Seria: Informatyka
Niezawodność systemów komputerowych
Wykład 3
Obiekty proste odnawialne
z zerowym czasem odnowy
dr hab. inż. Tadeusz Nowicki, prof. nadzw. WAT
e-mail: [e-mail],
tel. [phone], kons. wtorek 19.00, pok. 263
Model niezawodnościowy
Jedynymi istotnymi zdarzeniami w eksploatacji obiektu
prostego odnawialnego z zerowa odnową są chwile
uszkodzeń, które przy zerowej odnowie, są jednocześnie
chwilami odnów.
T1 T2 T3 T4 T5
t
Ciąg zmiennych losowych T1, T2, T3, ... stanowiący strumień
odnów jest modelem niezawodnościowym obiektu prostego
odnawialnego z zerowym czasem odnowy. Zmienne Ti są
ciągłymi i dodatnimi zmiennymi losowymi oznaczającymi
czasy pomiędzy kolejnymi uszkodzeniami (jednocześnie
odnowami) obiektu, zatem czas do jego uszkodzenia.
Charakterystyki tych zmiennych losowych są zatem miarami
niezawodnościowymi obiektu.
Strumienie odnów
Strumienie odnów dzielimy na:
Proste: wszystkie zmienne losowe T1, T2, T3, ... mają
identyczne rozkłady określone dystrybuantą F(t), gęstością
f(t), transformatą Laplace a f*(s), wartością oczekiwaną q� oraz
odchyleniem standardowym s�.
Ogólne: wszystkie zmienne losowe T2, T3, T4, ... mają
identyczne rozkłady określone dystrybuantą F(t), gęstością
f(t), transformatą Laplace a f*(s), wartością oczekiwaną q� oraz
odchyleniem standardowym s�, natomiast dopuszczamy, że
pierwsza zmienna losowa T1 ma inny rozkład określony
dystrybuantą F1(t), gęstością f1(t), transformatą Laplace a
f1*(s), wartością oczekiwaną q�1 oraz odchyleniem
standardowym s�1.
Miary niezawodności
1. Czas Sr do r-tej odnowy (uszkodzenia)  zmienna losowa
spełniająca:
Sr =� T1 +� T2 +� T3 +�...+� Tr
Jej dystrybuanta wyznaczana jest na podstawie
- transformata Laplace a
Kr (t) =� L-�1{�K*� (s)}�
K*�(s)
r
r
dystrybuanty
a gęstość
- transformata Laplace a
kr (t) =� L-�1{�k*� (s)}�
k*�(s)
r
r
gęstości
gdzie dla strumienia prostego
r
*�
1 1 r
*�
k*� (s) =� (�f (s))�
K*� (s) =� k*� (s) =� (�f (s))�
r
r r
s s
Ą�
Uwaga: transformata Laplace a funkcji g(x):
-�sx
g*�(s) =�
��g(x)e dx
-�Ą�
Model niezawodnościowy
N(t)
4
3
2
1
S1
S2
S3
t
S4
T1 T2 T3 T4 T5 T6
t
Miary niezawodności
a dla strumienia ogólnego:
r-�1
*� *�
k*� (s) =� f (s)(�f (s))�
1
r
1 1 r-�1
*� *�
K*� (s) =� k*� (s) =� f (s)(�f (s))�
1
r r
s s
dla czasów odpowiednio dużych (t��Ą� ) zmienna losowa
Sr dąży do rozkładu normalnego
N(�r ��q�, s��� r)�
Miary niezawodności
2. Proces stochastyczny N(t)  liczba odnowień do chwili t
Można pokazać, że
{�N(�t)�<� r}� ��{�Sr >� t}�
i po elementarnych przekształceniach
gdzie
K0(t) ��1
P{�N(�t)�=� r}� =� Kr (t) -� Kr+�1(t)
Można pokazać, że dla dużych t (odpowiednio duża liczba
odnowień) proces N(t) dąży do
ć� ��
t s� �� t
��
N�� ,
3
�� ��
q�
�� ��
q�2
Ł� ł�
Miary niezawodności
3. Funkcja odnowy H(t)  oczekiwana liczba odnowień do
chwili t
H(t) =� E{�N(�t)�}�
oraz
Ą� Ą� Ą�
H(t) =�
��r ��P{�N(�t)�=� r}� =� ��K (t) =� F1(t) +���K (t) =�
r r
r=�0 r=�1 r=�2
Ą�
ale
=� F1(t) +�
��K (t)
r+�1
r=�1
t
Kr+�1(t) =�
r gdzie
��K (t -� t�)f (t�)dt� =� Kr ��f (t)
0
Kr ��f (t)
- splot funkcji Kr(t) i f(t)
Miary niezawodności
Zatem
Ą�
H(t) =� F1(t) +�
��[�K (t) ��f (t)]�=� F1(t) +� H(t) ��f (t)
r
r=�1
Z twierdzenia o splocie funkcji otrzymujemy:
*�
H*�(s) =� F1*�(s)+� H*�(s)��f (s)
równanie odnowy
Stąd otrzymujemy
F1*�(s) 1 f1*�(s)
H*�(s) =� =�
*� *�
dla strumienia ogólnego
1-� f (s) s 1-� f (s)
*�
F*�(s) f (s)
1
dla strumienia prostego
H*�(s) =� =�
*� *�
1-� f (s) s 1-� f (s)
Miary niezawodności
oraz dalej
H(t) =� L-�1{�H*�(s)}�
4. Gęstość odnowy h(t)
d
h(t) =� H(�t)�
dt
Można pokazać, że
f1*�(s)
dla strumienia ogólnego
h*�(s) =�
*�
1-� f (s)
*�
f (s)
dla strumienia prostego
h*�(s) =�
*�
1-� f (s)
Miary niezawodności
Można pokazać, że dla dużych t zachodzą twierdzenia
H(t) 1 t
lim =� H(t) =�
zatem dla dużych t
t��Ą�
t q� q�
Tw. Blackwella
a�
lim[�H(t +� a�) -� H(t)]�=�
t��Ą�
q�
dla dużych t oczekiwana liczba odnów w przedziale (t,t+a�) nie
zależy od t.
Tw. Smitha
Gdy g(x) jest nierosnącą funkcją monotoniczną i całkowalną
w przedziale (0,Ą�), to
t Ą�
1
węzłowe
lim
twierdzenie
��g(t -� x)h(x)dx =� ��g(u)du
t��Ą�
q�
odnowy
0 0
Miary niezawodności
5. P(t,t+t�)  prawdopodobieństwo tego, że w przedziale
(t,t+t�) nie będzie uszkodzenia
t
P(t, t +� t�) =�1-� F1(t +� t�) +�
��[�1-� F(t +� t� -� x)]�h(x)dx
0
a dla dużych t (korzystając z tw. Smitha) otrzymujemy
charakterystykę graniczną
Ą�
1
P(t�) =� lim P(t, t +� t�) =�
��[�1-� F(y)]�dy
t��Ą�
q�
t�
Miary niezawodności
6. Pozostały czas zdatności x�t  jeśli od ostatniej odnowy (r-tej)
minął czas t, to ta zmienna losowa jest resztowym czasem do
kolejnej odnowy (r+1-szej)
x�t =� Sr+�1 -� t
Można pokazać, że
P{�x�t}�=� P(�t, t +� t�)�
a jej dystrybuanta
t
Fx� (t�) =� P(�t, t +� t�)�=�1-� F1(t +� t�) +�
��[�1-� F(t +� t� -� x)]�h(x)dx
t
0
Przy dużych t mamy a wartość oczekiwana
t�
Ą�
1
q� s�2
Fx�(t�) =�
E(x�) =�
��[�R(y)]�dy
��P(t�)dt� =� 2 +� 2q�
q�
0
0