Rozwiązania zadań B.11 – Oligopol II Tomasz Lis

1

Zad. 4

MC

L

= MC

N

= 10 => TC = 10q

Q = 1000 – 20p
P = 50 – 1/20Q
Q = q

L

+ q

N

Model Stackelberga:

Tworzymy funkcję zysku naśladowcy:

Π

N

= (50 – 1/20(q

L

+ q

N

))q

N

– 10q

N

Π

N

= 50q

N

– 1/20q

L

q

N

– 1/20q

N

2

– 10q

N

∂

Π

N

/

∂

q

N

= 40 – 1/20q

L

– 1/10q

N

Przyrównując pochodną cząstkową do 0, a następnie wyznaczając q

N

znajdujemy funkcję reakcji naśladowcy:

40 – 1/20q

L

– 1/10q

N

= 0

q

N

= 400 – 1/2 q

L

=> q

N

= 200

Tworzymy funkcję zysku lidera:

Π

L

= (50 – 1/20(q

L

+ q

N

))q

L

– 10q

L

Π

L

= 50q

L

– 1/20q

L

q

N

– 1/20q

L

2

– 10q

L

W miejsce q

N

wstawiamy funkcję reakcji naśladowcy:

Π

L

= 40q

L

– 1/20q

L

(400 – 1/2q

L

) – 1/20q

L

2

Π

L

= 20q

L

– 1/40q

L

2

∂

Π

L

/

∂

q

L

= 20 – 1/20 q

L

20- 1/20 q

L

= 0

q

L

= 400

q

N

= 200

Odp. q

L

= 400

Model Cournota:

Tworzymy funkcje zysku obu firm:

Π

1

= 40q

1

– 1/20q

1

q

2

– 1/20q

1

2

Π

2

= 40q

2

– 1/20q

1

q

2

– 1/20q

2

2

∂

Π

1

/

∂

q

1

= 40 – 1/10q

1

– 1/20q

2

∂

Π

1

/

∂

q

1

= 40 – 1/10q

2

– 1/20q

1

Przyrównujemy obie pochodne do 0:

40 – 1/10q

1

– 1/20q

2

= 0

40 – 1/10q

2

– 1/20q

1

= 0

2q

1

+ q

2

= 800

q

1

+ 2q

2

= 800

q

1

= 266,(6)

q

2

= 266, (6)

Rozwiązania zadań B.11 – Oligopol II Tomasz Lis

2

Zad. 6

W modelu Stackelberga: Π

L

= 4000

W modelu Cournota: Π = 3555,(5)

Odp. W równowadze Stackelbera przywódca ilościowy osiąga większy zysk niż w
równowadze Cournota.

Zad.13

AC= 10 => TC = 10q
P = 110 – 5q

Tworzymy funkcję zysku naśladowcy:

Π

2

= (110 – 5(q

1

+ q

2

))q

2

– 10q

2

Π

2

= 110q

2

– 5q

2

2

– 5q

1

q

2

– 10q

2

Π

2

= 100q

2

– 5q

2

2

– 5q

1

q

2

∂

Π

2

/

∂

q

2

= 100 – 10q

2

– 5q

1

Przyrównując pochodną cząstkową do 0, a następnie wyznaczając q

2

znajdujemy funkcję reakcji naśladowcy:

100 – 10q

2

– 5q

1

= 0

q

2

= 10 – ½ q

1

=> q

2

= 5

Tworzymy funkcję zysku lidera:

Π

1

= (110 – 5(q

1

+ q

2

))q

1

– 10q

1

Π

1

= 110q

1

– 5q

1

2

– 5q

1

q

2

– 10q

1

W miejsce q

2

wstawiamy funkcję reakcji naśladowcy:

Π

1

= 100q

1

– 5q

1

2

– 5q

1

(10 – ½ q

1

)

Π

1

= 100q

1

– 5q

1

2

– 50q

1

+ 5/2 q

1

2

∂

Π

2

/

∂

q

2

= 50 – 5q

1

50 – 5q

1

= 0

q

1

= 10

Odp. Firma 2 wyprodukuje 5.

Zad. 5

MC

1

= 4

MC

2

= 0,1q

2

Q = 1000 – 10p

Tworzymy funkcję zysku lidera:

Π

1

= (1000 – 10p – q

N

)p – 4(1000 – 10p – q

N

)

Π

1

= (p – 4) (1000 – 10p – q

N

)

Naśladowca sprzedaje swój towar po cenie równej kosztowi krańcowemu:

MC

2

= p

p = 0,1 q

n

q

N

= 10p

Rozwiązania zadań B.11 – Oligopol II Tomasz Lis

3

Π

1

= (p – 4) (1000 – 10p – 10p)

Π

1

= (p – 4) (1000 – 20p)

Π

1

= 1000p – 20p

2

– 4000 – 80p

Liczymy pochodną cząstkową i przyrównujemy ją do 0, aby znaleźć cenę maksymalizującą zysk:

∂

Π

1

/

∂

p = 1000 – 40p - 80

1000 – 40p – 80 = 0
40p = 1080
p = 27

Odp. P =27.

Zad. 16

P = 200 – Q Q = q

D

+ Q

N

,Q

N

- produkcja 100 małych firm

q

N

- produkcja 1 małej firmy

MC

N

= 50q + 1

MC

D

= q – 15

TC

D

= 1/2q

2

– 15q

Tworzymy funkcję zysku firmy dominującej:

Π

D

= (200 – p – q

N

)p – ½(200 – p – q

N

)

2

– 15(200 – p – q

N

)

Π

D

= (200 – p – q

N

)(p - ½(200 – p – q

N

) – 15)

Π

D

= (200 – p – q

N

)(p – 100 + 1/2q

N

– 115)

Naśladowca sprzedaje swój towar po cenie równej kosztowi krańcowemu:

P=MC

N

P= 50q

N

+ 1

Q

N

= (p – 1)/50*100

(ponieważ na rynku znajduje się 100 małych firm)

Q

N

= 2p – 2

Π

D

= (200 – p – q

N

)(p – 100 + 1/2q

N

– 115)

Π

D

= (202 – 3p)(5/2p – 116)

∂

Π

D

/

∂

p = 853 – 15p

853 – 15p = 0
p = 57
P = 200 – (q

D

+ q

N

)

57 = 200 – q

D

– 112

Q

D

= 31

Π

D

= 821,5

Odp. Q

D

= 31, Π

D

= 821,5 , p = 57

Zad. 17

p = 1 – Q
MC = c => TC = cq

Tworzymy funkcje zysków poszczególnych firm:

Π

L

= (1 – (q

1

+ q

2

+ q

3

))q

1

– cq

1

Rozwiązania zadań B.11 – Oligopol II Tomasz Lis

4

Π

2

= (1 – (q

1

+ q

2

+ q

3

))q

2

– cq

2

Π

3

= (1 – (q

1

+ q

2

+ q

3

))q

3

– cq

3

∂

Π

2

/

∂

q

2

= 1 – 2q

2

– q

1

– q

3

- c

1 – 2q

2

– q

1

– q

3

– c = 0

Zauważamy, że firmy działające w modelu Cournot`a mają taką samą wielkość produkcji q

2

= q

3

1 – 2q

2

– q

1

– q

2

– c = 0

q

2

= (1 – q

1

– c)/3 = q

3

→

funkcja reakcji firmy 2 i 3

Funkcję reakcji firmy 2 i 3 wstawiamy do funkcji zysku lidera

Π

L

= (1 – (q

1

+ ((2- 2q

1

– 2c)/3))q

1

– cq

1

Π

L

= q

1

– q

1

2

– (2q

1

– 2q

1

2

– 2cq

1

)/3 – cq

1

Π

L

= -q

1

2

+ q

1

+ cq

1

∂

Π

1

/

∂

q

1

= -2q

1

+ 1 + c

-2q

1

+ 1 - c = 0

q

1

= (1-c)/2

q

2

= q

3

= (1-c)/6

Odp. q

1

= (1-c)/2, q

2

= q

3

= (1-c)/6

Zad. 5.4.14.

TC

1

= 4q

1

2

TC

2

= q

2

2

P = 140 – 2Q Q = q

1

+ q

2

Wyznaczamy jedną funkcję zysku dla obu firm:

Π = (140 – 2(q

1

+ q

2

))( q

1

+ q

2

) – 4q

1

2

– q

2

2

Π = 140q

1

+ 140q

2

– 2q

1

2

– 2q

1

q

2

– 2q

1

q

2

– 2q

2

2

– 4q

1

2

– q

2

2

Π = 140q

1

+ 140q

2

– 6q

1

2

– 3q

2

2

– 4q

1

q

2

Obliczamy pochodne cząstkowe i przyrównujemy je do 0, aby znaleźć wartości maksymalizujące produkcję:

∂

Π/

∂

q

1

= 140 – 12q

1

– 4q

2

∂

Π/

∂

q

2

= 140 – 6q

2

– 4q

1

140 – 12q

1

– 4q

2

= 0

140 – 6q

2

– 4q

1

= 0

4q

1

+ 6q

2

= 140

12q

1

+ 4q

2

= 140

q

1

= 5

q

2

= 20

p = 140 – 50 = 90

Odp. q

1

= 5, q

2

= 20, p = 90

Rozwiązania zadań B.11 – Oligopol II Tomasz Lis

5

Zad. 5.4.17.

TC

1

= 1,5q

1

2

=> MC

1

= 3q

1

TC

2

= 2q

2

2

=> MC

2

= 4q

2

p

1

= 8 – 5q

1

– q

2

p

2

= 7

– q

1

– 2q

2

Sumujemy obie funkcje popytu:

P = 15 – 6q

1

– 3q

2

Obliczamy całkowity łączny przychód obu firm:

TR = (15 – 6q

1

– 3q

2

)(q

1

+ q

2

)

TR = 15q

1

+ 15q

2

-6q

1

2

– 9q

1

q

2

– 3q

2

2

MR

1

= 15 – 12q

1

– 9q

2

MR

2

= 15 – 9q

1

– 6q

2

Przyrównujemy koszty krańcowe z krańcowymi przychodami, aby znaleźć optymalny poziom produkcji:

MC

1

= MR

1

MC

2

= MR

2

15 – 12q

1

– 9q

2

= 3q

1

15 – 9q

1

– 6q

2

= 4q

2

q

2

= 30/23

q

1

= 5/23

p

1

= 5,6

p

2

= 4,2

Odp. q

1

= 5/23; p

1

= 5,6; q

2

= 30/23; p

2

= 4,2