1
Wykład 9  studia stacjonarne
Rząd macierzy. Układy równań liniowych
V. Rząd macierzy
Niech A ��Mm��n( )
Symbolika: rząd macierzyA = r(A), rz(A), R(A) �� ��{0}
Definicja 9.1
Podmacierzą macierzy A nazywamy & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Definicja 9.2
1) Jeżeli A = 0, to & & & & & & & & & & .
2) Jeżeli A ą� 0, to rzędem macierzy A nazywamy stopień & & & & & & & & & & & & & & & & & ,
o wyznaczniku różnym od 0.
Uwaga
Rząd macierzy Am��n nie jest większy od & & & & & & & & & & & & . : r(A) Ł� min{m,n}.
Przykład
Własności rzędów :
1. r(A ) = r(AT)
2. An �� n  nieosobliwa (odwracalna) �� r(A) = n
3. Rząd macierzy nie ulegnie zmianie, jeśli:
a) zmienimy porządek kolumn (wierszy),
b) do jednej kolumny (wierszy) dodamy kombinację liniową innych kolumn (wierszy),
c) kolumny (wiersze) macierzy pomnożymy przez dowolne liczby różne od zera.
VI. Układy równań liniowych
Definicja 9.3
Układem m równań liniowych o n niewiadomych x1, x2, ..., xn nazywamy układ postaci:
��
a11x1 +� a12x2 +� ...+� a1nxn =� b1
��
�� a21x1 +� a22x2 +� ...+� a2nxn =� b2
(*) gdzie aij, bj są & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
��
M�
��
��am1x1 +� am2x2 +� ...+� amnxn =� bm
��
Liczby aij nazywamy & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & , a liczby bj  & & & & & & & & & & & & & & & & & &
a11 a12 ... a1n
�� ł�
ę�a a22 ... a2n ś�
21
ę� ś�
A =� macierz & & & & & & & & & & & & & & & (m��n)
ę� ś�
... ... ... ...
ę�a am2 ... amn ś�
�� m1 ��
1
2
Wykład 9  studia stacjonarne
Rząd macierzy. Układy równań liniowych
x1 b1
�� ł� �� ł�
ę�x ś� ę�b ś�
2 2
ę� ś� ę� ś�
X = macierz & & & & & & & & & & & . (n��1) B = macierz & & & & & & & & & & & & & . (m��1)
ę� ś� ę� ś�
... ...
ę�x ś� ę�b ś�
�� n �� �� m ��
(*) �� & & & & & & & & postać macierzowa układu równań
a11 a12 ... a1n b1
�� ł�
ę�a a22 ... a2n b2 ś�
21
ę� ś�
U =� macierz & & & & & & & & & & & & & . (m�� (n+1))
ę� ś�
... ... ... ... ...
ę�a am2 ... amn bmś�
�� m1 ��
Definicja 9.4
0 0 0
Ciąg liczb ( x1 , x2,..., xn ) nazywamy rozwiązaniem układu równań liniowych (*) wtedy i tylko
wtedy, gdy & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .otrzymamy
układ równań prawdziwych.
Możliwe są 3 przypadki:
10 układ sprzeczny = & & & & & & & & & & & & & & & &
20 & & & & & & & & & & & & & & & & = nieskończenie wiele rozwiązań
30 & & & & & & & & & & & & & & & & = & & & & & & & & & & & & & & & &
Układ Cramera
Gdy m = n, A jest macierzą & & & & & & & & (detA & & & ..), r(A) = & & & ., to układ (*) nazywamy
układem Cramera.
��
a11x1 +� a12x2 +�...+� a1nxn =� b1
��
��a21x1 +� a22x2 +�...+� a2nxn =� b2
(**)
��
M�
��
��an1x1 +� an2x2 +�...+� annxn =� bn
��
Twierdzenie 9.1
Jeżeli układ równań (**) jest układem Cramera, to & & & & & & & & & & & & & & dane równaniem
X = & & & & & & (metoda macierzowa rozwiązywania układu Cramera).
Dowód
2
3
Wykład 9  studia stacjonarne
Rząd macierzy. Układy równań liniowych
Twierdzenie 9.2
Jeżeli układ równań (**) jest układem Cramera, to ma dokładnie jedno rozwiązanie określone
wzorami Cramera: & & & & & & & & & & & . i = 1,2,...,n gdzie
Ai  macierz powstała z macierzy A przez & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
a11 a12 ... b1 ... a1n
�� ł�
ę�a a22 ... b2 ... a2nś�
21
ę� ś�
Ai =
ę� ś�
... .... ... ... ... ...
ę�a an2 ... bn ... ann ś�
�� n1 ��
Dowód
Przykład
Układ równań liniowych dowolny
Twierdzenie 9.3 (Kroneckera  Capelli ego)
Układ równań liniowych (*) ma rozwiązanie (jest niesprzeczny) wtedy i tylko wtedy, gdy & & & & & & & .
Wnioski
10 Jeżeli r(A) ą� r(U) , to układ (*) jest & & & & & & & & & & .
20 Jeżeli r(A) = & & & & & & & & & .. (ilość niewiadomych), to układ (*) jest oznaczony.
30 Jeżeli & & & & & & & & & & & . (ilość niewiadomych), to układ (*) jest nieoznaczony, czyli ma
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
3
4
Wykład 9  studia stacjonarne
Rząd macierzy. Układy równań liniowych
Twierdzenie 9.4
Układ (*) ma rozwiązanie i r(A) = r. Niech M  minor stopnia r (r��r) taki, że ą� 0 . Jeżeli & & & & & .
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & , to otrzymamy układ równoważny układowi (*).
Układy równoważne  & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Schemat rozwiązania :
10 Wyznaczenie rzędów macierzy A i U
a) r(A) ą� r(U) , to układ jest & & & & & & & & & , czyli koniec rozwiązania,
b) r(A) = r(U) , to układ jest & & & & & & & & &
*� 1 rozwiązanie,
** nieskończenie wiele rozwiązań.
20 Tworzymy układ Cramera, którego macierzą główną jest podmacierz macierzy A, & & & & & & & & & .
& & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & ..
a) wykreślamy równanie nie biorące udziału w liczeniu rzędu,
b) niewiadome nie biorące udziału w liczeniu rzędu przenosimy na stronę wyrazów wolnych, będą
one pełniły rolę parametrów **.
30 Dowolną metodą (wzory Cramera lub macierzową) & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & .
Przykład
1)
2)
3)
4
5
Wykład 9  studia stacjonarne
Rząd macierzy. Układy równań liniowych
Układ równań jednorodnych
(ma zawsze rozwiązanie)
��
a11x1 +� a12x2 +� ... +� a1nxn =� 0
��
�� a21x1 +� a22x2 +� ... +� a2nxn =� 0
(***)
��
M�
��
��am1x1 +� am2x2 +� ... +� amn xn =� 0
��
(***) �� AX = 0 & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & . �� układ niesprzeczny
Uwaga
Jeżeli układ (***) jest oznaczony, to jedyne rozwiązanie, to x0 = (& & & & & & & & & & & ).
5