Analiza 1 - ćwiczenia SIMR 2010/2011 ćw 2 - 2 godz.
Temat: granica funkcji, pochodna
1. Obliczyć granicę funkcji:
x3 + x
"
(a) lim
x-"
x6 + 4 + x2
x2 + 4x - 12
(b) lim
x2
x3 - 8
"
x2 + 8 - 3
(c) lim
x-1
x + 1
x sin x
(d) lim
x0
sin2 x
sin2 x
(e) lim
x0
cos x - 1
sin(x2 + x3)
(f) lim
x0
tg(2x2 + 3x3)
sin 2x + cos x
(g) lim
Ä„
Ä„
x
x -
2
2
sin2 x
(h) lim
xĄ
1 + cos 5x
2. Dla jakich wartości parametrów funkcja f : R R jest ciągła:
Å„Å‚
ôÅ‚
x3 + 2x - 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ dla x > 1
ôÅ‚
ôÅ‚
x2 + x - 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
(a) f(x) = Odp: a = 2 , b = -1
ax + b dla 0 x 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ln(1 - x)
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
dla x < 0
x
Å„Å‚
x2 + ax - 6
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ dla x > 2
ôÅ‚
ôÅ‚
x2
òÅ‚ - 4
5
(b) f(x) = Odp: a = 1 , b =
ôÅ‚
4
ôÅ‚
ôÅ‚
b dla x 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
Å„Å‚
"
ôÅ‚ x + a x
ôÅ‚
ôÅ‚
dla x > 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x + sin x
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
1 1
(c) f(x) = Odp: a = 0 , b = - , c =
ôÅ‚ bx + c dla - 1 x 0
2 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
x2 dla x < -1
Å„Å‚
x2 - x + 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ a dla x > 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x2 + x - 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
(d) f(x) = Odp: Funkcja jest zawsze nieciągła.
x dla 0 x 2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ - cos 2x
1
ôÅ‚
ół
b dla x < 0
4x2
Å„Å‚
1
ôÅ‚

ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x2 1 - x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
a dla x > 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ 2x - 1
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
(e) f(x) = Odp: a = -3 , b = -3
ôÅ‚
b dla - 1 x 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ x4 + x
ôÅ‚
ół
dla x < -1
x + 1
3. Obliczyć pochodną funkcji f(x) :
1
(a) f(x) = x2 cos
x
x2 + 1
(b) f(x) =
x2 - x
2
(c) f(x) = xex
(d) f(x) = ln (x3 sin(2x + 1))
"
(e) f(x) = arc sin x + (1 + x4) arc tg(x2)
4. Dla jakich wartości parametrów funkcja f : R R jest różniczkowalna:
Å„Å‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚
dla x > 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
(a) f(x) =
ax + b dla 0 x 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
cx cos x + d dla x < 0
Å„Å‚
ôÅ‚
a ln x2 + 1 dla x > 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
(b) f(x) = 2x + b dla 0 x 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
sin cx + d dla x < 0