SIMR Analiza 1, zadania: Różniczkowalność, różniczka, styczna do wykresu, reguła
de L Hospitala
1. Dla jakich wartości parametrów funkcja f(x) jest różniczkowalna:
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
sin 2x dla x > 0
ôÅ‚
òÅ‚
(a) f(x) =
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
ax + b dla x 0
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ax2 + bx dla x > 1
òÅ‚
(b) f(x) = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
dla x 1
ół
2
Å„Å‚
"- x
ôÅ‚
ôÅ‚
4x dla x > 1
ôÅ‚
òÅ‚
(c) f(x) = ax3 + bx2 + cx + d dla 0 x 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
sin x dla x < 0
2. Oblicz różniczkę df funkcji f(x) w punkcie x0
(a) f(x) = (x + 3)ex ; x0 = 0
"
(b) f(x) = x 3x + 1 ; x0 = 1
x3 + 2
(c) f(x) = ; x0 = 1
x - 2
(d) f(x) = arc tg(x2 - 3) ; x0 = 2
3. Znajdz
równanie prostej stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie x0
(a) f(x) = x3 - 4x ; x0 = 1
2
(b) f(x) = ex -4 ; x0 = 2
x2 + x
(c) f(x) = ; x0 = 2
x - 1
(d) f(x) = arc sin(2x + 4) ; x0 = -2
4. Znajdz
kąt przecięcia się krzywych y1(x) i y2(x) w punkcie x0
"
(a) y1 = x2 ; y2 = x ; x0 = 1
Ä„
(b) y1 = sin x ; y2 = cos x ; x0 =
4
"
(c) y1 = ex ; y2 = 2 - 2x + 1 ; x0 = 0
(d) y1 = ln(x3 + x + 1) ; y2 = 1 - cosh(3x) ; x0 = 0
5. Obliczyć granice:

1 1
(a) lim -
x1
x - 1 ln x
"
3
tg x - 1
(b) lim
x0
2 sin2 x - 1
arc sin 2x - 2 arc sin x
(c) lim
x0
x3


"
1 x
(d) lim " arc tg x - 2 arc tg
x0
x x 4
(2 + x)x - 2x
(e) lim
x0
x2

1 + ex ctgh x
(f) lim
x0
2
1

x2
arc sin x
(g) lim
x0
x
1

x2
sin x
(h) lim
x0
x
(i) lim xsin x
x0+
1
x
(j) lim xe
x0+
1
(k) lim (cos 2x)x sin x
x0