawami sprzeczności i wyłą­

czonego środka: te ostatnie należą do rachunku zdań, tzn.
do najbardziej elementarnej części logiki, i w ogóle nic
zawierają terminu „prawdziwy".

Dalsze ważne rezultaty można otrzymać, stosując teorię,

prawefy do języków sformalizowanych pewnej bardzo^ze^.

Tbkiej Ifla s ^ y s C Y D liir n tó ^

nie należą do tej

klasy jedynie dyscypliny o elementarnym ch a ra k terze
i b ardzo elementarnej s tru kturze logicznej. O kazuje się, że

j p a żadnej

d y s c y p l i n \ L Z - l e i - i d a s v

pojęcie p m iu liu iig d y nic^

nok n w a się z_pnięciem dowodliwości - wszystkie bowiem ,

zdania dowodliwe sa prawdziwe, ale są zdania prawdziwe,

S e m a n tyczn a koncepcja prawiły i podstaw y \c m a n t\ k i

2 5)

które nic sa dow odliw e17. Stąd wynika dalej, że każda taka

dyscyplina jest niesprzeczna, ale niezupełna, tzn. z każdycFT"

.dwóch zdań sprzecznych co najwyżej jedno iest dowodliwe

oraz - co więcej - istnieje para zdań sprzecznych, z których
żadne nie jest dowodliwe^jL,

13.

R

o z s z e r z e n i e

o t r z y m a n y c h

w y n i k ó w

n a

i n n e

p o ­

j ę c i a

s e m a n t y c z n e

.

Większość wyników, d o jctóry ch d o szli-

śmy w powyższych p u n k tach^ rozważając pojęcie.praw dy,
można rozszerzyć z o d p owiednimi zmianami na inne poję-,

cia semantyczne, np. na pojęcie spełniania (występujące

w n a s ^ c h ^wczesjiieiszych rozważaniach) oraz pojęcia

(^ o z n a c z a n ia i definiowania, )

17 D zięki rozw ojow i współczesnej logiki pojęcie dow odu m atem atycz­

nego uległo daleko idącym uproszczeniom . D owolne zdanie sform alizo­

wanej dyscypliny jest d ow odliw e, jeśli daje się uzyskać z aksjom atów tej

dyscypliny przez zastosow anie pewnych prostych i czysto form alnych

reguł w nioskow ania, takich jak reguła odrywania i podstaw iania. D latego

więc, aby pokazać, żc wszystkie zdania dow odliw e są prawdziwe, wystar­

czy udow odnić, żc w szystkie zdania przyjęte jako aksjom aty są praw­

dziwe, oraz żc reguły w nioskow ania po zastosowaniu do zdań praw ­

dziwych dają now e zdania prawdziwe - a to zwykle nie przedstawia

żadnej trudności.

Z drugiej strony, z uwagi na elem entarny charakter pojęcia d o w o d -

liw ości, je g o ścisła definicja wym aga jedynie dość prostych środków

logicznych. W w iększości w ypadków środki logiczne d ostęp n e w samej

dyscyplinie sform alizow anej (z którą pojęcie d ow od liw ości jest zw ią za ­

ne) są aż n adto w ystarczające d o tego celu. W iem y jed n ak , że dla

definicji prawdy zach od zi wręcz coś przeciwnego. D la teg o z reguły

pojęcia prawdy i d ow o d liw o ści nic mogą się pokrywać; a p on iew aż

każde zdanie d o w o d liw e jest prawdziwe, muszą istnieć zd an ia praw ­

dziw e, które nic są dow od liw e.

18 Tak więc teoria prawdy dostarcza nam ogólnej m etody d o w o d ó w

niesprzeczności dla sform alizow anjch dyscyplin m atem atycznych. Ł atw o

m ożna sobie uśw iadom ić, żc dow ód niesprzeczności uzyskany tą m etodą

m oże posiadać pewną w artość intuicyjni! - tzn. może nas przekonać lub