Krzysztof Cieślik 26 lutego 2000

Ćwiczenie 1

Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła różnicowego

Wstęp teoretyczny

- NATĘŻENIE POLA GRAWITACYJNEGO, PRZYSPIESZENIE ZIEMSKIE

Przyciąganie pomiędzy ciałami odbywa się za pośrednictwem pola grawitacyjnego (pola ciężkości), które na równi z innymi polami fizycznymi i substancjami jest jedną z postaci materii. Charakterystyczną właściwością pola grawitacyjnego jest to, że na umieszczony w nim punkt materialny działa siła ciężkości wprost proporcjonalna do masy tego punktu. Wektorowo opisuje się pole grawitacyjne za pomocą natężenia g, które jest równe stosunkowi siły ciężkości G działającej na punkt materialny do wartości jego masy m:

Swobodny spadek jest to ruch ciała, zachodzący pod wpływem tylko jego siły ciężkości. Przyspieszenie ziemskie grawitacyjne, (niekiedy zwane przyspieszeniem spadku swobodnego). jest jednakowe dla wszystkich ciał i zależy od szerokości geograficznej oraz wysokości nad poziomem morza. Wartość przyspieszenia ziemskiego g (w m/s²) na niedużych wysokościach h (w metrach) n.p.m. można obliczyć ze wzoru przybliżonego:
cm/s²

W większości obliczeń technicznych pomija się zależność g od ϕ i przyjmuje się g=9,81 m/s², zaś do wyznaczania zmiany g zachodzącej podczas oddalania się od powierzchni ziemi stosuje się wzór przybliżony:

gdzie M - masa ziemi, R₀=6370 km (średni promień Ziemi) zaś g₀=9,81 m/s²

- RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSCYLATORA HARMONICZNEGO

Drganiami harmonicznymi prostymi nazywamy drgania odbywające się pod wpływem siły F proporcjonalnej do wychylenia x i przeciwnie skierowanej. Zapisuje się to wzorem:

F= - kx

Współczynnik proporcjonalności k o wymiarze N/m nazywamy siłą kierującą.

Wielkość ω₀ nazywa się częstością kołową. Po podstawieniu i przekształceniu, otrzymujemy:

Równanie to nazywa się równaniem ruchu harmonicznego prostego. Jest ono równaniem różniczkowym drugiego rzędu względem zmiennej x.

Funkcja cosinus jest funkcją periodyczną i jej wartości powtarzają się co 2Π. Korzystając z powyższej własności i równania wyznaczyć możemy okres T, tzn. czas, po którym funkcja cosinus wraca do początkowej wartości:

skąd

Podstawiając za ω₀ otrzymamy:

WAHADŁO RÓŻNICOWE

W wahadle różnicowym nie mamy podanej długości struny, na której jest zawieszony odważnik. Dokładniejsze wyniki pomiarów są, gdy będziemy rozpatrywać tylko i wyłącznie różnice, pomiędzy długością struny za pierwszym pomiarem, a drugim. Można w prosty sposób udowodnić, że nie potrzebujemy tej wartości.

Okres drgań w wahadle prostym wynosi:

przy czym

l - długość wahadła

g - wartość przyśpieszenia Ziemskiego.

Zatem zakładając, że długość wahadła za pierwszym pomiarem jest równa l₁, a za drugim l₂ można uzyskać odpowiednie wzory:

lub

Odejmując równania stronami otrzymujemy:

a z tego możemy

Wykonanie ćwiczenia

Moim zadaniem jest zmierzyć czas wahnięcia kulki przy dwóch różnych długości wahadła. Aby pomiar był dokładniejszy mierzymy czas 30 wahnięć, a następnie wyliczamy czas średni jednego wahnięcia. Wyniki te zostały przedstawione w poniższej tabeli:

Powyższa tabela przedstawia serie wyników jakie zostały uzyskany w trakcie doświadczenia. Z pierwszej tabeli odrzucam pomiar pierwszy, ponieważ ma za dużą rozbieżność do pozostałych wyników i jak widać jego błąd wynosi 0,05 s (w pozostałych przypadkach różnice wynoszą do 0,01 s.).

Pod tabelami są podane wyniki obliczeń średnich wartości. Można przeczytać, że na poziomie „0 cm” średni czas wahnięcia wynosi 2,48 s. W uogólnieniu oznacza to, że czas jednego wahnięcia na poziomie 0 cm wynosi 2,48 ± 0,01 s. Zaś na poziomie 30 cm czas wahnięcia wynosi 2,21 ± 0,01 s.

Z tego możemy policzyć:

=

=4 ∗ (3,1415)² ∗ 0,30/((2,48+2,21) ∗(2,48-2,21))=

=9,353 m/s²

Obliczam błąd jaki został popełniony podczas przeprowadzania ćwiczenia

Stosując metodę różniczki zupełnej obliczam błąd:

≈0,911 m/s².

Mimo, że masa kulki nie ma wpływu na czas (a przez to na wyniki obliczenia przyciągania), to dodatkowym zadaniem było pomiar masy kulki. Dlatego też w czasie przeprowadzania ćwiczenia zmierzyłem dziesięciokrotnie średnicę kulki. wynosiła ona odpowiednio:

Poniżej jest podana średnia arytmetyczna wyników. oznacza to, że średnica kulki wynosi
2,85 mm ± 0,02 mm .

Podstawiając do wzoru możemy policzyć objętość kulki:

Mając obliczoną objętość możemy policzyć masę ze wzoru:

δ - gęstość

czyli

M=V∗δ

Podstawiając wzór do powyższego równania otrzymujemy:

Gęstość stali wynosi 7,8 ± 0,1 g/cm³

Rozbieżności te są spowodowane różnym stosunkiem żelaza do węgla.

Podstawiając do tego wzoru dane wyliczamy, że

M=94,5 g

Określam błąd metodą pochodnej logarytmicznej:

Błąd z tego po zaokrągleniu do góry wyliczony wynosi: ≈ 4,7 %

---