Zadania domowe z analizy matematycznej
1. Obliczyć pola obszarów ograniczonych wykresami funkcji lub liniami:
" 1 1 1
a) f(x) = x , g(x) = , x = e; b) f(x) = , g(x) = x2;
x x2 + 1 2
Ä„ 5Ä„
c) f(x) = 4 - x2 , g(x) = x2 - 2x; d) f(x) = sin 2x dla x " , ;
6 6
f) y = xp , x = yp , p > 1; g) f(x) = xe-x , y = 0 , x = 0, x = 1
h") y2 = x2(4 - x2);
Ä„
i) y = x sin 2x , y = 0 , x = 0 , x = .
2
2. Obliczyć pola obszarów ograniczonych wykresami funkcji lub liniami (całka niewłaściwa):
2
a) f(x) = , g(x) = 0 , x = 0 (x 0);
x2 + 4x + 3
b) f(x) = xpe-bx , g(x) = 0 , x 0 , gdzie p > 0 i b > 0 sÄ… ustalone;
5
c) y = , y = 0;
(x2 + 4)(x2 + 9)
2
d) y = xe-x , x 0;
1
"
e) f(x) = , g(x) = 0 , x = 0 , x = 4.
x
3. Obliczyć objętość bryły, która powstaje z obrotu wykresu funkcji f(x) dookoła osi OX dla
x " [a, b]:
"
a) f(x) = x dla x " [0, 1] b) f(x) = x2 - 1 dla x " [-1, 1]
"
1
c) f(x) = " dla x " [0, 1] d) f(x) = - ln x dla x " (0, 1]
4
x
e) f(x) = xe-2x dla x " [0, ").
4. Obliczyć długość L wykresu funkcji gładkiej f(x) dla x " [a, b] gdy:
"
"
2
a) f(x) = x x , x " [0, 8] ; b) f(x) = 2x - x2 , x " [0, 2] ;
3
"
c) f(x) = arc sin x + 1 - x2 , x " [-1, 1].
5. Wyznaczyć wszystkie ekstrema funkcji

3
a) f(x, y, z) = x2 + y3 + z2 - 3xy + xz określonej na

2
b) f(x, y) = e-2x(x2 - 3y2) określonej na
c) f(x, y, z) = sin x + sin y + sin z - sin(x + y + z) określonej dla x, y, z " (0, Ą)

2
d) f(x, y) = 2x4 + y4 - x2 - 2y2 określonej na .
x
6. Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x, y) = 4 arc tg w punkcie
y
P = (-1, 1).
Odpowiedzi do zadań
1. Niech S oznacza obliczone pole.
1 3 Ä„ 1
2
a) S = 2e - 5 b) S = - c) S = 9
3 2 3
1 p - 1
d) S = 1 f) S = g) S = 1 - 2e-1
2 p + 1
32 Ä„
h) S = i) S =
3 4
2. Niech S oznacza obliczone pole.
p Ä„ 1
a) S = ln 3 b) S = “(p) c) S = d) S = e) S = 4
bp+1 3 2
3. Niech V oznacza obliczoną objętość.
Ä„ 16 Ä„
a) V = b) V = Ä„ c) V = 2Ä„ d) V = Ä„ e) V =
2 15 32
4. Niech L oznacza obliczoną długość.
1
a) L = 17 b) L = Ä„ c) L = 4
3
5. a) minimum w punkcie P = (4, 2, -2) wynoszÄ…ce f(P ) = -4
b) maksimum w punkcie P = (1, 0) wynoszÄ…ce f(P ) = e-2
Ä„ Ä„ Ä„
c) maksimum w punkcie P = , , wynoszÄ…ce f(P ) = 4
2 2 2
d) maksimum w punkcie P1 = (0, 0) wynoszÄ…ce f(P1) = 0, minima w 4 punktach postaci
1 9
P = Ä… , Ä…1 wynoszÄ…ce f(P ) = - .
2 8
6. z = -Ä„ + 2x + 2y.