Dziś będziemy wyznaczać ekstrema funkcji. I na początek takie zadanie. Należy wyznaczyć ekstremum funkcji
. Widzimy, że dziedziną będzie płaszczyzna
. Na początek liczymy pochodne pojedyncze po każdej z tych funkcji. A więc:

Z drugiej pochodnej wynika, że y = 0 i x = 1. Z tych warości wybieramy x = 1 i podstawiamy do wyniku pierwszej pochodnej. Stąd mamy coś takiego:

I w ten sposób uzyskaliśmy pierwsze dwa punkty stacjonarne:
.

Teraz aby uzyskać pozostałe 2 punkty stacjonarne wystarczy wybrać y = 0, które wyszło z drugiej pochodnej i podstawić do pierwszej. A zatem:

. Stąd:
, oraz
. I tak mamy trzeci i czwarty punkt stacjonarny:
. Nastepna rzecz to skorzystanie z hesjana 2x2, który przyjmie postać:

I teraz wystarczy wartości każdego z tych czterech punktów podstawić do wyznacznika tego hesjana by sprawdzić, czy jest ekstremum. Jeśli wyznacznik będzie mniejszy od 0, to znaczy, że nie ma ekstremum. Jeśli jest większy od 0, to należy sprawdzić, czy jest większy od 0 dla wyznacznika hesjana wielkości 1x1. I tak:

. Stąd wniosek, że w punkcie czwartym funkcja mam minimum lokalne równe
.

Wykonajmy kolejny przykład z tej serii. Należy wyznaczyć ekstremum funkcji
. No i zliczamy pochodne. Będą 3:

Jak widać do wartości pochodnej 2 podstawiliśmy pod y to, co nam wyszło z pierwszej pochodnej, a z kolei do pochodnej trzeciej podstawiliśmy to, co nam wyszło z drugiej pochodnej. I w ten sposób otrzymaliśmy punkt
. I teraz skorzystamy z hesjana wielkości 3x3 i będziemy wyliczać wyznaczniki tego hesjana wielkości 1x1, 2x2 i 3x3 podstawiając dane z punktu sprawdzając, czy wszystkie wyznaczniki sa większe od 0. Jeśli tak, to punkt P jest ekstremum (minimum). A zatem:

,
,

.

I stad mamy wniosek, ze punkt P jest ekstremum (minimum) funkcji. Teraz przejdziemy do ekstremum warunkowego funkcji. Zwykle jest tak, że mamy daną jakąś funkcję Z = f(x, y) pod warunkiem W:y= g(x), gdzie (x, y) należy do dziedziny. I teraz jak takie zadanie rozwiązć. Wykonajmy przykład. Należy wyznaczyć ekstremum warunkowe funkcji
pod warunkiem, że
. Na początek wykonajmy rysunek do tego zadania. Wygląda on mniej więcej tak:

Na rysunku jest jednak pewien błąd, bowiem warunek
to górna podstawa tej bryły, natomiast dolna podstawa, to
(warunki nam wyszły z wyciągnięcia y z funkcji kwadratowej). Na rysunku zostały też zaznaczone dwa punkty - minimum warunkowe i maksuimum warunkowe (które wyliczone zostały niżej). Ten trójkącik z kolei to nasz obszar Z. I szukamy najpierw ekstremum warunkowego dla tego obszaru Z przy warunku
(bo potem będziemy jeszcze szukać dla
). Z kolei
będzie takie samo, ale na plusie. I na początek montujemy przecięcie powierzchni z odpowiednikiem tego łuku. I mamy Z przy warunku
, czyli
. Jak widać za y w obszarze Z podstawiliśmy y wyliczony z naszego
. Stąd mamy
. I teraz wystarczy wyliczyć jej pochodną i znależć miejsca zerowe. I to będą nasze ekstrema przy pierwszym warunku. A zatem:

Jednak w naszym wypadku rozwiązaniem będzie tylko wartość minusowa (jedno ekstremum - minimum), bo tylko ona należy do obszaru Z. Maksimum jak widać nie należy. No i teraz wystarczy analogicznie postąpić dla warunku drugiego, czyli dolnej podstawy bryły.

---