Seria: Informatyka
Niezawodność systemów komputerowych
Wykład 2
Obiekty proste nieodnawialne
dr hab. inż. Tadeusz Nowicki, prof. nadzw. WAT
e-mail: [e-mail],
tel. [phone], kons. wtorek 19.00, pok. 263
Model niezawodnościowy
Jedynym istotnym zdarzeniem w eksploatacji obiektu
prostego nieodnawialnego jest chwila jego uszkodzenia.
Wtedy traci on własność realizacji przewidzianych funkcji
(zadań).
1- oznacza zdatność obiektu do
T
wykonywania funkcji
1
0  oznacza jego niezdatność
0
t1 t
Zmienna T jest ciągłą i dodatnią zmienną losową oznaczającą
czas życia obiektu, zatem czas do jego uszkodzenia. Jest ona
modelem niezawodnościowym obiektu prostego
nieodnawialnego. Charakterystyki tej zmiennej losowej są
zatem miarami niezawodnościowymi obiektu.
Miary niezawodności
Miary funkcyjne (zależne od upływającego czasu)
1. Dystrybuanta F(t) zmiennej losowej T 
prawdopodobieństwo, że czas do uszkodzenia
obiektu jest mniejszy od zadanej chwili t
F(t) =� P{�T <� t}�
2. Funkcja niezawodności R(t) -
prawdopodobieństwo, że czas do uszkodzenia
obiektu jest większy od zadanej chwili t
R(t) =� P{�T ł� t}�
3. Gęstość zmiennej losowej T  pokazuje
rozłożenie masy prawdopodobieństwa na
poszczególnych wartościach zmiennej losowej
d
f (t) =� F(t)
dt
Miary niezawodności
4. Funkcja l�(t) intensywności uszkodzeń zmiennej
losowej T  warunkowa gęstość rozkładu
prawdopodobieństwa czasu powstania
uszkodzenia w chwili t
f (t) f (t)
l�(t) =� =�
1-� F(t) R(t)
5. Funkcja wiodąca L�(t)  skumulowany wskaz
nik
bazujący na chwilowej charakterystyce l�(t)
t
L�(t) =�
��l�(u)du
0
Miary niezawodności
6. Warunkowa funkcja niezawodności Rt(t�) 
prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia
polegającego na tym, że obiekt zachowa stan
zdatności jeszcze przez odcinek czasu o
długości co najmniej t� pod warunkiem, że do
chwili t nie uszkodził się.
P{�T ł� t +� t�}�=� R(t +� t�)
Rt (t�) =�
P{�T ł� t}� R(t)
7. Bezwarunkowe prawdopodobieństwo P(t,t+ t�)
braku uszkodzenia w przedziale czasu (t,t+ t� )
t+�t�
P(t,t +�t� ) =�1-� f (u)du =�1-�[�R(t) -� R(t +�t� )]�
��
t
Miary niezawodności
Miary liczbowe (niezależne od upływającego czasu)
8. Wartość oczekiwana E{T} zmiennej losowej T
Ą� Ą� Ą�
E{�T}�=� q� =� ��f (t)dt =�
��t ��[�1-� F(t)]�dt =� ��R(t)dt
0 0 0
Uwaga: całkujemy od 0  dodatnie zmienne losowe
9. Wariancja zmiennej losowej T  miara rozrzutu
wokół wartości oczekiwanej
Ą�
V{�T}�=�
��(t -� q�)2f (t)dt
0
10. Odchylenie standardowe
Ą�
s�{�T}�=�
��(t -� q�)2f (t)dt =� V{�T}�
0
Miary niezawodności
11. Kwantyl tp zmiennej losowej T  jest chwilą, dla
której dystrybuanta F(t) osiąga wartość p,
zatem jest rozwiązaniem równania:
{� }�
F tp =� p
Interpretacja geometryczna kwantyla
F(T)
p
t
tP
Typowe rozkłady czasów zdatności
W teorii i praktyce niezawodności obiektów technicznych
rozważa się szereg typowych rozkładów prawdopodo-
bieństw, jakie przyjmuje się dla czasów zdatności obiektów:
1. Rozkład wykładniczy
F(t) =�1-� e-�l�t, t ł� 0 Rt (t�) =� e-�l�t� , t ł� 0
2
1
R(t) =� e-�l�t, t ł� 0
1
ć� ��
E{�T}�=�
V{�T}�=�
�� ��
l�
l�
Ł� ł�
f (t) =� l�e-�l�t, t ł� 0
1
s�{�T}�=�
l�(t) =� l�, t ł� 0
l�
transformata Laplace a
L�(t) =� l�t, t ł� t
l�
*�
f (�s)�=�
gęstości zmiennej losowej
l� +� s
Uwaga: proszę zapoznać się z podstawowymi rozkładami czasów
zdatności ze skryptu Korzana. Pomijać dalej będziemy fakt, że tł�0
dla charakterystyk czasowych.
Typowe rozkłady czasów zdatności
2. Rozkład Erlanga n-tego rzędu z parametrem l�
i
n-�1
n
E{�T}�=� q� =�
F(t) =�1-�
��(l�it) e-�l�t ,t ł� 0
l�
!
i=�0
i
n-�1
n
V{�T}�=�
R(t) =�
��(l�it) e-�l�t
l�2
!
i=�0
l�ntn-�1
n
f (t) =� e-�l�t , G�(n) =� (n -1)!
s�{�T}�=�
G�(n)
l�
-�1
n
i
l�
��n-�1 ł� ć� ��
l�ntn-�1
*�
f (�s)�=�
�� ��
l�(t) =�
��(l�it) e-�l�t ��
ę� ś�
l� +� s
Ł� ł�
G�(n) !
i=�0
��
Typowe rozkłady czasów zdatności
3. Rozkład gamma z parametrami a� i l�
Ą�
t
1
a�-�1
G�(a�) =�
F(t) =� l�a� xa� -�1e-�l�xdx
��x e-�xdx
��
G�(a�)
0
0
Ą�
a�
1
E{�T}�=� q� =�
R(t) =� l�a� xa� -�1e-�l�xdx
��
l�
G�(a�)
t
a�
V{�T}�=�
l�a�ta�-�1
l�2
f (t) =� e-�l�t
G�(a�)
a�
s�{�T}�=�
ta�-�1e-�l�t
l�
l�(t) =�
Ą�
a�-�1
a�
l�
��x e-�l�xdx ć� ��
*�
f (�s)�=�
�� ��
t
l� +� s
Ł� ł�
Typowe rozkłady czasów zdatności
4. Rozkład Weibulla (a�, b�) 5. Rozkład Rayleigha (l�)
a� 2
F(t) =�1-� e-�b�t F(t) =�1-� e-�l�t
a� 2
R(t) =� e-�b�t R(t) =� e-�l�t
a�
2
f (t) =� a�b�ta�-�1e-�b�t
f (t) =� 2l�te-�l�t
l�(t) =� 2l�t
l�(t) =� a�b�ta�-�1
L�(t) =� b�ta� L�(t) =� l�t2
1
-�
1
1 p�
a�
E{�T}�=� G�(1+� )b�
E{�T}�=�
a�
2 l�
4 -� p�
V{�T}�=�
4l�
Typowe rozkłady czasów zdatności
6. Rozkład normalny z parametrami (m,s�)
(�x-�m)�2
t
E{�T}�=� q� =� m
-�
1
2
2s�
F(t) =� dx
��e
s� 2p�
V{�T}�=� s�2
-�Ą�
(�x-�m)�2
Ą�
-�
1
s�{�T}�=� s�
2s�2
R(t) =� dx
��e
s� 2p�
t
-�1
(�t-�m)�2
(�t-�m)�2
-�
��Ą� (�t-�m)�2 ł�
1
2 -� -�
2s� 2 2
2s� 2s�
f (t) =� e
l�(t) =� e ę� dxś�
��e
s� 2p�
ę� ś�
t
�� ��
Uwaga: rozkład ten stosować można jedynie wtedy, gdy m>3s�. Wtedy
ujemne wartości realizacji zmiennej losowej praktycznie nie występują.
W innym przypadku stosujemy rozkład normalny ucięty w zerze.
Typowe rozkłady czasów zdatności
7.Rozkład normalny ucięty w zerze (m,s�)
Wez
my pod uwagę rozkład warunkowy zmiennej losowej X,
o rozkładzie normalnym z dystrybuantą FX(x), przy czym
warunek ten jest następujący: X>0. Wtedy
P{�0 Ł� X Ł� t}� FX(t) -� FX(0)
P{�X <� t / X ł� 0}�=� =�
P{�X ł� 0}� 1-� FX(0)
Taka dystrybuanta spełnia warunki dystrybuanty czasu
zdatności T, a rozkład T nazywa się rozkładem normalnym
uciętym w zerze
FX(t) -� FX(0)
F(t) =� , t ł� 0
1-� FX(0)
Typowe rozkłady czasów zdatności
Jeśli przyjmiemy, że
1
1-� FX(0) =�
c
to otrzymujemy dalej
F(t) =� c[�FX(t) -� FX(0)]� f (t) =� cfX(t) R(t) =� cRX(t) l�(t) =� cl�X(t)
8.Rozkład mieszaniny
Jeśli mamy n dystrybuant Fk(t) oraz prawdo-podobieństwa pi
n
takie, że
��p =�1
k
k=�1
to mieszaniną zmiennych losowych nazywa się zmienną
losową T o dystrybuancie F(t)
n n n
F(t) =�
��p Fk (t) R(t) =� ��p Rk (t) ��p fk (t)
k k k
k=�1 k=�1 k=�1
l�(t) =�
n
n
��p Rk (t)
k
f (t) =�
��p fk (t)
k
k=�1
k=�1