4. Efekt Holla.

Na poruszający się ładunek w polu
magnetycznym działa siła Lorenza:

B

V

q

F

×

=

Nośniki ładunku, zarówno dodatnie, jak
i ujemne, są odchylane w tą samą stronę
(bo wędrują w przeciwnych kierunkach).
Na podstawie ładunku, jaki zgromadzi
się na boku płytki można
wywnioskować, jakie cząstki przewodzą
prąd.

siła pola magnetycznego:

evB

F

B

±

=

siła pola elektrycznego, powstającego w wyniku efektu Holla:

H

e

F

H

ε

ε

=

Korzystamy ze wzoru

nev

j

=

, gdzie

u

v

v

≡

- prędkość unoszenia

neS

I

ne

j

v

=

=

,

gdzie

ad

S

=

Stąd:

neda

IB

neS

IB

H

=

=

ε

Napięcie hollowskie:

d

U

H

H

ε

=

neda

IB

d

U

H

=

→

nea

IB

U

H

=

(często pisze się:

IB

nea

U

H

1

±

=

- znak zależy od ładunku nośników)

Okazuje się, że w pewnych strukturach zachodzi tzw. kwantowy
efekt Holla (QHE).

Później dostrzeżono również ułamkowy kwantowy efekt Holla
(FQHE) – kwantowanie pojawiało się w niskich temperaturach
dla trzykrotnie wyższych B:

0

=

dt

df

0

1

=

+

∇

τ

f

f

F

k

h

1

0

f

f

f

+

=

1

0

f

f

f

k

k

k

∇

+

∇

=

∇

Jeżeli weźmiemy tylko pole elektryczne,

możemy dla tego przypadku pominąć

1

f

k

∇

:

E

E

f

f

f

k

k

k

∇













∂

∂

=

∇

≈

∇

0

0

/

h

ε

q

⋅

=

∇

≈

∇

0

f

q

f

q

k

k

h

h

ε

ε

ε

ε

q

E

f

V

E

E

f

q

k













∂

∂

=

∇













∂

∂

=

0

0

h

0

)

(

0

=

+













∂

∂

τ

χ

ε

V

E

V

E

f

q

, gdzie

ε

τ

χ













∂

∂

−

=

E

f

q

E

0

)

(

Wprowadzamy siłę:

(

)

B

V

q

F

×

+

=

ε

Korzystając z

0

f

f

k

k

∇

≈

∇

dostaniemy:

(

)

B

V

V

E

f

q

f

×

+













∂

∂

−

=

ε

τ

0

1

Z definicji

,

B

V

V

×

⊥

stąd

0

=

×

⋅

B

V

V

, co oznacza, że nie możemy sobie pozwolić na to przybliżenie

i musimy uwzględnić całość:

1

0

f

f

f

k

k

k

∇

+

∇

=

∇

Jest to skomplikowane i w ogólnym przypadku nie da się tego rozwiązać. Stosujemy inne przybliżenie:

)

(

)

(

0

E

S

E

χ

χ

=

, gdzie S - tensor,

ε

τ

χ













∂

∂

−

=

E

f

q

E

0

0

)

(

Pole magnetyczne zmienia funkcję

)

(E

χ

w tensor:

ε

τ

χ













∂

∂

−

=

E

f

S

q

E

0

)

(

Również przewodnictwo będzie tensorem:

*

2

m

S

e

τ

σ

=

dE

k

E

f

m

k

∫













∂

∂

−

=

0

3

0

2

3

1

τ

π

τ

, stąd:

dE

k

E

f

S

S

m

k

∫













∂

∂

−

=

0

3

0

2

3

1

τ

π

τ

Dokładna postać tensora nie jest znana, wiemy tylko co nieco o pewnych wyróżnionych kierunkach, np.

(

)

0

,

0

,

x

x

ε

ε

ε

=

=

;

(

)

z

z

B

B

B

,

0

,

0

=

=

Wówczas po skomplikowanych wyprowadzeniach:





































+

+

−

+

+

=

1

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

2

2

2

2

S

S

S

S

S

S

S

;

τ

ω

C

S

=

, gdzie

Τ

=

=

π

ω

2

*

m

eB

C

- częstość ruchu po okręgu elektronów

Przechodzimy do współrzędnych tensora:

ij

σ

σ

→

2

*

2

22

11

1 S

m

e

+

=

=

τ

σ

σ

;

2

*

2

21

12

1 S

S

m

e

+

=

−

=

τ

σ

σ

;

τ

σ

*

2

33

m

e

=

Pozostałe:

0

=

ij

σ

Gęstość prądu:

j

ij

i

j

ε

σ

=

y

x

x

j

ε

σ

ε

σ

12

11

+

=

0

22

21

=

+

=

y

x

y

j

ε

σ

ε

σ

- w kierunku y prąd nie płynie

Stąd:

y

y

y

x

ε

σ

σ

ε

σ

σ

ε

σ

σ

ε

12

11

12

22

21

22

=

=

−

=

y

y

y

x

j

ε

σ

σ

σ

ε

σ

ε

σ

σ

12

2

12

2

11

12

12

2

11

+

=

+

=

2

*

2

22

11

1

S

m

e

+

=

=

τ

σ

σ

;

2

*

2

21

12

1

S

S

m

e

+

=

−

=

τ

σ

σ

;

τ

π

τ

τ

ω

Τ

=

=

=

2

*

m

eB

S

C

τ

- czas rozpraszania (krótki, rzędu

10

10

~

−

s)

Im wyższe pole tym większa

C

ω

i tym krótszy okres T. W słabych polach T

τ

>>

i wówczas

1

<<

S

-

możemy je pominąć i wtedy

τ

σ

*

2

11

m

e

≈

Podobnie:

( )

2

2

*

3

*

2

12

τ

τ

σ

m

B

e

S

m

e

=

≈

( )

( )

2

2

2

2

*

3

2

2

*

4

12

2

11

12

2

12

2

11

τ

τ

τ

τ

σ

σ

σ

σ

σ

B

e

m

B

e

m

e

=

=

≈

+

Stąd:

y

x

B

e

j

ε

τ

τ

2

2

=

→

B

j

e

x

y

2

2

τ

τ

ε

=

Napięcie hollowskie:

y

y

H

d

U

U

ε

=

=

;

d

U

H

y

=

ε

;

ad

I

j

x

x

=

- wstawiamy to do wzoru:

B

I

ade

d

U

x

H

1

2

2

τ

τ

=

,

ostatecznie:

B

I

ae

U

x

H

1

2

2

τ

τ

=

Stosujemy przejście:

1

1

1

2

2

2

2

⋅

=

τ

τ

τ

τ

, pamiętając, że

n

=

1

to koncentracja nośników

Stąd:

B

I

nae

U

x

H

1

1

2

2

τ

τ

=

,

gdzie wyrażenie

r

=

2

2

1

τ

τ

to tzw. współczynnik hollowski

Przewodnictwo typu n i p:

(

)

2

2

p

e

p

n

c

µ

µ

σ

+

=

, gdzie

τ

µ

~

*

m

e

=

- ruchliwość

Mierząc napięcie hollowskie nie możemy od razu obliczyć koncentracji nośników, bo jest zafałszowana
przez czynnik hollowski, który na ogół 1

≠

. Dodatkowo, gdy przewodzą nośniki dwojakiego rodzaju,

należy uwzględnić powyższy wzór. Wówczas współczynnik hollowski może zmianiać znak ze względu
na różną ruchliwość elektronów i dziur (dziury mają większą bezwładność).


5.

Poziomy Landaua.

Metoda masy efektywnej:

( )

( )

r

E

r

m

ψ

ψ

=

∇

−

2

*

2

h

;

r

k

i

e

=

ψ

Bez potencjału elektron w krysztale porusza się jak elektron swobodny z masą efektywną. W masie

efektywnej zawarta jest informacja o funkcji

( )

r

u

k

.

Landau zapisał równanie Schrödingera w postaci:

( )

( )

r

E

r

m

p

ψ

ψ

=

*

2

2

ˆ

, gdzie













∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

∇

−

=

z

y

x

i

i

p

h

h

ˆ

;













∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

⋅

=

2

2

2

2

2

2

2

ˆ

ˆ

ˆ

z

y

x

p

p

p

h

Mechanika klasyczna wprowadza pęd uogólniony:

p

→

A

c

e

p

+

, gdzie

A - potencjał wektorowy dla pola elektromagnetycznego

Potencjał wektorowy jest tylko zabiegiem matematycznym, nie istnieje jako wielkość fizyczna.

Wstawiamy pęd uogólniony do

( )

( )

r

E

r

m

p

ψ

ψ

=

*

2

2

ˆ

Pole magnetyczne traktujemy jako rotację potencjału wektorowego:

A

B

rot

=

(

)

0

,

0

,

yB

A

−

=

(

)

B

B

,

0

,

0

=

(skalowanie landauowskie)

( )

( )

r

E

r

A

c

e

p

m

ψ

ψ

=













+

2

*

ˆ

ˆ

2

1

( )

( )

r

E

r

z

y

By

c

e

x

i

m

ψ

ψ

=















∂

∂

−

∂

∂

−













−

∂

∂

−

2

2

2

2

2

2

2

*

2

1

h

h

h

Rozwiązanie:

( ) ( )

z

ik

x

ik

z

x

e

r

r

+

=

ϕ

ψ

Rozpisujemy i wstawiamy:

( )

( )

z

ik

x

ik

z

ik

x

ik

z

x

z

x

e

r

E

e

r

z

y

y

B

c

e

x

By

c

e

i

x

m

+

+

=













∂

∂

−

∂

∂

−

+

∂

∂

+

∂

∂

−

ϕ

ϕ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

*

2

2

1

h

h

h

h

( )

( )

y

E

y

m

k

y

y

B

c

m

e

By

cm

e

k

m

k

z

x

x

ϕ

ϕ

=













+

∂

∂

−

+

−

−

*

2

2

2

2

2

2

2

2

*

2

*

*

2

2

2

2

2

h

h

h

h

Częstość cyklotronowa:

w układzie SI:

*

m

eB

C

=

ω

;

w układzie jednostek Gaussa:

c

m

eB

C

*

=

ω

( )

( )

r

E

r

m

x

m

ψ

ψ

ω

=













+

∂

∂

2

2

2

*

2

1

2

1

- równanie Schrödingera dla oscylatora harmonicznego

Energia drgań jest skwantowana:













+

=

2

1

n

E

ω

h

Wyłączamy przed nawias:

2

*

2

2

2

2

*

2

2

*

2

*

2

2

2

1

c

m

B

e

c

m

B

e

m

m

C

=

=

ω

( )

( )

y

m

k

E

y

m

k

B

e

c

m

By

cm

e

k

B

e

c

m

y

c

m

B

e

y

m

z

x

x

ϕ

ϕ













−

=

























+

−

+

∂

∂

−

*

2

2

*

2

2

2

2

*

*

2

2

2

*

2

2

*

2

2

2

2

*

2

2

2

2

2

2

2

h

h

h

h

( )

( )

y

m

k

E

y

eB

c

k

y

eB

c

k

y

m

y

m

z

x

x

C

ϕ

ϕ

ω













−

=









































+

−

+

∂

∂

−

*

2

2

2

2

2

*

2

2

*

2

2

2

2

1

2

h

h

h

h

Podstawiamy:

eB

c

k

y

x

h

−

=

η

;

y

∂

∂

=

∂

∂

η

Ostatecznie:

( )

( )

η

ϕ

η

ϕ

η

ω

η













−

=













+

∂

∂

−

*

2

2

2

2

*

2

2

*

2

2

2

1

2

m

k

E

m

m

z

C

h

h

Interpretacja:

elektron swobodny miał energię:

(

)

*

2

2

2

2

2m

k

k

k

E

z

y

x

+

+

=

h

Gdy wprowadzamy pole magnetyczne, energia ulega
skwantowaniu w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku tego
pola.













+

→

+

2

1

2

2

n

k

k

y

x

ω

h

*

2

2

2

2

1

m

k

n

E

z

C

h

h

+













+

=

ω

W kierunku równoległym do kierunku pola nie ma
kwantowania.

Efekty kwantowe w polu magnetycznym:

Metodą epitaksji uzyskuje się bardzo cienkie
warstwy półprzewodnika o zadanym składzie, np:
Ga

1-x

Al

x

As | GaAs | Ga

1-x

Al

x

As | GaAs ...

W ten sposób otrzymuje się studnię kwantową.
Przerwa energetyczna pomiędzy Ga

1-x

Al

x

As a

GaAs rozkłada się równo między pasmo
przewodnictwa a pasmo walencyjne.
Możemy ten układ potraktować jako
nieskończoną studnię potencjału o szerokości L
i rozwiązać równanie Schrödingera dla jednego
kierunku:

)

(

)

(

2

2

2

2

x

E

x

dx

d

m

ψ

ψ

=

−

h

m

k

E

2

2

2

h

=

Z warunków brzegowych:

π

n

kL

kL

=

→

=

0

sin

;

L

n

k

n

π

=

;

2

2

2

2

2

n

mL

E

n

π

h

=

W studni potencjału elektron zachowuje się jak fala stojąca. Jego energia jest skwantowana. W realnym
przypadku mamy studnię w paśmie przewodnictwa i paśmie walencyjnym, ale tylko w kierunku wzrostu

kryształu ( z ). Energia elektronu w rzeczywistej studni:

(

)

*

2

2

2

2m

k

k

E

E

y

x

n

+

+

=

h

Wprowadzając domieszkę (domieszkowanie modulacyjne) uzyskujemy dodatkowy elektron, który

wpada do studni i uzyskuje ogromną ruchliwość

V

cm

10

7

≈

µ

. Niestety utrzymuje się ona tylko w

niskich temperaturach (w wysokich fonony utrudniają ruch).
Zamiast tego dostajemy półprzewodnik o ściśle określonej liczbie nośników prądu.

Gdy wprowadzimy układ w pole magnetyczne, kwantowanie pojawi się również na kierunkach

x

i y .

A więc energia elektronu zostanie całkowicie
skwantowana:













+

+

=

2

1

)

,

(

B

C

n

B

z

n

E

n

n

E

z

ω

h

;

gęstość stanów:

h

eB

B

=

ρ

- rośnie wraz z polem magnetycznym

Poziomy są dosyć oddalone:

*

m

eB

C

=

ω

, i na każdym

poziomie, jeśli B jest duże, pojawia się dużo stanów.
W wysokich B wszystkie elektrony siedzą na
najniższym poziomie Landaua. Gdy zmniejszamy pole,
część elektronów będzie mogła wskoczyć na wyższe
poziomy. Stąd kwantowy efekt Holla. Warto zauważyć,
ż

e jest on w zasadzie kwantowaniem oporu elektr.